第5讲专题二构造全等三角形的常见辅助线(原卷版+解析)

专题二构造全等三角形的常见辅助线（原卷版）专题解读：在几何题目中，我们常常需要作辅助线构造全等三角形，例全等三角形的性质解决与线段或角有关的问题，此类题目难度较大，综合性强，常见的构造方法有“倍长中线”“截长补短”等类型一倍长中线法构造全等三角形方法点拨：已知线段中的或三角形的中线，将中线延长，使所得线段长度为原来的2倍。构造8字型全等三角形解决问题。典例1△ABC中，AD为BC边上的中线，已知AB＝5，AC＝3，求线段AD的长的取值范围．针对训练1．（2020秋•大安市期末）【阅读理解】课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图1，△ABC中，若AB＝8，AC＝6，求BC边上的中线AD的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD到点E，使DE＝AD，请根据小明的方法思考：（1）由已知和作图能得到△ADC≌△EDB的理由是A．SSSB．SASC．AASD．HL（2）求得AD的取值范围是A．6＜AD＜8B．6≤AD≤8C．1＜AD＜7D．1≤AD≤7【方法感悟】解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中．【问题解决】（3）如图2，已知：CD＝AB，∠BDA＝∠BAD，AE是△ABD的中线，求证：∠C＝∠BAE．

类型二截长补短法构造全等三角形方法点拨：用于解决“线段和差”问题。当条件或求证的问题是“线段和差”时，通过在长边上截取一条与某一短边相同的线段，或者延长短边使其等于长边，从而获得证明全等所需的“边相等”的条件，一般需要证明两次全等。典例2如图，在△ABC中，∠B＝60°，△ABC的角平分线AD，CE相交于点O．（1）∠AOC＝；（2）求证：AE+CD＝AC．针对训练4．（2021秋•东莞市校级期末）点E是BC的中点，DE平分∠ADC．（1）如图1，若∠B＝∠C＝90°，求证：AE平分∠DAB；（2）如图1，若∠B＝∠C＝90°，∠CED＝35°，求∠EAB的度数；（3）如图2，若DE⊥AE，求证：AD＝AB+CD．

类型三角平分线与垂线，延长构造全等三角形方法点拨：此类题目的特点是已知角平分线和与角平分线垂直的一条线，将垂线和角的一条边同时延长交于一点，就可以利用“ASA”判定三角形全等典例3如图，△AOB中，OA＝OB，∠AOB＝90゜，BD平分∠ABO交OA于D，AE⊥BD于E．求证：BD＝2AE．针对训练1．（2021秋•南开区期中）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点D是AC上一点，过点A作BD的垂线交BD的延长线于点E，且BD＝2AE．求证：（1）∠EAC＝∠DBC；（2）BD平分∠ABC．

专题二构造全等三角形的常见辅助线（解析版）专题解读：在几何题目中，我们常常需要作辅助线构造全等三角形，例全等三角形的性质解决与线段或角有关的问题，此类题目难度较大，综合性强，常见的构造方法有“倍长中线”“截长补短”等类型一倍长中线法构造全等三角形方法点拨：已知线段中的或三角形的中线，将中线延长，使所得线段长度为原来的2倍。构造8字型全等三角形解决问题。典例1△ABC中，AD为BC边上的中线，已知AB＝5，AC＝3，求线段AD的长的取值范围．【思路引领】延长AD到E，使AD＝DE，连接BE，证△ADC≌△EDB，推出EB＝AC，根据三角形的三边关系定理求出即可．解：延长AD到E，使AD＝DE，连接BE，∵AD是△ABC的中线，∴BD＝CD，∵BD＝CD，∠ADC＝∠BDE，AD＝DE，∴△ADC≌△EDB，∴EB＝AC，根据三角形的三边关系定理：5﹣3＜AE＜5+3，∴1＜AD＜4．故线段AD的长的取值范围为：1＜AD＜4．【点睛】本题主要考查对全等三角形的性质和判定，三角形的三边关系定理等知识点的理解和掌握，能推出5﹣3＜AE＜5+3是解此题的关键．针对训练1．