重要几何模型12-4三垂直模型【原卷版+解析】

第十二章重要几何模型4三垂直模型1三垂直模型的基本图象①由∆ABE≅∆BCD，推出AE=ED+CD;②由∆ABE≅∆BCD，推出AB=EC+CD;③由∆ABE≅∆BCD，推出BC=AB+CD.2拓展模型若A,P,B三点在一条直线上，∠A=∠B=∠CPD=α，则∆APC≅∆BDP.【题型1】基本模型【典题1】如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，分别过点B，C作过点A的直线的垂线BD，CE，垂足为D，E．若BD＝4cm，CE＝3cm，求DE的长．【典题2】如图，在△ABC中，∠B=∠C，点D、E、F分别在AB,BC,AC上，且BE=CF，AD+EC=AB【巩固练习】1.一天课间，顽皮的小明同学拿着老师的等腰直角三角板玩，不小心将三角板掉到两根柱子之间，如图所示，这一幕恰巧被数学老师看见了，于是有了下面这道题：如果每块砖的厚度a＝8cm，则DE的长为()A．40cm B．48cm C．56cm D．64cm2.如图，在△ABC中AB＝AC＝9，点E在边AC上，AE的中垂线交BC于点D，若∠ADE＝∠B，CD＝3BD，则CE等于．3.已知△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC．BE、AD分别与过点C的直线垂直，且垂足分别为D，E．学习完第十二章后，张老师首先让同学们完成问题1：如图1，若AD＝2.5cm，DE＝1.7cm，求BE的长；然后，张老师又提出问题2：将图1中的直线CE绕点C旋转到△ABC的外部，BE、AD与直线CE的垂直关系不变，如图2，猜想AD、DE、BE三者的数量关系，并给予证明．4.如图，在△ABC中，AB＝BC．(1)如图①所示，直线NM过点B，AM⊥MN于点M，CN⊥MN于点N，且∠ABC＝90°．求证：MN＝AM+CN．(2)如图②所示，直线MN过点B，AM交MN于点M，CN交MN于点N，且∠AMB＝∠ABC＝∠BNC，则MN＝AM+CN是否成立？请说明理由．【题型2】模型变式综合练习【典题1】(1)尝试探究：如图①，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，AF是过点A的一条直线，且B，C在AE的同侧，BD⊥AE于D，CE⊥AE于E，则图中与线段AD相等的线段是；DE与BD、CE的数量关系为．(2)类比延伸：如图②，∠ABC＝90°，BA＝BC，点A，B的坐标分别是(﹣2，0)，(0，3)，求点C的坐标．(3)拓展迁移：在(2)的条件下，在坐标平面内找一点P(不与点C重合)，使△PAB与△ABC全等．直接写出点P的坐标．【巩固练习】1.问题背景：(1)如图①，已知△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，直线m经过点A，BD⊥直线m，CE⊥直线m，垂足分别为点D、E，请直接写出BD、CE、DE的数量关系．拓展延伸：(2)如图②，将(1)中的条件改为：在△ABC中，AB＝AC，D、A、E三点都在直线m上，并且有∠BDA＝∠AEC＝∠BAC请写出DE、BD、CE三条线段的数量关系，并说明理由．实际应用：(3)如图③，在△ACB中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点C的坐标为(﹣2，0)，点A的坐标为(﹣6，3)，求B点的坐标．2.