4.4 对数函数（精讲）（原卷版）-人教版高中数学精讲精练必修一

4.4对数函数（精讲）一．对数函数的概念1.概念：一般地，函数y＝logax(a>0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，定义域是(0，＋∞).2.概念理解(1)因为对数函数是指数函数变化而来的，对数函数的自变量恰好是指数函数的函数值，所以对数函数的定义域是(0，＋∞)，对数函数的底数a>0，且a≠1.(2)形式上的严格性：在对数函数的定义表达式y＝logax(a>0，且a≠1)中，logax前边的系数必须是1，自变量x在真数的位置上，否则就不是对数函数.二．对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)的图象和性质a>10<a<1图象性质定义域(0，＋∞)值域R过定点过定点(1，0)，即x＝1时，y＝0函数值的变化当0<x<1时，y<0，当x>1时，y>0当0<x<1时，y>0，当x>1时，y<0单调性在(0，＋∞)上是增函数在(0，＋∞)上是减函数对数函数图像两个单调性相同的对数函数，它们的图象在位于直线x＝1右侧的部分是“底大图低”，如图.四.反函数一般地，指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)与对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)互为反函数，它们的定义域和值域正好互换.对数函数的判断1.系数：对数符号前面的系数为12.底数：对数的底数大于0且不等于13.真数：对数的真数仅有自变量x二．定义域1.分母不能为0；2.根指数为偶数时，被开方数非负；3.对数的真数大于0，底数大于0且不为1.三．比较对数值大小1.同底数的利用对数函数的单调性.2.同真数的利用对数函数的图象或用换底公式转化.3.底数和真数都不同，找中间量.4.若底数为同一参数，则根据底数对对数函数单调性的影响，对底数进行分类讨论.四.y＝logaf(x)型函数性质1.定义域：由f(x)>0解得x的取值范围，即为函数的定义域.2.值域：在函数y＝logaf(x)的定义域中确定t＝f(x)的值域，再由y＝logat的单调性确定函数的值域.3.单调性：在定义域内考虑t＝f(x)与y＝logat的单调性，根据同增异减法则判定.(或运用单调性定义判定)4.奇偶性：根据奇偶函数的定义判定.5.最值：在f(x)>0的条件下，确定t＝f(x)的值域，再根据a确定函数y＝logat的单调性，最后确定最值.6.logaf(x)<logag(x)型不等式的解法(1)讨论a与1的关系，确定单调性；(2)转化为f(x)与g(x)的不等关系求解，且注意真数大于零.7.两类对数不等式的解法(1)形如logaf(x)<logag(x)的不等式.①当0<a<1时，可转化为f(x)>g(x)>0；②当a>1时，可转化为0<f(x)<g(x).(2)形如logaf(x)<b的不等式可变形为logaf(x)<b＝logaab.①当0<a<1时，可转化为f(x)>ab；②当a>1时，可转化为0<f(x)<ab.考点一对数函数的概念【例1-1】（2023·全国·高一课堂例题）（多选）下列函数中为对数函数的是（

）A． B．C． D．（是常数）【例1-2】（2023秋·高一课时练习）若函数是对数函数，则a的值是（

）A．1或2 B．1C．2 D．且【一隅三反】1．（2022秋·云南曲靖·高一校考阶段练习）下列函数是对数函数的是（

）A． B． C． D．2．（2023秋·高一课前预习）在中，实数a的取值范围是（

）A． B．C． D．3．（2023秋·高一课时练习）（多选）函数中，实数的取值可能是（）A． B．3C．4 D．5考点二对数函数的定义域【例2-1】（2022秋·广东东莞·高一校联考期中）函数的定义域为（）A． B．C． D．【例2-2】（2023秋·辽宁）已知函数的定义域为，则函数的定义域为.【例2-3】（2023秋·江苏连云港·）若函数f(x)＝lg（x2﹣mx+1）的定义域为R，则实数m的取值范围是．【一隅三反】1．（2023秋·高一课时练习）函数的定义域是（