（2020秋•大安市期末）【阅读理解】课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图1，△ABC中，若AB＝8，AC＝6，求BC边上的中线AD的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD到点E，使DE＝AD，请根据小明的方法思考：（1）由已知和作图能得到△ADC≌△EDB的理由是A．SSSB．SASC．AASD．HL（2）求得AD的取值范围是A．6＜AD＜8B．6≤AD≤8C．1＜AD＜7D．1≤AD≤7【方法感悟】解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中．【问题解决】（3）如图2，已知：CD＝AB，∠BDA＝∠BAD，AE是△ABD的中线，求证：∠C＝∠BAE．【思路引领】（1）根据AD＝DE，∠ADC＝∠BDE，BD＝DC推出△ADC和△EDB全等即可；（2）根据全等得出BE＝AC＝6，AE＝2AD，由三角形三边关系定理得出8﹣6＜2AD＜8+6，求出即可；（3）延长AE到F，使EF＝AE，连接DF，可证明△ABE≌△FDE，则∠BAE＝∠EFD，∠B＝∠EDF，再由外角的性质得出∠ADF＝∠ADC，则△ADF≌△ADC（SAS），则∠AFD＝∠C，从而得出∠C＝∠BAE．（1）解：∵在△ADC和△EDB中，AD=DE∠ADC=∠BDE∴△ADC≌△EDB（SAS），故答案为：B；（2）解：∵由（1）知：△ADC≌△EDB，∴BE＝AC＝6，AE＝2AD，∵在△ABE中，AB＝8，由三角形三边关系定理得：8﹣6＜2AD＜8+6，∴1＜AD＜7，故答案为：C．（3）证明：如图，延长AE到F，使EF＝AE，连接DF，∵AE是△ABD的中线∴BE＝ED，在△ABE与△FDE中，BE=DE∠AEB=∠DEF∴△ABE≌△FDE（SAS），∴AB＝DF，∠BAE＝∠EFD，∵∠ADB是△ADC的外角，∴∠DAC+∠ACD＝∠ADB＝∠BAD，∴∠BAE+∠EAD＝∠BAD，∠BAE＝∠EFD，∴∠EFD+∠EAD＝∠DAC+∠ACD，∴∠ADF＝∠ADC，∵AB＝DC，∴DF＝DC，在△ADF与△ADC中，AD=AD∠ADF=∠ADC∴△ADF≌△ADC（SAS）∴∠C＝∠AFD＝∠BAE．【点睛】此题是三角形综合题，主要考查了三角形的中线，三角形的三边关系定理，等腰三角形性质和判定，全等三角形的性质和判定等知识点，主要考查学生运用定理进行推理的能力．类型二截长补短法构造全等三角形方法点拨：用于解决“线段和差”问题。当条件或求证的问题是“线段和差”时，通过在长边上截取一条与某一短边相同的线段，或者延长短边使其等于长边，从而获得证明全等所需的“边相等”的条件，一般需要证明两次全等。典例2如图，在△ABC中，∠B＝60°，△ABC的角平分线AD，CE相交于点O．（1）∠AOC＝；（2）求证：AE+CD＝AC．【答案】（1）120°；（2）见解析．【思路引领】（1）根据三角形的内角和得到∠BAC+∠BCA＝180°﹣∠B＝180°﹣60°＝120°．根据角平分线定义得到∠OAC＝∠OAB=12∠BAC，∠OCD＝∠OCA=1（2）在AC上截取AF＝AE，连接OF，如图，根据全等三角形的判定和性质即可得到结论．（1）解：在△ABC中，∠B＝60°，∴∠BAC+∠BCA＝180°﹣∠B＝180°﹣60°＝120°．∵AD平分∠BAC，CE平分∠ACB，∴∠OAC＝∠OAB=12∠BAC，∠OCD＝∠OCA=1在△OAC中，∠AOC＝180°﹣（∠OAC+∠OCA）＝180°−12（∠BAC+∠ACB）＝180°故答案为：120°；（2）∵∠AOC＝120°，∴∠AOE＝180°﹣∠AOC＝180°﹣120°＝60°．在AC上截取AF＝AE，连接OF，如图，在△AOE和△AOF中，AE=AF∠OAE=∠OAF∴△AOE≌△AOF（SAS），∴∠AOE＝∠AOF，∴∠AOF＝60°．∴∠COF＝∠AOC﹣∠AOF＝120°﹣60°＝60°．又∠COD＝60°，∴∠COD＝∠COF．在△COD和△COF中，∠COD=∠COFOC=OC∴△COD≌△COF（ASA），∴CD＝CF．又∵AF＝AE，∴AC＝AF+CF＝AE+CD，即AE+CD＝AC．