第4章《等可能条件下的概率》知识讲练(学生版+解析)

2023-2024学年苏科版数学九年级上册章节知识讲练知识点01：等可能性一般地，设一个试验的所有可能发生的结果有n个，它们都是随机事件，每次试验有且只有其中的一个结果出现.如果每个结果出现的机会均等，那么我们说这n个事件的发生是等可能的，也称这个试验的结果具有等可能性.知识点02：等可能条件下的概率1.等可能条件下的概率一般地，如果一个试验有n个等可能的结果，当其中的m个结果之一出现时，事件A发生，那么事件A发生的概率P（A）=（其中m是指事件A发生可能出现的结果数，n是指所有等可能出现的结果数）.当一个随机事件在一次试验中的所有可能出现的结果是有限个，且具有等可能性时，只需列出一次试验可能出现的所有结果，就可以求出某个事件发生的概率.2.等可能条件下的概率的求法一般地，等可能性条件下的概率计算方法和步骤是：（1）列出所有可能的结果，并判定每个结果发生的可能性都相等；（2）确定所有可能发生的结果的个数n和其中出现所求事件的结果个数m；（3）计算所求事件发生的可能性：P（所求事件）=.知识点03：用列举法计算概率常用的列举法有两种：列表法和画树状图法.1.列表法当一次试验要涉及两个因素，并且可能出现的结果数目较多时，为不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用列表法.列表法是用表格的形式反映事件发生的各种情况出现的次数和方式，以及某一事件发生的可能的次数和方式，并求出概率的方法.细节剖析：（1）列表法适用于各种情况出现的总次数不是很大时，求概率的问题；（2）列表法适用于涉及两步试验的随机事件发生的概率.2.树状图当一次试验要涉及3个或更多个因素时，为了不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用树形图，也称树形图、树图.树形图是用树状图形的形式反映事件发生的各种情况出现的次数和方式，以及某一事件发生的可能的次数和方式，并求出概率的方法.细节剖析：(1)树状图法同样适用于各种情况出现的总次数不是很大时，求概率的问题；(2)在用树状图法求可能事件的概率时，应注意各种情况出现的可能性务必相同.一．选择题（共10小题，满分20分，每小题2分）1．（2分）（2023春•宿豫区期末）一只不透明的袋子中装有1个白球、2个黑球、3个红球，这些球除颜色外都相同，将球摇匀，从中任意摸出1个球，则摸到球的概率最大的是（）A．白球 B．黑球 C．红球 D．黄球2．（2分）（2023•盐城一模）一个小球在如图所示的地板上自由滚动，并随机停在某块方砖上．如果每一块方砖除颜色外完全相同，那么小球最终停留在黑砖上的概率是（）A． B． C． D．3．（2分）（2023•连云港）如图是由16个相同的小正方形和4个相同的大正方形组成的图形，在这个图形内任取一点P，则点P落在阴影部分的概率为（）A． B． C． D．4．（2分）（2023•工业园区校级二模）中国传统文化中很多内容体现了数学中的对称美，太极图是由黑白两个鱼形纹组成的圆形图案，充分体现了相互转化，对称统一的形式美和谐美．如图，正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图，现随机向正方形内置一枚小针则针尖落入黑色区域内的概率为（）A． B． C． D．5．（2分）（2023•射阳县校级二模）如图，点C、D在线段AB上，且AC：CD：DB＝3：2：1．以点A为圆心，分别以线段AC、AD、AB为半径画同心圆，记以AC为半径的圆为区域Ⅰ，CD所在的圆环为区域Ⅱ，DB所在的圆环为区域Ⅲ．现在此图形中随机撒一把豆子，统计落在Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ三个区域内的豆子数．若大量重复此实验，则（）A．豆子落在区域Ⅰ的概率最小 B．