2023学年二轮复习解答题专题四十四：图形平移引起的综合探究(原卷版+解析)

2023学年二轮复习解答题专题四十四：图形平移引起的综合探究典例分析例.（2022河北中考）如图，四边形ABCD中，，∠ABC＝90°，∠C＝30°，AD＝3，，DH⊥BC于点H．将△PQM与该四边形按如图方式放在同一平面内，使点P与A重合，点B在PM上，其中∠Q＝90°，∠QPM＝30°，．（1）求证：△PQM≌△CHD；（2）△PQM从图1的位置出发，先沿着BC方向向右平移（图2），当点P到达点D后立刻绕点D逆时针旋转（图3），当边PM旋转50°时停止．①边PQ从平移开始，到绕点D旋转结束，求边PQ扫过的面积；②如图2，点K在BH上，且．若△PQM右移的速度为每秒1个单位长，绕点D旋转的速度为每秒5°，求点K在△PQM区域（含边界）内的时长；③如图3．在△PQM旋转过程中，设PQ，PM分别交BC于点E，F，若BE＝d，直接写出CF的长（用含d的式子表示）．专题过关1.（2022山西侯马二模）综合与实践问题背景：如图1，在四边形ABCD中，AB＝5，BC＝4，AD⊥CD，连接AC，AC⊥BC，过点C作CE⊥AB于点E，且CE＝CD．（1）求证：AD＝AE．操作探究：如图2，将△ACD沿直线AB方向向右平移一定距离，点A，C，D的对应点分别为点，，，且点与点E重合．（2）①连接，试判断四边形的形状，并说明理由；②求出△ACD平移的距离．（3）若将△ACD继续沿直线AB方向向右平移，当点恰好落在BC边上时，请在图1中画出平移后的图形，并求出继续平移的距离。拓展创新：如图3，在（2）的条件下，将绕点E按顺时针方向旋转一定角度，在旋转的过程中，记直线分别与边AB，BC交于点N，M．（4）当时，请直接写出BN的长．2.（2022山西百校联考）问题情境：数学活动课上，老师出示了一个问题．如图1，在正方形中，，分别以，为边在正方形内部作等边三角形与等边三角形，线段与交于点，线段与交于点．猜想与的数量关系，并加以证明．（1）数学思考：请解答老师出示的问题．（2）深入探究：试判断四边形的形状，并加以证明．（3）问题拓展：将从图1的位置开始沿射线的方向平移得到，连接，．当四边形是矩形时，得到图2．请直接写出平移的距离．3.（2022大同二模）数学活动—三角形平移中的数学问题．问题情境：数学活动课上，老师出示了一个问题：如图1，将两块全等的直角三角形纸片和的斜边放在同一直线上，其中，顶点C与顶点E重合．（1）独立思考：将向左平移使得AC的中点G恰好落在DE上，连接AE，CD，AD，如图2，试判断四边形AECD的形状并证明．（2）合作交流：①“希望”小组受此问题的启发，将沿CB方向平移，使得DE与AB交于点M，DF交AC于点N，DF交AB于点H，如图3，求证：．②“希望”小组还发现图3中还有其它相等的线段，在不添加字母的前提下，请你再写出一组相等的线段．（3）提出问题：老师要求各小组向“希望”小组学习，在图3的基础上继续探索．“爱心”小组提出的问题是：如图3，若M恰好是DE的中点，请直接写出线段HM的长度，请解答“爱心”小组提出的问题．2023学年二轮复习解答题专题四十四：图形平移引起的综合探究典例分析例.（2022河北中考）如图，四边形ABCD中，，∠ABC＝90°，∠C＝30°，AD＝3，，DH⊥BC于点H．将△PQM与该四边形按如图方式放在同一平面内，使点P与A重合，点B在PM上，其中∠Q＝90°，∠QPM＝30°，．（1）求证：△PQM≌△CHD；（2）△PQM从图1的位置出发，先沿着BC方向向右平移（图2），当点P到达点D后立刻绕点D逆时针旋转（图3），当边PM旋转50°时停止．①边PQ从平移开始，到绕点D旋转结束，求边PQ扫过的面积；②如图2，点K在BH上，且．