专练03几何综合(A卷解答题)(原卷版+解析)

专练03几何综合（A卷解答题）1．如图，从点O引射线OM，ON，点A，B分别在射线OM，ON上，点C为平面内一点，连接AC，BC，有∠ACB＝∠O．(1)如图1，若AO∥BC，求证：AC∥ON；(2)如图2，若∠ABC＝∠ABO，AC⊥OM，请求出∠CBD和∠O的度数的等量关系式；(3)在（2）的条件下，过点C作CD∥OM交射线ON于点D．当∠CDN＝8∠CBD时，求∠ABC的度数．2．如图，在△CAE中，∠CAE＝90°，过点A作AF⊥CE于点F，延长AF至点D，使AD＝CE，过点D作AE的垂线，垂足为点B．(1)求证：△CAE≌△ABD；(2)若E为AB的中点，AC＝2：①求AF的长；②连接BF，求BF的长．3．如图，已知MN//BF，AB//DE，AC//DF，点E在点C右侧．(1)如图1，求证：∠ABC＝∠ADE；(2)如图2，点G是DE上一点，连接AG，已知AC⊥BF，AG⊥DE．①若AD＝EG，且DE＝7，AG＝3，求线段DG的长；②若AD＝20，点E到AD的距离与线段AG的长度之比为5：4，求线段DE的长．4．已知，△ABC和△DCE都是等边三角形，点B，C，E三点不在一条直线上（如图1）．(1)求证：BD＝AE；(2)若∠ADC=30°，AD=4，CD=5，求BD的长；(3)若点B，C，E三点在一条直线上（如图2），且△ABC和△DCE的边长分别为3和5，求AD的长．5．如图1，是正方形边上一点，过点作，交的延长线于点．(1)求证：；(2)如图2，若正方形边长为6，线段上有一动点从点出发，以1个单位长度每秒沿向运动．同时线段上另一动点从点出发，以2个单位长度每秒沿向运动，当点到达点后点也停止运动．连接，点的运动时间为，的面积为，求关于的函数关系式；(3)如图3，连接，连接交于点，连接并延长，交于点，已知，，求的长．6．如图，在△ABC中，延长AC至点D，使CD＝AC，过点D作DE∥AB交BC的延长线于点E，延长DE至点F，使EF＝DE．连接AF．（1）求证：DE＝AB；（2）求证：AF∥BE；（3）当AC＝BC时，连接AE，求证：AE2+DE2＝AD2．7．[阅读理解]如图，在△ABC中，AB＝4，AC＝6，BC＝7，过点A作直线BC的垂线，垂足为D，求线段AD的长．解：设BD＝x，则CD＝7﹣x．∵AD⊥BC，∴∠ADB＝∠ADC＝90°．在Rt△ABD中，AD2＝AB2﹣BD2，在Rt△ACD中，AD2＝AC2﹣CD2，∴AB2﹣BD2＝AC2﹣CD2．又∵AB＝4，AC＝6，∴42﹣x2＝62﹣（7﹣x）2．解得x＝，∴BD＝．∴AD＝＝．[知识迁移]（1）在△ABC中，AB＝13，AC＝15，过点A作直线BC的垂线，垂足为D．i）如图1，若BC＝14，求线段AD的长；ii）若AD＝12，求线段BC的长．（2）如图2，在△ABC中，AB＝，AC＝，过点A作直线BC的垂线，交线段BC于点D，将△ABD沿直线AB翻折后得到对应的△，连接CD′，若AD＝，求线段的长．8．如图，在△ABC中，∠ABC的角平分线与外角∠ACD的角平分线相交于点E．（1）设∠A＝α，用含α的代数式表示∠E的度数；（2）若EC∥AB，AC＝4，求线段CE的长；（3）在（2）的条件下，过点C作∠ACB的角平分线交BE于点F，若CF＝3，求边AB的长．9．如图，四边形中，，，点是的中点，连接，将沿折叠后得到，且点在四边形内部，延长交于点，连接．（1）求证：；（2）求证：；（3）若点是的中点，，求的长．10．如图，直线，直线交直线于点，交直线于点，点分别在直线，上，过点作于点，过点作于点，有，连接．（1）求证：；（2）是直线，上的两点，连接，过点作于点．若，且．①求线段和的长；②求线段的长．11．在中，，，点D．F是线段AB上两点，连结CD，过A作于点E，过点F作于点M．（1）如图1，若点E是CD的中点，求的大小；（2）如图2，若点D是线段BF的中点，求证：；（3）如图3，若点F是线段AB的中点，，，求FM的值．12．如图，直线l1∥l2，直线l3交直线l1于点B，交直线l2于点D，O是线段BD的中点．