专题06整式的加减规律题专项训练(原卷版+解析)(人教版)

专题06整式的加减规律题专项训练代数字类规律性探索1．对于正数x，规定，例如：，，，，计算：（）A．199 B．200 C．201 D．2022．我们知道，同一个平面内，1条直线将平面分成部分，2条直线将平面最多分成部分，3条直线将平面最多分成部分，4条直线将平面形多分成部分……，n条直线将平面最多分成部分，则（

）A． B． C． D．3．大于1的正整数m的三次幂可“分裂”成若干个连续奇数的和，如，，，…若分裂后，其中有一个奇数是1005，则m的值是（

）A．31 B．32 C．33 D．344．观察下列按一定规律排成的一组数：，从左起第个数记，则，．5．在一次数学活动课上，李老师将一副扑克牌中的红桃共张牌挑出，打乱顺序随机发给了甲、乙、丙三名同学，每人三张牌．已知甲的三张牌数字之和是，乙的三张牌数字之和与丙的三张牌数字之和相同，且乙的三张牌上的数字都是奇数．写出甲的三张牌上的数字是，丙的三张牌上的数字是．6．观察下列等式，并解下列各题．，，，讲以上三个等式两边分别相加得：(1)猜想并写出：__________；(2)直接写出下列各式得计算结果：__________．(3)探究并利用以上规律计算：．图形、图表类规律性探索7．正整数按如图的规律排列，则2022位于哪一行，哪一列（）A．第45行第4列 B．第4行第45列C．第46行第3列 D．第3行第46列8．杨辉三角是中国古代数学的杰出研究成果之一．如图，在杨辉三角形中，斜线l的上方，从1开始箭头所示的数组成一个锯齿形数列：1，3，3，4，6，5，10，…，用表示这个数列的第n个数，则．9．我国南宋数学家杨辉年所著的《详解九章算法》一书里出现了如图所示的表（图①），即杨辉三角．现在将所有的奇数记“”，所有的偶数记为“”，则前行如图②，前行如图③，求前行“”的个数为．10．有黑、白各6张卡片，分别写有数字1至6把它们像扑克牌那样洗过后，数字朝下，如图排成两行，排列规则如下：

①左至右，按数字从小到大的顺序排列；②黑、白卡片数字相同时，黑卡片放在左边．将第一行卡片用大写英文字母按顺序标注，第二行卡片用小写英文字母按顺序标注，则白卡片数字1摆在了标注字母的位置，标注字母e的卡片写有数字．11．如图，四边形是矩形，点是边的三等分点，，点是边的中点，连接，，得到；点是的中点，连接，得到；点是的中点，连接，，得到；…按照此规律继续进行下去，若矩形的面积等于6，则的面积是．12．下列图形都是由相同大小的按一定规律组成的，其中第①个图形中一共有4颗，第②个图形中一共有11颗，第③个图形中一共有21颗，……按此规律排列下去．第⑩个图形中的颗数为．13．我们将如图所示的两种排列形式的点的个数分别叫做“平行四边形数”和“正六边形数”．设第n个“平行四边形数”和“正六边形数”的和为．14．（1）为了计算的值，我们构造图形（图），共行，每行依次比上一行多一个点．此图形共有个点．如图2，添出图形的另一半，此时共行列，有个点，由此可得．用此方法，可求得（直接写结果）．（2）观察下面的点阵图（如图3），解答问题：填空：①；②．（3）请构造一图形，求（画出示意图，写出计算结果）．15．（1）将正方体骰子（相对面上的点数分别为1和6、2和5、3和4）放置于水平桌面上，如图1，在图2中，将骰子向右翻滚90°，然后在桌面上按逆时针方向旋转90°，则完成一次变换．若骰子的初始位置为图1所示的状态，那么按上述规则连续完成10次变换后，骰子朝上一面的点数是（

）A．6

B．5

C．3

D．2（2）如图，圆圈内分别标有0，1，2，3，4，…，11这12个数字．电子跳蚤每跳一次，可以从一个圆圈跳到相邻的圆圈，现在，一只电子跳蚤从标有数字“0”的圆圈开始，按逆时针方向跳了2010次后，落在一个圆圈中，该圆圈所标的数字是______．16．认真阅读材料，然后回答问题：我们初中学习了多项式的运算法则，相应的，我们可以计算出多项式的展开式，如：．．．……；下面我们依次对展开式的各项系数进一步研究发现，当取正整数时可以单独列成表中的形式：…………………1

