5.1 任意角与弧度制（精讲）（解析版）-人教版高中数学精讲精练必修一

5.1任意角与弧度制（精讲）一．任意角1．角的定义及分类(1)角的概念：角可以看成平面内一条射线绕着它的端点旋转所成的图形．(2)角的表示：如图所示，角α可记为“α”或“∠α”或“∠AOB”，始边：OA，终边：OB，顶点O.(3)角的分类名称定义图示正角一条射线绕其端点按逆时针方向旋转形成的角负角一条射线绕其端点按顺时针方向旋转形成的角零角一条射线没有做任何旋转形成的角二．象限角与终边相同的角1.象限角与终边相同的角象限角把角放在平面直角坐标系中，使角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，那么，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角；如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限终边相同的角所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和k有三层含义①特殊性：对k每赋一个整数值就有一个具体对应的角．②一般性：表示所有与角α终边相同的角(包括α自身)．③从几何意义上看，k表示角的终边按一定的方向转动的圈数．k取正整数时，逆时针转动；k取负整数时，顺时针转动；k＝0时，没有转动．2．象限角的集合表示象限角象限角α的集合表示第一象限角{α|k·360°<α<k·360°＋90°，k∈Z}第二象限角{α|k·360°＋90°<α<k·360°＋180°，k∈Z}第三象限角{α|k·360°＋180°<α<k·360°＋270°，k∈Z}第四象限角{α|k·360°＋270°<α<k·360°＋360°，k∈Z}3．轴线角的集合表示角α终边的位置角α的集合表示在x轴的非负半轴上{α|α＝k·360°，k∈Z}在x轴的非正半轴上{α|α＝k·360°＋180°，k∈Z}在y轴的非负半轴上{α|α＝k·360°＋90°，k∈Z}在y轴的非正半轴上{α|α＝k·360°＋270°，k∈Z}在x轴上{α|α＝k·180°，k∈Z}在y轴上{α|α＝k·180°＋90°，k∈Z}在坐标轴上{α|α＝k·90°，k∈Z}三．度量角的两种单位制1.定义角度制定义用度作为单位来度量角的单位制1度的角周角的eq\f(1,360)为1度的角，记作1°弧度制定义以弧度为单位来度量角的单位制1弧度的角长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角.1弧度记作1rad2.弧度数(1)正角：正角的弧度数是一个正数.(2)负角：负角的弧度数是一个负数.(3)零角：零角的弧度数是0.(4)如果半径为r的圆的圆心角α所对弧的长为l，那么，角α的弧度数的绝对值是|α|＝eq\f(l,r).3.角度制与弧度制的换算角度化弧度弧度化角度360°＝2πrad2πrad＝360°180°＝πradπrad＝180°1°＝eq\f(π,180)rad≈0.01745rad1rad＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(180,π)))°≈57.30°度数×eq\f(π,180)＝弧度数弧度数×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(180,π)))°＝度数四.扇形的弧长及面积公式设扇形的半径为R，弧长为l，α(0<α<2π)为其圆心角，则度量单位类别α为角度制α为弧度制扇形的弧长l＝eq\f(απR,180)l＝α·R扇形的面积S＝eq\f(απR2,360)S＝eq\f(1,2)l·R＝eq\f(1,2)α·R2一．表示区域角的三个步骤第一步：先按逆时针的方向找到区域的起始和终止边界.第二步：按由小到大分别标出起始和终止边界对应的－360°～360°范围内的角α和β，写出最简集合{x|α<x<β}，其中β－α<360°.第三步：起始、终止边界对应角α，β再加上360°的整数倍，即得区域角集合.二.已知α所在象限，确定nα或eq\f(α,n)所在象限(1)用不等式表示α的范围，再确定nα或eq\f(α,n)的范围，再判断角所在象限；(2)数形结合法，等分象限，确定角所在象限.三．角度与弧度互化在进行角度与弧度的换算时，抓住关系式πrad＝180°是关键，由它可以得到：度数×eq\f(π,180)＝弧度数，弧度数×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(180,π)))°＝度数．角度与弧度互化的方法考点一与任意角有关的概念辨析【例1-1】（2023秋·高一课时练习）（多选）下列选项不正确的是（