如图，线段AB＝6，射线BG⊥AB，P为射线BG上一点，以AP为边做正方形APCD，且点C、D与点B在AP两侧，在线段DP上取一点E，使得∠EAP＝∠BAP，直线CE与线段AB相交于点F(点F与点A、B不重合)．(1)求证：△AEP≌△CEP；(2)判断CF与AB的位置关系，并说明理由；(3)△AEF的周长是否为定值，若是，请求出这个定值，若不是，请说明理由．1.如图，AC＝CE，∠ACE＝90°，AB⊥BD，ED⊥BD，AB＝6cm，DE＝2cm，则BD等于()A．6cm B．8cm C．10cm D．4cm2.如图，一个等腰直角三角形ABC物件斜靠在墙角处(∠O＝90°)，若OA＝50cm，OB＝28cm，则点C离地面的距离是cm．3.一个等腰直角三角板如图搁置在两柜之间，且点D，C，E在同一直线上，已知稍高的柜高AD为80cm，两柜距离DE为140cm．求稍矮的柜高BE．4.如图，在△ABC中，∠ABC=∠ACB,BE=CF,E为BC边上的一点，以E为顶点作∠AEF，∠AEF的一边交AC5.探究：如图①，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，直线m经过点A，BD⊥m于点D，CE⊥m于点E，求证：△ABD≌△CAE．应用：如图②，在△ABC中，AB＝AC，D、A、E三点都在直线m上，并且有∠BDA＝∠AEC＝∠BAC．求出DE、BD和CE的关系．拓展：如图①中，若DE＝10．梯形BCED的面积．6.观察猜想：(1)如图1，∠ACB＝90°，AC＝BC，D，C，E三点在同一条直线上，且AD⊥CE，BE⊥CE，垂足分别为点D，E，则线段AD，DE，BE三者之间的数量关系是；类比探究：(2)如图2，∠ACB＝90°，AC＝BC，D，C，E三点在同一条直线上，且AD⊥CE，BE⊥CE，垂足分别为D，E，线段AD，DE，BE三者之间的数量关系有变化吗？请说明理由；拓展延伸：(3)如图3，若将(1)中的条件改为：在△ABC中，AC＝BC，D，C，E三点在同一条直线上，并且有∠BEC＝∠ADC＝∠BCA＝α，α为任意钝角，那么(1)中你的结论是否还成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．7.如图，等腰直角△ABC中，BC＝AC，∠ACB＝90°，现将该三角形放置在平面直角坐标系中，点B坐标为(0，2)，点C坐标为(6，0)．(1)过点A作AD⊥x轴，求OD的长及点A的坐标；(2)连接OA，若P为坐标平面内不同于点A的点，且以O、P、C为顶点的三角形与△OAC全等，请直接写出满足条件的点P的坐标；(3)已知OA＝10，试探究在x轴上是否存在点Q，使△OAQ是以OA为腰的等腰三角形？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

第十二章重要几何模型4三垂直模型1三垂直模型的基本图象①由∆ABE≅∆BCD，推出AE=ED+CD;②由∆ABE≅∆BCD，推出AB=EC+CD;③由∆ABE≅∆BCD，推出BC=AB+CD.2拓展模型若A,P,B三点在一条直线上，∠A=∠B=∠CPD=α，则∆APC≅∆BDP.【题型1】基本模型【典题1】如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，分别过点B，C作过点A的直线的垂线BD，CE，垂足为D，E．若BD＝4cm，CE＝3cm，求DE的长．解析∵BD⊥AD，CE⊥AE，∴∠D＝∠E＝90°，∵∠BAC＝90°，∴∠BAD+∠CAE＝90°，∠BAD+∠ABD＝90°，∴∠CAE＝∠ABD，在△ABD和△CAE中&∠D∴△ABD≌△CAE(AAS)，∴AD＝CE，BD＝AE，∵BD＝4cm，CE＝3cm，∴DE＝AD+AE＝CE+BD＝7cm．【典题2】如图，在△ABC中，∠B=∠C，点D、E、F分别在AB,BC,AC上，且BE=CF，AD+EC=解析(1)证明：∵AB=AC，∴∠B=∠C．

