专题04填空压轴题：数字问题(原卷版+解析)VIP

专题04填空压轴题：数字问题一、填空题（28题）1．（2023·重庆·统考中考真题）如果一个四位自然数的各数位上的数字互不相等且均不为0，满足，那么称这个四位数为“递减数”．例如：四位数4129，∵，∴4129是“递减数”；又如：四位数5324，∵，∴5324不是“递减数”．若一个“递减数”为，则这个数为；若一个“递减数”的前三个数字组成的三位数与后三个数字组成的三位数的和能被9整除，则满足条件的数的最大值是．2．（2023·重庆·统考中考真题）对于一个四位自然数M，若它的千位数字比个位数字多6，百位数字比十位数字多2，则称M为“天真数”．如：四位数7311，∵，，∴7311是“天真数”；四位数8421，∵，∴8421不是“天真数”，则最小的“天真数”为；一个“天真数”M的千位数字为a，百位数字为b，十位数字为c，个位数字为d，记，，若能被10整除，则满足条件的M的最大值为．3．（2022·重庆·统考中考真题）特产专卖店销售桃片、米花糖、麻花三种特产，其中每包桃片的成本是麻花的2倍，每包桃片、米花糖、麻花的售价分别比其成本高20%、30%、20%．该店五月份销售桃片、米花糖、麻花的数量之比为1∶3∶2，三种特产的总利润是总成本的25%，则每包米花糖与每包麻花的成本之比为．4．（2022·重庆·统考中考真题）为进一步改善生态环境，村委会决定在甲、乙、丙三座山上种植香樟和红枫．初步预算，这三座山各需两种树木数量和之比为，需香樟数量之比为，并且甲、乙两山需红枫数量之比为．在实际购买时，香樟的价格比预算低，红枫的价格比预算高，香樟购买数量减少了，结果发现所花费用恰好与预算费用相等，则实际购买香樟的总费用与实际购买红枫的总费用之比为．5．（2021·重庆·统考中考真题）某销售商五月份销售A、B、C三种饮料的数量之比为3：2：4，A、B、C三种饮料的单价之比为1：2：1．六月份该销售商加大了宣传力度，并根据季节对三种饮料的价格作了适当的调整，预计六月份三种饮料的销售总额将比五月份有所增加，A饮料增加的销售占六月份销售总额的，B、C饮料增加的销售额之比为2：1．六月份A饮料单价上调20%且A饮料的销售额与B饮料的销售额之比为2：3，则A饮料五月份的销售数量与六月份预计的销售数量之比为．6．（2021·重庆·统考中考真题）盲盒为消费市场注入了活力，既能够营造消费者购物过程中的趣味体验，也为商家实现销售额提升拓展了途径．某商家将蓝牙耳机、多接口优盘、迷你音箱共22个，搭配为A，B，C三种盲盒各一个，其中A盒中有2个蓝牙耳机，3个多接口优盘，1个迷你音箱；B盒中蓝牙耳机与迷你音箱的数量之和等于多接口优盘的数量，蓝牙耳机与迷你音箱的数量之比为3：2；C盒中有1个蓝牙耳机，3个多接口优盘，2个迷你音箱．经核算，A盒的成本为145元，B盒的成本为245元（每种盲盒的成本为该盒中蓝牙耳机、多接口优盘、迷你音箱的成本之和），则C盒的成本为元．7．（2023·重庆沙坪坝·重庆八中校考一模）一个数位大于等于4的多位数n，规定其末三位数与末三位数以前的数字所组成的数之差记为，则；若能被11整除，则这个多位数就一定能被11整除，反之，一个数位大于等于4的多位数n能被11整除，则n的末三位数与末三位数以前的数字所组成的数之差一定能被11整除．若两个四位数s，t，其中s能被11整除，且，t的千位数字为，百位数字为4，十位数字为3，个位数字为（a，b，c均为整数），规定，当时，则的最小值为．8．（2023·重庆沙坪坝·重庆一中校考一模）一个四位正整数，其中，，，，且，，，均为整数．的千位数字与十位数字之和等于百位数字与个位数字之和，将的千位数字和百位数字组成的两位数记为，十位数字和个位数字组成的两位数记为．记的千位数字与个位数字的乘积为，百位数字与十位数字的乘积为．若被7除余4，则，在此条件下，当（为整数）时，最大的四位正整数．9．（2023·重庆九龙坡·重庆市育才中学校考一模）若一个四位数的千位与百位之差等于2，十位与个位之差等于4，称这个四位数是“差2倍数”，若四位数的千位与百位之差等于3，十位与个位之差等于6，称这个四位数是“差3倍数”，若数p，q分别为“差2倍数”和“差3倍数”，它们的个位数字均为3，p，q的各数位数字之和分别记为和，，若为整数，此时的最大值为．10．（2023·重庆九龙坡·重庆实验外国语学校校考一模）对于一个各数位数字均不为零的四位自然数m，若千位与百位数字之和等于十位与个数位数字之和，则称m为“一致数”．设一个“一致数”满足且，将m的千位与十位数字对调，百位与个位数字对调得到新数，并记；一个两位数，将N的各个数位数字之和记为；当（k为整数）时，则所有满足条件的“一致数”m中，满足为偶数时，k的值为，m的值为．11．（2023·重庆南岸·统考一模）如果两个两位数和，将它们各自的十位数字和个位数字交换位置后得到两个完全不同的新和，这两个两位数的乘积与交换后的两个两位数的乘积相等，则称这样的两个两位数为一对“友谊数对”，例如：，所以，26和93是一对“友谊数对”．