豆子落在区域Ⅱ的概率最小 C．豆子落在区域Ⅲ的概率最小 D．豆子落在区域Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的概率相同6．（2分）（2023•工业园区校级二模）如图，小明随机地在对角线为6cm和8cm的菱形区域内投针，则针扎到其内切圆区域的概率是（）A． B． C． D．7．（2分）（2022秋•泗阳县期末）从甲，乙，丙三人中任选两名代表，甲被选中的可能性是（）A． B． C． D．8．（2分）（2022秋•海陵区校级期中）小明随机地在如图所示的圆及其内部区域投针，则针扎到其内接等边三角形（阴影）区域的概率为（）A． B． C． D．9．（2分）（2018秋•玄武区期中）如图，一个可以自由转动的转盘，被分成了白色和红色两个区域，任意转动转盘一次，当转盘停止转动时（若指针停在边界处，则重新转动转盘），指针落在红色区域内的概率是（）A． B． C． D．10．（2分）（2020秋•射阳县期末）我们研究过的图形中，圆的任何一对平行切线的距离总是相等的，所以圆是“等宽曲线”．除了圆以外，还有一些几何图形也是“等宽曲线”，如勒洛三角形（如图1），它是分别以等边三角形的每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间画一段圆弧，三段圆弧围成的曲边三角形．图2是等宽的勒洛三角形和圆形滚木的截面图．有如下四个结论：①勒洛三角形是中心对称图形；②使用截面是勒洛三角形的滚木来搬运东西，不会发生上下抖动；③图2中，等边三角形的边长为2，则勒洛三角形的周长为2π；④图3中，在△ABC中随机取一点，则该点取自勒洛三角形DEF部分的概率为．上述结论中，所有正确结论的序号是（）A．①② B．②④ C．②③ D．③④二．填空题（共10小题，满分20分，每小题2分）11．（2分）（2023•苏州一模）如图，在4×4的正方形网格飞镖游戏板中，每块小正方形除颜色外都相同，小正方形的顶点称为格点．假设飞镖击中游戏板的每一处是等可能的（击中边界或没有击中游戏板，则重投一次），任意投掷飞镖一次，飞镖击中阴影部分的概率是．​12．（2分）（2023•姑苏区校级一模）如图，正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图，现随机向正方形内掷一枚小针，则针尖落在黑色区域内的概率为．13．（2分）（2023•洪泽区二模）如图，正方形中所有的小三角形都全等，一只蚂蚁在正方形内部随机爬行，则它停在阴影部分的概率为．​14．（2分）（2023•东台市一模）不透明袋子中装有3个黑球、5个白球，这些球除了颜色外无其他差别．从袋子中随机摸出1个球，“摸出黑球”的概率是．15．（2分）（2023•苏州一模）如图所示游戏板中每一个小正方形除颜色外都相同，把游戏板平放到露天地面上，落在该游戏板上的第一滴雨正好打中阴影部分的概率是．16．（2分）（2023春•泰州期末）袋中装有8个小球，颜色为红、白、黑，每个球除颜色外其它都相同，将球摇匀，从中任意摸出一个球，若要求摸出的球是黑球和不是黑球的可能性一样，则红球和白球共有个．17．（2分）（2023•姜堰区一模）如图，小明制作了一个含内接正三角形的圆形标靶，图中的阴影部分是正三角形的内切圆，小明随意向该标靶区域投掷飞镖，则飞镖落在阴影区域的概率为．18．（2分）（2023•工业园区校级模拟）如图所示，电路图上有A、B、C三个开关和一个小灯泡，闭合开关C或者同事闭合开关A、B，都可使小灯泡发光，现在任意闭合其中一个开关，则小灯泡发光的概率等于．19．（2分）（2023•高新区一模）东汉时期的数学家赵爽在注解《周髀算经》时，给出的“赵爽弦图”是我国古代数学的瑰宝，如图1，四个直角三角形是全等的，且直角三角形的长直角边与短直角边之比为2：1，现连接四条线段得到图2的新的图案．