4.3 对数运算（精讲）（原卷版）-人教版高中数学精讲精练必修一

4.3对数运算（精讲）一.对数的概念1.对数的概念一般地，如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x＝logaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数.2.常用对数与自然对数名称定义符号常用对数以10为底的对数叫做常用对数log10N记为lgN自然对数以e为底的对数叫做自然对数，e是无理数，e＝2.71828…logeN记为lnN二.对数与指数的关系与性质1．对数与指数的关系(1)若a>0，且a≠1，则ax＝N⇒logaN＝x.(2)对数恒等式：alogaN＝N；logaax＝x(a>0，且a≠1，N>0)．2．对数的性质(1)loga1＝0(a>0，且a≠1)．(2)logaa＝1(a>0，且a≠1)．(3)零和负数没有对数．三.对数运算性质1.如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么：(1)loga(M·N)＝logaM＋logaN；(2)logaeq\f(M,N)＝logaM－logaN；(3)logaMn＝nlogaM(n∈R).拓展：logamMn＝eq\f(n,m)logaM(n∈R，m≠0).2.换底公式对数换底公式：logab＝eq\f(logcb,logca)(a>0，且a≠1，b>0，c>0，且c≠1).特别地：（1）logab·logba＝1(a>0，且a≠1，b>0，且b≠1).(2)logab·logbc·logca＝1(a＞0，b＞0，c＞0，且a，b，c≠1)．一．对数与指数的关系示意图．二．指数式与对数式互化1.指数式化为对数式：将指数式的幂作为真数，指数作为对数，底数不变，写出对数式．2.对数式化为指数式：将对数式的真数作为幂，对数作为指数，底数不变，写出指数式．三．利用对数运算性质化简与求值1.基本原则：①正用或逆用公式，对真数进行处理，②选哪种策略化简，取决于问题的实际情况，一般本着便于真数化简的原则进行.2.两种常用的方法：①“收”，将同底的两对数的和(差)收成积(商)的对数；②“拆”，将积(商)的对数拆成同底的两对数的和(差).考点一对数的概念【例1】（2022秋·上海徐汇）若，则的取值范围是.【一隅三反】1．（2022秋·上海浦东新·高一校考期中）若代数式有意义，则实数的取值范围是.2．（2022秋·上海虹口）使得表达式有意义的x范围是．考点二指数式与对数式的互化【例2】（2023秋·高一课时练习）将下列指数式与对数式进行互化．(1)(2)(3).(4)；(5)；(6)；(7).【一隅三反】（2023·江苏）将下列指数式与对数式互化．(1)；(2)；(3)；(4).(5)；(6)；(7)；(8)．(9)；(10)；(11)；(12)．考点三对数运算性质【例3-1】（2023·江苏·）求下列各式中x的值．(1)；(2)；(3).【例3-2】（2023·江苏）求下列各式的值．(1)；(2)；(3)；(4).【例3-3】（2023广东潮州）计算下列各式的值：(1)；(2).(3)；(4)(5)．【一隅三反】1．（2023·广东深圳）计算下列各式的值（或的值）：(1)(2)(3)(4)2．（2023广东湛江）计算下列各式的值．(1)；(2)．(3)；(4)．(5).(6).(7)；(8)(9)；(10)(11),(12),考点四对数与指数的综合应用【例4-1】（2023秋·辽宁葫芦岛·高一校考期末）已知，则（

）A． B． C． D．【例4-2】（2023秋·高一课时练习）已知均为正实数，若，则＝（

）A．或 B．C． D．2或【例4-3】（2023秋·高一课前预习）已知a，b，c均为正数，且，求证：；【一隅三反】1．（2023春·天津）已知，则的值（

）A． B． C．1 D．22．（2023秋·广东）已知，则.3．（2023·全国·高一课堂例题）已知，，则的值为．4．（2023秋·高一课前预习）下列计算恒成立的是A．B．C．D．考点五对数的实际应用【例5】（2023·全国·高一专题练习）17世纪，法国数学家马林·梅森在欧几里得､费马等人研究的基础上，对（为素数）型的数作了大量的研算，他在著作《物理数学随感》中断言：在的素数中，当，3，5，7，13，17，19，31，67，127，257时，是素数，其它都是合数.除了和两个数被后人证明不是素数外，其余都已被证实.人们为了纪念梅森在型素数研究中所做的开创性工作，就把型的素数称为“梅森素数”，记为.几个年来，人类仅发现51个梅森素数，由于这种素数珍奇而迷人，因此被人们答为“数海明珠”.已知第7个梅森素数，第8个梅森素数，则约等于（参考数据：）（

）A．17.1 B．8.4 C．6.6 D．3.6【一隅三反】1．（2023·全国·高一专题练习）要测定古物的年代，可以用放射性碳法：在动植物的体内都含有微量的放射性．动植物死亡后，停止了新陈代谢，不再产生，且原来的会自动衰变．经过5730年，它的残余量只有原始量的一半．现用放射性碳法测得某古物中含量占原来的，推算该古物约是m年前的遗物（参考数据：），则m的值为（

）A．12302 B．13304 C．23004 D．240342．（2023·全国·高一专题练习）二维码与生活息息相关，我们使用的二维码主要是21×21大小的，即441个点，根据0和1的二进制编码，一共有2441种不同的码，假设我们1万年用掉3×1015个二维码，那么大