过点B作BA⊥l2于点A，过点D作DC⊥l1于点C，E是线段BD上一动点（不与点B，D重合），点E关于直线AB，AD的对称点分别为P，Q，射线PO与射线QD相交于点N，连接PQ．（1）求证：点A是PQ的中点；（2）请判断线段QN与线段BD是否相等，并说明理由．13．在等腰△ABC与等腰△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE，且点D、E、C三点在同一条直线上，连接BD．（1）如图1，求证：△ADB≌△AEC（2）如图2，当∠BAC＝∠DAE＝90°时，试猜想线段AD，BD，CD之间的数量关系，并写出证明过程；（3）如图3，当∠BAC＝∠DAE＝120°时，请直接写出线段AD，BD，CD之间的数量关系式为：（不写证明过程）14．如图，在△ABC中，∠ABC15°，AB，BC2，以AB为直角边向外作等腰直角△BAD，且∠BAD=90°；以BC为斜边向外作等腰直角△BEC，连接DE．（1）按要求补全图形；（2）求DE长；（3）直接写出△ABC的面积．15．我们定义：对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形．（1）如图1，垂美四边形ABCD的对角线AC，BD交于O．求证：AB2+CD2＝AD2+BC2；（2）如图2，分别以Rt△ACB的直角边AC和斜边AB为边向外作正方形ACFG和正方形ABDE，连结BE，CG，GE．①求证：四边形BCGE是垂美四边形；②若AC＝4，AB＝5，求GE的长．16．如图1，已知矩形ABCD，连接AC，将△ABC沿AC所在直线翻折，得到△AEC，AE交CD于点F．（1）求证：DF=EF；（2）如图2，若∠BAC=30°，点G是AC的中点，连接DE，EG，求证：四边形ADEG是菱形．17．图1，在正方形中，，为线段上一点，连接，过点作，交于点．将沿所在直线对折得到，延长交于点．（1）求证：．（2）若，求的长．（3）如图2，延长交的延长线于点，若，记的面积为，求与之间的函数关系式．18．在△ABC中，AB＝13，AC＝5，BC边上的中线AD＝6，点E在AD的延长线上，且ED＝AD．（1）求证：BE∥AC；（2）求∠CAD的大小；（3）求点A到BC的距离．专练03几何综合（A卷解答题）1．如图，从点O引射线OM，ON，点A，B分别在射线OM，ON上，点C为平面内一点，连接AC，BC，有∠ACB＝∠O．(1)如图1，若AO∥BC，求证：AC∥ON；(2)如图2，若∠ABC＝∠ABO，AC⊥OM，请求出∠CBD和∠O的度数的等量关系式；(3)在（2）的条件下，过点C作CD∥OM交射线ON于点D．当∠CDN＝8∠CBD时，求∠ABC的度数．【答案】(1)答案见解析(2)∠CBD+2∠O＝90°，理由见解析(3)【详解】（1）证明：∵AO∥BC，∴∠OAB＝∠CBA，在△OAB和△CBA中，，∴△OAB≌△CBA（AAS），∴∠ABO＝∠BAC，∴AC∥ON；（2）解：∠CBD+2∠O＝90°，理由如下：在△AOB和△ACB中，，∴△AOB≌△ACB（AAS），∴∠OAB＝∠CAB，∵AC⊥OM，∴∠OAC＝90°，∴∠OAB＝∠CAB＝45°，∴∠ABC＝∠ABD+∠CBD＝∠ABO＝180°﹣45°﹣∠O＝135°﹣∠O，即∠ABD+∠CBD＝135°﹣∠O，∵∠ABD＝∠O+∠OAB＝∠O+45°，∴∠O+45°+∠CBD＝135°﹣∠O，∴∠CBD+2∠O＝90°；（3）解：∵∠CDN＝∠CBD+∠BCD，∠CDN＝8∠CBD，∴∠BCD＝7∠CBD＝∠BCA+∠ACD＝∠O+∠ACD，∵CD∥OM，∴∠ACD＝∠OAC＝90°，∴7∠CBD＝∠O+90°，由（2）得，7×（90°﹣2∠O）＝∠O+90°，∴∠O＝36°，∴∠ABC＝135°﹣∠O＝99°．2．如图，在△CAE中，∠CAE＝90°，过点A作AF⊥CE于点F，延长AF至点D，使AD＝CE，过点D作AE的垂线，垂足为点B．