第1章《一元二次方程》知识讲练(学生版+解析)

2023-2024学年苏科版数学九年级上册章节知识讲练知识点1：一元二次方程的有关概念1.一元二次方程的概念：

通过化简后，只，并且未知数的的，叫做一元二次方程．

2.一元二次方程的一般式：

3.一元二次方程的解：

使叫做一元二次方程的解，也叫做

细节剖析：判断一个方程是否为一元二次方程时，首先观察其是否是，否则一定一元二次方程；其次再将整式方程整理化简使方程的，看是否具备另两个条件：①一个；②未知数的最高次数为对有关一元二次方程定义的题目，要充分考虑定义的三个特点，不要忽视二次项系数不为0．知识点2：一元二次方程的解法1．基本思想一元二次方程2．基本解法细节剖析：解一元二次方程时，根据方程特点，灵活选择解题方法，先考虑能否用知识点3：一元二次方程根的判别式及根与系数的关系1.一元二次方程根的判别式一元二次方程中，叫做一元二次方程的根的判别式，通常用“”来表示，即（1）当△>0时，一元二次方程有的实数根；（2）当△=0时，一元二次方程有的实数根；（3）当△<0时，一元二次方程实数根.2.一元二次方程的根与系数的关系如果一元二次方程的两个实数根是，那么，.注意它的使用条件为a≠0，Δ≥0.细节剖析：1.一元二次方程的根的判别式正反都成立．利用其可以解决以下问题：

(1)不解方程判定方程根的情况；

(2)根据参系数的性质确定根的范围；

(3)解与根有关的证明题．

2.一元二次方程根与系数的应用很多：

(1)已知方程的一根，不解方程求另一根及参数系数；

(2)已知方程，求含有两根对称式的代数式的值及有关未知数系数；

(3)已知方程两根，求作以方程两根或其代数式为根的一元二次方程．知识点4：列一元二次方程解应用题1.列方程解实际问题的三个重要环节：

一是审题；

二是把握问题中的

三是的合理性.

2.利用方程解决实际问题的关键是寻找等量关系.

3.解决应用题的一般步骤：

审(审题目，分清等)；

设(设，有时会用)；

列(根据题目中的，)；

解(解方程，注意分式方程需检验，将所求量表示清晰)；验(检验方程的解能否保证实际问题有意义）；

答(写出答案，切忌答非所问).