（1）若和是一对“友谊数对”，则a，b，c，d之间满足的等量关系为；（2）若和是一对“友谊数对”，其中，，，，则这两个两位数分别是．12．（2023·重庆沙坪坝·统考一模）一个各位数字都不为0且互不相等的四位自然数，若千位与个位数字之和等于百位与十位数字之和，则称这个四位数为“均衡数”．将“均衡数”的千位与百位数字对调，十位与个位数字对调得到新数．记，，，均为整数，求满足条件的的最大值是．13．（2023·重庆开州·校联考一模）如果一个四位自然数M的各个数位上的数字均不为0，且满足千位数字与十位数字的和为10，百位数字与个位数字的差为1，那么称M为“和差数”．“和差数”M的千位数字的二倍与个位数字的和记为，百位数字与十位数字的和记为，令，当为整数时，则称M为“整和差数”．若（其中，，，且a、b、c、d均为整数）是“整和差数”，则满足条件的M的最小值为．14．（2023·重庆合川·校考一模）若一个四位正整数满足：，我们就称该数是“交替数”，则最小的“交替数”是；若一个“交替数”m满足千位数字与百位数字的平方差是15，且十位数字与个位数的和能被5整除．则满足条件的“交替数”m的最大值为．15．（2023·重庆九龙坡·统考一模）对于一个四位自然数N，其千位数字为a，百位数字为b，十位数字为c，个位数字为d，各个数位上的数字均不相同且均不为0．将自然数N的千位数字和个位数字组成一个两位数，记为A；百位数字和十位数字组成另一个两位数字，记为B，若A与B的和等于N的千位数字与百位数字之和的11倍，则称N为“坎数”．例如：6345，，，，，所以6345是“坎数”．若N为“坎数”，且，当为9的倍数时，则所有満足条件的N的最大值为．16．（2023·重庆巴南·统考一模）一个三位数，若满足百位数字与个位数字之和为10，则称它为“合十数”．例如，对于258，因为，所以258是“合十数”．在“合十数”n中，十位数字的2倍与个位数字之和再减去百位数字的差记为，百位数字与十位数字之和再减去个位数字的差记为，若“合十数”n满足，则满足条件的“合十数”n的值为．17．（2023·重庆渝中·重庆巴蜀中学校考一模）若一个各位数字均不为的四位数（，，，，，，为整数）满足：把的千位数字作为十位数字，的十位数字作为个位数字组成的两位数与的和记作，的千位数字与个位数字的倍的和记作，如果的各位数字之和与的和是一个正整数的平方，则称这个四位数为“赓续数”，正整数称“赓续元素”；当，时，最小“赓续数”为；若“赓续数”满足前两位数字之和与后两位数字之和相等，且为整数，则满足条件的最大为.18．（2023·重庆九龙坡·重庆市育才中学校联考二模）一个各个数位上的数字均不为0的四位正整数，若千位上的数字与个位上的数字之和是百位上的数字与十位上的数字之和的2倍，则称这个四位数为“倍和数”，对于“倍和数”m，任意去掉一个数位上的数字，得到四个三位数，这四个三位数的和记为．（1）；（2）若“倍和数”m千位上的数字与个位上的数字之和为8，且能被7整除，则所有满足条件的“倍和数”用的最大值与最小值的差为．19．（2023·重庆渝中·重庆巴蜀中学校考二模）一个两位正整数，将其个位与十位上的数交换位置后，放在原数的后面组成一个四位数m，那么我们把这个四位数称为“顺利数”，并规定为交换位置后组成的两位数与原两位数的平方差；例如：将27交换位置后为72，则2772是一个“顺利数”，且．若四位正整数n，n的千位数字为a，百位数字为b，十位数字为c，个位数字为d，其中a，b，c，d为整数，，且，以n的十位数字和个位数字组成两位数，交换位置后放在此两位数之后组成的数为“顺利数”s，若，则的值为；满足条件的所有数n的最大值为．20．（2023·重庆·重庆实验外国语学校校考二模）一个两位自然数，若各位数字之和小于等于9，则称为“完美数”，将m的各个数位上的数字相加所得的数放在m的前面，得到一个新数，那么称为m的“前置完美数”；将m的各个数位上的数字相加所得的数放在m的后面，得到一个新数，那么称为m的“后置充美数”．记，例如：时，，，．请计算；已知两个“完美数”，，若是一个完全平方数，且，则n的最大值为．21．（2023·重庆大渡口·统考二模）若一个四位数M的个位数字与十位数字的平方差恰好是M去掉个位数字与十位数字后得到的两位数，则这个四位数M为“平方差数”．一个“平方差数”M的千位数字为a，百位数字为b，十位数字为c，个位数字为d，记，且．当均是整数时，当满足条件的M取得最大值时，，最大值为．22．（2023·重庆江津·重庆市江津中学校校考二模）对于一个各数位上的数字均不为零且互不相等的数，将它各个数位上的数字分别平方后取其个位数字，得到一个新的数，称为的“趣味数”，并规定，（其中、为非零常数）．例如，其各个数位上的数字分别平方后数的个位数字分别是4、9、6，则234的“趣味数”，已知，，则，对于一个两位数和一个三位数，在的十位数字和个位数字中间插入一个数，得到一个新的三位数，若是的9倍，且是的趣味数，则的最小值＝．23．