）A．B．或C．D．或2．（2023秋·宁夏银川）函数的定义域为（

）A． B． C． D．3．（2023春·浙江温州）函数的定义域为（

）A． B． C． D．考点三对数函数图像的辨析【例3-1】（2023·云南保山）函数与（其中）的图象只可能是（

）A．

B．

C．

D．

【例3-2】（2023秋·江西南昌·高一统考期末）若，则函数的图象不经过（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【例3-3】（2023秋·高一课时练习）若函数且的图象恒过定点，则实数，．【一隅三反】1．（2023·全国·高一假期作业）如图（1）（2）（3）（4）中，不属于函数，，的一个是（

）A．（1） B．（2） C．（3） D．（4）2．（2023·广西）若函数的图象不过第四象限，则实数a的取值范围为．3．（2023秋·高一课时练习）（多选）已知，且，则函数与的图象可能是（

）A．

B．

C．

D．

4．（2023秋·新疆塔城·高一乌苏市第一中学校考期末）函数（，且）的图象恒过点．考点四比较对数值的大小【例4-1】（2023秋·高一课时练习）比较下列各组中两个值的大小．①.②.③.④且.【例4-2】（2023秋·河南南阳·高一统考期末）三个实数的大小关系为（

）A． B．C． D．【一隅三反】1．（2023秋·重庆）若，，，则（

）A． B． C． D．2．（2023秋·湖北武汉）已知，，则（

）A． B． C． D．3．（2023秋·广西南宁）设，，，则（

）A． B． C． D．4．（2023秋·宁夏银川）函数是定义在上的偶函数，且在上单调递增，，则（

）A． B． C． D．考点五对数型函数的单调性及应用【例5-1】（2023春·甘肃武威）函数的递减区间为.【例5-2】（2023·河南）设函数在上单调递增，则的取值范围为（

）A． B．C． D．【一隅三反】1.（2023福建）求函数单调(1－eq\r(2)，1)减区间.2.（2023安徽）已知函数在区间(－∞，eq\r(2))上是增函数，求实数a的取值范围.3．（2023秋·江苏南通）设函数在区间上单调递减，则的取值范围是考点六解对数不等式【例6-1】（2023秋·高一课时练习）已知函数，则使得成立的x的取值范围是（

）A． B．C． D．【例6-2】（2023秋·高一课时练习）不等式的解集为．【例6-3】（2023秋·陕西渭南）已知函数是定义在上的偶函数，当时，单调递减，则不等式的解集为.【一隅三反】1．（2023秋·高一课时练习）不等式的解集是.2．（2023秋·高一课时练习）解下列关于x的不等式．(1)；(2)；(3)．考点七对数型函数的值域（最值）【例7-1】（2023秋·高一课时练习）函数在区间上的值域是（）A． B．C． D．【例7-2】．（2023·高一校考课时练习）求函数的值域.【例7-3】（2023秋·江苏南通）已知函数，在上的值域为（

）A． B． C． D．【例7-4】（2023春·重庆北碚）已知函数既没有最大值，也没有最小值，则a的取值范围是（

）A． B．C． D．【一隅三反】1．（2023秋·高一课时练习）函数的值域为（

）A． B．C． D．2．（2023·全国·高一假期作业）函数的值域是．3．（2023·全国·高一专题练习）已知，设，则函数的值域为．4．（2023·全国·高一假期作业）函数的最小值为．5．（2023春·陕西西安·高二西安市铁一中学校考阶段练习）设且，若函数的值域是，则的取值范围是考点八对数函数性质的综合运用【例8】（2023秋·山西长治）已知函数，．(1)求函数的定义域；(2)判断函数的奇偶性，并说明理由；(3)讨论函数的值域．【一隅三反】1．（2023春·内蒙古呼伦贝尔·高一校考阶段练习）设函数，且．（1）求的值；（2）若令，求实数t的取值范围；（3）将表示成以为自变