4.常见应用题型

数字问题、平均变化率问题、利息问题、利润(销售)问题、形积问题等.细节剖析：列方程解应用题就是先把实际问题抽象为，然后由数学问题的解决而获得对的解决.一．选择题（共10小题，满分20分，每小题2分）1．（2分）（2022秋•江都区期末）如图，在长为28米、宽为10米的矩形空地上修建如图所示的道路（图中的阴影部分）余下部分铺设草坪，要使得草坪的面积为243平方米，则可列方程为（）A．28×10﹣28x﹣10x＝243 B．（28﹣x）（10﹣x）+x2＝243 C．（28﹣x）（10﹣x）＝243 D．2（28﹣x+10﹣x）＝2432．（2分）（2023•锡山区校级四模）若关于x的方程x2﹣x﹣m＝0有实数根，则实数m的取值范围是（）A． B． C． D．3．（2分）（2023•雨花台区校级模拟）方程（x+1）（x﹣2）+1＝0的根的情况，下列结论中正确的是（）A．两个正根 B．两个负根 C．一个正根，一个负根 D．无实数根4．（2分）（2023•无锡）2020年﹣2022年无锡居民人均可支配收入由5.76万元增长至6.58万元，设人均可支配收入的平均增长率为x，下列方程正确的是（）A．5.76（1+x）2＝6.58 B．5.76（1+x2）＝6.58 C．5.76（1+2x）＝6.58 D．5.76x2＝6.585．（2分）（2023•海门市二模）《九章算术》是我国古代数学名著，记载着“折竹抵地”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？”意思是：一根笔直生长的竹子，高一丈（一丈＝10尺），因虫害有病，一阵风吹来将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部3尺远，求折断处离地面的高度是多少尺？设折断处离地面的高度为x尺，则可列方程为（）A．x2+32＝（10﹣x）2 B．x2+32＝102 C．x2+（10﹣x）2＝32 D．（10﹣x）2+32＝x26．（2分）（2023•海门市二模）若实数a，b，c满足a﹣b2﹣2＝0，2a2﹣4b2﹣c＝0，则c的最小值是（）A．6 B．7 C．8 D．97．（2分）（2023•秦淮区二模）下列一元二次方程（a为常数，且a＞0），有两个异号的实数根的是（）A．（x﹣1）2+a＝0 B．（x﹣1）（x﹣a）＝0 C．a（x+1）2＝0 D．x2﹣x﹣a＝08．（2分）（2023•武进区校级模拟）若关于x的一元二次方程（k﹣2）x2+x+k2﹣4＝0有一个根是0，则k的值是（）A．﹣2 B．2 C．0 D．﹣2或29．（2分）（2022秋•江阴市期末）已知关于x的一元二次方程x2+10x+2a+6＝0，其中一根是另一根的4倍，则a的值为（）A．或5 B．或﹣5 C． D．510．（2分）（2023春•扬州月考）已知一元二次方程a（x+m）2+n＝0（a≠0）的两根分别为﹣3，1，则方程a（x+m﹣2）2+n＝0（a≠0）的两根分别为（）A．1，5 B．﹣1，3 C．﹣3，1 D．﹣1，5二．填空题（共10小题，满分20分，每小题2分）11．（2分）（2023•高邮市模拟）设x1、x2是方程x2+mx﹣2＝0的两个根，且x1+x2＝2x1x2，则m＝．12．（2分）（2023•淮安模拟）已知关于x的方程x2﹣（2m﹣1）x+m2＝0的两实数根为x1，x2，若（x1+1）（x2+1）＝3，则m的值为．13．（2分）（2023•邗江区二模）《田亩比类乘除捷法》是我国古代数学家杨辉的著作，其中有一个数学问题：“直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步，问长及阔各几步”．意思是：一块矩形田地的面积为864平方步，只知道它的宽比长少12步，问它的长与宽各多少步？利用方程思想，设宽为x步，则依题意列方程为．14．（2分）（2023•海陵区校级二模）对于实数a，b，定义运算“*”：，例如4*2，因为4＞2，所以4*2＝42﹣4×2＝8．若a，b是一元二次方程x2﹣2x﹣3＝0的两个根，则a*b＝．15．（2分）（2022秋•靖江市期末）已知关于x的一元二次方程x2+（2m﹣1）x+m2＝0有两个实数根x1和x2，且x1+x2+x1x2＝1，则m的值为．16．（2分）（2023•建邺区二模）设x1，x2是关于x的方程x2+6x+m＝0的两个根，且x1＝2x2，则m＝．17．（2分）（2022秋•宿城区期末）如果一元二次方程的两根相差1，那么该方程成为“差1方程”．例如x2+x＝0是“差1方程”．若关于x的方程ax2+bx+1＝0（a，b是常数，a＞0）是“差1方程”设t＝10a﹣b2，t的最大值为．