）A．终边落在第一象限的角为锐角B．锐角是第一象限的角C．第二象限的角为钝角D．小于的角一定为锐角【答案】ACD【解析】对于A，终边落在第一象限的角不一定是锐角，如的角终边位于第一象限，但不是锐角，A错误；对于B，锐角是之间的角，终边位于第一象限，是第一象限角，B正确；对于C，终边落在第二象限的角不一定是钝角，如的角的终边位于第二象限，但不是钝角，C错误；对于D，小于的角不一定是锐角，如的角小于，但不是锐角，D错误.故选：ACD.【例1-2】（2023·全国·高一课堂例题）每周一的早晨，我们都会在学校的操场上举行升国旗仪式，一般需要10分钟．这10分钟的时间，钟表的分针走过的角度是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】分针是顺时针走的，形成的角度是负角，又分针走过了10分钟，走过的角度大小为，综上，分针走过的角度是．故选：D．【一隅三反】1．（2023福建厦门）（多选）下列说法错误的是（

）A．终边与始边重合的角是零角B．终边与始边都相同的两个角一定相等C．小于90°的角是锐角D．若，则是第三象限角【答案】ABC【解析】对于A.终边与始边重合的角的集合为,故A错误，对于B，终边与始边都相同的两个角不一定相等，比如的终边和始边相同，但两个角不相等，故B错误，对于C，锐角为的角，所以小于90°的角不一定是锐角，故C错误，对于D，，则是第三象限角，故D正确，故选：ABC2．（2023秋·高一课时练习）（多选）下列说法，不正确的是（

）A．三角形的内角必是第一、二象限角B．始边相同而终边不同的角一定不相等C．钝角比第三象限角小D．小于180°的角是钝角、直角或锐角【答案】ACD【解析】由题意，A中，90°的角既不是第一象限角，也不是第二象限角，故A错误；B中，始边相同而终边不同的角一定不相等，故B正确；C中，钝角大于的角，而的角是第三象限角，故C错误；D中，零角或负角小于，但它既不是钝角，也不是直角或锐角，故D错误．故选：ACD.3．（2023上海）给出下列说法：①终边相同的角不一定相等；②第二象限的角大于第一象限的角；③的角是第一象限的角；④小于的角是钝角、直角和锐角.其中错误的序号是.【答案】②③④【解析】①终边相同的角不一定相等，终边相同的角有无数个，它们相差的整数倍，故正确；②角是第一象限角，角是第二象限角，，故错误；③的角是指大于等于小于的角，其中角不是象限角，故错误；④小于的角还包括零角和负角，故错误；故答案为：②③④考点二终边相同的角【例2】（2023秋·吉林长春）下列各角中，与角终边相同的角是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】对选项A，，故A错误.对选项B，因为，故B正确.对选项C，，故C错误.对选项D，，故D错误.故选：B【一隅三反】1．（2023秋·高一课时练习）与405°角终边相同的角是（

）A．k·360°－45°，k∈Z B．k·180°－45°，k∈ZC．k·360°＋45°，k∈Z D．k·180°＋45°，k∈Z【答案】C【解析】∵405°＝360°＋45°，∴与405°终边相同的角是k·360°＋45°，k∈Z.故选：C2．（2023秋·高一课时练习）与角终边相同的角可表示为（

）A．B．C．D．【答案】B【解析】，角与角的终边相同，与角终边相同的角可表示为.故选：B.3．（2023·全国·高一课堂例题）已知角的顶点与直角坐标系的原点重合，始边与轴的非负半轴重合，作出下列各角，指出它们是第几象限角，并指出在范围内与其终边相同的角．(1)；(2)；(3)；(4)．【答案】(1)，第一象限角(2)，第四象限角(3)，第二象限角(4)，第三象限角【解析】（1）

角是第一象限角，，所以在范围内，与角终边相同的角是角；（2）

角是第四象限角，，所以在范围内，与角终边相同的角是角；（3）

角是第二象限角，，所以在范围内，与角终边相同的角是角；（4）

角是第三象限角，，所以在范围内，与角终边相同的角是角；综上，（1）第一象限，与角终边相同，（2）第四象限，与角终边相同，（3）第二象限，与角终边相同，（4）第三象限，与角终边相同.考点三象限角和区间(域)角【例3-1】（2023·全国·高一课堂例题）写出终边在下图所示的直线上的角的集合．

