第01讲一元二次方程(3大考点7种解题方法)(原卷版+解析)

第01讲一元二次方程（3大考点7种解题方法）考点考向考点考向一．一元二次方程的定义（1）一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程．（2）概念解析：一元二次方程必须同时满足三个条件：①整式方程，即等号两边都是整式；方程中如果有分母，那么分母中无未知数；②只含有一个未知数；③未知数的最高次数是2．（3）判断一个方程是否是一元二次方程应注意抓住5个方面：“化简后”；“一个未知数”；“未知数的最高次数是2”；“二次项的系数不等于0”；“整式方程”．二．一元二次方程的一般形式（1）一般地，任何一个关于x的一元二次方程经过整理，都能化成如下形式ax2+bx+c＝0（a≠0）．这种形式叫一元二次方程的一般形式．其中ax2叫做二次项，a叫做二次项系数；bx叫做一次项；c叫做常数项．一次项系数b和常数项c可取任意实数，二次项系数a是不等于0的实数，这是因为当a＝0时，方程中就没有二次项了，所以，此方程就不是一元二次方程了．（2）要确定二次项系数，一次项系数和常数项，必须先把一元二次方程化成一般形式．三．一元二次方程的解（1）一元二次方程的解（根）的意义：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根．（2）一元二次方程一定有两个解，但不一定有两个实数解．这x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两实数根，则下列两等式成立，并可利用这两个等式求解未知量．ax12+bx1+c＝0（a≠0），ax22+bx2+c＝0（a≠0）．四．解一元二次方程-直接开平方法形如x2＝p或（nx+m）2＝p（p≥0）的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程．如果方程化成x2＝p的形式，那么可得x＝±p；如果方程能化成（nx+m）2＝p（p≥0）的形式，那么nx+m＝±p．注意：①等号左边是一个数的平方的形式而等号右边是一个非负数．②降次的实质是由一个二次方程转化为两个一元一次方程．③方法是根据平方根的意义开平方．五．解一元二次方程-配方法（1）将一元二次方程配成（x+m）2＝n的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法．（2）用配方法解一元二次方程的步骤：①把原方程化为ax2+bx+c＝0（a≠0）的形式；②方程两边同除以二次项系数，使二次项系数为1，并把常数项移到方程右边；③方程两边同时加上一次项系数一半的平方；④把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数；⑤如果右边是非负数，就可以进一步通过直接开平方法来求出它的解，如果右边是一个负数，则判定此方程无实数解．六．解一元二次方程-公式法（1）把x=−b±b2−4ac2a（b2﹣4ac≥0）叫做一元二次方程ax2+bx（2）用求根公式解一元二次方程的方法是公式法．（3）用公式法解一元二次方程的一般步骤为：①把方程化成一般形式，进而确定a，b，c的值（注意符号）；②求出b2﹣4ac的值（若b2﹣4ac＜0，方程无实数根）；③在b2﹣4ac≥0的前提下，把a、b、c的值代入公式进行计算求出方程的根．注意：用公式法解一元二次方程的前提条件有两个：①a≠0；②b2﹣4ac≥0．七．解一元二次方程-因式分解法（1）因式分解法解一元二次方程的意义因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．因式分解法就是先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）．（2）因式分解法解一元二次方程的一般步骤：①移项，使方程的右边化为零；②将方程的左边分解为两个一次因式的乘积；③令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程；④解这两个一元一次方程，它们的解就都是原方程的解．八．换元法解一元二次方程1、解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法．换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理．2、我们常用的是整体换元法，是在已知或者未知中，某个代数式几次出现，而用一个字母来代替它从而简化问题，当然有时候要通过变形才能发现．把一些形式复杂的方程通过换元的方法变成一元二次方程，从而达到降次的目的．九．根与系数的关系（1）若二次项系数为1，常用以下关系：x1，x2是方程x2+px+q＝0的两根时，x1+x2＝﹣p，x1x2＝q，反过来可得p＝﹣（x1+x2），q＝x1x2，前者是已知系数确定根的相关问题，后者是已知两根确定方程中未知系数．（2）若二次项系数不为1，则常用以下关系：x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2＝，x1x2＝，反过来也成立，即＝﹣（x1+x2），＝x1x2．（3）常用根与系数的关系解决以下问题：①不解方程，判断两个数是不是一元二次方程的两个根．②已知方程及方程的一个根，求另一个根及未知数．③不解方程求关于根的式子的值，如求，x12+x22等等．④判断两根的符号．⑤求作新方程．⑥由给出的两根满足的条件，确定字母的取值．这类问题比较综合，解题时除了利用根与系数的关系，同时还要考虑a≠0，△≥0这两个前提条件．十．由实际问题抽象出一元二次方程在解决实际问题时，要全面、系统地审清问题的已知和未知，以及它们之间的数量关系，找出并全面表示问题的相等关系，设出未知数，用方程表示出已知量与未知量之间的等量关系，即列出一元二次方程．十一．一元二次方程的应用1、列方程解决实际问题的一般步骤是：审清题意设未知数，列出方程，解所列方程求所列方程的解，检验和作答．2、列一元二次方程解应用题中常见问题：（1）数字问题：个位数为a，十位数是b，则这个两位数表示为10b+a．（2）增长率问题：增长率＝增长数量/原数量×100%．如：若原数是a，每次增长的百分率为x，则第一次增长后为a（1+x）；第二次增长后为a（1+x）2，即原数×（1+增长百分率）2＝后来数．（3）形积问题：①利用勾股定理列一元二次方程，求三角形、矩形的边长．②利用三角形、矩形、菱形、梯形和圆的面积，以及柱体体积公式建立等量关系列一元二次方程．③利用相似三角形的对应比例关系，列比例式，通过两内项之积等于两外项之积，得到一元二次方程．（4）运动点问题：物体运动将会沿着一条路线或形成一条痕迹，运行的路线与其他条件会构成直角三角形，可运用直角三角形的性质列方程求解．【规律方法】列一元二次方程解应用题的“六字诀”1．审：理解题意，明确未知量、已知量以及它们之间的数量关系．2．设：根据题意，可以直接设未知数，也可以间接设未知数．