若随机向该图形内掷一枚针，则针尖落在图2中阴影区域的概率为．20．（2分）（2021•武进区校级自主招生）有六张正面分别标有数0，1，2，3，4，5的不透明卡片，它们除了数字不同外其余全部相同．现将它们背面朝上，洗匀后从中任取一张，将卡片上的数记为a，则使关于x的方程+2＝有正整数解的概率为三．解答题（共8小题，满分60分）21．（6分）（2023•苏州二模）在一个不透明的盒子里装有除颜色外完全相同的红、白、黑三种颜色的球．其中红球3个，白球5个，黑球若干个，若从中任意摸出一个白球的概率是．（1）求任意摸出一个球是黑球的概率；（2）能否通过只改变盒子中白球的数量，使得任意摸出一个球是红球的概率，若能，请写出如何调整白球数量；若不能，请说明理由．22．（6分）（2023•江都区二模）甲，乙两个小区各有300户居民，为了解两个小区3月份用户使用燃气量情况，小明和小丽分别从中随机抽取30户进行调查，并对数据进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息．a．甲小区用气量频数分布直方图如下（数据分成5组：5≤x＜10，10≤x＜15，15≤x＜20，20≤x＜25，25≤x＜30）b．甲小区用气量的数据在15≤x＜20这一组的是：151516161616181818181819c．甲，乙两小区用气量的平均数、中位数、众数如下：小区平均数中位数众数甲17.2m18乙17.71915根据以上信息，回答下列问题：（1）写出表中m的值；（2）在甲小区抽取的用户中，记3月份用气量高于它们的平均用气量的户数为p1．在乙小区抽取的用户中，记3月份用气量高于它们的平均用气量的户数为p2．比较p1，p2的大小，并说明理由；（3）估计甲小区中用气量超过15立方米的户数．23．（8分）（2023•镇江一模）如图，在3×3的正方形网格中，点A、B、C、D、E、F都是格点．（1）从A、D、E、F四点中任意取一点，以这点及点B、C为顶点画三角形，求所画三角形是等腰三角形的概率；（2）从A、D、E、F四点中任意取两点，以这两点及点B、C为顶点画四边形，求所画四边形是平行四边形的概率．24．（8分）（2022秋•鼓楼区校级期末）为了响应区教育局“千师访万家”的新家庭教育活动，某校七年级3班的语文学科王老师、数学学科李老师决定分别利用周六上午、周日下午各自家访一名同学，本次家访的对象为班级第六组学习小伙伴，共有王鹏、李佳、刘丹三位同学．（1）李佳同学被王老师选为家访对象的概率是：；（2）请利用树状图或表格的形式求王老师和李老师家访的是同一个同学的概率．25．（8分）（2023春•大丰区期中）一个不透明的袋子中装有5个红球、7个黑球，这些球除颜色外都相同．（1）若从中任意摸出一个球，则摸到球的可能性大；（2）如果另外拿红球和黑球一共6个放入袋中，你认为怎样放才能让摸到红球和摸到黑球的可能性相同．26．（8分）（2023•铜山区一模）某医院医生为了研究该院某种疾病的诊断情况，需要调查来院就诊病人的两个生理指标x，y，他分别在这种疾病的患者和非患者中，各随机选取20人作为调查对象，将收集到的数据整理后，绘制统计图如图：根据以上信息，回答下列问题：（1）在这40名被调查者中，①指标x大于0.5的有人；②将20名患者的指标y的平均数记作，方差记作，20名非患者的指标y的平均数记作，方差记作，则，（填“＞”，“＝”或“＜”）；（2）来该院就诊的500名非患者中，估计指标x低于0.3的大约有人；（3）若将“指标x低于0.3，且指标y低于0.8”作为判断是否患有这种疾病的依据，则发生漏判的概率是多少？27．（8分）（2023•靖江市一模）经济学教授张锐在“缓解中小企疫情之困需政策合力”一文中提及：“保护中小企业就是保护经济增长的基石，为疫情之中和疫情之后的中小企业排忧解难，所有的政策能量供给都应当不遗余力”．