(1)求证：△CAE≌△ABD；(2)若E为AB的中点，AC＝2：①求AF的长；②连接BF，求BF的长．【答案】(1)见解析(2)①；②【解析】（1）证明：∵AF⊥CE于点F，BD⊥AB于点B，∴∠AFC＝90°，∠B＝90°，∵∠CAE＝90°，∴∠CAE＝∠B，∵∠C+∠CAF＝90°，∠BAD+∠CAF＝90°，∴∠C＝∠BAD，在△CAE和△ABD中，，∴△CAE≌△ABD（AAS）．（2）解：①如图2，∵AC＝AB＝2，E为AB的中点，∴AE＝BE＝AB＝1，∴CE＝＝＝，∵S△CAE＝CE•AF＝AC•AE，∴×AF＝×2×1，∴AF＝，∴AF的长为．②如图2，作BG⊥BF交AD的延长线于点G，则∠FBG＝90°，∴∠EBF＝∠DBG＝90°﹣∠DBE，∵∠BEF+∠AEC＝180°，∠BDG+∠BDA＝180°，且∠AEC＝∠BDA，∴∠BEF＝∠BDG，∵AE＝BE，AE＝BD，∴BE＝BD，在△BEF和△BDG中，，∴△BEF≌△BDG（ASA），∴BF＝BG，EF＝DG，∵∠AFE＝90°，∴EF＝＝＝，∴DG＝，∵AD＝CE＝，∴DF＝AD﹣AF＝﹣＝，∴FG＝DF+DG＝+＝，∵BF2+BG2＝FG2，∴2BF2＝（）2，∴BF＝，∴BF的长为．3．如图，已知MN//BF，AB//DE，AC//DF，点E在点C右侧．(1)如图1，求证：∠ABC＝∠ADE；(2)如图2，点G是DE上一点，连接AG，已知AC⊥BF，AG⊥DE．①若AD＝EG，且DE＝7，AG＝3，求线段DG的长；②若AD＝20，点E到AD的距离与线段AG的长度之比为5：4，求线段DE的长．【答案】(1)见解析(2)25【解析】(1)证明∵AB∥DE，∴∠ABC＝∠DEF，∵MN∥BF，∴∠ADE＝∠DEF，∴∠ABC＝∠ADE；(2)解：连接AE，如图所示：①由题知AG⊥DE，AD＝EG，DE＝7，设AD长为x，则DG长为7-x，在直角三角形中，由勾股定理可得：AD2=AG2+DG2即，解得，∴②∵AC⊥BF，∴点E到AD的距离为AC的长，由题知AG⊥DE，在中，由三角形面积相等得：AD×AC＝DE×AG，∵，∴，∵AD＝20，∴DE＝25．4．已知，△ABC和△DCE都是等边三角形，点B，C，E三点不在一条直线上（如图1）．(1)求证：BD＝AE；(2)若∠ADC=30°，AD=4，CD=5，求BD的长；(3)若点B，C，E三点在一条直线上（如图2），且△ABC和△DCE的边长分别为3和5，求AD的长．【答案】(1)见解析(2)BD=；(3)AD=．【详解】（1）证明：∵△ABC和△DCE是等边三角形，∴BC=AC，DC=EC，∠ACB=∠DCE=60°，∴∠ABC+∠ACD=∠DCE+∠ACD，即∠BCD=∠ACE，在△BCD与△ACE中，，∴△BCD≌△ACE（SAS），∴BD=AE；（2）解：∵△DCE等式等边三角形，∴∠CDE=60°，CD=DE=5，∵∠ADC=30°，∴∠ADE=∠ADC+∠CDE=30°+60°=90°，在Rt△ADE中，AD=4，DE=5，∴AE=，∴BD=；（3）解：如图2，过A作AH⊥CD于H，∵点B，C，E三点在一条直线上，∴∠BCA+∠ACD+∠DCE=180°，∵△ABC和△DCE都是等边三角形，∴∠BCA=∠DCE=60°，∴∠ACD=60°，∴∠CAH=30°，在Rt△ACH中，CH=AC=，由勾股定理得AH=，∴DH=CD-CH=5-，在Rt△ADH中，AD==．5．如图1，是正方形边上一点，过点作，交的延长线于点．(1)求证：；(2)如图2，若正方形边长为6，线段上有一动点从点出发，以1个单位长度每秒沿向运动．同时线段上另一动点从点出发，以2个单位长度每秒沿向运动，当点到达点后点也停止运动．连接，点的运动时间为，的面积为，求关于的函数关系式；(3)如图3，连接，连接交于点，连接并延长，交于点，已知，，求的长．【答案】(1)见解析(2)(3)【解析】（1）解：∵四边形为正方形，，即在和中，．（2）由题意，，，（3）作交于，连接∵四边形是正方形，，，．，，，，在和中，，，，垂直平分，