3．列：根据题中的等量关系，用含所设未知数的代数式表示其他未知量，从而列出方程．4．解：准确求出方程的解．5．验：检验所求出的根是否符合所列方程和实际问题．6．答：写出答案．考点精讲考点精讲一元二次方程的定义1.（2020秋•奈曼旗月考）关于的方程，当时，是一元一次方程；当时，是一元二次方程．一元二次方程的一般形式2.（2020秋•环江县期中）已知一元二次方程，则它的二次项系数为4，一次项为，常数项为．3.（2020秋•揭西县月考）若关于的一元二次方程没有一次项，则．一元二次方程的解4.（2021春•余姚市校级期中）若是关于的方程的解，则代数式的值是．5.（2021•汝阳县一模）已知实数是一元二次方程的根，求代数式的值为．解一元二次方程-直接开平方、配方法6.（2021•南充一模）方程的解是A． B． C．， D．，7.（2020秋•环江县期末）若关于的方程有实数根，则的取值范围是A． B． C． D．8.（2021•岳阳二模）方程的根是．9.（2021•丽水）用配方法解方程时，配方结果正确的是A． B． C． D．10.（2020秋•耒阳市期末）一元二次方程经过配方后可变形为A． B． C． D．解一元二次方程-公式法11.（2020秋•盐城期末）用公式法解一元二次方程时，化方程为一般式，当中的，，依次为A．3，，8 B．3，， C．3，4， D．3，4，812.（2020秋•溆浦县期末）是下列哪个一元二次方程的根A． B． C． D．13.（2021春•招远市期中）按要求解下列方程：（1）（配方法）；（2）（公式法）．解一元二次方程-因式分解法14.（2021•新疆）一元二次方程的解为A．， B．， C．， D．，15.（2021•天津模拟）一元二次方程的解是A． B．， C．， D．，由实际问题抽象出一元二次方程和一元二次方程的应用16.（2021•河西区二模）要组织一次篮球联赛，赛制为单循环形式，每两队之间都赛一场，计划安排15场比赛．设比赛组织者应邀请个队参赛，则满足的关系式为A． B． C． D．17.（2021•香坊区二模）某中学初四学生毕业时，每个同学都给其他同学写了一份毕业留言，全班共写了纪念留言1640份，则全班共有学生名．A．39 B．40 C．41 D．4218.（2021•越秀区校级模拟）目前以等为代表的战略性新兴产业蓬勃发展．某市2019年底有用户2万户，计划到2021年底全市用户数累计达到8.72万户，设全市用户数年平均增长率为，根据题意可列方程是A． B． C． D．19.（2021•安徽三模）根据安徽省统计局发布的数据，某市2020年一季度规上工业增加值与2019年一季度同期相比下降了，2021年一季度规上工业增加值与2020年一季度同期相比增长了，则这两年平均增长率是A． B． C． D．20.（2021•莱芜区二模）如图，某小区规划在一个长为、宽为的矩形场地上修建三条同样宽的小路，使其中两条与平行，另一条与平行，其余部分种草．若草坪部分的总面积为，则小路的宽度为．21.（2021•历下区二模）如图是一块矩形铁皮，将四个角各剪去一个边长为2米的正方形后剩下的部分做成一个容积为96立方米的无盖长方体箱子，已知长方体箱子底面的长比宽多2米，则矩形铁皮的面积为平方米．巩固提升巩固提升一、单选题1．（2021·云南）2021年5月11日我国第七次人口普查数据出炉，与第五次、第六次人口普查数据相比较，我国人口总量持续增长．第五次人口普查全国总人口约12.95亿，第七次人口普查全国总人口约14.11亿，设从第五次到第七次人口普查总人口平均增长率为，则可列方程为（）A． B．C． D．2．（2021·贵州中考真题）在解一元二次方程x2+px+q＝0时，小红看错了常数项q，得到方程的两个根是﹣3，1．小明看错了一次项系数P，得到方程的两个根是5，﹣4，则原来的方程是（）A．x2+2x﹣3＝0 B．x2+2x﹣20＝0 C．x2﹣2x﹣20＝0 D．x2﹣2x﹣3＝03．（2021·江苏）对于方程，下列叙述正确的是（）A．不论c为何值，方程均有实数根B．方程的根是C．当时，方程可化为或D．当时，4．（2020·珠海市九洲中学九年级月考）已知：毕业典礼后，小芳学习小组内部的名同学，每两个同学都互相交换了礼物，她们一共买了份礼物．根据以上条件可以列出以下哪个方程（）A． B．C． D．5．（2021·河北九年级期中）下列结论中，正确的是（）．①，∴，∴，；②，∴两边同除以，得；③关于的一元二次方程一定存在两个不相等的实数根；④元旦期间有名学生互赠贺卡，共赠贺卡30张，可列方程：A．①②③④ B．①③④ C．①④ D．③④二、填空题6．（2021·全国九年级课前预习）下面三个方程：x²＋2x－4＝0，x²－75x＋350＝0，x²－x＝56，它们有什么共同点？特点：（1）都是_________方程；（2）只含有______个未知数；（3）未知数的最高次数是______．7．（2021·全国九年级课前预习）使方程左右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的_____，一元二次方程的解叫做一元二次方程的_______．8．（2021·江苏九年级一模）据美国约翰斯•霍普金斯大学发布的全球新冠肺炎数据统计系统，截至美国东部时间3月28日晚6时，全美共报告新冠肺炎确诊人数超过3025万，死亡超过54.9万，已知有一人患了新冠肺炎，经过两轮传染后，共有144人患了新冠肺炎，每轮传染中平均每人传染了_____人．9．（2021·山东）由于手机市场的迅速成长，某品牌的手机为了赢得消费者，在一年之内连续两次降价，从5980元降到4698元，如果每次降低的百分率相同，求每次降低的百分率是多少？设这个降低百分率为，则根据题意，可列方程：____________．10．（2021·全国九年级课前预习）观察下面两个方程，说出这两个方程的相同与不同之处：（1）3x＝4；（2）6700（1＋x）2＝9200相同之处：两边都是整式，都只含有____个未知数．不同之处：方程（1）未知数的最高次数是_____次，方程（2）未知数的最高次数是____次．11．（2021·浙江中考真题）数学活动课上，小云和小王在讨论张老师出示的一道代数式求值问题：已知实数同时满足，求代数式的值．结合他们的对话，请解答下列问题：（1）当时，a的值是__________．（2）当时，代数式的值是__________．12．（2020·山东九年级期末）在一条直线上，按如图所示的规律放置若干●与〇，组成图案：●〇●●〇●●●〇●●●●〇…，当图案恰好以〇收尾，且图案中●的个数是2278时，则该图案中●与〇的个数之和是_______．13．（2021·浙江）商家通常依据“乐观系数准则”确定商品销售价格，即根据商品的最低销售限价a，最高销售限价以及常数确定实际销售价格为，这里的k被称为乐观系数．经验表明，最佳乐观系数k恰好使得，据此可得，最佳乐观系数k的值等于____．三、解答题14．