∵AB=AD+BD，AB=AD+EC，∴BD=EC．

在△DBE和△ECF中，&BE=CF&∠B=∠C,&BD=EC，∴△DBE≌△ECF(SAS)

∴DE=EF，

(2)解：∵∠A=40°，∴∠【巩固练习】1.一天课间，顽皮的小明同学拿着老师的等腰直角三角板玩，不小心将三角板掉到两根柱子之间，如图所示，这一幕恰巧被数学老师看见了，于是有了下面这道题：如果每块砖的厚度a＝8cm，则DE的长为()A．40cm B．48cm C．56cm D．64cm答案C解析由题意得∠ADC＝∠CEB＝∠ACB＝90°，AC＝CB，∴∠ACD＝90°﹣∠BCE＝∠CBE，在△ACD和△CBE中&∠ADC∴△ACD≌△CBE(AAS)，∴CD＝BE＝3a，AD＝CE＝4a，∴DE＝CD+CE＝3a+4a＝7a，∵a＝8cm，∴7a＝56cm，∴DE＝56cm，故选：C．2.如图，在△ABC中AB＝AC＝9，点E在边AC上，AE的中垂线交BC于点D，若∠ADE＝∠B，CD＝3BD，则CE等于．答案3解析∵AB＝AC＝9，∴∠B＝∠C，∵∠ADE＝∠B，∠BAD＝180°﹣∠B﹣∠ADB，∠CDE＝180°﹣∠ADE﹣∠ADB，∴∠BAD＝∠CDE，∵AE的中垂线交BC于点D，∴AD＝ED，在△ABD与△DCE中&∠BAD∴△ABD≌△DCE(AAS)，∴CD＝AB＝9，BD＝CE，∵CD＝3BD，∴CE＝BD＝3．故答案为：3．3.已知△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC．BE、AD分别与过点C的直线垂直，且垂足分别为D，E．学习完第十二章后，张老师首先让同学们完成问题1：如图1，若AD＝2.5cm，DE＝1.7cm，求BE的长；然后，张老师又提出问题2：将图1中的直线CE绕点C旋转到△ABC的外部，BE、AD与直线CE的垂直关系不变，如图2，猜想AD、DE、BE三者的数量关系，并给予证明．答案DE＝AD+BE解析如图1，∵∠ACB＝∠BEC＝∠ADC＝90°，∴∠ACD+∠BCE＝90°＝∠ACD+∠CAD，∴∠BCE＝∠CAD，在△ACD和△CBE中&∠BEC∴△ACD≌△CBE(AAS)，∴AD＝CE＝2.5cm，BE＝CD，∵DE＝1.7cm，∴BE＝CD＝CE﹣DE＝2.5﹣1.7＝0.8cm，∴BE的长为0.8cm；如图2，DE＝AD+BE，理由如下：∵∠ACB＝∠BEC＝∠ADC＝90°，∴∠ACD+∠BCE＝90°＝∠ACD+∠CAD，∴∠BCE＝∠CAD，在△ACD和△CBE中&∠BEC∴△ACD≌△CBE(AAS)，∴AD＝CE，BE＝CD，∴DE＝AD+BE．4.如图，在△ABC中，AB＝BC．(1)如图①所示，直线NM过点B，AM⊥MN于点M，CN⊥MN于点N，且∠ABC＝90°．求证：MN＝AM+CN．(2)如图②所示，直线MN过点B，AM交MN于点M，CN交MN于点N，且∠AMB＝∠ABC＝∠BNC，则MN＝AM+CN是否成立？请说明理由．