某市计划对该市的中小企业进行财政补贴，相关行业的主管部门为了解该市中小企业的生产情况•随机调查了100家企业，得到这些企业今年第一季度相对于去年第一季度产值增长率y的频数分布表．增长率﹣0.60≤y＜﹣0.40﹣0.40≤y＜﹣0.20﹣0.20≤y＜00≤y＜0.200.20≤y＜0.40企业数640201816[各组数据的组中值代表各组的实际数据，说明：组中值是各小组的两个端点的数的平均数，如﹣0.60≤y＜﹣0.40的组中值是]（1）以这100个企业为样本，求该市中小企业今年第一季度相对于去年第一季度产值增长率在0≤y＜0.40范围内的概率；（2）该市有3000家中小企业，通过市场调研•去年该市中小企业的第一季度平均产值是20万元，若要使一家中小企业保持良好的经营状态，必须保证其第一季度产值不低于19万元，若要想让该市增长率为负的中小企业保持良好的经营状态，该市至少应准备多少万元的补贴资金？28．（8分）（2016秋•兴化市期中）国家规定，中小学生每天在校体育活动时间不低于1小时，为了解这项政策的落实情况，有关部门就“你某天在校体育活动时间是多少”的问题，在某校随机抽查了部分学生，再根据活动时间t（小时）进行分组（A组：t＜0.5，B组：0.5≤t＜1，C组：1≤t＜1.5，D组：t≥1.5），绘制成如下两幅不完整统计图，请根据图中信息回答问题：（1）此次抽查的学生数为人，并补全条形统计图；（2）从抽查的学生中随机询问一名学生，该生当天在校体育活动时间低于1小时的概率是；（3）若当天在校学生数为1200人，请估计在当天达到国家规定体育活动时间的学生有人．

2023-2024学年苏科版数学九年级上册章节知识讲练知识点01：等可能性一般地，设一个试验的所有可能发生的结果有n个，它们都是随机事件，每次试验有且只有其中的一个结果出现.如果每个结果出现的机会均等，那么我们说这n个事件的发生是等可能的，也称这个试验的结果具有等可能性.知识点02：等可能条件下的概率1.等可能条件下的概率一般地，如果一个试验有n个等可能的结果，当其中的m个结果之一出现时，事件A发生，那么事件A发生的概率P（A）=（其中m是指事件A发生可能出现的结果数，n是指所有等可能出现的结果数）.当一个随机事件在一次试验中的所有可能出现的结果是有限个，且具有等可能性时，只需列出一次试验可能出现的所有结果，就可以求出某个事件发生的概率.2.等可能条件下的概率的求法一般地，等可能性条件下的概率计算方法和步骤是：（1）列出所有可能的结果，并判定每个结果发生的可能性都相等；（2）确定所有可能发生的结果的个数n和其中出现所求事件的结果个数m；（3）计算所求事件发生的可能性：P（所求事件）=.知识点03：用列举法计算概率常用的列举法有两种：列表法和画树状图法.1.列表法当一次试验要涉及两个因素，并且可能出现的结果数目较多时，为不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用列表法.列表法是用表格的形式反映事件发生的各种情况出现的次数和方式，以及某一事件发生的可能的次数和方式，并求出概率的方法.细节剖析：（1）列表法适用于各种情况出现的总次数不是很大时，求概率的问题；（2）列表法适用于涉及两步试验的随机事件发生的概率.2.树状图当一次试验要涉及3个或更多个因素时，为了不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用树形图，也称树形图、树图.树形图是用树状图形的形式反映事件发生的各种情况出现的次数和方式，以及某一事件发生的可能的次数和方式，并求出概率的方法.细节剖析：(1)树状图法同样适用于各种情况出现的总次数不是很大时，求概率的问题；(2)在用树状图法求可能事件的概率时，应注意各种情况出现的可能性务必相同.一．选择题（共10小题，满分20分，每小题2分）1．（2分）（2023春•宿豫区期末）一只不透明的袋子中装有1个白球、2个黑球、3个红球，这些球除颜色外都相同，将球摇匀，从中任意摸出1个球，则摸到球的概率最大的是（）A．