（2021·福建莆田二中九年级期末）为抗击新型肺炎疫情，某服装厂及时引进了一条口罩生产线生产口罩，开工第一天生产10万件，第三天生产14.4万件，若每天增长的百分率相同．求每天增长的百分率．15．（2021·辽宁鞍山市·九年级期中）在疫情影响下，口罩的需求量猛增，某口罩厂从2020年1月口罩生产数量2万个增长到2020年3月口罩生产数量2.88万个．（1）求该口罩厂这两个月生产数量的月平均增长率？（2）按照这样的月平均增长速度，4月份的口罩生产数量能达到多少万个？16．（2021·江苏）如果下列图形由相同的小正方形组成，观察图形的变化，回答下列问题：（1）第6个图形有________个小正方形；第个图形有________个小正方形；（2）若第个图形有576个小正方形，求的值．17．（2021·湖北九年级期末）党的十九大报告提出绿水青山就是金山银山，建设生态文明是中华民族永续发展的千年大计，植树造林是实现天蓝、地绿、水净的重要途径．为了保护生态环境，某集团每年都购进大量的树苗进行种植．（1）若该集团宜昌分公司今年种植黄桷树和香樟树共500棵，其中黄桷树的数量比香樟树的数量的6倍少25棵，求该集团宜昌分公司今年种植香樟树多少棵？（2）每年3月份，该集团都会进行植树活动，后勤部都会购进大量的树苗，去年后勤部购进黄桷树苗1000棵，单价为3元棵；购进香樟树苗2000棵，单价为2元棵．今年黄桷树苗的购进量比去年减少了，单价不变，香樟树苗的购进量比去年增加了，单价减少了．若后勤部去年和今年购进树苗的总费用相同，求的值．18．（2021·湖北九年级一模）背景知识城镇化是指农村人口转化为城镇人口的过程，城镇化率是指一个地区城镇人口数占该地区人口总数的比例．问题解决：截止2016年底，某市人口总数约为400万人，城镇化率为；到2020年底，该市总人口增加了20万人，城镇人口增加了28万人，城镇化率达到．（1）求2016年该市的城镇化率；（2）2016年，该市城镇居民人均可支配收入为万元，农村居民人均可支配收入比城镇居民人均可支配收入少万元；2020年，该市城镇居民人均可支配收入是2016年的1.5倍，农村居民人均可支配收入比2016年增长的百分率为n．这样，2020年全市居民人均可支配收入达到2016年全市居民人均可支配收入的1.5倍．①用含，的式子表示2016年全市居民的人均可支配收入；②求的值．19．（2021·重庆九年级期中）跳绳一直是盛堡初中的特色项目，为保障同学们训练需求，学校后勤部门每年都要采购一定数量的长绳和彩绳．已知2020年采购的长绳价格为120元/根，彩绳价格为40元/根，所采购的彩绳数量比长绳多5根，共用资金3400元．（1）求2020年采购的长绳和彩绳分别是多少根？（2）与2020年相比，2021年长绳的价格上涨了a%，彩绳的价格下降了5%，但采购的长绳的数量减少了，彩绳的数量增加了10根，且2021年学校采购长绳和彩绳的总支出费用为3310元，求a的值．20．（2021·四川）商场以每件200元的价格购进一批商品，以单价300元销售．预计每月可售出250件，该商场为尽可能减少库存，决定降价销售，根据市场调查，该商品单价每降低5元，可多售出25件，但最低售价应高于购进的价格；若该商场希望该商品每月获利28000元，则销售单价应定为多少元？每月可销售多少件？21．（2021·长沙市开福区青竹湖湘一外国语学校九年级月考）为促销新疆棉花，人们众志成城，响应号召，棉花是生活生产必需品．现有某生产商销售珍珠棉和长绒棉．（1）计划珍珠棉每斤售价比长绒棉贵16元，14斤长绒棉和6斤珍珠棉的总售价相同，求长绒棉和珍珠棉的每斤售价；（2）已知长绒棉每斤进价8元，按（1）中售价销售一段时间后，发现长绒棉的日均销售量为120斤，当每斤售价降价1元时，日均销售量增加20斤．该生产商秉承让利于民的原则，对长绒棉进行降价销售，但要保证当天长绒棉的利润为320元，求此时长绒棉每斤售价．22．（2021·苏州市立达中学校九年级二模）上午8点，某台风中心在A岛正南方向处由南向北匀速移动，同时在A岛正西方向处有一艘补给船向A岛匀速驶来，补给完后改变速度立即向A岛正北方向的C港匀速驶去，如图所示是台风中心、补给船与A岛的距离S和时间t的图象．已知台风影响的半径是（包含边界），请结合图象解答下列问题：（1）台风的速度是_________，补给船在到达A岛前的速度是_________，图中点P的实际意义是_______________；（2）从几点开始，补给船将受到台风的影响？（3）设补给船驶出A岛到驶到C港之前受到台风影响的时间为a小时，出于安全考虑，补给船速度不超过、．求出图中补给船航行时间m的正整数值及此时补给船在驶入C港之前受台风影响的总时间．23．（2021·重庆北碚区·西南大学附中九年级开学考试）葡萄不仅味美可口，营养价值很高，而且用途广泛，堪称“果中珍品”，它既可鲜食又可加工成各种产品，如葡萄干、葡萄酒、葡萄汁等．当下正值食用葡萄的好时节，经过市场调研顾客最喜欢“黑珍珠”、“仙粉黛”两个品种，某商店老板看准商机，决定购进这两种葡萄销售，商店原计划在6月购进“黑珍珠”、“仙粉黛”两种葡萄共200千克，其中“仙粉黛”的质量至少是“黑珍珠”质量的3倍．（1）那么原计划今年6月至少购进“仙粉黛”多少千克？（2）今年6月商店按照原计划购进并售完“黑珍珠”、“仙粉黛”两种葡萄，且“仙粉黛”的质量恰好是原计划的最小值．今年7月商店按照“黑珍珠”与“仙粉黛”的质量比为1∶3购进两种葡萄一共160千克，按照单价4∶3售出，共得销售额1040元．通过7月对市场的观察，商店老板决定增加两种葡萄的进货量，同时降价促销；8月商店购进“黑珍珠”、“仙粉黛”的质量在6月的基础上分别增加了，同时为了尽快全部售出，每千克售价在今年7月份的基础上分别降价（降价幅度不超过50%），最终8月的销售额比7月的销售额增加了535元．求的值．第01讲一元二次方程（3大考点7种解题方法）考点考向考点考向一．一元二次方程的定义（1）一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程．（2）概念解析：一元二次方程必须同时满足三个条件：①整式方程，即等号两边都是整式；方程中如果有分母，那么分母中无未知数；②只含有一个未知数；③未知数的最高次数是2．（3）判断一个方程是否是一元二次方程应注意抓住5个方面：“化简后”；“一个未知数”；“未知数的最高次数是2”；“二次项的系数不等于0”；“整式方程”．二．一元二次方程的一般形式（1）一般地，任何一个关于x的一元二次方程经过整理，都能化成如下形式ax2+bx+c＝0（a≠0）．这种形式叫一元二次方程的一般形式．其中ax2叫做二次项，a叫做二次项系数；bx叫做一次项；c叫做常数项．一次项系数b和常数项c可取任意实数，二次项系数a是不等于0的实数，这是因为当a＝0时，方程中就没有二次项了，所以，此方程就不是一元二次方程了．（2）要确定二次项系数，一次项系数和常数项，必须先把一元二次方程化成一般形式．三．一元二次方程的解（1）一元二次方程的解（根）的意义：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根．