答案(1)略(2)(1)中的结论成立解析证明：(1)∵AM⊥MN于M，CN⊥MN于点N，∴∠AMB＝∠BNC＝90°，∴∠MAB+∠ABM＝90°，∵∠ABC＝90°，∴∠ABM+∠NBC＝90°，∴∠MAB＝∠NBC，∵在△ABM和△BCN中&∠AMB∴△ABM≌△BCN(AAS)，∴AM＝BN，BM＝CN，∴MN＝BM+BN＝AM+CN；(2)(1)中的结论成立，理由如下：设∠AMB＝∠ABC＝∠BNC＝α，∴∠ABM+∠BAM＝∠ABM+∠CBN＝180°﹣α，∴∠BAM＝∠CBN，在△ABM和△BCN中&∴△ABM≌△BCN(AAS)，∴AM＝BN，BM＝CN，∴MN＝BN+BM＝AM+CN．【题型2】模型变式综合练习【典题1】(1)尝试探究：如图①，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，AF是过点A的一条直线，且B，C在AE的同侧，BD⊥AE于D，CE⊥AE于E，则图中与线段AD相等的线段是；DE与BD、CE的数量关系为．(2)类比延伸：如图②，∠ABC＝90°，BA＝BC，点A，B的坐标分别是(﹣2，0)，(0，3)，求点C的坐标．(3)拓展迁移：在(2)的条件下，在坐标平面内找一点P(不与点C重合)，使△PAB与△ABC全等．直接写出点P的坐标．解析(1)∵∠BAC＝90°，BD⊥AE于D，CE⊥AE，∴∠DAB＝90°﹣∠EAC＝∠ACE，∠ADB＝∠AEC＝90°，∵AB＝AC，∴△ADB≌△CEA(AAS)，∴AD＝CE，BD＝AE，∴DE＝AD+AE＝CE+DB，故答案为：CE；DE＝CE+DB；(2)如图，过C作CD⊥y轴于D，∵∠ABC＝90°，∴∠CBD＝90°﹣∠ABO＝∠BAO，∵∠CDB＝∠BOA＝90°，AB＝BC，∴△AOB≌△BDC(AAS)，∴CD＝OB＝3，BD＝OA＝2，∴OD＝OB+BD＝5，∴C(﹣3，5)；(3)存在．①当△ABC≌ABP时，过P作PE⊥y轴于E，如图：∵△ABC≌ABP，∴BC＝BP，∠ABC＝∠ABP＝90°，∴∠ABC+∠ABP＝180°，∴C、B、P共线，∴∠CBD＝∠EBP，又∠CDB＝∠PEB＝90°，∴△CDB≌△PEB(AAS)，∴PE＝CD＝3，BE＝BD＝2，∴OE＝OB﹣BE＝1，∴P(3，1)，②当△ABC≌△BAP时，过P作x轴平行线，过A作y轴平行线交于F，如图：∵△ABC≌△BAP，∴∠ABC＝∠BAP＝90°，BC＝AP，∴BC∥AP，∴∠DBC＝∠BGA＝∠FAP，∵∠CDB＝∠PFA＝90°，∴△CDB≌△PFA(AAS)，∴AF＝BD＝2，PF＝CD＝3，∴P(1，﹣2)，③当△ABC≌△APC时，过P作PH⊥x轴于H，如图：∵△ABC≌△APC，∴AB＝AP，∠BAC＝∠PAC＝45°，∴∠PAB＝90°，∴∠PAH＝90°﹣∠BAO＝∠ABO＝90°﹣∠CBD＝∠BCD，∵AB＝BC，∴BC＝AP，而∠PHA＝∠CDB＝90°，∴△PHA≌△BDC(AAS)，∴PH＝BD＝2，AH＝CD＝3，∴P(﹣5，2)，综上所述，P的坐标为：(3，1)或(1，−2)或(−5，2)．【巩固练习】1.问题背景：(1)如图①，已知△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，直线m经过点A，BD⊥直线m，CE⊥直线m，垂足分别为点D、E，请直接写出BD、CE、DE的数量关系．拓展延伸：(2)如图②，将(1)中的条件改为：在△ABC中，AB＝AC，D、A、E三点都在直线m上，并且有∠BDA＝∠AEC＝∠BAC请写出DE、BD、CE三条线段的数量关系，并说明理由．实际应用：(3)如图③，在△ACB中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点C的坐标为(﹣2，0)，点A的坐标为(﹣6，3)，求B点的坐标．