白球 B．黑球 C．红球 D．黄球解：袋子中装有1个白球，2个黄球和3个红球，其中红球最多，故摸到红球的概率最大．故选：C．2．（2分）（2023•盐城一模）一个小球在如图所示的地板上自由滚动，并随机停在某块方砖上．如果每一块方砖除颜色外完全相同，那么小球最终停留在黑砖上的概率是（）A． B． C． D．解：观察这个图可知：黑色区域（5块）的面积占总面积（9块）的，则它最终停留在黑砖上的概率是．故选：C．3．（2分）（2023•连云港）如图是由16个相同的小正方形和4个相同的大正方形组成的图形，在这个图形内任取一点P，则点P落在阴影部分的概率为（）A． B． C． D．解：设16个相同的小正方形的边长为a，则4个相同的大正方形的边长为1.5a，∴点P落在阴影部分的概率为＝，故选：B．4．（2分）（2023•工业园区校级二模）中国传统文化中很多内容体现了数学中的对称美，太极图是由黑白两个鱼形纹组成的圆形图案，充分体现了相互转化，对称统一的形式美和谐美．如图，正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图，现随机向正方形内置一枚小针则针尖落入黑色区域内的概率为（）A． B． C． D．解：设正方形的边长为2a，则正方形的内切圆的半径为a，所以针尖落在黑色区域内的概率＝＝．故选：D．5．（2分）（2023•射阳县校级二模）如图，点C、D在线段AB上，且AC：CD：DB＝3：2：1．以点A为圆心，分别以线段AC、AD、AB为半径画同心圆，记以AC为半径的圆为区域Ⅰ，CD所在的圆环为区域Ⅱ，DB所在的圆环为区域Ⅲ．现在此图形中随机撒一把豆子，统计落在Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ三个区域内的豆子数．若大量重复此实验，则（）A．豆子落在区域Ⅰ的概率最小 B．豆子落在区域Ⅱ的概率最小 C．豆子落在区域Ⅲ的概率最小 D．豆子落在区域Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的概率相同解：∵AC：CD：DB＝3：2：1，∴设AC＝3x，CD＝2x，DB＝x，∴Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ三个区域的面积分别为S1＝π•（3x）2＝9x2π，S2＝π•（5x）2﹣π•（3x）2＝16x2π，S3＝π•（6x）2﹣π•（5x）2＝11x2π，∵S2＞S3＞S1，∴豆子落在区域Ⅰ的概率最小．故选：A．6．（2分）（2023•工业园区校级二模）如图，小明随机地在对角线为6cm和8cm的菱形区域内投针，则针扎到其内切圆区域的概率是（）A． B． C． D．解：连接两对角线，设圆与菱形切点为E，∵对角线为6cm和8cm的菱形，∴AO＝CO＝3cm，BO＝DO＝4cm，BD⊥AC，∴AB＝5cm，由题意可得出：OE⊥AB，∴×EO×AB＝×AO×BO，∴×5×EO＝×3×4，解得：EO＝，∴内切圆区域的面积为：π×（）2＝π（cm2），∵菱形的面积为：×6×8＝24（cm2），∴则针扎到其内切圆区域的概率是：＝．故选：C．7．（2分）（2022秋•泗阳县期末）从甲，乙，丙三人中任选两名代表，甲被选中的可能性是（）A． B． C． D．解：选两名代表共有以下情况：甲，乙；甲，丙；乙，丙；三种情况．故甲被选中的可能性是．故选：A．8．（2分）（2022秋•海陵区校级期中）小明随机地在如图所示的圆及其内部区域投针，则针扎到其内接等边三角形（阴影）区域的概率为（）A． B． C． D．