设，则，，∵在中，，，6．如图，在△ABC中，延长AC至点D，使CD＝AC，过点D作DE∥AB交BC的延长线于点E，延长DE至点F，使EF＝DE．连接AF．（1）求证：DE＝AB；（2）求证：AF∥BE；（3）当AC＝BC时，连接AE，求证：AE2+DE2＝AD2．【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析．【详解】证明：（1）∵DE∥AB，∴∠ABC＝∠DEC，在△ABC和△DEC中，，∴△ABC≌△DEC（AAS），∴DE＝AB；（2）∵DC＝AC，DE＝EF，∴CE是△DAF的中位线，∴AF∥BE；（3）∵△ABC≌△DEC，∴BC＝CE，∵AC＝BC，∴AC＝BC＝CE，∴△BAE是直角三角形，∴AB2+AE2＝BE2，∵AB＝DE，AD＝2AC＝2BC＝BE，∴AE2+DE2＝AD2．7．[阅读理解]如图，在△ABC中，AB＝4，AC＝6，BC＝7，过点A作直线BC的垂线，垂足为D，求线段AD的长．解：设BD＝x，则CD＝7﹣x．∵AD⊥BC，∴∠ADB＝∠ADC＝90°．在Rt△ABD中，AD2＝AB2﹣BD2，在Rt△ACD中，AD2＝AC2﹣CD2，∴AB2﹣BD2＝AC2﹣CD2．又∵AB＝4，AC＝6，∴42﹣x2＝62﹣（7﹣x）2．解得x＝，∴BD＝．∴AD＝＝．[知识迁移]（1）在△ABC中，AB＝13，AC＝15，过点A作直线BC的垂线，垂足为D．i）如图1，若BC＝14，求线段AD的长；ii）若AD＝12，求线段BC的长．（2）如图2，在△ABC中，AB＝，AC＝，过点A作直线BC的垂线，交线段BC于点D，将△ABD沿直线AB翻折后得到对应的△，连接CD′，若AD＝，求线段的长．【答案】（1）i）12；ii）14或4；（2）【详解】（1）i）解：设BD=x，则CD=14-x，∵AD⊥BC，∴∠ADB＝∠ADC＝90°．在Rt△ABD中，AD2＝AB2﹣BD2，在Rt△ACD中，AD2＝AC2﹣CD2，∴AB2﹣BD2＝AC2﹣CD2．又∵AB＝13，AC＝15，∴132﹣x2＝152﹣（14﹣x）2．解得：x＝5，∴BD＝5，∴AD＝＝；ii）分两种情况：①当点D在线段BC上，如图，∵AD＝12，AB＝13，AC＝15，AD⊥BC，∴BD=，DC=，∴BC=BD+DC=5+9=14，②当点D在CB的延长线上，如图，则BC=DC-BD=9-5=4；（2）∵AB＝，AC＝，AD＝，AD⊥BC，∴BD=，DC=，过点D′作D′F⊥BC，交CB的延长线于点F，∵将△ABD沿直线AB翻折后得到对应的△，∴BD′=BD=，设BF=x，D′F=y，则x2+y2=()2，又∵，即：4x+2y=25，∴x=或（舍），∴y=5，即：D′F=5，∴CF=BF+BD+CD=++5=15，∴=．8．如图，在△ABC中，∠ABC的角平分线与外角∠ACD的角平分线相交于点E．（1）设∠A＝α，用含α的代数式表示∠E的度数；（2）若EC∥AB，AC＝4，求线段CE的长；（3）在（2）的条件下，过点C作∠ACB的角平分线交BE于点F，若CF＝3，求边AB的长．【答案】（1）；（2）4；（3）【详解】解：（1）设∠ABE＝∠CBE＝x，∠ACE＝∠ECD＝y，则有，可得∠E＝∠A＝α．（2）∵EC∥AB，∴∠ABE＝∠E，∵∠ABC＝2∠ABE，∠A＝2∠E，∴∠A＝∠ABC，∠E＝∠CBE，∴CA＝CB＝4，CE＝CB＝4.（3）如图，连接AF，过点C作CT⊥BE于T，延长CF交AB于R．