（2023·重庆九龙坡·重庆实验外国语学校校考三模）一个四位数，若千位上的数字与百位上的数字之和与十位上的数字与个位上的数字之和的积等于60，则称这个四位数为“六秩数”，例如，对于四位数1537，∵，∴1537为“六秩数”．若，，记，则；若N是一个“六秩数”，且是一个完全平方数，记，则的最大值与最小值的差为．24．（2023·重庆·三模）若一个四位数M的个位数字、十位数字、百位数字之和为12，则称这个四位数M为“永恒数”．将“永恒数”M的千位数字与百位数字交换顺序，十位数字与个位数字交换顺序得到一个新的四位数N，并规定．若一个“永恒数”M的百位数字与个位数字之差恰为千位数字，且为整数，则的最大值为．25．（2023·重庆沙坪坝·重庆一中校考三模）若一个四位自然数M的千位数字的平方恰好等于百位数字、十位数字与个位数字的和，则称这个四位数M为“君和数”．若“君和数”且，将“君和数”M的千位与百位数字对调，十位与个位数字对调得到新数N，规定，，若，均为整数，则的值为，M的值为．26．（2023·重庆渝中·重庆巴蜀中学校考三模）对于四位数，若千位上的数字与百位上的数字的差的两倍等于十位上的数字与个位上的数字的差，则把叫做“双倍差数”，将“双倍差数”的个位数字去掉得到的数记为，将千位数字去掉得到的数记为，并规定，则；若一个四位数（，，，，a，b，c，d均为整数）是“双倍差数”，且除以13余1，则满足条件的M的最大值为．27．（2023·重庆九龙坡·重庆市育才中学校联考三模）对任意一个四位数m，如果m各个数位上的数字都不为零且互不相同，满足个位与千位上的数字的和等于十位与百位上的数字和，那么称这个数为“同和数”，将一个“同和数”m的个位与千位两个数位上的数字对调后得到一个新的四位数，将m的十位与百位两个数位上的数字对调后得到另一个新四位数，记．若s，t都是“同和数”，其中，（，y，e，），且x，y，e，f都是正整数，规定：，用含“x，f”的代数式表示，当能被20整除时，k的所有取值之积为．28．（2023·重庆渝中·统考二模）“回文诗”即正念倒念都有意思，均成文章的诗，如：云边月影沙边雁，水外天光山外树．倒过来念即“树外山光天外水，雁边沙影月边云”，其意境与韵味读起来都是一种美的享受，在数学中也有这样一类数有这样的特征，即正读倒读都一样的自然数，我们称之为“回文数”．例如11，232，3443等．如果一个“回文数”m是另外一个正整数n的平方，则称m为“平方回数”．若x是一个千位数字为2的四位数的“回文数”，记．若是一个“平方回数”，则x的值为．

专题04填空压轴题：数字问题一、填空题（28题）1．（2023·重庆·统考中考真题）如果一个四位自然数的各数位上的数字互不相等且均不为0，满足，那么称这个四位数为“递减数”．例如：四位数4129，∵，∴4129是“递减数”；又如：四位数5324，∵，∴5324不是“递减数”．若一个“递减数”为，则这个数为；若一个“递减数”的前三个数字组成的三位数与后三个数字组成的三位数的和能被9整除，则满足条件的数的最大值是．【答案】8165【分析】根据递减数的定义进行求解即可．【详解】解：∵是递减数，∴，∴，∴这个数为；故答案为：∵一个“递减数”的前三个数字组成的三位数与后三个数字组成的三位数的和能被9整除，∴，∵，∴，∵，能被整除，∴能被9整除，∵各数位上的数字互不相等且均不为0，∴，∵最大的递减数，∴，∴，即：，∴最大取，此时，∴这个最大的递减数为8165．故答案为：8165．【点睛】本题考查一元一次方程和二元一次方程的应用．理解并掌握递减数的定义，是解题的关键．2．（2023·重庆·统考中考真题）对于一个四位自然数M，若它的千位数字比个位数字多6，百位数字比十位数字多2，则称M为“天真数”．如：四位数7311，∵，，∴7311是“天真数”；四位数8421，∵，∴8421不是“天真数”，则最小的“天真数”为；一个“天真数”M的千位数字为a，百位数字为b，十位数字为c，个位数字为d，记，，若能被10整除，则满足条件的M的最大值为．【答案】62009313【分析】根据题中“天真数”可求得最小的“天真数”；先根据题中新定义得到，进而，若M最大，只需千位数字a取最大，即，再根据能被10整除求得，进而可求解．【详解】解：根据题意，只需千位数字和百位数字尽可能的小，所以最小的“天真数”为6200；根据题意，，，，，则，∴，∴，若M最大，只需千位数字a取最大，即，∴，∵能被10整除，∴，∴满足条件的M的最大值为9313，故答案为：6200，9313．【点睛】本题是一道新定义题，涉及有理数的运算、整式的加减、数的整除等知识，理解新定义是解答的关键．3．（2022·重庆·统考中考真题）特产专卖店销售桃片、米花糖、麻花三种特产，其中每包桃片的成本是麻花的2倍，每包桃片、米花糖、麻花的售价分别比其成本高20%、30%、20%．该店五月份销售桃片、米花糖、麻花的数量之比为1∶3∶2，三种特产的总利润是总成本的25%，则每包米花糖与每包麻花的成本之比为．【答案】4：3【分析】设每包麻花的成本为x元，每包米花糖的成本为y元，桃片的销售量为m包，则每包桃片的成本为2x元，米花糖的销售量为3m包，麻花的销售量为2m包，根据三种特产的总利润是总成本的25%列得，计算可得．