1………………1

2

1……………1

3

3

1…………1

4

6

4

1………1

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1……1

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1……上面的多项式展开系数表称为“杨辉三角形”；仔细观察“杨辉三角形”，用你发现的规律回答下列问题：(1)多项式的第三项的系数______；(2)请你预测一下多项式展开式的各项系数之和______；(3)拓展：①写出展开式中含项的系数为______；②展开式按的升幂排列为：，若，求的值．17．【问题提出】在由个小正方形（边长为1）组成的矩形网格中，该矩形的一条对角线所穿过的小正方形个数与m，n有何关系？【问题探究】为探究规律，我们采用一般问题特殊化的策略，通过分类讨论，先从最简单的情形入手，再逐次递进，从中找出解决问题的方法．探究一：当m，n互质（m，n除1外无其他公因数）时，观察图1并完成下表：

图1矩形横长m233545…公矩形纵长n112233…矩形一条对角线所穿过的小正方形个数f23466…结论：当m，n互质时，在的矩形网格中，该矩形一条对角线所穿过的小正方形的个数f与m，n之间的关系式是________．探究二：当m，n不互质时，不妨设，（a，b，k为正整数，且a，b互质），观察图2并完成下表：图2a233523…b112211…k22223…矩形一条对角线所穿过的小正方形个数f4686…结论：当m，n不互质时，若，（a，b，k为正整数，且a，b互质）．在的矩形网格中，该矩形一条对角线所穿过的小正方形的个数f与a，b，k之间的关系式是________．【模型应用】一个由边长为1的小正方形组成的长为630，宽为490的矩形网格中，该矩形的一条对角线所穿过的小正方形个数是________个．图3【模型拓展】如图3，在一个由48个棱长为1的小正方体组成的长方体中，经过顶点A，B的直线穿过的小正方体的个数是________个．

专题06整式的加减规律题专项训练代数字类规律性探索1．对于正数x，规定，例如：，，，，计算：（）A．199 B．200 C．201 D．202【答案】C【分析】通过计算，可以推出结果．【详解】解：…，，，故选：C．【点睛】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则，找到数字变化规律是解本题的关键．2．我们知道，同一个平面内，1条直线将平面分成部分，2条直线将平面最多分成部分，3条直线将平面最多分成部分，4条直线将平面形多分成部分……，n条直线将平面最多分成部分，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据题意，抽象概括出相应的数字规律，n条直线将平面最多分成部分，进而得到，再进行求解即可．【详解】解：∵1条直线将平面分成部分，2条直线将平面最多分成部分，3条直线将平面最多分成部分，4条直线将平面形多分成部分……，∴n条直线将平面最多分成部分，∴，∴．故选B．【点睛】本题考查数字类规律探究．解题的关键是得到．3．大于1的正整数m的三次幂可“分裂”成若干个连续奇数的和，如，，，…若分裂后，其中有一个奇数是1005，则m的值是（