∵CF平分∠ACB，CE平分∠ACD，∴∠FCE＝（∠ACB＋∠ACD）＝90°，∵CF＝3，CE＝4，∴EF＝＝＝5，∵S△CEF＝•EC•CF＝•EF•CT，∴CT＝，在Rt△BCT中，BT＝＝＝，∵CB＝CE，CT⊥BE，∴BT＝TE，∴BE＝2BT＝，∴BF＝BE﹣EF＝﹣5＝，∵CA＝CB，CF平分∠ACB，∴CR⊥AB，BR＝AR，设BR＝x，RF＝y，则有，解得（不符合题意的解已经舍弃）．∴AB＝2BR＝．9．如图，四边形中，，，点是的中点，连接，将沿折叠后得到，且点在四边形内部，延长交于点，连接．（1）求证：；（2）求证：；（3）若点是的中点，，求的长．【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）【详解】解：（1）∵E是AD中点，∴AE=DE，由折叠可知：AE=EG，∠EGB=∠EGF=∠D=∠A=90°，∴EG=ED，又EF=EF，∴Rt△EGF≌Rt△EOF（HL）；（2）△ABE折叠得到△GBE，∴AB=BG，∵AD∥BC，∠A=∠D=90°，∴∠ABC=90°，∠C=90°，∴四边形ABCD为矩形，∴AB=DC，∴BG=CD；（3）∵点E是AD中点，AD=BC=8，∴AE=DE=4，∵点F是CD中点，∴设CD=x，则DF=x，则BE2=BG2+EG2，即BE2=CD2+AE2，即BE2=x2+42，且EF2=DE2+DF2，即EF2=42+（x）2，且BF2=BC2+CF2，即BF2=82+（x）2，∵∠AEB=∠GEB，∠DEF=∠GEF，∴∠BEF=∠GEB+∠GEF=90°，∴BF2=BE2+EF2，∴82+（x）2=x2+42+42+（x）2，解得：x=，即CD=．10．如图，直线，直线交直线于点，交直线于点，点分别在直线，上，过点作于点，过点作于点，有，连接．（1）求证：；（2）是直线，上的两点，连接，过点作于点．若，且．①求线段和的长；②求线段的长．【答案】（1）见解析；（2）①；②【详解】解：（1）如图所示：∵直线l1//l2，∴∠BAC=∠ABD，∵CE⊥l3，∴∠AEC=90∘∵DF⊥l3，∴∠BFD=90∘∴∠AEC=∠BFD又∵CE=DF∴△AEC≅△BFD(AAS)∴AC=BD又∵AB=BA，∴△ACB≅△BDA(SAS)∴BC=AD，∠ABC=∠BAD∴AD//BC（2）①设CM=x，则CE=CM=x，AC=2−x∵CM=CE，BC=BC，∠BMC=∠BEC=90∘∴Rt△BMC≅Rt△BEC，∴BE=BM=在Rt△BMA中，AB=，∴AE==1在Rt△AEC中，AE2+CE2=AC2即12+x2=(2−x)2解得x=即CE=CM=，AC=②过点D作DH⊥l1于点H，则有∠DHA=90∘=∠BMC∵AD//BC，∴∠DAH=∠BCM又∵AD=CB∴△DAH≅△BCM,∴AH=CM=，DH=BM=∴CH=AC−AH=过点P作PN⊥l2于点N，易得PN=BM=DH，∠DHC=∠PNQ=90∘∵l1//l2，PQ//CD，∴∠DCH=∠PQN∴△DHC≅△PNQ∴NQ=HC=在△PBQ中，∵PQ=BP，PN⊥BQ,∴NQ=BN=∴BQ=111．在中，，，点D．F是线段AB上两点，连结CD，过A作于点E，过点F作于点M．（1）如图1，若点E是CD的中点，求的大小；（2）如图2，若点D是线段BF的中点，求证：；（3）如图3，若点F是线段AB的中点，，，求FM的值．【答案】（1）∠CAE=22.5°；（2）见解析；（3）FM=．【详解】（1）解：如图中，∵AC=BC，∠ACB=90°，∴∠CAB=∠B=45°，∵AE⊥CD，EC=ED，∴AC=AD，∴∠CAE=∠DAE=22.5°，∴∠CAE=22.5°；（2）证明：过点B作BN⊥CD交CD的延长线于点N．