若△PQM右移的速度为每秒1个单位长，绕点D旋转的速度为每秒5°，求点K在△PQM区域（含边界）内的时长；③如图3．在△PQM旋转过程中，设PQ，PM分别交BC于点E，F，若BE＝d，直接写出CF的长（用含d的式子表示）．【答案】（1）见详解（2）①；②；③【解析】【分析】（1）先证明四边形是矩形，再根据算出CD长度，即可证明；（2）①平移扫过部分是平行四边形，旋转扫过部分是扇形，分别算出两块面积相加即可；②运动分两个阶段：平移阶段：；旋转阶段：取刚开始旋转状态，以PM为直径作圆，H为圆心，延长DK与圆相交于点G，连接GH，GM，过点G作于T；设，利用算出，，，利用算出DG，利用算出GT，最后利用算出，发现，从而得到，度数，求出旋转角，最后用旋转角角度计算所用时间即可；③分两种情况：当旋转角＜30°时，DE在DH的左侧，当旋转角≥30°时，DE在DH上或右侧，证明，结合勾股定理，可得，即可得CF与d的关系．【小问1详解】∵，∴则在四边形中故四边形为矩形，在中，∴，∵∴；【小问2详解】①过点Q作于S由（1）得：在中，∴平移扫过面积：旋转扫过面积：故边PQ扫过的面积：②运动分两个阶段：平移和旋转平移阶段：旋转阶段：由线段长度得：取刚开始旋转状态，以PM为直径作圆，则H为圆心，延长DK与圆相交于点G，连接GH，GM，过点G作于T设，则在中：设，则，，，，∵DM为直径∴在中：在中：在中：∴，PQ转过的角度：s总时间：③设CF=m，则EF=BC-BE-CF=9-d-m，CE=9-d，当旋转角＜30°时，DE在DH的左侧，如图：∵∠EDF=30°，∠C=30°，∴∠EDF=∠C，又∵∠DEF=∠CED，∴，∴，即，∴，∵在中，，∴，∴当旋转角≥30°时，DE在DH上或右侧，如图：CF=m，则EF=BC-BE-CF=9-d-m，CE=9-d，同理：可得综上所述：．【点睛】本题考查动点问题，涉及到平移，旋转，矩形，解直角三角形，圆的性质，相似三角形的判定和性质；注意第（2）问第②小题以PM为直径作圆算出是难点，第（2）问第③小题用到相似三角形的判定和性质．专题过关1.（2022山西侯马二模）综合与实践问题背景：如图1，在四边形ABCD中，AB＝5，BC＝4，AD⊥CD，连接AC，AC⊥BC，过点C作CE⊥AB于点E，且CE＝CD．（1）求证：AD＝AE．操作探究：如图2，将△ACD沿直线AB方向向右平移一定距离，点A，C，D的对应点分别为点，，，且点与点E重合．（2）①连接，试判断四边形的形状，并说明理由；②求出△ACD平移的距离．（3）若将△ACD继续沿直线AB方向向右平移，当点恰好落在BC边上时，请在图1中画出平移后的图形，并求出继续平移的距离。拓展创新：如图3，在（2）的条件下，将绕点E按顺时针方向旋转一定角度，在旋转的过程中，记直线分别与边AB，BC交于点N，M．（4）当时，请直接写出BN的长．【答案】（1）证明见解析；（2）①四边形是菱形，理由见解析，②；（3）；（4）．【解析】【分析】（1）利用“HL”证明Rt△ACD≌Rt△ACE，即可得到结论；（2）①根据平移的性质和菱形的判定即可求解；②先证明△ACE∽△ABC，由相似三角形的性质得到，再由勾股定理求出AC得长度，即可求解；（3）根据平移作图进行作图即可；由平移的性质证明，进行计算即可；（4）先证明，再通过三角形的面积求出CE的长，设，则，再利用勾股定理求解即可．【详解】（1）证明：∵AD⊥CD，CE⊥AB，∴∠ADC＝∠AEC＝90°．又∵CD＝CE，AC＝AC，∴Rt△ACD≌Rt△ACE．∴AD＝AE．（2）①四边形是菱形．理由：由平移的性质，得，．∴四边形是平行四边形．由（1），得AD＝AE．∴四边形是菱形．②∵∠AEC＝∠ACB＝90°，∠CAE＝∠BAC，∴△ACE∽△ABC．∴，在Rt△ABC中，．∴，解得．