答案(1)BD+CE＝DE(2)BD+CE＝DE(3)(1，4)解析(1)BD+CE＝DE，理由如下：∵BD⊥AD，∴∠ABD+∠BAD＝90°，∵∠BAC＝90°，∴∠CAE+∠BAD＝90°，∴∠ABD＝∠CAE，在△ABD和△CAE中&∠ADB∴△ABD≌△CAE(AAS)，∴BD＝AE，AD＝CE，∴BD+CE＝AE+AD＝DE；(2)BD+CE＝DE，理由如下：在△ABD中，∠ABD＝180°﹣∠ADB﹣∠BAD，∵∠CAE＝180°﹣∠BAC﹣∠BAD，∠BDA＝∠BAC，∴∠ABD＝∠CAE，在△ABD和△CAE中&∠BDA∴△ABD≌△CAE(AAS)，∴BD＝AE，AD＝CE，∴BD+CE＝AE+AD＝DE；(3)如图③，过A作AE⊥x轴于点E，过BBF⊥x轴于点F，∵点C的坐标为(﹣2，0)，点A的坐标为(﹣6，3)，∴OC＝2，OE＝6，AE＝3，∴CE＝OE﹣OC＝6﹣2＝4，由(1)可知，△AEC≌△CFB(AAS)，∴CF＝AE＝3，BF＝CE＝4，∴OF＝CF﹣OC＝3﹣2＝1，∴点B的坐标为(1，4)．2.如图，线段AB＝6，射线BG⊥AB，P为射线BG上一点，以AP为边做正方形APCD，且点C、D与点B在AP两侧，在线段DP上取一点E，使得∠EAP＝∠BAP，直线CE与线段AB相交于点F(点F与点A、B不重合)．(1)求证：△AEP≌△CEP；(2)判断CF与AB的位置关系，并说明理由；(3)△AEF的周长是否为定值，若是，请求出这个定值，若不是，请说明理由．答案(1)略(2)CF⊥AB(3)△AEF的周长是定值解析(1)证明：如图，∵四边形APCD是正方形，∴AP＝AD＝CP＝CD，∠PAD＝∠PCD＝90°，∴∠APD＝∠ADP＝45°，∠CPD＝∠CDP＝45°，∴∠APE＝∠CPE，∴PE＝PE，∴△AEP≌△CEP(SAS)．(2)解：CF⊥AB，理由如下：如图，设CF交PA于点H，∵∠EAP＝∠BAP，∠EAP＝∠ECP，∴∠BAP＝∠ECP，即∠FAH＝∠PCH，∵∠AHF＝∠CHP，∠CPH＝90°，∴∠FAH+∠AHF＝∠PCH+∠CHP＝90°，∴∠AFH＝90°，∴CF⊥AB．(3)解：△AEF的周长是定值，如图，作CI⊥BG于点I，∵BG⊥AB，∴∠BFC＝∠B＝∠BIC＝90°，∴四边形BFCI是矩形，∴CI＝FB，CF＝BI，∴∠B＝∠PIC＝90°，∠APB＝90°﹣∠CPI＝∠PCI，AP＝PC，∴△APB≌△CPI(AAS)，∴PB＝CI，AB＝PI，∴FB＝PB，∵AE＝CE，∴AE+EF+AF＝CE+EF+AF＝CF+AF＝BI+AF，∵BI＝PI+PB，∴AE+EF+AF＝PI+PB+AF＝AB+FB+AF＝AB+AB＝2AB＝2×6＝12，∴△AEF的周长是定值，这个定值是12．1.如图，AC＝CE，∠ACE＝90°，AB⊥BD，ED⊥BD，AB＝6cm，DE＝2cm，则BD等于()A．6cm B．8cm C．10cm D．4cm答案B解析∵AB⊥BD，ED⊥BD，∴∠B＝∠D＝∠ACE＝90°，∴∠BAC+∠ACB＝90°，∠ACB+∠ECD＝90°，∴∠BAC＝∠ECD，∵在Rt△ABC与Rt△CDE中&∠B∴Rt△ABC≌Rt△CDE(AAS)，∴BC＝DE＝2cm，CD＝AB＝6cm，∴BD＝BC+CD＝2+6＝8cm，故选：B．2.如图，一个等腰直角三角形ABC物件斜靠在墙角处(∠O＝90°)，若OA＝50cm，OB＝28cm，则点C离地面的距离是cm．答案28解析如图，过点C作CD⊥OB于点D，∵∠O＝∠ABC＝∠BDC＝90°，∴∠1＝∠2(同角的余角相等)．