∴∠BNC=90°，∵AE⊥CD，∴∠CEA=∠BNC=90°，∴∠CAE+∠ACD=90°，∵∠ACB=90°，∴∠ACD+∠BCN=90°，∴∠CAE=∠BCN，在△AEC和△CNB中，，∴△AEC≌△CNB，∴CE=BN，∵FM⊥CD，BN⊥CD，∴∠FMD=∠BND=90°，∵若点D是线段BF的中点，∴FD=BD，在△FMD和△BND中，，∴△FMD≌△BND，∴FM=BN，∴CE=FM；（3）如图中，在线段AE上取点G，使得AG=CE，连结CF、EF，∵AF=FB，AC=BC，∠ACB=90°，∴CF⊥AB，CF=AF，∵∠FAG+∠ADE=90°，∠ADE+∠FCE=90°，∴∠GAF=∠ECF，∵AG=CE，∴△AGF≌△CEF，∴FG=EF，∠AFG=∠CFE，∴∠EFG=∠AFC=90°，∴△EFG是等腰直角三角形，∴EG=EF，∠GEF=45°，∴∠MEF=90°-45°=45°，∴△EFM是等腰直角三角形，∴EF=FM，∴AE-CE=AE-AG=EG=EF=2FM，即2FM，∴FM=．12．如图，直线l1∥l2，直线l3交直线l1于点B，交直线l2于点D，O是线段BD的中点．过点B作BA⊥l2于点A，过点D作DC⊥l1于点C，E是线段BD上一动点（不与点B，D重合），点E关于直线AB，AD的对称点分别为P，Q，射线PO与射线QD相交于点N，连接PQ．（1）求证：点A是PQ的中点；（2）请判断线段QN与线段BD是否相等，并说明理由．【答案】（1）见解析；（2）相等，理由见解析【详解】解：（1）连接AE，PE，QE，如图∵点E关于直线AB，AD的对称点分别为P，Q∴AP＝AE，AQ＝AE，∠1＝∠2，∠3＝∠4，∴AP＝AQ∵AB⊥l2，∴∠2＋∠3＝90°∴∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝180°∴P，A，Q三点在同一条直线上∴点A是PQ的中点．（2）QN＝BD，理由如下：连接PB∵点E关于直线AB，AD的对称点分别为P，Q∴BP＝BE，DQ＝DE，∠5＝∠6，∠7＝∠8∵l1//l2，DC⊥l1，∴DC⊥l2，∴∠7＋∠9＝90°，∴∠8＋∠10＝90°，∴∠9＝∠10又∵AB⊥l2，DC⊥l2，∴AB//CD∴∠6＝∠9，∴∠5＋∠6＝∠9＋∠10即∠OBP＝∠ODN∵O是线段BD的中点，∴OB＝OD在△BOP和△DON中∴△BOP≌△DON∴BP＝DN，∴BE＝DN∴QN＝DQ＋DN＝DE＋BE＝BD13．在等腰△ABC与等腰△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE，且点D、E、C三点在同一条直线上，连接BD．（1）如图1，求证：△ADB≌△AEC（2）如图2，当∠BAC＝∠DAE＝90°时，试猜想线段AD，BD，CD之间的数量关系，并写出证明过程；（3）如图3，当∠BAC＝∠DAE＝120°时，请直接写出线段AD，BD，CD之间的数量关系式为：（不写证明过程）【答案】（1）见解析；（2）CD＝AD+BD，理由见解析；（3）CD＝AD+BD【详解】证明：（1）∵∠BAC＝∠DAE，∴∠BAD＝∠CAE，又∵AB＝AC，AD＝AE，∴△ADB≌△AEC（SAS）；（2）CD＝AD+BD，理由如下：∵∠BAC＝∠DAE，∴∠BAD＝∠CAE，又∵AB＝AC，AD＝AE，∴△ADB≌△AEC（SAS）；∴BD＝CE，∵∠BAC＝90°，AD＝AE，∴DE＝AD，∵CD＝DE+CE，∴CD＝AD+BD；（3）作AH⊥CD于H．∵∠BAC＝∠DAE，∴∠BAD＝∠CAE，又∵AB＝AC，AD＝AE，∴△ADB≌△AEC（SAS）；∴BD＝CE，∵∠DAE＝120°，AD＝AE，∴∠ADH＝30°，∴AH＝AD，∴DH＝＝AD，∵AD＝AE，AH⊥DE，∴DH＝HE，∴CD＝DE+EC＝2DH+BD＝AD+BD，故答案为：CD＝AD+BD．14．如图，在△ABC中，∠ABC15°，AB，BC2，以AB为直角边向外作等腰直角△BAD，且∠BAD=90°；以BC为斜边向外作等腰直角△BEC，连接DE．（1）按要求补全图形；（2）求DE长；（3）直接写出△ABC的面积．【答案】（1）见解析；（2）；（3）【详解】解：（1）如图所示（2）连接DC

