3.2.1 函数的单调性（精练）（解析版）-人教版高中数学精讲精练必修一

3.2.1函数的单调性（精练）1．（2023春·湖南）已知为增函数，则的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】因为为增函数，故，解得.故选：.2．（2023·全国·高一专题练习）已知函数在上单调递增，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】根据题意，函数在时为单调递增，即，解得；易知，二次函数是开口向上且关于对称的抛物线，所以为单调递增；若满足函数在上单调递增，则分段端点处的函数值需满足，如下图所示：所以，解得；综上可得.故选：A3．（2022秋·高一课时练习）已知是上的增函数，是其图象上两点，则不等式的解集为（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】由题意，，则，故，所以，即解集为.故选：C4．（2023·全国·高一假期作业）已知函数在上是递减函数，且，则有（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】是减函数，，；故选：D.5．（2022·陕西）定义在R上函数满足以下条件：①函数图像关于轴对称，②对任意，当时都有，则，，的大小关系为（）A． B．C． D．【答案】B【解析】∵函数图像关于对称，且对任意，当时都有，∴在，上单调递减，在单调递增，，∴．故选：B．6．（2023春·山西·高一校联考阶段练习）若函数，在R上单调递增，则实数a的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】当时，函数单调递增所以当时，是单调递增函数，所以，所以当时，对勾函数取值要大于或等于指数式的值，所以，解之得：，综上所述：实数a的取值范围是故选：B7．（2023·江苏·高一专题练习）已知函数，若对任意，不等式恒成立，，则实数的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】，因此在定义域上是增函数，，不等式即为，所以，所以在上恒成立，若，即，显然成立，若，即时，由于，因此，，从而也满足题意，综上，，故选：B．8（2022秋·广西桂林·高一校考期中）函数的单调增区间是______.【答案】【解析】因为函数可化为，当时，函数单调递减；当时，函数单调递增，所以函数的单调递增区间为，故答案为：.9．（2023·江苏·高一假期作业）已知函数在上单调递增，则实数的取值范围为________．【答案】【解析】任取且设，则．因为在上单调递增，，所以，则．又，所以，所以，则实数的取值范围为．故答案为：．10．（2023·湖南）函数在上是增函数，则实数a的值为__________．【答案】0【解析】当时，函数，在上单调递增，符合题意；当时，函数，其对称轴为，若，当时，函数单调递减；当时，函数单调递增；若，当时，函数单调递增；当时，函数单调递减，综上，.故答案为：0.11．（2023·全国·高一假期作业）函数在上为增函数，则的取值范围是__________．【答案】【解析】函数开口向上，对称轴为，要使函数在上为增函数，则，解得，即.故答案为：12．（2023春·上海嘉定·）已知在区间上是严格增函数，则的取值范围是______．【答案】【解析】，因为在区间上是严格增函数，所以，即.故答案为：.13．（2023秋·四川达州·高一校考阶段练习）若函数在区间上是增函数，则实数的取值范围是______【答案】【解析】二次函数的图像开口向上，单调增区间为，又函数在区间上是增函数，则，解之得，则实数的取值范围是故答案为：14．（2022秋·高一单元测试）已知函数与在区间上都是减函数，那么__________.【答案】.【解析】根据二次函数的表达式可知，的对称轴为，开口向下，若在区间上是减函数，则，是反比例型函数，若在区间是减函数，则，所以.所以与在区间上都是减函数，a的取值范围为.故答案为:..15．（2023·高一课时练习）若是上的偶函数，且在上单调递增，则下列条件中：①；②；③；④，能使得成立的序号是___________．【答案】①②④【解析】函数为偶函数，所以，且在上单调递增，由偶函数性质知函数在单调递减，对于①，当时，恒成立；对于②，当时，则，恒成立；对于③，当时，不恒成立，比如，，；对于④，当时，若，则，恒成立若，则，恒成立；故答案为：①②④.16．（2023·陕西）若，则函数在上的值域是______________．【答案】【解析】，任取，，且，则，所以，所以函数在上单调递增，则，，所以函数在上的值域是.故答案为：.17．（2022秋·山西大同·高一统考期中）若“，”是真命题，则实数的取值范围是______.【答案】【解析】由题意，“，”是真命题对于能成立，只需要即可，令，对称轴为，故函数在上单调递减，在上单调递增，所以，即,所以实数的取值范围是.故答案为：.18．（2022秋·浙江台州·高一台州一中校考开学考试）规定表示取、中的较大者，例如，，则函数的最小值为______.【答案】【解析】在同一直角坐标系中分别画出与的图象如图，两个函数的图象有四个交点A，B，C，D．由图可知，B为函数图象的最低点，联立方程组，解得或（舍去），所以的最小值为．