18．（2分）（2023•靖江市模拟）已知x、y为实数，且满足x2﹣xy+y2＝2，记W＝x2+xy+y2的最大值为M，最小值为m，则M+m＝．19．（2分）（2020秋•常州期中）如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0有两个实数根，且其中一个根为另外一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”，以下关于倍根方程的说法，正确的有（填序号）①方程x2﹣x﹣2＝0是倍根方程；②若（x﹣2）（mx+n）＝0是倍根方程：则4m2+5mn+n2＝0；③若p，q满足pq＝2，则关于x的方程px2+3x+q＝0是倍根方程；④若方程以ax2+bx+c＝0是倍根方程，则必有2b2＝9ac．20．（2分）（2019秋•滨湖区期末）已知关于x的方程a（x+m）2+b＝0（a、b、m为常数，a≠0）的解是x1＝2，x2＝﹣1，那么方程a（x+m+2）2+b＝0的解．三．解答题（共8小题，满分60分）21．（6分）（2023春•仪征市期末）解方程：（1）；（2）x2+3x﹣2＝0．（用配方法）22．（6分）（2023•姜堰区二模）如图，用总长48m的篱笆依墙（墙足够长）围成如图所示的①②③三块矩形区域，且三块区域面积相等．（1）的值为；的值为；（2）当矩形ABCD的面积为108m2时，求BC的长．23．（8分）（2023•姜堰区一模）某草莓采摘园收费信息如下表：成人票儿童票带出草莓价格不超过10人超过10人20元/人30元/斤30元/人每增加1人，人均票价下降1元，但不低于儿童票价.（1）某社团共32人去该采摘园进行综合实践活动，购买了10张儿童票，其余均为成人票，总费用不超过1240元，求本次活动他们最多共带出草莓多少斤？（2）某公司员工（均为成人）在该草莓采摘园组织团建活动，共支付票价391元，求这次参加团建的共多少人？24．（8分）（2023春•仪征市期末）端午节前夕，某超市从厂家分两次购进蛋黄粽子、红豆粽子，两次进货时，两种粽子的进价不变．第一次购进蛋黄粽子60袋和红豆粽子90袋，总费用为4800元；第二次购进蛋黄粽子40袋和红豆粽子80袋，总费用为3600元．（1）求蛋黄粽子、红豆粽子每袋的进价各是多少元？（2）当蛋黄粽子销售价为每袋70元时，每天可售出20袋，为了促销，该超市决定对蛋黄粽子进行降价销售，经市场调研，若每袋的销售价每降低1元，则每天的销售量将增加5袋．当蛋黄粽子每袋的销售价为多少元时，每天售出蛋黄粽子所获得的利润为220元？25．（8分）（2023•广陵区校级一模）已知关于x的方程x2﹣（k+1）x+2k﹣2＝0．（1）求证：无论k取何值，此方程总有实数根；（2）若等腰△ABC的三边a，b，c中a＝3，另两边b、c恰好是这个方程的两个根，求k值．26．（8分）（2023•海陵区一模）2022年北京冬奥会吉祥物“冰墩墩”意喻敦厚、健康、活泼、可爱，象征着冬奥会运动员强壮的身体、坚韧的意志和鼓舞人心的奥林匹克精神．随着北京冬奥会开幕日的临近，某特许零售店“冰墩墩”的销售日益火爆．据调查“冰墩墩”每盒进价8元，售价12元．（1）商店老板计划首月销售330盒，经过首月试销售，老板发现单盒“冰墩墩”售价每增长1元，月销量就将减少20盒．若老板希望“冰墩墩”月销量不低于270盒，则每盒售价最高为多少元？（2）实际销售时，售价比（1）中的最高售价减少了2a元，月销量比（1）中最低销量270盒增加了60a盒，于是月销售利润达到了1650元，求a的值．27．（8分）（2023•滨海县模拟）某服装销售商用48000元购进了一批时尚新款服装，通过网络平台进行销售，由于行情较好，第二次又用100000元购进了同种服装，第二次购进数量是第一次购进数量的2倍，每件的进价多了10元．（1）该销售商第一次购进了这种服装多少件，每件进价多少元？（2）该销售商卖出第一批服装后，统计发现：若按每件300元销售，每天平均能卖出80件，销售价每降低10元，则多卖出20件．依此行情，卖第二批服装时，让利促销，并使一天的利润恰好为3600元，销售价应为多少？28．（8分）（2022秋•灌南县校级月考）某水果商场经销一种高档水果，原价每千克50元，连续两次降价后每千克32元，若每次下降的百分率相同（1）求每次下降的百分率；（2）若每千克盈利10元，每天可售出500千克，经市场调查发现，在进货价不变的情况下，商场决定采取适当的涨价措施，若每千克涨价1元，日销售量将减少20千克，现该商场要保证每天盈利6000元，且要尽快减少库存，那么每千克应涨价多少元？