）A．31 B．32 C．33 D．34【答案】B【分析】观察可知，分裂成的奇数的个数与底数相同，求出到的所有奇数的个数的表达式，在求出1005是从3开始的第502个奇数，然后确定502所在范围即可得出结论．【详解】∵底数是2的分裂成2个奇数，底数是3的分裂成3个奇数，底数是4的分裂成4个奇数，∴分裂成个奇数，∴到的奇数个数为：，∵，∴奇数1005是从3开始的第502个奇数，∵，，∴第1005个奇数是底数为32的数的立方分裂的奇数的其中一个，即故选：B．【点睛】本题考查数字的变化规律．解题的关键是观察出分裂的奇数的个数与底数的特点．4．观察下列按一定规律排成的一组数：，从左起第个数记，则，．【答案】【分析】由题意知，为奇数时，为负，为偶数时，为正，由，可知，由题意知，则；其中；，；其中；，，；其中；，，，；其中；，记分母为，可推导一般性规律：分母相同的一组数中最后的一个的中的满足，由，可得，则，根据，计算求解即可．【详解】解：由题意知，为奇数时，为负，为偶数时，为正，∵，∴，∵，∴；其中；，；其中；，，；其中；，，，；其中；记分母为，可推导一般性规律：分母相同的一组数中最后的一个的中的满足，∵，∴，则，∴，故答案为：，．【点睛】本题考查了数字变化的规律探究．解题的关键在于推导一般性规律．5．在一次数学活动课上，李老师将一副扑克牌中的红桃共张牌挑出，打乱顺序随机发给了甲、乙、丙三名同学，每人三张牌．已知甲的三张牌数字之和是，乙的三张牌数字之和与丙的三张牌数字之和相同，且乙的三张牌上的数字都是奇数．写出甲的三张牌上的数字是，丙的三张牌上的数字是．【答案】【分析】根据题意先分析出甲的可能结果，然后结合乙的三个奇数，筛选出合适的，最后再按照乙丙的三张牌数字和相同进行分配即可．【详解】解：已知红桃有数字共计张牌甲的三张牌数字之和为的情况有、、三种组合，张牌中共有个奇数，乙的三张牌上的数字都是奇数，甲最多只能有一个奇数，只有符合，乙的三张牌数字之和与丙的三张牌数字之和相同，乙的三张牌数字为，丙的三张牌数字为，故答案为：；【点睛】本题考查了数字类组合运算，按照题目进行逐步筛选和分析是解题关键．6．观察下列等式，并解下列各题．，，，讲以上三个等式两边分别相加得：(1)猜想并写出：__________；(2)直接写出下列各式得计算结果：__________．(3)探究并利用以上规律计算：．【答案】(1)；(2)；(3)【分析】（1）根据题中给出的例子即可找出规律；（2）根据（1）中得出的规律进行计算即可；（3）根据得出的规律进行计算即可得到答案．【详解】（1）解：，，，，故答案为：；（2）解：根据题意可得：，故答案为：；（3）解：根据题意可得：．【点睛】本题主要考查规律型：数字的变化类，根据题意找出规律是解答此题的关键．图形、图表类规律性探索7．正整数按如图的规律排列，则2022位于哪一行，哪一列（）A．第45行第4列 B．第4行第45列C．第46行第3列 D．第3行第46列【答案】B【分析】观察图形可知这些数字排成的是一个正方形，则由，即可判断2022的位置．【详解】解：观察图形可知这些数字排成的是一个正方形，∵，∴2022在第45列，∵，∴2022在第4行，即2022位于第4行，第45列．故选：B．【点睛】本题主要考查了数字的变化规律，由所给的数字得出存在的规律是解答的关键．8．杨辉三角是中国古代数学的杰出研究成果之一．如图，在杨辉三角形中，斜线l的上方，从1开始箭头所示的数组成一个锯齿形数列：1，3，3，4，6，5，10，…，用表示这个数列的第n个数，则．【答案】1327【分析】分奇数和偶数计算．【详解】当序号为偶数时，，∴，∴；当序号为奇数时，，∴，∴；∴，故答案为：．【点睛】本题考查了规律探索，正确运用分类思想分成偶数列，奇数列计算是解题的关键．9．我国南宋数学家杨辉年所著的《详解九章算法》一书里出现了如图所示的表（图①），即杨辉三角．现在将所有的奇数记“”，所有的偶数记为“”，则前行如图②，前行如图③，求前行“”的个数为．【答案】【分析】先根据给出的图②和图③找出出现“”规律，然后根据规律即可得解．【详解】观察图②和图③可知，前行中包含个前行的图形，中间三角形中的数字均为，前行中“”的个数是前行中“”的个数的倍，即前行中“”的个数为（个），同理可知前行中“”的个数是前行中“”的个数的倍，即前行中“”的个数为（个），前行中“”的个数是前行中“”的个数的倍，即前行中“”的个数为（个），故答案为：．【点睛】本题考查了数字规律探究计算，根据给出的图②和图③找出出现“”规律是解题关键．10．有黑、白各6张卡片，分别写有数字1至6把它们像扑克牌那样洗过后，数字朝下，如图排成两行，排列规则如下：