故答案为：．19．（2022秋·广东汕头·高一汕头市第一中学校考期中）已知函数，且.(1)求实数m的值；(2)判断函数在上的单调性，并证明你的结论；(3)求函数在上的最值.【答案】(1)4(2)单调递增，证明见解析(3)【解析】（1）根据题意得：，解得：；（2）在上的单调递增；理由如下：设，则∵，故，，∴，∴f（x）在上的单调递增；（3）根据题意，由（2）可知，在上单调递增，故，，∴函数在上的值域为.20．（2023春·重庆江北·高一字水中学校考开学考试）已知二次函数（，，）只能同时满足下列三个条件中的两个：①的解集为；②；③的最小值为．(1)请写出满足题意的两个条件的序号，并求的表达式；(2)解关于的不等式．【答案】(1)(2)【解析】（1）若满足②，则二次函数开口向下，的解集不能满足为，此时有最大值，所以①②不能同时满足，②③不能同时满足，所以满足的两个条件为①③，所以解得，所以.（2）因为，所以对称轴为，且函数在单调递减，单调递增，因为，即，因为恒成立，恒成立，所以，即，解得或，所以不等式的解为.21．（2023·全国·高一专题练习）已知(1)根据单调性的定义证明函数在区间上是减函数(2)若函数（）的最大值与最小值之差为1，求实数的值【答案】(1)证明见解析(2)【解析】（1）且，则，因为，所以，又因为，所以，因此，所以在是减函数；（2）由（1）可知，是减函数，所以时，取得最大值为，时，取得最小值为，因为最大值与最小值之差为1，所以，解得.22．（2022秋·湖南衡阳·高一衡阳市一中校考期中）设函数(a为常数）.(1)若f(x)在R上是增函数，求a的取值范围；(2)在（1）的条件下，求在上的最小值.【答案】(1)；(2)最小值.【解析】（1）因为函数在R上是增函数，则有，解得，所以a的取值范围是.（2）函数图象的对称轴为，由（1）知，而，当时，函数在上单调递增，当时，，当时，函数在上单调递减，在上单调递增，当时，，当时，函数在上单调递减，当时，，所以函数在上的最小值.23．（2023·河北承德）已知函数.(1)判断函数在区间上的单调性，并用定义证明你的结论；(2)求函数在区间上的最大值与最小值．【答案】(1)函数在上是增函数，证明见解析；(2)最大值为，最小值为.【解析】（1）函数在上是增函数，证明：任取，且，.∵，，∴，即.∴函数在区间上是增函数.（2）由（1）知函数在区间上是增函数，故函数在区间上的最大值为，最小值为.24（2022秋·四川成都·高一石室中学校考期中）已知函数．(1)判断在上的单调性，并用定义加以证明；(2)设函数，，求的值域．【答案】(1)单调递减，证明见解析(2)【解析】（1）在上的单调递减，证明如下：设，则，因为，所以，，，，即，所以，即，所以函数在上的单调递减；（2），设，在上单调递增，当时，，所以，令，，由（1）可知，在上单调递减，又，，所以，所以的值域为.25．（2023·江西吉安）已知，函数．(1)当，请直接写出函数的单调递增区间（不需要证明）；(2)记在区间上的最小值为，求的表达式；(3)对（2）中的，当，时，恒有成立，求实数的取值范围．【答案】(1)(2)(3)【解析】（1）解：当时，，所以，函数的单调递增区间为.（2）解：由题意可知，①当时，函数在上单调递减，在上单调递增，所以，；②当时，函数在上单调递减，则.综上所述，.（3）解：当，时，令，则，①若，当时，函数在上单调递减，在上单调递增，且，，此时，，此时；②若时，当时，函数在上单调递减，此时，，此时.综上所述，.26．（2022秋·安徽合肥·高一合肥市第五中学校考阶段练习）已知的定义域为，对任意都有，当时，，.(1)求；(2)证明：在上是减函数；(3)解不等式：.【答案】(1)，(2)证明见解析(3)【解析】（1），令，则，解得：，令，则，因为，故，解得：；（2）证明：令，且，则，因为当时，，所以，故，所以在上是减函数；（3）令，则，令得：，令得：，令，则，故变形为，故，整理得：所以，即，由（2）得：在上是减函数，所以，解得：，不等式的解集为.1．（2023·甘肃天水）已知，则“”是“函数在内单调递减”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】若函数在内单调递减，当时，在内单调递减，符合题意.当时，的开口向上，对称轴为，则，解得.当时，的开口向下，对称轴为，则，解得.综上所述，若函数在内单调递减，则.所以“”是“函数在内单调递减”的充分不必要条件.故选：A2．（2023春·湖南永州·高一永州市第四中学校考开学考试）定义在的函数满足：对，，且，成立，且，则不等式的解集为（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由且，，则两边同时除以可得，令，则在单调递增，由得且，即解得，故选：D.3．（2023·河南信阳）函数，，对，，使成立，则a的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】C【解析】，当时，，，即值域为.又，则为增函数，当时，值域为.要使对，，使得成立，则，，解得，所以实数的取值范围是.故选：C.4．（2023春·广西防城港·高一统考期中）（多选）设函数是定义在上的函数，并且满足下面三个条件：①对正数，都有；②当时，；③.则下列说法不正确的是（