2023-2024学年苏科版数学九年级上册章节知识讲练知识点1：一元二次方程的有关概念1.一元二次方程的概念：

通过化简后，只含有一个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是2(二次)的整式方程，叫做一元二次方程．

2.一元二次方程的一般式：

3.一元二次方程的解：

使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根.

细节剖析：判断一个方程是否为一元二次方程时，首先观察其是否是整式方程，否则一定不是一元二次方程；其次再将整式方程整理化简使方程的右边为0，看是否具备另两个条件：①一个未知数；②未知数的最高次数为2.对有关一元二次方程定义的题目，要充分考虑定义的三个特点，不要忽视二次项系数不为0．知识点2：一元二次方程的解法1．基本思想一元二次方程一元一次方程2．基本解法直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法．细节剖析：解一元二次方程时，根据方程特点，灵活选择解题方法，先考虑能否用直接开平方法和因式分解

法，再考虑用公式法．知识点3：一元二次方程根的判别式及根与系数的关系1.一元二次方程根的判别式一元二次方程中，叫做一元二次方程的根的判别式，通常用“”来表示，即（1）当△>0时，一元二次方程有2个不相等的实数根；（2）当△=0时，一元二次方程有2个相等的实数根；（3）当△<0时，一元二次方程没有实数根.2.一元二次方程的根与系数的关系如果一元二次方程的两个实数根是，那么，.注意它的使用条件为a≠0，Δ≥0.细节剖析：1.一元二次方程的根的判别式正反都成立．利用其可以解决以下问题：

(1)不解方程判定方程根的情况；

(2)根据参系数的性质确定根的范围；

(3)解与根有关的证明题．

2.一元二次方程根与系数的应用很多：

(1)已知方程的一根，不解方程求另一根及参数系数；

(2)已知方程，求含有两根对称式的代数式的值及有关未知数系数；

(3)已知方程两根，求作以方程两根或其代数式为根的一元二次方程．知识点4：列一元二次方程解应用题1.列方程解实际问题的三个重要环节：

一是整体地、系统地审题；

二是把握问题中的等量关系；

三是正确求解方程并检验解的合理性.

2.利用方程解决实际问题的关键是寻找等量关系.

3.解决应用题的一般步骤：

审(审题目，分清已知量、未知量、等量关系等)；

设(设未知数，有时会用未知数表示相关的量)；

列(根据题目中的等量关系，列出方程)；

解(解方程，注意分式方程需检验，将所求量表示清晰)；验(检验方程的解能否保证实际问题有意义）；

答(写出答案，切忌答非所问).