【详解】解：设每包麻花的成本为x元，每包米花糖的成本为y元，桃片的销售量为m包，则每包桃片的成本为2x元，米花糖的销售量为3m包，麻花的销售量为2m包，由题意得，解得3y=4x，∴y：x=4：3，故答案为：4：3．【点睛】此题考查了三元一次方程的实际应用，正确理解题意确定等量关系是解题的关键．4．（2022·重庆·统考中考真题）为进一步改善生态环境，村委会决定在甲、乙、丙三座山上种植香樟和红枫．初步预算，这三座山各需两种树木数量和之比为，需香樟数量之比为，并且甲、乙两山需红枫数量之比为．在实际购买时，香樟的价格比预算低，红枫的价格比预算高，香樟购买数量减少了，结果发现所花费用恰好与预算费用相等，则实际购买香樟的总费用与实际购买红枫的总费用之比为．【答案】【分析】适当引进未知数，合理转化条件，构造等式求解即可．【详解】设三座山各需香樟数量分别为4x、3x、9x．甲、乙两山需红枫数量、．∴，∴，故丙山的红枫数量为，设香樟和红枫价格分别为、．∴，∴，∴实际购买香樟的总费用与实际购买红枫的总费用之比为，故答案为：．【点睛】本题考查了未知数的合理引用，熟练掌握未知数的科学设置，灵活构造等式计算求解是解题的关键．5．（2021·重庆·统考中考真题）某销售商五月份销售A、B、C三种饮料的数量之比为3：2：4，A、B、C三种饮料的单价之比为1：2：1．六月份该销售商加大了宣传力度，并根据季节对三种饮料的价格作了适当的调整，预计六月份三种饮料的销售总额将比五月份有所增加，A饮料增加的销售占六月份销售总额的，B、C饮料增加的销售额之比为2：1．六月份A饮料单价上调20%且A饮料的销售额与B饮料的销售额之比为2：3，则A饮料五月份的销售数量与六月份预计的销售数量之比为．【答案】【分析】设销售A饮料的数量为3x，销售B种饮料的数量2x,销售C种饮料的数量4x，A种饮料的单价y．B、C两种饮料的单价分别为2y、y．六月份A饮料单价上调20%，总销售额为m，可求A饮料销售额为3xy+，B饮料的销售额为，C饮料销售额：，可求，六月份A种预计的销售额，六月份预计的销售数量，A饮料五月份的销售数量与六月份预计的销售数量之比计算即可【详解】解：某销售商五月份销售A、B、C三种饮料的数量之比为3：2：4，设销售A饮料的数量为3x，销售B种饮料的数量2x,销售C种饮料的数量4x，A、B、C三种饮料的单价之比为1：2：1．,设A种饮料的单价y．B、C两种饮料的单价分别为2y、y．六月份A饮料单价上调20%后单价为（1+20%）y,总销售额为m，A饮料增加的销售占六月份销售总额的A饮料销售额为3xy+，A饮料的销售额与B饮料的销售额之比为2：3，B饮料的销售额为B饮料的销售额增加部分为∴C饮料增加的销售额为∴C饮料销售额：∴∴六月份A种预计的销售额，六月份预计的销售数量∴A饮料五月份的销售数量与六月份预计的销售数量之比故答案为【点睛】本题考查销售问题应用题，用字母表示数，列代数式，整式的加减法，单项式除以单项式，掌握销售额=销售单价×销售数量是解题关键6．（2021·重庆·统考中考真题）盲盒为消费市场注入了活力，既能够营造消费者购物过程中的趣味体验，也为商家实现销售额提升拓展了途径．某商家将蓝牙耳机、多接口优盘、迷你音箱共22个，搭配为A，B，C三种盲盒各一个，其中A盒中有2个蓝牙耳机，3个多接口优盘，1个迷你音箱；B盒中蓝牙耳机与迷你音箱的数量之和等于多接口优盘的数量，蓝牙耳机与迷你音箱的数量之比为3：2；C盒中有1个蓝牙耳机，3个多接口优盘，2个迷你音箱．经核算，A盒的成本为145元，B盒的成本为245元（每种盲盒的成本为该盒中蓝牙耳机、多接口优盘、迷你音箱的成本之和），则C盒的成本为元．【答案】155【分析】设B盒中蓝牙耳机3a个，迷你音箱2a个，列方程求出B盒中各种设备的数量，再设蓝牙耳机、多接口优盘、迷你音箱的成本分别为x、y、z元，根据题意列出方程组，再整体求出的值即可．【详解】解：根据题意，设B盒中蓝牙耳机3a个，迷你音箱2a个，优盘的数量为3a+2a=5a个，则，解得，a=1；设蓝牙耳机、多接口优盘、迷你音箱的成本分别为x、y、z元，根据题意列方程组得，②-①得，，③×3-①得，，故答案为：155．【点睛】本题考查了三元一次方程组和一元一次方程的应用，解题关键是找准题目中的等量关系列出方程（组），熟练运用等式的性质进行方程变形，整体求值．7．（2023·重庆沙坪坝·重庆八中校考一模）一个数位大于等于4的多位数n，规定其末三位数与末三位数以前的数字所组成的数之差记为，则；若能被11整除，则这个多位数就一定能被11整除，反之，一个数位大于等于4的多位数n能被11整除，则n的末三位数与末三位数以前的数字所组成的数之差一定能被11整除．若两个四位数s，t，其中s能被11整除，且，t的千位数字为，百位数字为4，十位数字为3，个位数字为（a，b，c均为整数），规定，当时，则的最小值为．