解：∵△ABD是等腰直角三角形,

AB=，∠BAD=90°.

∴AB=AD=，∠ABD=45°.

由勾股定理得DB=2.

∴∠DBC=∠ABC+∠ABD=60°.

∵BC=2.

∴BC=BD.

∴△BCD是等边三角形.

∴BD=CD=2.

∴D点在线段BC的垂直平分线上.

又∵△BEC是等腰直角三角形.

∴BE=CE，∠CEB=45°

∴E点在线段BC的垂直平分线上.

∴DE垂直平分BC.

∴BF=BC=1，

∠BFE=90°

∵∠FBE=∠BEF=45°

∴BF=EF=1

Rt△BFD中，BF=1，BD=2由勾股定理得DF=,

∴DE=DF+EF=.（3）∵AD=AB，DC=BC，AC=AC，∴△ABC≌△DAC.用△DBC的面积减去△ABD的面积除以2即可得到△ABC的面积.△DBC的面积为=，△ABD的面积为.所以△ABC的面积为.15．我们定义：对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形．（1）如图1，垂美四边形ABCD的对角线AC，BD交于O．求证：AB2+CD2＝AD2+BC2；（2）如图2，分别以Rt△ACB的直角边AC和斜边AB为边向外作正方形ACFG和正方形ABDE，连结BE，CG，GE．①求证：四边形BCGE是垂美四边形；②若AC＝4，AB＝5，求GE的长．【答案】（1）见解析；（2）①见解析；②GE＝【详解】（1）证明：∵垂美四边形ABCD的对角线AC，BD交于O，∴AC⊥BD，∴∠AOD＝∠AOB＝∠BOC＝∠COD＝90°，由勾股定理得：AD2+BC2＝AO2+DO2+BO2+CO2，AB2+CD2＝AO2+BO2+CO2+DO2，∴AD2+BC2＝AB2+CD2；（2）①证明：连接BG、CE相交于点N，CE交AB于点M，如图2所示：∵正方形ACFG和正方形ABDE，∴AG＝AC，AB＝AE，∠CAG＝∠BAE＝90°，∴∠CAG+∠BAC＝∠BAE+∠BAC，即∠GAB＝∠CAE，在△GAB和△CAE中，，∴△GAB≌△CAE（SAS），∴∠ABG＝∠AEC，∵∠AEC+∠AME＝90°，∴∠ABG+∠AME＝90°，∴∠ABG+∠BMN＝90°，即CE⊥BG，∴