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质；解答此题的关键是作出辅助线，构造全等三角形，把相关的线段划到同一个三角形中找关系．针对训练4．（2021秋•东莞市校级期末）点E是BC的中点，DE平分∠ADC．（1）如图1，若∠B＝∠C＝90°，求证：AE平分∠DAB；（2）如图1，若∠B＝∠C＝90°，∠CED＝35°，求∠EAB的度数；（3）如图2，若DE⊥AE，求证：AD＝AB+CD．【答案】（1）证明见解析；（2）35°；（3）证明见解析．【思路引领】（1）延长DE交AB的延长线于F，判定△CDE≌△BFE（AAS），即可得出DE＝FE，再判定等腰三角形ADF，即可得到结论；（2）根据平行线的判定和性质解答即可；（3）在DA上截取DF＝DC，连接EF，判定△CDE≌△FDE（SAS），即可得出CE＝FE，∠CED＝∠FED，再判定△AEF≌△AEB（SAS），可得AF＝AB，进而得出AD＝AF+DF＝AB+CD．（1）证明：如图1，延长DE交AB的延长线于F，∵∠ABC＝∠C＝90°，∴AB∥CD，∴∠CDE＝∠F，又∵E是BC的中点，∴CE＝BE，∴△CDE≌△BFE（AAS），∴DE＝FE，即E为DF的中点，∵DE平分∠ADC，∴∠CDE＝∠ADE，∴∠ADE＝∠F，∴AD＝AF，∴AE平分∠DAB；（2）解：由（1）得AE平分∠DAB，∴∠EAB=12∠∵∠ABC＝∠C＝90°，∴DC∥AB，∴∠ADC+∠DAB＝180°，∵∠DEC＝35°，∴∠CDE＝90°﹣35°＝55°，∵DE平分∠ADC，∴∠ADC＝2∠CDE＝110°，∴∠DAB＝180°﹣110°＝70°，∴∠EAB＝35°；（3）证明：如图2，在DA上截取DF＝DC，连接EF，∵DE平分∠ADC，∴∠CDE＝∠FDE，又∵DE＝DE，∴△CDE≌△FDE（SAS），∴CE＝FE，∠CED＝∠FED，又∵E是BC的中点，∴CE＝BE，∴FE＝BE，∵∠AED＝90°，∴∠AEF+∠DEF＝90°，∠AEB+∠DEC＝90°，∴∠AEF＝∠AEB，又∵AE＝AE，∴△AEF≌△AEB（SAS），∴AF＝AB，∴AD＝AF+DF＝AB+CD．【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定及其性质的综合运用；解题的关键是作辅助线，灵活运用等腰三角形的性质、全等三角形的判定等几何知识点来分析、解决．类型三角平分线与垂线，延长构造全等三角形方法点拨：此类题目的特点是已知角平分线和与角平分线垂直的一条线，将垂线和角的一条边同时延长交于一点，就可以利用“ASA”判定三角形全等典例3如图，△AOB中，OA＝OB，∠AOB＝90゜，BD平分∠ABO交OA于D，AE⊥BD于E．求证：BD＝2AE．【思路引领】延长BO，AE并交于F，证△ABE≌△FBE，推出AE＝EF，证△BOD≌△AOF推出BD＝AF即可．证明：延长BO，AE并交于F，∵BD平分∠ABO，AF⊥BD，∴∠1＝∠2，∠AEB＝∠FEB＝90°，在△ABE和△FBE中∠1=∠2BE=BE∴△ABE≌△FBE∴AE＝EF，∵∠AOB＝90゜，∠AED＝90°，∠ADE＝∠BDO，∴∠2＝∠OAF，∵∠AOB＝90°，∴∠DOB＝∠FOA＝90°，∴在△OBD和△OAF中∠2=∠FAOBO=AO∴△OBD≌△OAF，∴BD＝AF，∵AE＝EF，∴BD＝2AE．【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定的应用，主要考查学生的推理能力．针对训练1．（2021秋•南开区期中）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点D是AC上一点，过点A作BD的垂线交BD的延长线于点E，且BD＝2AE．求证：（1）∠EAC＝∠DBC；（2）BD平分∠ABC．【思路引领】（1）由∠EAC+∠ADE＝90°，∠DBC+∠BDC＝90°，因为∠ADE＝∠BDC，即可推出∠EAC＝∠CBD．（2）延长AE、BC交于点F，由△ACF≌△BCD（ASA），推出AF＝BD，由BD＝2AE，AE+EF＝BD，推出AE＝FE，即E为AF中点，再根据等腰