【答案】13/【分析】先求出根据定义求出，即可求解；由题意可知，，，s，t均为四位数，，，由，得，在根据s能被11整除，得，则，即，再根据，，，为整数，可得，为整数，再结合可知当越大，越小，依次可求解．【详解】解：由题意可得，∴；由题意可得：，，，，∵s能被11整除，，∴能被11整除，则能被11整除，t能被11整除，则，即：，∴，∵能被11整除，且，为整数，∴，则，即∵能被11整除，且，，，为整数，即：，，∵，∴，∴，，为整数，当越大，越小，即：当时，有最小值，，故答案为：13；．【点睛】此题主要考查了整除问题，能被11整除的数的特征，求出是解本题的关键．8．（2023·重庆沙坪坝·重庆一中校考一模）一个四位正整数，其中，，，，且，，，均为整数．的千位数字与十位数字之和等于百位数字与个位数字之和，将的千位数字和百位数字组成的两位数记为，十位数字和个位数字组成的两位数记为．记的千位数字与个位数字的乘积为，百位数字与十位数字的乘积为．若被7除余4，则，在此条件下，当（为整数）时，最大的四位正整数．【答案】【分析】（1）根据题意，找出千位数字，百位数字b，十位数字，个位数字，再根据条件列数相关算式，即可解决问题；（2）先通过算式分别表示和，在通过条件化简整式，利用条件找出符合题意的最大的A．【详解】解：（1）由题干可得：千位数字，百位数字b，十位数字，个位数字可得：∵，且为整数，∴，∴，解得，又∵为11的倍数，且为整数，∴只有当时符合题意，此时；故答案为：5；（2）∵，，∴由可得：，∴，，∵，，∴，或时可使为整数，当时，若，，则，，四位数为；若，，则，，四位数为；当时，若，，则，，四位数为；若，，则，，，不符合题意；所以最大值为；故答案为：6226．【点睛】本题属于数与式中的新定义问题，理解题意，正确掌握整式的化简是解题的关键．9．（2023·重庆九龙坡·重庆市育才中学校考一模）若一个四位数的千位与百位之差等于2，十位与个位之差等于4，称这个四位数是“差2倍数”，若四位数的千位与百位之差等于3，十位与个位之差等于6，称这个四位数是“差3倍数”，若数p，q分别为“差2倍数”和“差3倍数”，它们的个位数字均为3，p，q的各数位数字之和分别记为和，，若为整数，此时的最大值为．【答案】【分析】根据定义和已知条件分别设，，再根据定义进行计算，由为整数，以及的最大值，得出符合条件的取值为或，进而解题．【详解】解：∵数p，q分别为“差2倍数”和“差3倍数”，它们的个位数字均为3，故数p的十位数是，数q的十位数是，设数p，q的百位数分别m、n，则数p的千位数是，数q的千位数是，而且，，∴，，∴，，∴，，∴，∴∵为整数，∴为的约数，而要使的最大值则有∴或，当时，即，，此时，当，时，的最大值为，当时，即，，此时，当，时，的最大值为，综上所述：当，时，的最大值为，故答案为：【点睛】本题考查新定义运算，数的整除、分式的化简，整式的加减运算等，有一定难度，解题的关键是通过为整数推出为的约数．10．（2023·重庆九龙坡·重庆实验外国语学校校考一模）对于一个各数位数字均不为零的四位自然数m，若千位与百位数字之和等于十位与个数位数字之和，则称m为“一致数”．设一个“一致数”满足且，将m的千位与十位数字对调，百位与个位数字对调得到新数，并记；一个两位数，将N的各个数位数字之和记为；当（k为整数）时，则所有满足条件的“一致数”m中，满足为偶数时，k的值为，m的值为．【答案】【分析】设一个“一致数”满足且，得出，然后分类讨论即可求解．【详解】解：设一个“一致数”满足且，则，∴，一个两位数，将N的各个数位数字之和记为，则，∵即∴∴，∵满足为偶数时，为偶数，∵，∴且为偶数，当时，则，当，时，（，舍去）当，时，（，舍去）当，时，，则，∴，故答案为：；．【点睛】本题考查了整除，整式的加减，求不等式组的整数解，理解题意解题的关键．11．（2023·重庆南岸·统考一模）如果两个两位数和，将它们各自的十位数字和个位数字交换位置后得到两个完全不同的新和，这两个两位数的乘积与交换后的两个两位数的乘积相等，则称这样的两个两位数为一对“友谊数对”，例如：，所以，26和93是一对“友谊数对”．（1）若和是一对“友谊数对”，则a，b，c，d之间满足的等量关系为；（2）若和是一对“友谊数对”，其中，，，，则这两个两位数分别是．【答案】42，36【分析】（1）根据“友谊数对”的定义即可得到，，，之间满足的等量关系，化简得；（2）根据列等式，化简解方程可得的值，可得这两个两位数．【详解】解：（1）∵和是一对“友谊数对”，∴，∴，故答案为；（2）∵和是一对“友谊数对”，，，，，，∴，∴，解得或（舍去），∴，，，，∴两个两位数分别是，，故答案为，．【点睛】本题考查多项式乘以多项式和新定义“友谊数对”，理解和掌握新定义是解题的关键，需要学生具备一定的分析能力．12．（2023·重庆沙坪坝·统考一模）一个各位数字都不为0且互不相等的四位自然数，若千位与个位数字之和等于百位与十位数字之和，则称这个四位数为“均衡数”．将“均衡数”的千位与百位数字对调，十位与个位数字对调得到新数．记，，，均为整数，求满足条件的的最大值是．