4.常见应用题型

数字问题、平均变化率问题、利息问题、利润(销售)问题、形积问题等.细节剖析：列方程解应用题就是先把实际问题抽象为数学问题（列方程），然后由数学问题的解决而获得对实际问题的解决.一．选择题（共10小题，满分20分，每小题2分）1．（2分）（2022秋•江都区期末）如图，在长为28米、宽为10米的矩形空地上修建如图所示的道路（图中的阴影部分）余下部分铺设草坪，要使得草坪的面积为243平方米，则可列方程为（）A．28×10﹣28x﹣10x＝243 B．（28﹣x）（10﹣x）+x2＝243 C．（28﹣x）（10﹣x）＝243 D．2（28﹣x+10﹣x）＝243解：∵道路的宽为x米，∴铺设草坪的面积等于长为（28﹣x）米、宽（10﹣x）米的矩形面积．∵草坪的面积为243平方米，∴（28﹣x）（10﹣x）＝243．故选：C．2．（2分）（2023•锡山区校级四模）若关于x的方程x2﹣x﹣m＝0有实数根，则实数m的取值范围是（）A． B． C． D．解：∵关于x的方程x2﹣x﹣m＝0有实数根，∴Δ＝（﹣1）2﹣4（﹣m）＝1+4m≥0，解得，故选：C．3．（2分）（2023•雨花台区校级模拟）方程（x+1）（x﹣2）+1＝0的根的情况，下列结论中正确的是（）A．两个正根 B．两个负根 C．一个正根，一个负根 D．无实数根解：方程整理得：x2﹣x﹣1＝0，∵Δ＝（﹣1）2﹣4×1×（﹣1）＝1+4＝5＞0，∴方程有两个不相等的实数根，设为a，b，∵a+b＝1，ab＝﹣1，∴方程一个正根，一个负根，且正根绝对值大于负根绝对值．故选：C．4．（2分）（2023•无锡）2020年﹣2022年无锡居民人均可支配收入由5.76万元增长至6.58万元，设人均可支配收入的平均增长率为x，下列方程正确的是（）A．5.76（1+x）2＝6.58 B．5.76（1+x2）＝6.58 C．5.76（1+2x）＝6.58 D．5.76x2＝6.58解：由题意得：5.76（1+x）2＝6.58．故选：A．5．（2分）（2023•海门市二模）《九章算术》是我国古代数学名著，记载着“折竹抵地”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？”意思是：一根笔直生长的竹子，高一丈（一丈＝10尺），因虫害有病，一阵风吹来将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部3尺远，求折断处离地面的高度是多少尺？设折断处离地面的高度为x尺，则可列方程为（）A．x2+32＝（10﹣x）2 B．x2+32＝102 C．x2+（10﹣x）2＝32 D．（10﹣x）2+32＝x2解：设竹子折断处离地面x尺，则斜边为（10﹣x）尺，根据勾股定理得：x2+32＝（10﹣x）2．故选：A．6．（2分）（2023•海门市二模）若实数a，b，c满足a﹣b2﹣2＝0，2a2﹣4b2﹣c＝0，则c的最小值是（）A．6 B．7 C．8 D．9解：∵a﹣b2﹣2＝0，∴b2＝a﹣2≥0，∴a≥2，∵2a2﹣4b2﹣c＝0，∴2a2﹣4（a﹣2）﹣c＝0，∴c＝2a2﹣4a+8＝2（a﹣1）2+6，当a＝2时，c的最小值是2×（2﹣1）2+6＝2+6＝8．故选：C．7．（2分）（2023•秦淮区二模）下列一元二次方程（a为常数，且a＞0），有两个异号的实数根的是（）A．（x﹣1）2+a＝0 B．（x﹣1）（x﹣a）＝0 C．a（x+1）2＝0 D．x2﹣x﹣a＝0解：A、∵（x﹣1）2+a＝0，∴x2﹣2x+1+a＝0∵Δ＝（﹣2）2﹣4×1×（1+a）＝﹣4a＜0，∴该方程没有实数根，B、解方程（x﹣1）（x﹣a）＝0，得x1＝1，x2＝a＞0，∴该方程有两个同号的实数根；C、由a（x+1）2＝0，解得x1＝x2＝﹣1，∴该方程有两个同号的实数根；D、∵x2﹣x﹣a＝0，∴Δ＝（﹣1）2﹣4×1×（﹣a）＝1+4a＞0，∴该方程有两个不相等的实数根，∵方程x2﹣x﹣a＝0的两个根的积温﹣a＜0，∴该方程有两个异号的实数根；故选：D．