第15讲锐角三角函数及相关概念(6大考点)(原卷版+解析)

第15讲锐角三角函数及相关概念（6大考点）考点考向考点考向一、锐角三角函数的定义在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=c，BC=a，AC=b，正弦：sinA=；余弦：cosA=；正切：tanA=．根据定义求三角函数值时，一定根据题目图形来理解，严格按照三角函数的定义求解，有时需要通过辅助线来构造直角三角形.注意：正弦、余弦、正切是在一个直角三角形中引入的，实际上是两条边的比，它们是正实数，没单位，其大小只与角的大小有关，而与所在直角三角形无关。二、特殊角的三角函数值αsinαcosαtanα30°45°160°三、解直角三角形1．在直角三角形中，除直角外，一共有五个元素，即三条边和两个锐角，由直角三角形中除直角外的已知元素求出所有未知元素的过程叫做解直角三角形．2．解直角三角形的常用关系：在Rt△ABC中，∠C=90°，则：（1）三边关系：a2+b2=c2；（2）两锐角关系：∠A+∠B=90°；（3）边与角关系：sinA=cosB=，cosA=sinB=，tanA=；（4）sin2A+cos2A=1．3．科学选择解直角三角形的方法口诀：已知斜边求直边，正弦、余弦很方便；已知直边求直边，理所当然用正切；已知两边求一边，勾股定理最方便；已知两边求一角，函数关系要记牢；已知锐角求锐角，互余关系不能少；已知直边求斜边，用除还需正余弦.考点精讲考点精讲一．锐角三角函数的定义（共3小题）1．（2021秋•北林区期末）在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，AB＝5，则sinA的值为（）A． B． C． D．以上都不对2．（2021秋•梧州期末）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝3，则下列三角函数值中，正确的是（）A．sinA＝ B．cosA＝ C．tanA＝ D．sinB＝3．（2021秋•遂川县期末）（1）已知2x＝3y，求；（2）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝4，，求sinA的值．二．锐角三角函数的增减性（共3小题）4．（2021秋•大荔县期末）如图，半径为3的⊙O内有一点A，OA＝，点P在⊙O上，当∠OPA最大时，S△OPA等于（）A． B． C． D．15．（2021秋•周村区期末）已知cosα＝，则锐角α的取值范围是（）A．0°＜α＜30° B．30°＜α＜45° C．45°＜α＜60° D．60°＜α＜90°6．（2021秋•宽城县期末）比较大小：当0＜α＜45°时，sinαcosα．三．同角三角函数的关系（共4小题）7．（2022•市南区校级开学）在Rt△ABC中，∠C＝90°，若sinA＝，则cosA＝（）A． B． C． D．8．（2021秋•舟山期末）在直角△ABC中，已知∠C＝90°，sinA＝，求cosA＝（）A． B． C． D．29．（2021秋•永春县期末）下列选项正确的是（）A．sin31°+cos31°＜1 B．sin31°+cos31°＞2 C．sin31°+cos31°＝1 D．sin31°+cos31°＞110．（2022秋•蓬莱区期中）计算：（1）﹣4cos30°+20220；（2）已知α为锐角，sin（α+15°）＝，计算﹣4cosα+tanα+（）﹣1的值．四．互余两角三角函数的关系（共4小题）11．（2022秋•张店区校级月考）在Rt△ABC中，∠C＝90°，tanA＝3，则tanB的值是（）A．3 B． C． D．12．（2022秋•永年区校级月考）已知tan（90°﹣α）＝，则锐角α的度数是（）A．60° B．45° C．30° D．75°13．（2022•鹿城区校级模拟）已知＜cosA＜sin80°，则锐角A的取值范围是（）A．60°＜A＜80° B．30°＜A＜80° C．10°＜A＜60° D．10°＜A＜30°14．（2021秋•益阳期末）若sin65°＝，则cos25°＝．五．特殊角的三角函数值（共9小题）15．（2021秋•利辛县期末）已知tanα＝1，则锐角α的取值是（）A．α＝60° B．α＝45° C．α＝30° D．α＝75°16．（2021秋•孟村县期末）已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，cosA＝，则∠B的度数为（）A．30° B．45° C．60° D．无法确定17．（2022秋•巨野县期中）∠β为锐角，且2cosβ﹣1＝0，则∠β＝（）A．30° B．60° C．45° D．37.5°18．（2022秋•蜀山区校级期中）sin45°•tan60°＝．19．（2021秋•唐河县期末）在△ABC中，若∠A，∠B满足，则∠C＝．20．（2021秋•南宫市期末）已知α是锐角，，则α＝；cosα＝．