①左至右，按数字从小到大的顺序排列；②黑、白卡片数字相同时，黑卡片放在左边．将第一行卡片用大写英文字母按顺序标注，第二行卡片用小写英文字母按顺序标注，则白卡片数字1摆在了标注字母的位置，标注字母e的卡片写有数字．【答案】B4【分析】根据排列规则依次确定白1，白2，白3，白4的位置，即可得出答案．【详解】解：第一行中B与第二行中c肯定有一张为白1，若第二行中c为白1，则左边不可能有2张黑卡片，白卡片数字1摆在了标注字母B的位置，黑卡片数字1摆在了标注字母A的位置，；第一行中C与第二行中c肯定有一张为白2，若第二行中c为白2，则a，b只能是黑1，黑2，而A为黑1，矛盾，第一行中C为白2；第一行中F与第二行中c肯定有一张为白3，若第一行中F为白3，则D，E只能是黑2，黑3，此时黑2在白2右边，与规则②矛盾，第二行中c为白3，第二行中a为黑2，b为黑3；第一行中F与第二行中e肯定有一张为白4，若第一行中F为白4，则D，E只能是黑3，黑4，与b为黑3矛盾，第二行中e为白4．故答案为：①B，②4．【点睛】本题考查图形类规律探索，解题的关键是理解题意，根据所给规则依次确定出白1，白2，白3，白4的位置．11．如图，四边形是矩形，点是边的三等分点，，点是边的中点，连接，，得到；点是的中点，连接，得到；点是的中点，连接，，得到；…按照此规律继续进行下去，若矩形的面积等于6，则的面积是．【答案】【分析】由题意得：，，，，，整理可得，，从而得解．【详解】四边形ABCD是矩形，，，，点是CB边的中点，，，，，，，，是的中点，，，，整理得：，同理可得：，，．．故答案为：．【点睛】本题主要考查三角形的面积，规律型图形的变化类，解答的关键是通过整理归纳出其规律．12．下列图形都是由相同大小的按一定规律组成的，其中第①个图形中一共有4颗，第②个图形中一共有11颗，第③个图形中一共有21颗，……按此规律排列下去．第⑩个图形中的颗数为．【答案】175【分析】根据题意将每个图形都看作两部分，一部分是上面的构成规则的矩形，另一部分是构成下面的近似金字塔的形状，然后根据递增关系即可得到答案．【详解】第①个图形中的颗数；第②个图形中的颗数；第③个图形中的颗数；第④个图形中的颗数；……∴第n个图形中的颗数∴当时，，∴第⑩个图形中的颗数为颗，故答案为：【点睛】本题考查了图形变化规律，正确地得到每个图形中小星星的数字变化情况是解题的关键．13．我们将如图所示的两种排列形式的点的个数分别叫做“平行四边形数”和“正六边形数”．设第n个“平行四边形数”和“正六边形数”的和为．【答案】【分析】根据图形变化规律，列出“平行四边形数”和“正六边形数”前三个满足的等式，即可推出第n个满足的等式，最后求和即可．【详解】由图可知，第1个“平行四边形数”为，第2个“平行四边形数”为，第3个“平行四边形数”为，，第n个“平行四边形数”为；由图可知，第1个“正六边形数”为，第2个“正六边形数”为，第3个“正六边形数”为，，第n个“正六边形数”为，其和为．故答案为：．【点睛】本题考查规律型：图形变化类，解题的关键是学会从一般到特殊的探究方法，找到规律后即可解决问题，属于中考常考题型．14．（1）为了计算的值，我们构造图形（图），共行，每行依次比上一行多一个点．此图形共有个点．如图2，添出图形的另一半，此时共行列，有个点，由此可得．用此方法，可求得（直接写结果）．（2）观察下面的点阵图（如图3），解答问题：填空：①；②．（3）请构造一图形，求（画出示意图，写出计算结果）．【答案】（1）；（2）①，②；（3），图和过程见解析【分析】（1）根据给定的计算方法，进行计算即可；（2）①根据已有点阵图，得到第个点阵图中点的个数为，再进行计算即可；②根据规律进行计算即可；（3）将一个面积为1的正方形分割为和两部分，再将正方形的分割为和两部分，，依次进行分割，再进行计算即可．【详解】解：（1）；故答案为：；（2）由点阵图可知：个数时和为，个数时和为，个数时和为，，个数时和为．∵中有个数，∴．∵中有个数，∴．故答案为：；；（3）由题意画出图形如下：假定正方形的面积为，第次将正方形分割为和两部分，第次将正方形的分割为和两部分，•••，以此类推，第次分割后，剩余的面积为，那么除了剩余部分的面积，前面所有分割留下的面积应该是：，∴．【点睛】本题考查图形的规律探究，有理数的混合运算，数形结合思想．解题的关键是将代数问题转化为几何图形，利用数形结合的思想，进行简便运算．15．（1）将正方体骰子（相对面上的点数分别为1和6、2和5、3和4）放置于水平桌面上，如图1，在图2中，将骰子向右翻滚90°，然后在桌面上按逆时针方向旋转90°，则完成一次变换．若骰子的初始位置为图1所示的状态，那么按上述规则连续完成10次变换后，骰子朝上一面的点数是（