（2）一元二次方程一定有两个解，但不一定有两个实数解．这x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两实数根，则下列两等式成立，并可利用这两个等式求解未知量．ax12+bx1+c＝0（a≠0），ax22+bx2+c＝0（a≠0）．四．解一元二次方程-直接开平方法形如x2＝p或（nx+m）2＝p（p≥0）的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程．如果方程化成x2＝p的形式，那么可得x＝±p；如果方程能化成（nx+m）2＝p（p≥0）的形式，那么nx+m＝±p．注意：①等号左边是一个数的平方的形式而等号右边是一个非负数．②降次的实质是由一个二次方程转化为两个一元一次方程．③方法是根据平方根的意义开平方．五．解一元二次方程-配方法（1）将一元二次方程配成（x+m）2＝n的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法．（2）用配方法解一元二次方程的步骤：①把原方程化为ax2+bx+c＝0（a≠0）的形式；②方程两边同除以二次项系数，使二次项系数为1，并把常数项移到方程右边；③方程两边同时加上一次项系数一半的平方；④把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数；⑤如果右边是非负数，就可以进一步通过直接开平方法来求出它的解，如果右边是一个负数，则判定此方程无实数解．六．解一元二次方程-公式法（1）把x=−b±b2−4ac2a（b2﹣4ac≥0）叫做一元二次方程ax2+bx（2）用求根公式解一元二次方程的方法是公式法．（3）用公式法解一元二次方程的一般步骤为：①把方程化成一般形式，进而确定a，b，c的值（注意符号）；②求出b2﹣4ac的值（若b2﹣4ac＜0，方程无实数根）；③在b2﹣4ac≥0的前提下，把a、b、c的值代入公式进行计算求出方程的根．注意：用公式法解一元二次方程的前提条件有两个：①a≠0；②b2﹣4ac≥0．七．解一元二次方程-因式分解法（1）因式分解法解一元二次方程的意义因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．因式分解法就是先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）．（2）因式分解法解一元二次方程的一般步骤：①移项，使方程的右边化为零；②将方程的左边分解为两个一次因式的乘积；③令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程；④解这两个一元一次方程，它们的解就都是原方程的解．八．换元法解一元二次方程1、解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法．换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理．2、我们常用的是整体换元法，是在已知或者未知中，某个代数式几次出现，而用一个字母来代替它从而简化问题，当然有时候要通过变形才能发现．把一些形式复杂的方程通过换元的方法变成一元二次方程，从而达到降次的目的．九．根与系数的关系（1）若二次项系数为1，常用以下关系：x1，x2是方程x2+px+q＝0的两根时，x1+x2＝﹣p，x1x2＝q，反过来可得p＝﹣（x1+x2），q＝x1x2，前者是已知系数确定根的相关问题，后者是已知两根确定方程中未知系数．（2）若二次项系数不为1，则常用以下关系：x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2＝，x1x2＝，反过来也成立，即＝﹣（x1+x2），＝x1x2．（3）常用根与系数的关系解决以下问题：①不解方程，判断两个数是不是一元二次方程的两个根．②已知方程及方程的一个根，求另一个根及未知数．③不解方程求关于根的式子的值，如求，x12+x22等等．④判断两根的符号．⑤求作新方程．⑥由给出的两根满足的条件，确定字母的取值．这类问题比较综合，解题时除了利用根与系数的关系，同时还要考虑a≠0，△≥0这两个前提条件．十．由实际问题抽象出一元二次方程在解决实际问题时，要全面、系统地审清问题的已知和未知，以及它们之间的数量关系，找出并全面表示问题的相等关系，设出未知数，用方程表示出已知量与未知量之间的等量关系，即列出一元二次方程．十一．一元二次方程的应用1、列方程解决实际问题的一般步骤是：审清题意设未知数，列出方程，解所列方程求所列方程的解，检验和作答．2、列一元二次方程解应用题中常见问题：（1）数字问题：个位数为a，十位数是b，则这个两位数表示为10b+a．（2）增长率问题：增长率＝增长数量/原数量×100%．如：若原数是a，每次增长的百分率为x，则第一次增长后为a（1+x）；第二次增长后为a（1+x）2，即原数×（1+增长百分率）2＝后来数．（3）形积问题：①利用勾股定理列一元二次方程，求三角形、矩形的边长．②利用三角形、矩形、菱形、梯形和圆的面积，以及柱体体积公式建立等量关系列一元二次方程．③利用相似三角形的对应比例关系，列比例式，通过两内项之积等于两外项之积，得到一元二次方程．（4）运动点问题：物体运动将会沿着一条路线或形成一条痕迹，运行的路线与其他条件会构成直角三角形，可运用直角三角形的性质列方程求解．【规律方法】列一元二次方程解应用题的“六字诀”1．审：理解题意，明确未知量、已知量以及它们之间的数量关系．2．设：根据题意，可以直接设未知数，也可以间接设未知数．3．列：根据题中的等量关系，用含所设未知数的代数式表示其他未知量，从而列出方程．4．解：准确求出方程的解．5．验：检验所求出的根是否符合所列方程和实际问题．6．答：写出答案．考点精讲考点精讲一元二次方程的定义1.（2020秋•奈曼旗月考）关于的方程，当时，是一元一次方程；当时，是一元二次方程．【分析】利用一元二次方程和一元一次方程定义进行解答．【解答】解：由题意得：，且，解得：，由题意得：，解得：，故答案为：；．【点评】此题主要考查了一元二次方程定义和一元一次方程定义，关键是掌握一元二次方程和一元一次方程定义．一元二次方程的一般形式2.（2020秋•环江县期中）已知一元二次方程，则它的二次项系数为4，一次项为，常数项为．【分析】根据一元二次方程的一般形式是：，，是常数且特别要注意的条件，其中，，分别叫二次项系数，一次项系数，常数项，可得答案．【解答】解：一元二次方程化成一般式为，二次项系数，一次项，常数项分别为4，，，故答案是：4，，．【点评】本题考查了一元二次方程的一般形式，一元二次方程的一般形式是：，，是常数且．在一般形式中叫二次项，叫一次项，是常数项．其中，，分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．3.