【答案】【分析】设的千位，百位，十位，个位数字分别为，，，，根据题意，表示出和，再表示出和，根据和均为整数来确定，，，的值．【详解】不妨设的千位，百位，十位，个位数字分别为，，，，则有，∵的千位与百位数字对调，十位与个位数字对调得到新数，∴，，，不妨设，则，当，即时，为整数；，当被整除时为整数，可得最大等于，∵各位数字都不为0，∴排除，为和，只能是和，再根据均衡数的定义，求得，，∴满足条件的的最大值是，故答案为：．【点睛】本题考查了数字问题，新定义，四位数的表示，整式的加减，因式分解，整数被某数整除时求字母的值，难度比较大，能够理解新定义并熟练掌握所学知识是解题的关键．13．（2023·重庆开州·校联考一模）如果一个四位自然数M的各个数位上的数字均不为0，且满足千位数字与十位数字的和为10，百位数字与个位数字的差为1，那么称M为“和差数”．“和差数”M的千位数字的二倍与个位数字的和记为，百位数字与十位数字的和记为，令，当为整数时，则称M为“整和差数”．若（其中，，，且a、b、c、d均为整数）是“整和差数”，则满足条件的M的最小值为．【答案】7231【分析】由“整和差数”的定义可得，再分情况讨论可得满足条件的所有M的值，再进行判断即可．【详解】解：∵，∴M的千位数字为，百位数字为b，十位数字为c，个位数字为d，∵M是“整和差数”，∴，∴，①当时，不为整数；②当时，不为整数；③当时，，∴或10，即或7，∴M的值为7231，7736；④当时，，∴或8，即或7，∴M的值为9312，9716．综上所述，M的值为7231，7736，9312，9716．其中M的最小值为7231故答案为：7231【点睛】本题主要考查因式分解的应用，解答的关键是理解“整和差数”，明确条件与所求的关系．14．（2023·重庆合川·校考一模）若一个四位正整数满足：，我们就称该数是“交替数”，则最小的“交替数”是；若一个“交替数”m满足千位数字与百位数字的平方差是15，且十位数字与个位数的和能被5整除．则满足条件的“交替数”m的最大值为．【答案】10018778【分析】①根据“交替数”的概念结合求最小时让千位、百位、十位、个位上的数字尽可能小进行判断即可；②根据题意列出方程，利用“交替数”概念以及平方差公式进行变形得到二元一次方程组，然后根据求最大的“交替数”的要求进行计算即可．【详解】解：①∵是四位正整数，∴最小为1当时，∴是“交替数”且最小，∴最小的“交替数”是1001②解;设由题意得：（为正整数），或解得：或（为正整数）或或∴的最大值为8778【点睛】本题主要考查新定义的理解以及运用和平方差公式，二元一次方程组的求解，熟练掌握平方差公式变形以及二元一次方程组的解法，对新定义的概念的充分理解是解决本题的关键．15．（2023·重庆九龙坡·统考一模）对于一个四位自然数N，其千位数字为a，百位数字为b，十位数字为c，个位数字为d，各个数位上的数字均不相同且均不为0．将自然数N的千位数字和个位数字组成一个两位数，记为A；百位数字和十位数字组成另一个两位数字，记为B，若A与B的和等于N的千位数字与百位数字之和的11倍，则称N为“坎数”．例如：6345，，，，，所以6345是“坎数”．若N为“坎数”，且，当为9的倍数时，则所有満足条件的N的最大值为．【答案】8154【分析】根据“坎数”的定义可以得到，可得出，根据当为9的倍数，且a、b、c、d都是小于10的自然数，所以可知，则可知，，故，则最大的值为，，即可求解．【详解】解：根据“坎数”的定义可以得到，∴，∵为9的倍数，且a、b、c、d都是小于10的自然数，，∴，∴，∴，∴，，∴，当，时，N有最大值，∴，∴N的最大值为8154，故答案为：8154．【点睛】本题考查了因式分解的应用，通过给出的“坎数”的定义求出对应的各个数位的数字的关系，通过给出的式子，求出对应的数字的结果，从而求出最后的解．16．（2023·重庆巴南·统考一模）一个三位数，若满足百位数字与个位数字之和为10，则称它为“合十数”．例如，对于258，因为，所以258是“合十数”．在“合十数”n中，十位数字的2倍与个位数字之和再减去百位数字的差记为，百位数字与十位数字之和再减去个位数字的差记为，若“合十数”n满足，则满足条件的“合十数”n的值为．【答案】【分析】根据“合十数”定义，我们可以设一个“合十数”n的百位数字是a，十位数字是b，个位数字是c,则有,然后根据题意得到,，然后通过,进行因式分解，然后讨论可得对应的值，就可求出n的值.【详解】设一个“合十数”n的百位数字是a，十位数字是b,个位数字是c,则有,则,,∵,∴,,,,,∵a、b、c都是一位正整数,∴也是正整数,当时,(不符合条件,舍去),当时,(不符合条件,舍去),当时,,当时,(不符合条件,舍去),当时,(不符合条件,舍去),故,符合题意,则,故答案为:.【点睛】本题考查了因式分解的应用，通过给定的新定义，列出整式，通过因式分解，得到对应的式子，通过讨论，得到最后的值.17．