解：设扎到阴影区域的正三角形的概率为P，圆的半径为R，记圆的圆心为点O，过O作OD⊥BC于D，连接OA，OB，OC，∵△ABC是正三角形，∴AB＝BC＝AC，∴∠AOB＝∠BOC＝∠COA，∴∠BOC＝＝120°，∵OB＝OC，∴∠BOD＝×120°＝60°，∴∠OBD＝30°，∵OB＝R，∴OD＝，BD＝OBcos30°＝R，∴BC＝2BD＝R，∴S△BOC＝BC•OD＝，∵OA＝OB＝OC，∠AOB＝∠BOC＝∠AOC，∴△AOB≌△BOC≌△COA（SAS），∴S△AOB＝S△BOC＝S△COA，∴S△ABC＝3S△BOC＝，∵S圆＝πR2，∴P＝＝．故选：C．9．（2分）（2018秋•玄武区期中）如图，一个可以自由转动的转盘，被分成了白色和红色两个区域，任意转动转盘一次，当转盘停止转动时（若指针停在边界处，则重新转动转盘），指针落在红色区域内的概率是（）A． B． C． D．解：指针落在红色区域内的概率是＝，故选：C．10．（2分）（2020秋•射阳县期末）我们研究过的图形中，圆的任何一对平行切线的距离总是相等的，所以圆是“等宽曲线”．除了圆以外，还有一些几何图形也是“等宽曲线”，如勒洛三角形（如图1），它是分别以等边三角形的每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间画一段圆弧，三段圆弧围成的曲边三角形．图2是等宽的勒洛三角形和圆形滚木的截面图．有如下四个结论：①勒洛三角形是中心对称图形；②使用截面是勒洛三角形的滚木来搬运东西，不会发生上下抖动；③图2中，等边三角形的边长为2，则勒洛三角形的周长为2π；④图3中，在△ABC中随机取一点，则该点取自勒洛三角形DEF部分的概率为．上述结论中，所有正确结论的序号是（）A．①② B．②④ C．②③ D．③④解：①勒洛三角形是轴对称图形，不是中心对称图形，故①错误；②夹在平行线之间的勒洛三角形无论怎么滚动，平行线间的距离始终不变，使用截面是勒洛三角形的滚木来搬运东西，不会发生上下抖动，故②正确；③∵等边三角形DEF的边长为2，∴勒洛三角形的周长＝3×＝2π，故③正确；④如图，设△ABC的边长为2，则正三角形DEF的边长为1，以D为圆心的扇形面积是＝，△DEF的面积是×1×1×＝，∴勒洛三角形的面积为3个扇形面积减去2个正三角形面积，即图中勒洛三角形面积为3×（﹣）+＝，△ABC的面积为，∴所求概率为＝，故④错误；故选：C．二．填空题（共10小题，满分20分，每小题2分）11．（2分）（2023•苏州一模）如图，在4×4的正方形网格飞镖游戏板中，每块小正方形除颜色外都相同，小正方形的顶点称为格点．假设飞镖击中游戏板的每一处是等可能的（击中边界或没有击中游戏板，则重投一次），任意投掷飞镖一次，飞镖击中阴影部分的概率是．​解：∵共有16小正方形，其中阴影部分为4个小正方形，∴任意投掷飞镖一次，飞镖击中阴影部分的概率是＝．故答案为：．12．（2分）（2023•姑苏区校级一模）如图，正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图，现随机向正方形内掷一枚小针，则针尖落在黑色区域内的概率为．解：设正方形的边长为2a，则正方形的内切圆的半径为a，所以针尖落在黑色区域内的概率＝＝．故答案为．13．（2分）（2023•洪泽区二模）如图，正方形中所有的小三角形都全等，一只蚂蚁在正方形内部随机爬行，则它停在阴影部分的概率为．​解：∵正方形被等分成16份，其中阴影占6份，∴当蚂蚁停下时，停在阴影部分的概率为＝．故答案为：．14．（2分）（2023•东台市一模）不透明袋子中装有3个黑球、5个白球，这些球除了颜色外无其他差别．从袋子中随机摸出1个球，“摸出黑球”的概率是．解：∵不透明袋子中装有3个黑球、5个白球，这些球除了颜色外无其他差别．∴从袋子中随机摸出1个球，则摸到黑球的概率为＝．故答案为：．15．（2分）（2023•苏州一模）如图所示游戏板中每一个小正方形除颜色外都相同，把游戏板平放到露天地面上，落在该游戏板上的第一滴雨正好打中阴影部分的概率是．