8．（2分）（2023•武进区校级模拟）若关于x的一元二次方程（k﹣2）x2+x+k2﹣4＝0有一个根是0，则k的值是（）A．﹣2 B．2 C．0 D．﹣2或2解：把x＝0代入（k﹣2）x2+x+k2﹣4＝0得：k2﹣4＝0，解得k1＝2，k2＝﹣2，而k﹣2≠0，所以k＝﹣2．故选：A．9．（2分）（2022秋•江阴市期末）已知关于x的一元二次方程x2+10x+2a+6＝0，其中一根是另一根的4倍，则a的值为（）A．或5 B．或﹣5 C． D．5解：设x1、x2关于x的一元二次方程x2+10x+2a+6＝0，x1＝m，x2＝4m，∴，解得：a＝5．∴a的值为5．故选：D．10．（2分）（2023春•扬州月考）已知一元二次方程a（x+m）2+n＝0（a≠0）的两根分别为﹣3，1，则方程a（x+m﹣2）2+n＝0（a≠0）的两根分别为（）A．1，5 B．﹣1，3 C．﹣3，1 D．﹣1，5解：∵一元二次方程a（x+m）2+n＝0（a≠0）的两根分别为﹣3，1，∴方程a（x+m﹣2）2+n＝0（a≠0）中x﹣2＝﹣3或x﹣2＝1，解得：x＝﹣1或3，即方程a（x+m﹣2）2+n＝0（a≠0）的两根分别为﹣1和3，故选：B．二．填空题（共10小题，满分20分，每小题2分）11．（2分）（2023•高邮市模拟）设x1、x2是方程x2+mx﹣2＝0的两个根，且x1+x2＝2x1x2，则m＝4．解：∵x1、x2是方程x2+mx﹣2＝0的两个根，∴x1+x2＝﹣m，x1x2＝﹣2．∵x1+x2＝2x1x2，∴﹣m＝2×（﹣2），解得m＝4．故答案为：4．12．（2分）（2023•淮安模拟）已知关于x的方程x2﹣（2m﹣1）x+m2＝0的两实数根为x1，x2，若（x1+1）（x2+1）＝3，则m的值为﹣3．解：根据题意得Δ＝[﹣（2m﹣1）]2﹣4m2≥0，解得m≤，∵方程的两实数根为x1，x2，∴x1+x2＝2m﹣1，x1x2＝m2，∵（x1+1）（x2+1）＝3，∴x1x2+（x1+x2）+1＝3，即m2+2m﹣1+1＝3，整理得m2+2m﹣3＝0，解得m1＝﹣3，m2＝1，∵m≤，∴m＝﹣3．故答案为：﹣3．13．（2分）（2023•邗江区二模）《田亩比类乘除捷法》是我国古代数学家杨辉的著作，其中有一个数学问题：“直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步，问长及阔各几步”．意思是：一块矩形田地的面积为864平方步，只知道它的宽比长少12步，问它的长与宽各多少步？利用方程思想，设宽为x步，则依题意列方程为x（x+12）＝864．解：∵矩形的宽为x（步），且宽比长少12（步），∴矩形的长为（x+12）（步）．依题意，得：x（x+12）＝864．故答案为：x（x+12）＝864．14．（2分）（2023•海陵区校级二模）对于实数a，b，定义运算“*”：，例如4*2，因为4＞2，所以4*2＝42﹣4×2＝8．若a，b是一元二次方程x2﹣2x﹣3＝0的两个根，则a*b＝12或﹣4：．解：x2﹣2x﹣3＝0，解得：x＝3或x＝﹣1，当a＝3，b＝﹣1时，则a*b＝a2﹣a•b＝32﹣3×（﹣1）＝12，当a＝﹣1，b＝3时，则a*b＝a•b﹣a2＝﹣1×3﹣（﹣1）2＝﹣4，故答案为：12或﹣4．15．（2分）（2022秋•靖江市期末）已知关于x的一元二次方程x2+（2m﹣1）x+m2＝0有两个实数根x1和x2，且x1+x2+x1x2＝1，则m的值为0．