∴△ACD平移的距离为．（3）所作图形如解图所示．由平移的性质，得∠4＝∠3，，．∴，．由（1），得∠2＝∠3，∴∠1＝∠4，∴∠5＝∠B．∴，∴．由（2），得，∴．∴．∴继续平移的距离为．（4）．∵，∴，．易得∠ACD＝∠B．∴．∴．∴．∴．∵，∴．∴．由旋转的性质，得，．设，则．在中，根据勾股定理，．解得．∴．【点睛】本题考查了平移的性质、旋转的性质、勾股定理，全等三角形的判定和性质、相似三角形、菱形的判定，熟练掌握知识点是解题的关键．2.（2022山西百校联考）问题情境：数学活动课上，老师出示了一个问题．如图1，在正方形中，，分别以，为边在正方形内部作等边三角形与等边三角形，线段与交于点，线段与交于点．猜想与的数量关系，并加以证明．（1）数学思考：请解答老师出示的问题．（2）深入探究：试判断四边形的形状，并加以证明．（3）问题拓展：将从图1的位置开始沿射线的方向平移得到，连接，．当四边形是矩形时，得到图2．请直接写出平移的距离．【答案】（1）（2）菱形，证明见解析（3）【解析】【分析】（1）由题意先推导，证明，再借助正方形和等边三角形性质证明，进而证明；（2）由题意可知，再借助外角的性质推导，即可证明，，即四边形是平行四边形，由（1）结论，证明四边形是菱形即可；（3）作，垂足为M，EM反向延长线交AB与N，借助正方形和等边三角形的性质可计算，．再推导，借助勾股定理计算长度，即可计算平移的距离．【小问1详解】猜想：．证明：∵四边形是正方形，∴，．∵与都是等边三角形，∴．∵，，∴，∴．∵与都是等边三角形，∴，，∴，∴，∴．【小问2详解】四边形是菱形．证明如下：∵与都是等边三角形，∴．由（1）知，∴，∴，，∴，，∴四边形是平行四边形，由（1）得，，∴四边形是菱形．【小问3详解】作，垂足为M，EM反向延长线交AB与N．由题意可知，，即，且，四边形BCMN为矩形，又∵，∴，，在中，，∵，∴∵，，∴∴∴即平移的距离为．【点睛】本题主要考查了正方形和等边三角形的性质、菱形的判定及勾股定理的应用，综合性较强，解题关键是灵活运用几何图形的性质进行解题．3.（2022大同二模）数学活动—三角形平移中的数学问题．问题情境：数学活动课上，老师出示了一个问题：如图1，将两块全等的直角三角形纸片和的斜边放在同一直线上，其中，顶点C与顶点E重合．（1）独立思考：将向左平移使得AC的中点G恰好落在DE上，连接AE，CD，AD，如图2，试判断四边形AECD的形状并证明．（2）合作交流：①“希望”小组受此问题的启发，将沿CB方向平移，使得DE与AB交于点M，DF交AC于点N，DF交AB于点H，如图3，求证：．②“希望”小组还发现图3中还有其它相等的线段，在不添加字母的前提下，请你再写出一组相等的线段．（3）提出问题：老师要求各小组向“希望”小组学习，在图3的基础上继续探索．“爱心”小组提出的问题是：如图3，若M恰好是DE的中点，请直接写出线段HM的长度，请解答“爱心”小组提出的问题．【答案】（1）矩形，理由见解析（2）①见解析；②（或者等）（3）【解析】【分析】（1）只需要证明AC与DE互相平分即可证明四边形AECD是矩形；（2）①只需要证明△MBE≌△NFC得到MB=NF，即可证明；②由△ABC≌△DFE，得到AB=DF，即可证明，；（3）如图所示，连接AD，由△ABC≌△DFE，得到点D到EF的距离与点A到BC的距离相等，得到，证明△DAM≌△EBM（AAS），得到，设，则，在Rt△MDH中，由，得到，由此求解即可．【小问1详解】四边形AECD是矩形理由如下，，，点G是AC的中点，，，∴，∴AG=CG，DG=EG，∴四边形AECD是平行四边形，又AC=DE，四边形AECD是矩形；【小问2详解】解：①∵，，，，∴，即BE=FC，∴△MBE≌△NFC（ASA）∴MB=NF，∴HB-MB