（2020秋•揭西县月考）若关于的一元二次方程没有一次项，则．【分析】根据没有一次项可得，且再解即可．【解答】解：由题意得：，且，解得：，故答案为：．【点评】此题主要考查了一元二次方程的定义，关键是掌握一元二次方程的一般形式为一元二次方程的解4.（2021春•余姚市校级期中）若是关于的方程的解，则代数式的值是．【分析】先由方程的解的含义，得出，变形得，再将要求的代数式变形，然后将代入，计算即可．【解答】解：是关于的方程的解，，，．故答案为：．【点评】本题考查了利用一元二次方程的解的含义在代数式求值中的应用，明确一元二次方程的解的含义并将要求的代数式正确变形是解题的关键．5.（2021•汝阳县一模）已知实数是一元二次方程的根，求代数式的值为．【分析】利用方程解的定义得到，然后利用整体代入的方法计算代数式的值．【解答】解：是方程根，，，原式．故答案是：．【点评】本题主要考查了一元二次方程的解的定义，能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根．解一元二次方程-直接开平方、配方法6.（2021•南充一模）方程的解是A． B． C．， D．，【分析】利用直接开平方法求解即可．【解答】解：，或，解得，，故选：．【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．7.（2020秋•环江县期末）若关于的方程有实数根，则的取值范围是A． B． C． D．【分析】根据直接开平方法求解可得．【解答】解：，，由知，故选：．【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．8.（2021•岳阳二模）方程的根是．【分析】先求4的平方根，然后解关于的一元一次方程．【解答】解：由原方程，得．解得．故答案是：．【点评】本题考查了解一元二次方程直接开平方法．用直接开方法求一元二次方程的解的类型有：；，同号且；；，同号且．法则：要把方程化为“左平方，右常数，先把系数化为1，再开平方取正负，分开求得方程解”．9.（2021•丽水）用配方法解方程时，配方结果正确的是A． B． C． D．【分析】方程整理后，利用完全平方公式配方得到结果，即可作出判断．【解答】解：方程，整理得：，配方得：．故选：．【点评】此题考查了解一元二次方程配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．10.（2020秋•耒阳市期末）一元二次方程经过配方后可变形为A． B． C． D．【分析】将常数项移到方程的右边，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后即可得．【解答】解：，，则，即，故选：．【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．解一元二次方程-公式法11.（2020秋•盐城期末）用公式法解一元二次方程时，化方程为一般式，当中的，，依次为A．3，，8 B．3，， C．3，4， D．3，4，8【分析】整理为一般式即可得出答案．【解答】解：，，则，，，故选：．【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．12.（2020秋•溆浦县期末）是下列哪个一元二次方程的根A． B． C． D．【分析】根据求根公式逐一列出每个方程根的算式即可得出答案．【解答】解：．此方程的解为，不符合题意；．此方程的解为，不符合题意；．此方程的解为，符合题意；．此方程的解为，不符合题意；故选：．【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．13.（2021春•招远市期中）按要求解下列方程：（1）（配方法）；（2）（公式法）．【分析】（1）方程配方后，开方即可求出解；（2）找出，，的值，代入求根公式即可求出解．【解答】解：（1），，即，则，，；（2），，，△，则，即，．【点评】此题考查了解一元二次方程配方法与公式法，熟练掌握各自的解法是解本题的关键．解一元二次方程-因式分解法14.（2021•新疆）一元二次方程的解为A．， B．， C．， D．，【分析】利用因式分解法求解即可．【解答】解：，，则或，解得，，故选：．【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．15.（2021•天津模拟）一元二次方程的解是A． B．， C．， D．，【分析】利用因式分解法求解即可．【解答】解：，，则，或，解得，，故选：．【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．由实际问题抽象出一元二次方程和一元二次方程的应用16.（2021•河西区二模）要组织一次篮球联赛，赛制为单循环形式，每两队之间都赛一场，计划安排15场比赛．设比赛组织者应邀请个队参赛，则满足的关系式为A． B． C． D．【分析】设邀请个球队参加比赛，那么第一个球队和其他球队打场球，第二个球队和其他球队打场，以此类推可以知道共打场球，然后根据计划安排15场比赛即可列出方程求解．【解答】解：设应邀请个球队参加比赛，根据题意得：．故选：．【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，此题和实际生活结合比较紧密，准确找到关键描述语，从而根据等量关系准确的列出方程是解决问题的关键．17.（2021•香坊区二模）某中学初四学生毕业时，每个同学都给其他同学写了一份毕业留言，全班共写了纪念留言1640份，则全班共有学生名．A．39 B．40 C．41 D．42【分析】设全班共有学生名，则每名学生需写份毕业留言，根据全班共写了纪念留言1640份，即可得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．【解答】解：设全班共有学生名，则每名学生需写份毕业留言，依题意得：，解得：，（不合题意，舍去）．故选：．【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．18.（2021•越秀区校级模拟）目前以等为代表的战略性新兴产业蓬勃发展．某市2019年底有用户2万户，计划到2021年底全市用户数累计达到8.72万户，设全市用户数年平均增长率为，根据题意可列方程是A． B． C． D．【分析】设全市用户数年平均增长率为，则2020年底有用户万户，2021年底有用户万户，根据到2021年底全市用户数累计达到8.72万户，即可得出关于的一元二次方程，此题得解．【解答】解：设全市用户数年平均增长率为，则2020年底有用户万户，2021年底有用户万户，依题意得：．故选：．【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．19.（2021•安徽三模）根据安徽省统计局发布的数据，某市2020年一季度规上工业增加值与2019年一季度同期相比下降了，2021年一季度规上工业增加值与2020年一季度同期相比增长了，则这两年平均增长率是A． B． C． D．