）A．B．C．不等式的解集为D．若关于x的不等式恒成立，则的取值范围是【答案】ACD【解析】因为对正数，都有，所以，所以，A错误；由已知，，，所以，又，所以，所以，B正确，任取两个实数，且，则，因为，所以，又当时，，所以，所以，故，所以函数在上单调递增，又不等式可化为，，所以，，（此时已经可以判断C错误）所以，，解得，且，故，C错误；不等式可化为，，所以，，当时，，没有意义，不满足要求，（此时已经可以判断D错误），当时，，，由已知，，，当时，，所以，若，则且，由已知，，当时，，又，所以不存在满足条件，所以的取值范围是，D错误，故选：ACD.5．（2023·江苏南京）（多选）已知函数，对于任意，，则（

）A． B．C． D．【答案】ACD【解析】令，故A正确；由已知，①令满足题干要求，则，故B错误；由①可知，令，则，又因为，则，所以，故C正确；因为，所以，又由①，令，则，所以，故D正确.故选：ACD.6．（2023·辽宁抚顺）已知函数的定义域是，且，当时，，，则下列说法正确的是（

）A．B．函数在上是减函数C．D．不等式的解集为【答案】ABD【解析】对于A，因为，令，得，所以，故A正确；对于B，令，得，所以，任取，且，则，因为，所以，即，所以，所以在上是减函数，故B正确；对于C，，故C错误；对于D，因为，，所以，又因为，所以由得，故，因为在上是减函数，所以，解得，所以不等式的解集为，故D正确.故选：ABD．7．（2022秋·湖北武汉·高一华中师大一附中校考期末）（多选）设函数是定义在上的减函数，并且同时满足下列两个条件：①对，都有；②；则下列结论正确的是（

）A．B．不等式的解集为C．D．使关于的不等式有解的所有正数的集合为【答案】ACD【解析】因为对，都有，令，即，则，故选项A正确；令，则，又，所以，故选项C正确；令，则，所以，所以，，可化为，故，所以因为函数在上单调递减，所以，且，解得：，所以的取值范围为，故选项B错误；不等式可化为，故，所以且，，得，此不等式有解，等价于，在的范围内，由基本不等式，当且仅当，即时等号成立，，，故即为所求范围，故选项D正确，故选：ACD．8．（2023·江苏常州·高一华罗庚中学校考期中）已知函数在上单调递减，则实数a的范围为____________．【答案】或【解析】由题仅考虑在上的单调性.①当时，，其在上单调递增，不合题意；②当时，.任取，，则，因，则时，，得在上单调递减.则；③当时，令，得或（舍去）.则，因函数，均在上单调递增，则在上单调递减，则i当时，，则满足题意；ii当时，有.则当时，.综上a的范围是或.故答案为：或9．（2023春·湖北·高一随州市第一中学校联考阶段练习）函数在区间上的最大值为，则________．【答案】#【解析】设，根据对勾函数的性质，可得函数在区间为单调递增函数，当时，函数取得最小值，最小值为，当时，函数取得最大值，最大值为，因为在区间上的最大值为，所以当，即时，可得函数，即，此时方程无解；当且，即时，函数，不符合题意，舍去；当，即时，可得函数，即，解得，综上可得，实数的值为.故答案为：#.10．（2023·江苏苏州）已知函数的值域为，则实数的取值范围是___________.【答案】【解析】对于函数，则，当且仅当时取等号，且函数在上单调递减，在上单调递增，对于函数，令，则，且函数在定义域上单调递减，令，解得或，所以与的两个交点分别为、，则函数与的图象如下所示：当时，当时，当时，显然，此时函数的值域不为，不符合题意；当时，当时，当时，此时，即，此时函数的值域不为，不符合题意；当时，在时，即，此时的值域为，符合题意，当时，当时，当时，此时，即，此时函数的值域为，符合题意；综上可得.故答案为：11．（2023·山东临沂·高一校考期末）已知函数，(1)若对任意的，不等式恒成立，求的取值范围；(2)若对任意，存在，使得，求的取值范围.【答案】(1)或(2)【解析】（1）解：由，即，即对任意的恒成立，当时恒成立，符合题意，当时，问题等价于在上恒成立，因为当且仅当，即时取等号，故符合题意，当时，问题等价于在上恒成立，则，解得或，综上可得或.（2）解：当时，．又．①当，即时，对任意，．所以，此时不等式组无解，②当，即时，对任意，．所以，解得，③当，即时，对任意，．所以此时不等式组无解，④当，即时，对任意，．所以此时不等式组无解．综上，实数的取值范围是．12．（2023·广西钦州·）已知二次函数满足，对任意，都有恒成立．(1)求的值；(2)求函数的解析式；(3)若，对于实数，，记函数在区间上的最小值为，且恒成