（2023·重庆渝中·重庆巴蜀中学校考一模）若一个各位数字均不为的四位数（，，，，，，为整数）满足：把的千位数字作为十位数字，的十位数字作为个位数字组成的两位数与的和记作，的千位数字与个位数字的倍的和记作，如果的各位数字之和与的和是一个正整数的平方，则称这个四位数为“赓续数”，正整数称“赓续元素”；当，时，最小“赓续数”为；若“赓续数”满足前两位数字之和与后两位数字之和相等，且为整数，则满足条件的最大为.【答案】【分析】当，时，可知，，则，当时，可以取得最小值，且，据此即可求得答案．根据和为整数，可求得为整数，可得或，分情况逐一讨论即可求得答案．【详解】∵，，∴四位数．∴，．∴．∴当时，可以取得最小值．又，∴．∵，∴．∵为整数，∴为整数．又，，∴或．①当时．根据题意可知，，，．，．∴．∴．∴不符合题意．②当，且，，时．根据题意，得，，．∴．∵为正整数，∴．∴．∴，，，不符合题意．③当，且，，时．根据题意，得，，．∴．∵为正整数，∴．∴．∴．综上所述，符合条件的的最大值为．故答案为：，．【点睛】本题主要考查实数，能采用分类讨论的思想分析问题是解题的关键．18．（2023·重庆九龙坡·重庆市育才中学校联考二模）一个各个数位上的数字均不为0的四位正整数，若千位上的数字与个位上的数字之和是百位上的数字与十位上的数字之和的2倍，则称这个四位数为“倍和数”，对于“倍和数”m，任意去掉一个数位上的数字，得到四个三位数，这四个三位数的和记为．（1）；（2）若“倍和数”m千位上的数字与个位上的数字之和为8，且能被7整除，则所有满足条件的“倍和数”用的最大值与最小值的差为．【答案】21874176【分析】（1）根据定义，计算即可．（2）根据定义，结合分类思想计算即可．【详解】（1）∵6312中，∴，∴6312是“倍和数”，∴任意去掉一个数位上的数字，得到四个三位数分别为，∴；故答案为：2187．（2）设四位数m为，∵m是“倍和数”，∴，∴，∴，∴任意去掉一个数位上的数字，得到四个三位数分别为，∴，∵，∴，∵各个数位上的数字均不为0的四位正整数，当时，，能被7整除，此时；当时，，不能被7整除，舍去；当时，，不能被7整除，舍去；当时，，不能被7整除，舍去；当时，，不能被7整除，舍去；当时，，不能被7整除，舍去；当时，，不能被7整除，舍去；当时，，能被7整除，此时；当时，，不能被7整除，舍去；当时，，不能被7整除，舍去；当时，，不能被7整除，舍去；当时，，不能被7整除，舍去；当时，，不能被7整除，舍去；当时，，不能被7整除，舍去；当时，，能被7整除，；当时，，不能被7整除，舍去；当时，，不能被7整除，舍去；当时，，不能被7整除，舍去；当时，，不能被7整除，舍去；当时，，不能被7整除，舍去；当时，，不能被7整除，舍去；故所有满足条件的“倍和数”用的最大值与最小值的差为，故答案为：4176．【点睛】本题考查了实数的新定义问题，正确理解新定义是解题的关键．19．（2023·重庆渝中·重庆巴蜀中学校考二模）一个两位正整数，将其个位与十位上的数交换位置后，放在原数的后面组成一个四位数m，那么我们把这个四位数称为“顺利数”，并规定为交换位置后组成的两位数与原两位数的平方差；例如：将27交换位置后为72，则2772是一个“顺利数”，且．若四位正整数n，n的千位数字为a，百位数字为b，十位数字为c，个位数字为d，其中a，b，c，d为整数，，且，以n的十位数字和个位数字组成两位数，交换位置后放在此两位数之后组成的数为“顺利数”s，若，则的值为；满足条件的所有数n的最大值为．【答案】95438【分析】由题意知，，整理得，，即，则为91的整数倍，且，进而可得，由得，，是9的整数倍，由，可得，当时，，即，，不符合要求；当时，，即，，不符合要求；当时，，即，，不符合要求，，，符合要求；根据为千位数字，，可知越小，越大，越大，则当为5438时，是满足条件的最大值，进而作答即可．【详解】解：由题意知，，整理得，，∴，∵a，b，c，d为整数，，且，∴为91的整数倍，且，∴，∴，则，是9的整数倍，∵，∴，∴当时，，即，，不符合要求；当时，，即，，不符合要求；当时，，即，，不符合要求，，，符合要求；∵为千位数字，，∴越小，越大，越大，∴当为5438时，是满足条件的最大值，故答案为：9，5438．【点睛】本题考查了平方差，新定义下的实数的运算．解题的关键在于理解题意．20．（2023·重庆·重庆实验外国语学校校考二模）一个两位自然数，若各位数字之和小于等于9，则称为“完美数”，将m的各个数位上的数字相加所得的数放在m的前面，得到一个新数，那么称为m的“前置完美数”；将m的各个数位上的数字相加所得的数放在m的后面，得到一个新数，那么称为m的“后置充美数”．记，例如：时，，，．请计算；已知两个“完美数”，，若是一个完全平方数，且，则n的最大值为．【答案】2385【分析】根据题目所给新定义即可计算；根据题意得出，，结合完全平方数的定义和得出，则，根据得出，根据，以及n为两位数，即可得出或，即可求解．【详解】解：根据题意可得：，∵，，∴，，∵是一个完全平方数，且是一个两位数，∴．∵，∴．∴，则，∵，∴，整理得：，∵，∴，∴或14，∴或，当时，，∵，n为两位数，∴当时，n有最大值85；当时，，∵，n为两位数，∴当时，n有最大值83；综上：n的最大值为85，故答案为：23，85．