解：∵一元二次方程x2+（2m﹣1）x+m2＝0有两个实数根x1和x2，∴，且Δ＝（2m﹣1）2﹣4m2≥0，∴，∵x1+x2+x1x2＝1，∴﹣（2m﹣1）+m2＝1，解得：m＝0或2（舍去），∴m的值为0．故答案为：0．16．（2分）（2023•建邺区二模）设x1，x2是关于x的方程x2+6x+m＝0的两个根，且x1＝2x2，则m＝8．解：根据题意，知x1+x2＝3x2＝﹣6，则x2＝﹣2，将其代入关于x的方程x2+6x+m＝0，得（﹣2）2+6×（﹣2）+m＝0．解得m＝8．故答案为：8．17．（2分）（2022秋•宿城区期末）如果一元二次方程的两根相差1，那么该方程成为“差1方程”．例如x2+x＝0是“差1方程”．若关于x的方程ax2+bx+1＝0（a，b是常数，a＞0）是“差1方程”设t＝10a﹣b2，t的最大值为9．解：由题可得：Δ＝b2﹣4a×1＝b2﹣4a≥0，∴解方程得，∵关于x的方程ax2+bx+1＝0（a、b是常数，a＞0）是“差1方程”，∴，∴b2＝a2+4a，∵t＝10a﹣b2，∴t＝6a﹣a2＝﹣（a﹣3）2+9，∵（a﹣3）2≥0，∴a＝3时，t的最大值为9．故答案为：9．18．（2分）（2023•靖江市模拟）已知x、y为实数，且满足x2﹣xy+y2＝2，记W＝x2+xy+y2的最大值为M，最小值为m，则M+m＝6．解：∵x2﹣xy+y2＝2，∴x2+y2＝xy+2，xy＝x2+y2﹣2，∴W＝x2+xy+y2＝2xy+2，∵3xy＝2xy+（x2+y2﹣2）＝（x+y）2﹣2≥﹣2，当且仅当x＝﹣y，即x＝，y＝﹣或x＝﹣，y＝时等号成立．∴xy的最小值为﹣，W＝x2+xy+y2＝2xy+2的最小值为，即m＝．∵xy＝2xy﹣（x2+y2﹣2）＝2﹣（x﹣y）2≤2，当且仅当x＝y，即x＝，y＝或x＝﹣，y＝﹣时等号成立．∴xy的最大值为2，W＝x2+xy+y2＝2xy+2的最大值为6，即M＝6，∴M+m＝+6＝6．故答案为：6．19．（2分）（2020秋•常州期中）如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0有两个实数根，且其中一个根为另外一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”，以下关于倍根方程的说法，正确的有②③④（填序号）①方程x2﹣x﹣2＝0是倍根方程；②若（x﹣2）（mx+n）＝0是倍根方程：则4m2+5mn+n2＝0；③若p，q满足pq＝2，则关于x的方程px2+3x+q＝0是倍根方程；④若方程以ax2+bx+c＝0是倍根方程，则必有2b2＝9ac．解：①解方程x2﹣x﹣2＝0得，x1＝2，x2＝﹣1，得，x1≠2x2，∴方程x2﹣x﹣2＝0不是倍根方程；故①不正确；②若（x﹣2）（mx+n）＝0是倍根方程，x1＝2，因此x2＝1或x2＝4，当x2＝1时，m+n＝0，当x2＝4时，4m+n＝0，∴4m2+5mn+n2＝（m+n）（4m+n）＝0，故②正确；③∵pq＝2，则：px2+3x+q＝（px+1）（x+q）＝0，∴x1＝﹣，x2＝﹣q，∴x2＝﹣q＝﹣＝2x1，因此是倍根方程，故③正确；④方程ax2+bx+c＝0的根为：x1＝，x2＝，若x1＝2x2，则，＝×2，即，﹣×2＝0，∴＝0，∴＝0，∴3＝﹣b∴9（b2﹣4ac）＝b2，∴2b2＝9ac．若2x1＝x2时，则，×2＝，即，则，×2﹣＝0，∴＝0，∴﹣b+3＝0，∴b＝3，∴b2＝9（b2﹣4ac），∴2b2＝9ac．故④正确，故答案为：②③④20．（2分）（2019秋•滨湖区期末）已知关于x的方程a（x+m）2+b＝0（a、b、m为常数，a≠0）的解是x1＝2，x2＝﹣1，那么方程a（x+m+2）2+b＝0的解x3＝0，x4＝﹣3．