解：∵总面积为4×3＝12，其中阴影部分面积为2××2×1+×4×2＝6，∴落在该游戏板上的第一滴雨正好打中阴影部分的概率是＝，故答案为：．16．（2分）（2023春•泰州期末）袋中装有8个小球，颜色为红、白、黑，每个球除颜色外其它都相同，将球摇匀，从中任意摸出一个球，若要求摸出的球是黑球和不是黑球的可能性一样，则红球和白球共有4个．解：若要求摸出的球是黑球和不是黑球的可能性一样，则黑球占；红球和白球共占．故红球和白球共有×8＝4个．故答案我：417．（2分）（2023•姜堰区一模）如图，小明制作了一个含内接正三角形的圆形标靶，图中的阴影部分是正三角形的内切圆，小明随意向该标靶区域投掷飞镖，则飞镖落在阴影区域的概率为．解：如图，由题意，∠ABO＝90°，∠OAB＝30°，设OA＝R，OB＝r，则OA＝2OB，∴外接圆的面积为πR2＝4πr2，内切圆面积为πr2，∴飞镖落在阴影区域的概率为，故答案为：．18．（2分）（2023•工业园区校级模拟）如图所示，电路图上有A、B、C三个开关和一个小灯泡，闭合开关C或者同事闭合开关A、B，都可使小灯泡发光，现在任意闭合其中一个开关，则小灯泡发光的概率等于．解：∵闭合开关C或者同时闭合开关A、B，都可使小灯泡发光，∴任意闭合其中一个开关共有3种等可能的结果，而小灯泡发光的只有选择闭合C，∴小灯泡发光的概率等于：．19．（2分）（2023•高新区一模）东汉时期的数学家赵爽在注解《周髀算经》时，给出的“赵爽弦图”是我国古代数学的瑰宝，如图1，四个直角三角形是全等的，且直角三角形的长直角边与短直角边之比为2：1，现连接四条线段得到图2的新的图案．若随机向该图形内掷一枚针，则针尖落在图2中阴影区域的概率为．解：如图2，设直角三角形的长直角边与短直角边分别为2x和x，则AC＝x，BD＝x，AB＝CD，△ABD是直角三角形，则大正方形面积＝AC2＝5x2，△ADC面积＝•x•x＝x2，阴影部分的面积S＝5x2﹣4×x2＝3x2，∴针尖落在阴影区域的概率为＝．故答案为：．20．（2分）（2021•武进区校级自主招生）有六张正面分别标有数0，1，2，3，4，5的不透明卡片，它们除了数字不同外其余全部相同．现将它们背面朝上，洗匀后从中任取一张，将卡片上的数记为a，则使关于x的方程+2＝有正整数解的概率为解：解分式方程得：x＝，∵分式方程的解为正整数，∴2﹣a＞0，∴a＜2，∴a＝0，1，∵分式方程的解为正整数，当a＝1时，x＝2不合题意，∴a＝0，∴使关于x的分式方程有正整数解的概率为，故答案为：．三．解答题（共8小题，满分60分）21．（6分）（2023•苏州二模）在一个不透明的盒子里装有除颜色外完全相同的红、白、黑三种颜色的球．其中红球3个，白球5个，黑球若干个，若从中任意摸出一个白球的概率是．（1）求任意摸出一个球是黑球的概率；（2）能否通过只改变盒子中白球的数量，使得任意摸出一个球是红球的概率，若能，请写出如何调整白球数量；若不能，请说明理由．解：（1）∵红球3个，白球5个，黑球若干个，从中任意摸出一个白球的概率是，∴盒子中球的总数为：5÷＝15（个），故盒子中黑球的个数为：15﹣3﹣5＝7（个）；∴任意摸出一个球是黑球的概率为：；（2）∵任意摸出一个球是红球的概率为，∴盒子中球的总量为：3÷＝12，∴可以将盒子中的白球拿出3个．22．（6分）（2023•江都区二模）甲，乙两个小区各有300户居民，为了解两个小区3月份用户使用燃气量情况，小明和小丽分别从中随机抽取30户进行调查，并对数据进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息．a．甲小区用气量频数分布直方图如下（数据分成5组：5≤x＜10，10≤x＜15，15≤x＜20，20≤x＜25，25≤x＜30）b．甲小区用气量的数据在15≤x＜20这一组的是：151516161616181818181819c．