【分析】设这两年的平均增长率是，由题意可列出一元二次方程，解方程可得出答案．【解答】解：设这两年的平均增长率是，由题意可得，，解得：或（舍去）．故选：．【点评】本题考查了一元二次方程的应用，若设变化前的量为，变化后的量为，平均变化率为，则经过两次变化后的数量关系为．20.（2021•莱芜区二模）如图，某小区规划在一个长为、宽为的矩形场地上修建三条同样宽的小路，使其中两条与平行，另一条与平行，其余部分种草．若草坪部分的总面积为，则小路的宽度为2．【分析】此题是典型的“平移”方法，将三条道路平移到场地的边上，形成整体的草坪．再设修建的路宽应为米，根据题意可知：新草坪的仍然是矩形，这样草坪面积可以建立，解方程即可．【解答】解：如图，设修建的小路宽应为米，则新的草坪面积等于矩形的面积，即得到方程：，整理得：，解得或．但不合题意，舍去，所以修建的小路宽应为2米．故答案为：2．【点评】此题考查了几何图形的平移，用“平移”的方法，将分散的图形拼成一个“整体”，再建立几何图形面积，得到方程，方程的解注意需要检验．21.（2021•历下区二模）如图是一块矩形铁皮，将四个角各剪去一个边长为2米的正方形后剩下的部分做成一个容积为96立方米的无盖长方体箱子，已知长方体箱子底面的长比宽多2米，则矩形铁皮的面积为120平方米．【分析】设矩形铁皮的宽为米，则长为米，根据做成无盖长方体箱子的容积为96立方米，即可得出关于的一元二次方程，解之取其正值，再利用矩形的面积计算公式，即可求出结论．【解答】解：设矩形铁皮的宽为米，则长为米，依题意得：，整理得：，解得：（不合题意，舍去），，（平方米）．故答案为：120．【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．巩固提升巩固提升一、单选题1．（2021·云南）2021年5月11日我国第七次人口普查数据出炉，与第五次、第六次人口普查数据相比较，我国人口总量持续增长．第五次人口普查全国总人口约12.95亿，第七次人口普查全国总人口约14.11亿，设从第五次到第七次人口普查总人口平均增长率为，则可列方程为（）A． B．C． D．【答案】A【分析】根据题意，第五次人口总数约是12.95亿，由于两次的增长率为，可列出一元二次方程．【详解】解：设从第五次到第七次人口普查总人口平均增长率为，根据题意得：，故选：A．【点睛】本题考查了一元二次方程的实际应用—增长率问题，关键在于弄清题意，列出方程．2．（2021·贵州中考真题）在解一元二次方程x2+px+q＝0时，小红看错了常数项q，得到方程的两个根是﹣3，1．小明看错了一次项系数P，得到方程的两个根是5，﹣4，则原来的方程是（）A．x2+2x﹣3＝0 B．x2+2x﹣20＝0 C．x2﹣2x﹣20＝0 D．x2﹣2x﹣3＝0【答案】B【分析】分别按照看错的情况构建出一元二次方程，再舍去错误信息，从而可得正确答案.【详解】解：小红看错了常数项q，得到方程的两个根是﹣3，1，所以此时方程为：即：小明看错了一次项系数P，得到方程的两个根是5，﹣4，所以此时方程为：即：从而正确的方程是：故选：【点睛】本题考查的是根据一元二次方程的根构建一元二次方程，掌握利用一元二次方程的根构建方程的方法是解题的关键.3．（2021·江苏）对于方程，下列叙述正确的是（）A．不论c为何值，方程均有实数根B．方程的根是C．当时，方程可化为或D．当时，【答案】C【分析】根据题意，需要对进行分类讨论，分别求出每一种情况的答案，即可进行判断．【详解】解：当时，方程没有实数根；当时，方程有实数根，则，解得，；当时，解得．故选：C．【点睛】本题考查了直接开平方法解一元二次方程．熟练掌握解一元二次方程的方法是解答此题的关键．4．（2020·珠海市九洲中学九年级月考）已知：毕业典礼后，小芳学习小组内部的名同学，每两个同学都互相交换了礼物，她们一共买了份礼物．根据以上条件可以列出以下哪个方程（）A． B．C． D．【答案】C【分析】根据每两名同学之间交换礼物一个，则m人共赠贺卡m（m-1）张，列方程即可．【详解】解：根据题意，得m（m-1）=20，故选C．【点睛】此题主要考查了一元二次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．5．（2021·河北九年级期中）下列结论中，正确的是（）．①，∴，∴，；②，∴两边同除以，得；③关于的一元二次方程一定存在两个不相等的实数根；④元旦期间有名学生互赠贺卡，共赠贺卡30张，可列方程：A．①②③④ B．①③④ C．①④ D．③④【答案】B【分析】①②方程求出解，即可判断；③利用根的判别式进行判断；④根据每人要赠送（x-1）张贺卡，有x个人，可得方程．【详解】解：①，提取公因式得：，∴，，故正确；②方程整理得：x2-x=0，即x（x-1）=0，解得：x1=0，x2=1，故错误；③在中，，∴一定存在两个不相等的实数根，故正确；④元旦期间有名学生互赠贺卡，共赠贺卡30张，可列方程：，故正确；故选B．【点睛】此题考查了解一元二次方程-因式分解法，由实际问题抽象出一元二次方程，根的判别式等知识，属于基础题．二、填空题6．（2021·全国九年级课前预习）下面三个方程：x²＋2x－4＝0，x²－75x＋350＝0，x²－x＝56，它们有什么共同点？特点：（1）都是_________方程；（2）只含有______个未知数；（3）未知数的最高次数是______．【答案】整式一27．（2021·全国九年级课前预习）使方程左右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的_____，一元二次方程的解叫做一元二次方程的_______．【答案】解根8．（2021·江苏九年级一模）据美国约翰斯•霍普金斯大学发布的全球新冠肺炎数据统计系统，截至美国东部时间3月28日晚6时，全美共报告新冠肺炎确诊人数超过3025万，死亡超过54.9万，已知有一人患了新冠肺炎，经过两轮传染后，共有144人患了新冠肺炎，每轮传染中平均每人传染了_____人．【答案】11【分析】设每轮传染中平均每人传染了x人，然后由题意可得，进而求解即可．【详解】解：设每轮传染中平均每人传染了x人，由题意得：，解得：（不符合题意，舍去），∴每轮传染中平均每人传染了11人；故答案为11．【点睛】本题主要考查一元二次方程的应用，熟练掌握一元二次方程的应用是解题的关键．9．（2021·山东）由于手机市场的迅速成长，某品牌的手机为了赢得消费者，在一年之内连续两次降价，从5980元降到4698元，如果每次降低的百分率相同，求每次降低的百分率是多少？设这个降低百分率为，则根据题意，可列方程：____________．【答案】5980（1－）2＝4698【分析】根据原售价×(1-降低率）²=降低后的售价，然后列出方程求解即可．【详解】解：由题意可得：5980（1－x）2＝4698，故答案为：5980（1－x）2＝4698．