解：∵关于x的方程a（x+m）2+b＝0的解是x1＝2，x2＝﹣1，（a，m，b均为常数，a≠0），∴方程a（x+m+2）2+b＝0变形为a[（x+2）+m]2+b＝0，即此方程中x+2＝2或x+2＝﹣1，解得x＝0或x＝﹣3．故答案为：x3＝0，x4＝﹣3．三．解答题（共8小题，满分60分）21．（6分）（2023春•仪征市期末）解方程：（1）；（2）x2+3x﹣2＝0．（用配方法）解：（1），（x+1）2﹣4＝x2﹣1，解得x＝1，经检验，x＝1时，x﹣1＝1﹣1＝0，故是增根，故原方程无解；（2）x2+3x﹣2＝0，x2+3x＝2，x2+3x+＝2+，即（x+）2＝，∴x+＝±，∴x1＝﹣﹣，x2＝﹣+．22．（6分）（2023•姜堰区二模）如图，用总长48m的篱笆依墙（墙足够长）围成如图所示的①②③三块矩形区域，且三块区域面积相等．（1）的值为2；的值为2；（2）当矩形ABCD的面积为108m2时，求BC的长．解：（1）∵矩形①和矩形②的面积相等，∴AH＝DH，又∵BC＝AH+DH＝2AH，∴＝＝2；∵矩形①和矩形③的面积相等，且BC＝2AH，∴AE＝2EB，∴＝＝2．故答案为：2，2；（2）设EB＝xm，则AE＝2xm，BC＝＝（24﹣4x）m，根据题意得：（2x+x）（24﹣4x）＝108，整理得：x2﹣6x+9＝0，解得：x1＝x2＝3，∴24﹣4x＝24﹣4×3＝12．答：BC的长为12m．23．（8分）（2023•姜堰区一模）某草莓采摘园收费信息如下表：成人票儿童票带出草莓价格不超过10人超过10人20元/人30元/斤30元/人每增加1人，人均票价下降1元，但不低于儿童票价.（1）某社团共32人去该采摘园进行综合实践活动，购买了10张儿童票，其余均为成人票，总费用不超过1240元，求本次活动他们最多共带出草莓多少斤？（2）某公司员工（均为成人）在该草莓采摘园组织团建活动，共支付票价391元，求这次参加团建的共多少人？解：（1）设本次活动他们共带出草莓x斤，由题意知成人有22人，∵30﹣12＝18＜20，∴成人与儿童票价相同，∴20×10+22×20+30x≤1240，∴x≤20，∴x的最大整数为20．答：本次活动他们共带出草莓20斤；（2）设这次参加团建的共y人，由题意得，y[30﹣（y﹣10）]＝391．∴y1＝17，y2＝23，当y＝23时，40﹣y＝17＜20，不合题意，舍去．答：这次参加团建的共17人．24．（8分）（2023春•仪征市期末）端午节前夕，某超市从厂家分两次购进蛋黄粽子、红豆粽子，两次进货时，两种粽子的进价不变．第一次购进蛋黄粽子60袋和红豆粽子90袋，总费用为4800元；第二次购进蛋黄粽子40袋和红豆粽子80袋，总费用为3600元．（1）求蛋黄粽子、红豆粽子每袋的进价各是多少元？（2）当蛋黄粽子销售价为每袋70元时，每天可售出20袋，为了促销，该超市决定对蛋黄粽子进行降价销售，经市场调研，若每袋的销售价每降低1元，则每天的销售量将增加5袋．当蛋黄粽子每袋的销售价为多少元时，每天售出蛋黄粽子所获得的利润为220元？解：（1）设蛋黄粽子的进价是x元/袋，红豆粽子的进价是y元/袋，根据题意得：，解得：．答：蛋黄粽子的进价是50元/袋，红豆粽子的进价是20元/袋；（2）设蛋黄粽子的销售价格为m元/袋，则每袋的销售利润为（m﹣50）元，每天可售出20+5（70﹣m）＝（370﹣5m）袋，根据题意得：（m﹣50）（370﹣5m）＝220，解得：m2﹣124m+3744＝0，解得：m1＝52，m2＝72（不符合题意，舍去）．答：当蛋黄粽子每袋的销售价为52元时，每天售出蛋黄粽子所获得的利润为220元．25．（8分）（2023•广陵区校级一模）已知关于x的方程x2﹣（k+1）x+2k﹣2＝0．（1）求证：无论k取何值，此方程总有实数根；（2）若等腰△ABC的三边a，b，c中a＝3，另两边b、c恰好是这个方程的两个根，求k值．（1）证明：∵Δ＝[﹣（k+