甲，乙两小区用气量的平均数、中位数、众数如下：小区平均数中位数众数甲17.2m18乙17.71915根据以上信息，回答下列问题：（1）写出表中m的值；（2）在甲小区抽取的用户中，记3月份用气量高于它们的平均用气量的户数为p1．在乙小区抽取的用户中，记3月份用气量高于它们的平均用气量的户数为p2．比较p1，p2的大小，并说明理由；（3）估计甲小区中用气量超过15立方米的户数．解：（1）将抽取的30户用气量从小到大排列，处在中间位置的两个数都是16，因此中位数是16，即m＝16，答：m＝16；（2）p1＜p2，理由：甲小区，p1＝6+6+2＝14（户）；乙小区中位数高于平均数，则p2至少为15户，∴p1＜p2；（3）由题意得：300×＝180（户），答：甲小区中用气量超过15立方米约180户．23．（8分）（2023•镇江一模）如图，在3×3的正方形网格中，点A、B、C、D、E、F都是格点．（1）从A、D、E、F四点中任意取一点，以这点及点B、C为顶点画三角形，求所画三角形是等腰三角形的概率；（2）从A、D、E、F四点中任意取两点，以这两点及点B、C为顶点画四边形，求所画四边形是平行四边形的概率．解：（1）根据从A、D、E、F四个点中任意取一点，一共有4种可能，只有选取D点时，所画三角形是等腰三角形，故P（所画三角形是等腰三角形）＝；（2）用“树状图”或利用表格列出所有可能的结果：∵以点A、E、B、C为顶点及以D、F、B、C为顶点所画的四边形是平行四边形，∴所画的四边形是平行四边形的概率P＝＝．24．（8分）（2022秋•鼓楼区校级期末）为了响应区教育局“千师访万家”的新家庭教育活动，某校七年级3班的语文学科王老师、数学学科李老师决定分别利用周六上午、周日下午各自家访一名同学，本次家访的对象为班级第六组学习小伙伴，共有王鹏、李佳、刘丹三位同学．（1）李佳同学被王老师选为家访对象的概率是：；（2）请利用树状图或表格的形式求王老师和李老师家访的是同一个同学的概率．解：（1）本次家访的对象为班级第六组学习小伙伴，共有王鹏、李佳、刘丹三位同学，共有3种情况，其中李佳同学被王老师选为家访对象只有一种情况，所以李佳同学被王老师选为家访对象的概率是．故答案为：．（2）画树状图列出等可能的所有结果为9种，其中王老师和李老师家访的是同一个同学共3种情况．∴P（王老师和李老师家访的是同一个同学）＝．25．（8分）（2023春•大丰区期中）一个不透明的袋子中装有5个红球、7个黑球，这些球除颜色外都相同．（1）若从中任意摸出一个球，则摸到黑球的可能性大；（2）如果另外拿红球和黑球一共6个放入袋中，你认为怎样放才能让摸到红球和摸到黑球的可能性相同．解：（1）摸到红球的可能性为：＝；摸到黑球的可能性为＝．故摸到黑球的概率大．故答案为：黑；（2）放入4个红球，2个黑球．理由如下：∵另外拿红球和黑球一共6个放入袋中，∴共有5+7+6＝18个球，∵摸到红球和摸到黑球的可能性相同，∴黑球和红球的数量相等，∴应放入4个红球，2个黑球．26．（8分）（2023•铜山区一模）某医院医生为了研究该院某种疾病的诊断情况，需要调查来院就诊病人的两个生理指标x，y，他分别在这种疾病的患者和非患者中，各随机选取20人作为调查对象，将收集到的数据整理后，绘制统计图如图：根据以上信息，回答下列问题：（1）在这40名被调查者中，①指标x大于0.5的有3人；②将20名患者的指标y的平均数记作，方差记作，20名非患者的指标y的平均数记作，方差记作，则＜，＞（填“＞”，“＝”或“＜”）；（2）来该院就诊的500名非患者中，估计指标x低于0.3的大约有100人；（3）若将“指标x低于0.3，且指标y低于0.8”作为判断是否患有这种疾病的依据，则发生漏判的概率是多少？解：（1）①根据图象可得，指标x大于0.5的有3人，故答案为：3．②由图象可得：20名患者的指标y的取值范围是0.1＜y＜0.9，20名非患者的指标y的取值范围是0.4＜y＜1.1，位置相