【点睛】本题考查一元二次方程的应用，解题关键是根据原售价×(1-降低率)²=降低后的售价列出方程．10．（2021·全国九年级课前预习）观察下面两个方程，说出这两个方程的相同与不同之处：（1）3x＝4；（2）6700（1＋x）2＝9200相同之处：两边都是整式，都只含有____个未知数．不同之处：方程（1）未知数的最高次数是_____次，方程（2）未知数的最高次数是____次．【答案】11211．（2021·浙江中考真题）数学活动课上，小云和小王在讨论张老师出示的一道代数式求值问题：已知实数同时满足，求代数式的值．结合他们的对话，请解答下列问题：（1）当时，a的值是__________．（2）当时，代数式的值是__________．【答案】或17【分析】（1）将代入解方程求出，的值，再代入进行验证即可；（2）当时，求出，再把通分变形，最后进行整体代入求值即可．【详解】解：已知，实数，同时满足①，②，①-②得，∴∴或①+②得，（1）当时，将代入得，解得，，∴，把代入得，3=3，成立；把代入得，0=0，成立；∴当时，a的值是1或-2故答案为：1或-2；（2）当时，则，即∵∴∴∴∴故答案为：7．【点睛】此题主要考查了用因式分解法解一元二次方程，完全平方公式以及求代数式的值和分式的运算等知识，熟练掌握运算法则和乘法公式是解答此题的关键．12．（2020·山东九年级期末）在一条直线上，按如图所示的规律放置若干●与〇，组成图案：●〇●●〇●●●〇●●●●〇…，当图案恰好以〇收尾，且图案中●的个数是2278时，则该图案中●与〇的个数之和是_______．【答案】2345【分析】该图案中有x个〇，则有个●，根据题意列出方程即可求出x，即可得出答案．【详解】解：设该图案中有x个〇，则有1+2+3+⋯+x=个●，依题意得，=2278，整理得，x2+x-4556=0，解得，x1=-68（舍去），x2=67，∴该图案中●与〇的个数之和是：67+2278=2345，故答案为：2345．【点睛】此题考查了图形变化的规律，根据题意列出关于图案中●的个数的方程式解题的关键．13．（2021·浙江）商家通常依据“乐观系数准则”确定商品销售价格，即根据商品的最低销售限价a，最高销售限价以及常数确定实际销售价格为，这里的k被称为乐观系数．经验表明，最佳乐观系数k恰好使得，据此可得，最佳乐观系数k的值等于____．【答案】【分析】由，得：，再根据，可得，在列方程，解方程可得答案．【详解】解：由，得：即：∴∵∴∴解得：，∵∴不合题意∴故答案为：【点睛】本题考查了等式的变形，一元二次方程的解法等知识，关键是根据已知条件，变形为，从而可转化为关于k的一元二次方程．三、解答题14．（2021·福建莆田二中九年级期末）为抗击新型肺炎疫情，某服装厂及时引进了一条口罩生产线生产口罩，开工第一天生产10万件，第三天生产14.4万件，若每天增长的百分率相同．求每天增长的百分率．【答案】20%．【分析】设每天增长的百分率x，根据第一天和第三天的生产数量，结合每天的增长率相同列出方程求解即可得到答案.【详解】解：设每天增长的百分率x，由题意可得：10（1+x）2=14.4，（1+x）2=1.441+x=±1.2解得：x=0.2或x=-2.2（舍去）∴每天增长的百分率为20%答：每天增长的百分率为20%．【点睛】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，解题的关键在于能够准确找到等量关系列出方程求解.15．（2021·辽宁鞍山市·九年级期中）在疫情影响下，口罩的需求量猛增，某口罩厂从2020年1月口罩生产数量2万个增长到2020年3月口罩生产数量2.88万个．（1）求该口罩厂这两个月生产数量的月平均增长率？（2）按照这样的月平均增长速度，4月份的口罩生产数量能达到多少万个？【答案】（1）这两个月生产数量的月平均增长率为20%；（2）3.456万个．【分析】（1）设该口罩厂这两个月生产数量的月平均增长率为x，然后根据题意列出方程求解即可；（2）根据（1）中计算的结果求解即可.【详解】解：（1）设该口罩厂这两个月生产数量的月平均增长率为x，由题意得，2（1+x）2＝2.88．解方程，得x1＝0.2，x2＝﹣2.2（不合题意，舍去）．答：该口罩厂这两个月生产数量的月平均增长率为20%．（2）按照（1）中的月平均增长速度，4月份的口罩生产数量能达到2.88（1+20%）＝3.456（万个）．答：4月份的口罩生产数量能达到3.456万个.【点睛】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，解题的关键在于能够准确找到等量关系列出方程求解.16．（2021·江苏）如果下列图形由相同的小正方形组成，观察图形的变化，回答下列问题：（1）第6个图形有________个小正方形；第个图形有________个小正方形；（2）若第个图形有576个小正方形，求的值．【答案】（1）49；（或）；（2）第23个图形有576个小正方形．【分析】根据已知的四个图找出规律即可推导出第n个．【详解】（1）根据前四个图知：第一个图有4个，第二个图有9个，第三个图有16个，第四个图有25个，则依次类推每个图都有个，则第六个图有49个，

故答案为：49；（或）；（2）根据题意，得，解得（舍去），；故第23个图形有576个小正方形．【点睛】此题属于探索规律题，根据已知图总结出规律找出对应的规律公式代入计算即可，涉及到解一元二次方程．17．（2021·湖北九年级期末）党的十九大报告提出绿水青山就是金山银山，建设生态文明是中华民族永续发展的千年大计，植树造林是实现天蓝、地绿、水净的重要途径．为了保护生态环境，某集团每年都购进大量的树苗进行种植．（1）若该集团宜昌分公司今年种植黄桷树和香樟树共500棵，其中黄桷树的数量比香樟树的数量的6倍少25棵，求该集团宜昌分公司今年种植香樟树多少棵？（2）每年3月份，该集团都会进行植树活动，后勤部都会购进大量的树苗，去年后勤部购进黄桷树苗1000棵，单价为3元棵；购进香樟树苗2000棵，单价为2元棵．今年黄桷树苗的购进量比去年减少了，单价不变，香樟树苗的购进量比去年增加了，单价减少了．若后勤部去年和今年购进树苗的总费用相同，求的值．【答案】（1）集团宜昌分公司今年种植香樟树75棵；（2）的值为12.5【分析】（1）设该集团宜昌分公司今年种植香樟树x棵，种植黄桷树y棵，根据“该集团宜昌分公司今年种植黄桷树和香樟树共500棵，其中黄桷树的数量比香樟树的数量的6倍少25棵”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；