【点睛】本题考查的是新定义情境下的有理数的混合运算，二元一次方程组的整数解，整式的加减运算，不等式的基本性质，理解新定义的含义是解题的关键．21．（2023·重庆大渡口·统考二模）若一个四位数M的个位数字与十位数字的平方差恰好是M去掉个位数字与十位数字后得到的两位数，则这个四位数M为“平方差数”．一个“平方差数”M的千位数字为a，百位数字为b，十位数字为c，个位数字为d，记，且．当均是整数时，当满足条件的M取得最大值时，，最大值为．【答案】96318【分析】根据为“平方差数”可得，则，，进而得到是整数，设，（为整数且），因此，得到或8，当时，对，进行取值，并求出此时；当时，对，进行取值，并求出此时，即可求解．【详解】解：，且，四位数为“平方差数”，，，，是整数，是整数，由为整数可知，，设（为整数且），，，或8，当时，①若，则，此时，不符合题意；②若，则，此时，；③若，则，此时，；④若，则，此时，；⑤若，则，不符合题意；当时，①若，则，此时，；②若，则，不符合题意．综上，符合条件的有1224，2736，4848，6318，其中最大值为6318，此时．故答案为：①9；②6318．【点睛】本题考查因式分解的应用，涉及整除、新定义等知识，理解新定义，并用含，的代数式表示出是解题关键．22．（2023·重庆江津·重庆市江津中学校校考二模）对于一个各数位上的数字均不为零且互不相等的数，将它各个数位上的数字分别平方后取其个位数字，得到一个新的数，称为的“趣味数”，并规定，（其中、为非零常数）．例如，其各个数位上的数字分别平方后数的个位数字分别是4、9、6，则234的“趣味数”，已知，，则，对于一个两位数和一个三位数，在的十位数字和个位数字中间插入一个数，得到一个新的三位数，若是的9倍，且是的趣味数，则的最小值＝．【答案】77275【分析】（1）分别求出7与12的“趣味数”，代入中，联立方程组即可求出a、b的值，从而确定的表达式，再求出的“趣味数”是，代入所求的表达式即可；（2）设s的十位数字为a，个位数字为b，分别表达出，由题意可得等式，再根据b的取值与等式成立的条件确定，由此列式计算，从而确定；再结合t是的“趣味数”，进一步确定t的值，从而求解．【详解】解：（1）7的“趣味数”是9，∴；12的“趣味数”是14，∴；∵，∴，∴，∵的“趣味数”是，∴；故答案为：77；（2）设s的十位数字为a，个位数字为b，由题意可知，，∵是s的9倍，∴，∴，∵，∴，∴，∵，，∴满足条件的a与k为：或或，∵，∴s'为135，315，∵t是的“趣味数”，∴t为195，915，“趣味数”为115，∵，∴，∴的最小值为275．故答案为：275．【点睛】本题考查因式分解的应用；准确理解题意，根据三位数的特点，能用字母表示数，再结合数的特点逐步确定各位数字的具体数是解题的关键．23．（2023·重庆九龙坡·重庆实验外国语学校校考三模）一个四位数，若千位上的数字与百位上的数字之和与十位上的数字与个位上的数字之和的积等于60，则称这个四位数为“六秩数”，例如，对于四位数1537，∵，∴1537为“六秩数”．若，，记，则；若N是一个“六秩数”，且是一个完全平方数，记，则的最大值与最小值的差为．【答案】6，8，4，3，【分析】根据题意用表示这个四位数，根据定义推出可能的值，计算比较出最大值和最小值，计算即可．【详解】设∵即整理得故根据题意N是一个“六秩数”，且是一个完全平方数则满足，且是一个完全平方数∵是一个完全平方数故或当时，，根据进行推算：①，，此时，故若，，则若，，则若，，则若，，则的最大值与最小值的差为②，，此时，故若，，则若，，舍去若，，则若，，舍去若，，舍去若，，舍去若，，则若，，舍去若，，则的最大值与最小值的差为③，，此时，故，舍去④，，此时，故若，，则若，，舍去若，，舍去若，，舍去若，，则的最大值与最小值的差为⑤，，此时，故若，，则若，，则若，，则若，，则的最大值与最小值的差为⑥，，此时，故，舍去⑦，，此时，故，舍去当时，，根据进行推算：①，，此时，故若，，舍去若，，则若，，舍去若，，则若，，舍去的最大值与最小值的差为综上，的最大值与最小值的差为6，8，4，3，故答案为：；6，8，4，3，【点睛】本题考查新定义下的实数运算，解题的关键是通过且是一个完全平方数，结合进行推算，得到可能性的数值，计算．24．（2023·重庆·三模）若一个四位数M的个位数字、十位数字、百位数字之和为12，则称这个四位数M为“永恒数”．将“永恒数”M的千位数字与百位数字交换顺序，十位数字与个位数字交换顺序得到一个新的四位数N，并规定．若一个“永恒数”M的百位数字与个位数字之差恰为千位数字，且为整数，则的最大值为．【答案】9【分析】设，则，再利用能被9整除得到d与b的值，即可求解．【详解】解：设，则，∴，又∵，∴，，且，∴，要使最大，必使，且为整数，则，∴最大为9，故答案为：9．【点睛】本题以新定义为背景，考查了整式的运算、因式分解，解题的关键是熟练应用“永恒数”的定义计算