在△AOB与△BDC中&∠O∴△AOB≌△BDC(AAS)．∴OB＝CD＝28cm．故答案是：28．3.一个等腰直角三角板如图搁置在两柜之间，且点D，C，E在同一直线上，已知稍高的柜高AD为80cm，两柜距离DE为140cm．求稍矮的柜高BE．答案60cm解析由题意得：∠ADC＝∠ACB＝∠BEC＝90°，AC＝BC，∵∠ACB＝90°，∴∠ACD+∠BCE＝90°，∵∠BEC＝90°，∴∠BCE+∠CBE＝90°，∴∠ACD＝∠CBE，在△ADC和△CEB中&∠ADC∴△ADC≌△CEB(AAS)，∴AD＝CE，DC＝BE，∵AD＝80cm，∴CE＝80cm，∵DE＝140cm，∴DC＝60cm，∴BE＝60cm．4.如图，在△ABC中，∠ABC=∠ACB,BE=CF,E为BC边上的一点，以E为顶点作∠AEF，∠AEF的一边交答案AC解析AC=EC，理由如下：

∵∠ABC=∠ACB，∴AB=AC，

∵∠B+∠BAE=∠AEC=∠AEF+∠CEF，∠AEF=∠B，

∴∠BAE=∠5.探究：如图①，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，直线m经过点A，BD⊥m于点D，CE⊥m于点E，求证：△ABD≌△CAE．应用：如图②，在△ABC中，AB＝AC，D、A、E三点都在直线m上，并且有∠BDA＝∠AEC＝∠BAC．求出DE、BD和CE的关系．拓展：如图①中，若DE＝10．梯形BCED的面积．答案DE＝BD+CE，50解析证明：∵BD⊥直线m，CE⊥直线m，∴∠BDA＝∠CEA＝90°，∵∠BAC＝90°，∴∠BAD+∠CAE＝90°，∵∠BAD+∠ABD＝90°，∴∠CAE＝∠ABD，在△ADB和△CEA中&∠BDA∴△ADB≌△CEA(AAS)；探究：解：设∠BDA＝∠BAC＝α，∴∠DBA+∠BAD＝∠BAD+∠CAE＝180°﹣α，∴∠CAE＝∠ABD，在△ABD和△CAE中&∠BDA∴△ABD≌△CAE(AAS)；∴AE＝BD，AD＝CE，∴DE＝AE+AD＝BD+CE；拓展：解：由探究知，△ADB≌△CEA，∴BD＝AE，AD＝CE，∴DE＝AD+AE＝CE+BD，∵DE＝10，∴BD+CE＝10，∴S故答案为：50．6.观察猜想：(1)如图1，∠ACB＝90°，AC＝BC，D，C，E三点在同一条直线上，且AD⊥CE，BE⊥CE，垂足分别为点D，E，则线段AD，DE，BE三者之间的数量关系是；类比探究：(2)如图2，∠ACB＝90°，AC＝BC，D，C，E三点在同一条直线上，且AD⊥CE，BE⊥CE，垂足分别为D，E，线段AD，DE，BE三者之间的数量关系有变化吗？请说明理由；拓展延伸：(3)如图3，若将(1)中的条件改为：在△ABC中，AC＝BC，D，C，E三点在同一条直线上，并且有∠BEC＝∠ADC＝∠BCA＝α，α为任意钝角，那么(1)中你的结论是否还成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．答案(1)DE＝AD+BE(2)AD＝BE+DE(3)(1)中的结论还成立解析(1)结论：DE＝AD+BE，理由：如图1中，∵BE⊥CE，AD⊥CE，∴∠E＝∠ADC＝90°，∴∠EBC+∠BCE＝90°，∵∠BCE+∠ACD＝90°，∴∠EBC＝∠DCA．在△CEB和△ADC中&∠E∴△CEB≌△ADC(AAS)，∴BE＝DC，CE＝AD，∴DE＝CE+DE＝AD+BE．故答案为：DE＝AD+BE；(2)结论：AD＝BE+DE．理由：如图2中，