（2）根据总价=单价×数量，结合去年和今年购进树苗的总费用相同，即可得出关于a的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．【详解】解：（1）设该集团宜昌分公司今年种植香樟树棵，种植黄桷树棵，依题意得：，解得：．答：该集团宜昌分公司今年种植香樟树75棵．（2）依题意得：，整理得：，解得：，（不合题意，舍去）．答：的值为12.5．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用以及二元一次方程组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程．18．（2021·湖北九年级一模）背景知识城镇化是指农村人口转化为城镇人口的过程，城镇化率是指一个地区城镇人口数占该地区人口总数的比例．问题解决：截止2016年底，某市人口总数约为400万人，城镇化率为；到2020年底，该市总人口增加了20万人，城镇人口增加了28万人，城镇化率达到．（1）求2016年该市的城镇化率；（2）2016年，该市城镇居民人均可支配收入为万元，农村居民人均可支配收入比城镇居民人均可支配收入少万元；2020年，该市城镇居民人均可支配收入是2016年的1.5倍，农村居民人均可支配收入比2016年增长的百分率为n．这样，2020年全市居民人均可支配收入达到2016年全市居民人均可支配收入的1.5倍．①用含，的式子表示2016年全市居民的人均可支配收入；②求的值．【答案】（1）；（2）①；②【分析】（1）由城镇化率得出城镇人口的等量关系式，从而列出一元一次方程，解决问题；（2）①分别求出2016年农村居民和城镇居民人均可支配收入相加即为所求；②列出2020年全市居民人均可支配收入的等量关系，并列出方程即可解决．【详解】解：（1）由2016年总人数400万，到2020年底，该市总人口增加了20万人，以及2016年城镇化率为，可得城镇人口为：；由题意知2016年城镇人口为，加上2020年底增加的28万人，可得城镇人口为：；从而列出方程：；解之得：；（2）①2016年城镇居民人均可支配收入为万元，农村居民人均可支配收入比城镇居民人均可支配收入少万元，则农村居民人均可支配收入为故2016年全市居民的人均可支配收入为：，即；②∵2020年全市居民人均可支配收入为2016年全市居民人均可支配收入的1.5倍，∴2020年全市居民人均可支配收入为：，又∵2020年，该市城镇居民人均可支配收入是2016年的1.5倍∴2020年，该市城镇居民人均可支配收入为：，∵2020年，农村居民人均可支配收入比2016年增长的百分率为，∴2020年，农村居民人均可支配收入为：，故2020年全市居民人均可支配收入还可以为：，从而列出方程：，解之得：，或（舍）．故答案为：①；②．【点睛】本题主要考查了一元一次方程与一元二次方程的实际问题，解决本题的关键需要找出等量关系式，从而列出方程解决问题．19．（2021·重庆九年级期中）跳绳一直是盛堡初中的特色项目，为保障同学们训练需求，学校后勤部门每年都要采购一定数量的长绳和彩绳．已知2020年采购的长绳价格为120元/根，彩绳价格为40元/根，所采购的彩绳数量比长绳多5根，共用资金3400元．（1）求2020年采购的长绳和彩绳分别是多少根？（2）与2020年相比，2021年长绳的价格上涨了a%，彩绳的价格下降了5%，但采购的长绳的数量减少了，彩绳的数量增加了10根，且2021年学校采购长绳和彩绳的总支出费用为3310元，求a的值．【答案】（1）2020年采购长绳20根，彩绳25根；（2）a的值为10．【分析】（1）设2020年采购长绳x根，彩绳y根，根据“采购的彩绳数量比长绳多5根，共用资金3400元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；（2）根据总价=单价×数量，结合2021年学校采购长绳和彩绳的总支出费用为3310元，即可得出关于a的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．【详解】解：（1）设2020年采购长绳x根，彩绳y根，依题意得：，解得：，答：2020年采购长绳20根，彩绳25根；（2）依题意得：120(1+a%)×20(1-a%)+40×(1-5%)×(25+10)=3310，整理得：a2+60a-700=0，解得：a1=10，a2=-70（不合题意，舍去）．答：a的值为10．【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元二次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程．20．（2021·四川）商场以每件200元的价格购进一批商品，以单价300元销售．预计每月可售出250件，该商场为尽可能减少库存，决定降价销售，根据市场调查，该商品单价每降低5元，可多售出25件，但最低售价应高于购进的价格；若该商场希望该商品每月获利28000元，则销售单价应定为多少元？每月可销售多少件？【答案】售价应定为270元，每月销售400件【分析】设售价降低x个5元，由销售额﹣进价＝利润，作为相等关系列方程，解方程求解后要代入实际问题中检验是否符合题意，进行值的取舍．【详解】解：设售价降低x个5元，得（300﹣200﹣5x）（250+25x）＝28000．解得：x1＝4，x2＝6．当x＝4时，300﹣5×4＝280（元）＞200元；当x＝6时，300﹣5×6＝270（元）＞200元；因为要减少库存，所以，售价为：300﹣5×6＝270（元）．销售件数为：250+6×25＝400（件）．答：售价应定为270元，每月销售400件．【点睛】此题主要考查了一元二次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．有关销售问题中的等量关系一般为：利润=售价-进价．21．（2021·长沙市开福区青竹湖湘一外国语学校九年级月考）为促销新疆棉花，人们众志成城，响应号召，棉花是生活生产必需品．现有某生产商销售珍珠棉和长绒棉．（1）计划珍珠棉每斤售价比长绒棉贵16元，14斤长绒棉和6斤珍珠棉的总售价相同，求长绒棉和珍珠棉的每斤售价；（2）已知长绒棉每斤进价8元，按（1）中售价销售一段时间后，发现长绒棉的日均销售量为120斤，当每斤售价降价1元时，日均销售量增加20斤．该生产商秉承让利于民的原则，对长绒棉进行降价销售，但要保证当天长绒棉的利润为320元，求此时长绒棉每斤售价．【答案】（1）长绒棉的每斤售价为12元，珍珠棉的每斤售价为28元；（2）此时长绒棉每斤售价为10元．【分析】（1）设长绒棉的每斤售价为元，则珍珠棉的每斤售价为元，根据14斤长绒棉和6斤珍珠棉的总售价相同，即可得出关于的一元一次方程，解之即可得出结论；（2）设长绒棉每斤售价为元，则每斤的利润为元，日均销售量为斤，根据总利润每斤的利润日均销售量，即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出的值，再结合即可确定的值．【详解】解：（1）设长绒棉的每斤售价为x元，则珍珠棉的每斤售价为（x+16）元，依题意得：14x＝6（x+16），解得：x＝12，∴x+16＝28（元）．答：长绒棉的每斤售价为12元，珍珠棉的每斤售价为28元．（2）设长绒棉每斤售价为m元，则每斤的利润为（m﹣8）元，日均