【答案】（1）；（2）【解析】（1）由题图易知，在范围内，终边在直线上的角有两个，即和，因此，终边在直线上的角的集合为；（2）同理可得终边在直线上的角的集合为，终边在直线上的角的集合为，所以终边在直线上和在直线上的角的集合为.【例3-2】（2023·北京）（多选）已知是锐角，则（

）A．是第三象限角 B．是小于的正角C．是第一或第二象限角 D．是锐角【答案】ABD【解析】由题知，因为是锐角，所以，对于A：所以，故A选项正确；对于BC：，故B选项正确，C选项错误；对于D：，故D选项正确；故选：ABD.【一隅三反】1．（2023春·山西朔州·高一怀仁市第一中学校校联考期末）集合中的角所表示的范围（阴影部分）是（

）A．

B．

C．

D．

【答案】C【解析】当时，，当时，,所以选项C满足题意.故选：C.2．（2023春·河南驻马店·高一校考阶段练习）用弧度表示终边落在如图所示的阴影部分内（不包括边界）的角的集合.

【答案】（1）；（2）【解析】（1）；（2）.3．（2023秋·高一课时练习）写出终边落在图中阴影区域内的角的集合．(1)

(2)

【答案】(1)(2)【解析】（1）在范围内，图中终边在第二象限的区域边界线所对应的角为，终边在第四象限的区域边界线所对应的角为，因此，阴影部分区域所表示的集合为；（2）图中从第四象限到第一象限阴影部分区域表示的角的集合为，图中从第二象限到第三象限阴影部分区域所表示的角的集合为，因此，阴影部分区域所表示角的集合为.4．（2023春·四川眉山·高一校考期中）（1）如图，阴影部分表示角的终边所在的位置，试写出角的集合．

（2）已知角，将改写成的形式，并指出是第几象限角．【答案】（1）答案见解析；（2）；是第一象限角．【解析】（1）①；②．（2）∵，∴．又，所以与终边相同，是第一象限角．5．（2023春·江西宜春·高一江西省丰城中学校考阶段练习）（镀锡）若是第二象限角，则（

）A．是第一象限角 B．是第一或第三象限角C．是第二象限角D．是第三象限角或是第四象限角或的终边在y轴负半轴上【答案】BD【解析】因为是第二象限角，所以可得．对于A，，则是第三象限角，所以A错误;对于B，可得，当k为偶数时，是第一象限角；当k为奇数时，是第三象限角．所以B正确;对于C，，即，所以是第一象限角，所以C错误;对于D，，所以的终边位于第三象限或第四象限或y轴负半轴上，所以D正确．故选：BD．考点四角度与弧度的互化及应用【例4】（2022·广东广州）将下表中的角度和弧度互化：角度0°30°45°120°135°150°360°弧度【答案】答案见解析【解析】，故：角度0°30°45°60°90°120°135°150°180°270°360°弧度0【一隅三反】1．（2023秋·高一课时练习）把下列角度与弧度进行互化．(1)72°；(2)－300°；(3)2；(4).(5)(6)(7)(8)(9)(10)【答案】(1)(2)(3)(4)－40°.(5)弧度(6)π弧度(7)弧度(8)(9)(10)【解析】（1），（2），（3），（4）（5）弧度弧度，（6）弧度弧度，（7）弧度弧度．（8）弧度，（9）弧度，（10）弧度．考点五弧长公式与面积公式【例5-1】（2023·全国·高一假期作业）（多选）已知某扇形的周长为44，圆心角为2，则（

）A．该扇形的半径为11 B．该扇形的半径为22C．该扇形的面积为100 D．该扇形的面积为121【答案】AD【解析】设该扇形的半径为r，弧长为l，则，即，解得．故该扇形的面积．故选：AD.【例5-2】（2023春·宁夏银川·高一宁夏育才中学校考开学考试）已知扇形的圆心角为，所在圆的半径为(1)若，，求扇形的弧长(2)若扇形的周长为，当为多少弧度时，该扇形面积最大并求出最大面积．【答案】(1)(2)当时，扇形的面积最大，最大面积是．【解析】（1）设扇形的弧长为．，即，.（2）由题设条件知，,因此扇形的面积当时，有最大值，此时,当时，扇形的面积最大，最大面积是．【例5-3】（2023春·江西宜春·高一校考阶段练习）如图，点是圆上的点.(1)若，，求劣弧的长；(2)已知扇形的周长