）A．6

B．5

C．3

D．2（2）如图，圆圈内分别标有0，1，2，3，4，…，11这12个数字．电子跳蚤每跳一次，可以从一个圆圈跳到相邻的圆圈，现在，一只电子跳蚤从标有数字“0”的圆圈开始，按逆时针方向跳了2010次后，落在一个圆圈中，该圆圈所标的数字是______．【答案】（1）B；（2）6【分析】（1）先向右翻滚，然后再逆时针旋转叫做一次变换，那么连续3次变换是一个循环．本题先要找出3次变换是一个循环，然后再求10被3整除后余数是1，从而确定第1次变换的第1步变换，即可得出答案；（2）由题意知12个数一循环，然后再求2010被12整除后余数是多少来决定是哪个数即可．【详解】解：（1）根据题意可知连续3次变换是一循环，∵，∴是第1次变换后的图形，即按上述规则连续完成10次变换后，骰子朝上一面的点数是5，故B正确．故选：B．（2）根据题意可知是0，1，2，3，4，…，11即12个数是一个循环，∵，∴该圆圈所标的数字是6．故答案为：6．【点睛】本题考查了数字变化规律和图形变换规律，是一道找规律的题目，这类题型在中考中经常出现．对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的．16．认真阅读材料，然后回答问题：我们初中学习了多项式的运算法则，相应的，我们可以计算出多项式的展开式，如：．．．……；下面我们依次对展开式的各项系数进一步研究发现，当取正整数时可以单独列成表中的形式：…………………1

1………………1

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1……上面的多项式展开系数表称为“杨辉三角形”；仔细观察“杨辉三角形”，用你发现的规律回答下列问题：(1)多项式的第三项的系数______；(2)请你预测一下多项式展开式的各项系数之和______；(3)拓展：①写出展开式中含项的系数为______；②展开式按的升幂排列为：，若，求的值．【答案】(1)(2)(3)①；②【分析】（1）由题意可求得当时，多项式的第三项的系数是多少，找到规律，即可得出答案；（2）求得当时，多项式展开式的各项系数之和，找到规律，即可求得答案；（3）①首先确定是展开式中第几项，再根据杨辉三角即可解决问题；②将代入求解即可．【详解】（1）解：当时，多项式的展开式是一次二项式，此时第三项的系数为：；当时，多项式的展开式是二次三项式，此时第三项的系数为：；当时，多项式的展开式是三次四项式，此时第三项的系数为：；当时，多项式的展开式是四次五项式，此时第三项的系数为：；……多项式的展开式是一个次项式，第三项的系数为：；故答案为：；（2）解：当时，多项式的展开式的各项系数之和为：；当时，多项式的展开式的各项系数之和为：；当时，多项式的展开式的各项系数之和为：；当时，多项式的展开式的各项系数之和为：；……多项式展开式的各项系数之和为，故答案为：；（3）解：①，展开式中含项是其展开式的第二项，，故答案为：；②，当时，令，则，．【点睛】本题考查了杨辉三角，数字的规律，解题的关键是根据图形中数字找出相应的规律，再表示展开式．17．【问题提出】在由个小正方形（边长为1）组成的矩形网格中，该矩形的一条对角线所穿过的小正方形个数与m，n有何关系？【问题探究】为探究规律，我们采用一般问题特殊化的策略，通过分类讨论，先从最简单的情形入手，再逐次递进，从中找出解决问题的方法．探究一：当m，n互质（m，n除1外无其他公因数）时，观察图1并完成下表：

图1矩形横长m233545…公矩形纵长n112233…矩形一条对角线所穿过的小正方形个数f23466…结论：当m，n互质时，在的矩形网格中，该矩形一条对角线所穿过的小正方形的个数f与m，n之间的关系式是________．探究二：当m，n不互质时，不妨设，（a，b，k为正整数，且a，b互质），观察图2并完成下表：图2a233523…b112211…k22223…矩形一条对角线所穿过的小正方形个数f4686…结论：当m，n不互质时，若，（a，b，k为正整数，且a，b互质）．在的矩形网格中，该矩形一条对角线所穿过的小正方形的个数f与a，b，k之间的关系式是________．【模型应用】一个由边长为1的小正方形组成的长为630，宽为490的矩形网格中，该矩形的一条对角线所穿过的小正方形个数是________个．图3【模型拓展】如图3，在一个由48个棱长为1的小正方体组成的长方体中，经过顶点A，