21．（2021秋•泗县期末）如果（α、β为锐角），则α＝，β＝．22．（2021秋•礼泉县期末）计算：cos60°+2tan45°﹣sin30°．23．（2022秋•奉贤区期中）计算：．六．计算器—三角函数（共2小题）24．（2022秋•潍城区期中）若用我们数学课本上采用的科学计算器计算tan35°12'，按键顺序正确的是（）A． B． C． D．25．（2022•越秀区校级二模）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，AC＝4．下列四个选项，正确的是（）A．tanB＝0.75 B．sinB＝0.6 C．sinB＝0.8 D．cosB＝0.8巩固提升巩固提升一、单选题1．（2021·北京·九年级单元测试）如图，在ABC中，∠A＝120°，AB＝4，AC＝2，则sinB的值是（）A． B． C． D．2．（2020·北京·九年级单元测试）在Rt△ABC中，∠C＝90°，若=1，则∠B的度数是（）A．30° B．45° C．60° D．75°3．（2021·山东东昌府·九年级期中）构造几何图形解决代数问题是“数形结合思想”的重要应用，小康在计算时，构造出如图所示的图形：在RtACD中，，，延长到，，连接，得．根据此图可求得的结果（）A． B． C． D．4．（2021·黑龙江龙凤·九年级期中）如图所示，在中，斜边，，点D在AB上，且，则的值是（）A． B．1 C． D．二、填空题5．（2020·北京·九年级单元测试）已知a＝3，且，则以a、b、c为边长的三角形面积等于_____．6．（2021·黑龙江龙凤·九年级期中）若，则锐角______°．7．（2021·重庆八中九年级期中）如图，平行四边形ABCD中，点E为对角线AC上一点，连接BE，将△ABE沿BE翻折，点A的对应点F恰好落在BC边上，连接DF．若AB＝6，∠DAB＝120°，sin∠ACB＝，则点A到直线DF的距离为________．8．（2021·广东·佛山市南海石门实验中学九年级期中）如图，在边长为3的正方形ABCD中，E是AB边上一点，G是AD延长线上一点，BE＝DG＝1，连接EG，CF⊥EG交EG于点H，交AD于点F，则＝________．9．（2020·北京·九年级单元测试）已知⊙O的半径OA=2，弦AB、AC分别为一元二次方程的两个根，则∠BAC的度数为_______．10．（2021·北京·九年级单元测试）已知是方程的一个根，θ是三角形的一个内角，那么cosθ的值为________．11．（2021·黑龙江·哈尔滨德强学校九年级期中）如图，中，，以AC为边作等边，过D作，垂足为E，若，，则______．三、解答题12．（2021·北京·九年级单元测试）如图所示，在RtABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，b＝20，解这个直角三角形．13．（2021·广东·佛山市南海石门实验中学九年级期中）在△ABC中，已知∠C＝90°，∠A，∠B，∠C所对的边分别是a，b，c．且b+c＝30，∠A﹣∠B＝30°，解这个直角三角形．14．（2021·北京·九年级单元测试）如图所示，ABC中，D为AB的中点，DC⊥AC，且∠BCD＝30°，求∠CDA的正弦值、余弦值和正切值．15．（2021·北京·九年级单元测试）计算下列各式的值：（1）(结果保留根号)（2）16．（2021·黑龙江龙凤·九年级期中）计算：（1）；（2）．17．（2021·黑龙江·哈尔滨德强学校九年级期中）先化简，再求代数式的值，其中．18．（2021·北京·九年级单元测试）如图，在ABC中，AC=12cm，AB=16cm，sinA=．（1）求AB边上的高CD；（2）求ABC的面积S；（3）求tanB．19．（2021·北京·九年级单元测试）如图，将矩形纸片ABCD按如下顺序进行折叠：对折、展平，得折痕EF（如图①）；沿GC折叠，使点B落在EF上的点B′处（如图②）；展平，得折痕GC（如图③）；沿GH折叠，使点C落在DH上的点C′处（如图④）；沿GC′折叠（如图⑤）；展平，得折痕GC′、GH（如图⑥）．（1）求图②中∠BCB′的大小；（2）图⑥中的△GCC′是正三角形吗？请说明理由．20．（2021·北京·九年级单元测试）已知矩形纸片ABCD，AB=2，AD=1．将纸片折叠，使顶点A与边CD上的点E重合．（1）如果折痕FG分别与AD，AB交于点F，G（如图（1）），AF=求DE的长．（2）如果折痕FG分别与CD，AB交于点F，G（如图（2）），△AED的外接圆与直线BC相切，求折痕FG的长．21．（2020·北京·九年级单元测试）如图，AB为⊙O的直径，⊙O过AC的中点D，DE为⊙O的切线．（1）求证：DE⊥BC；（2）如果DE=2，tanC=，求⊙O的直径．22．（2021·重庆八中九年级期中）在△ABC中，CA＝CB，CA⊥CB，点D是射线AC上一动点，连接BD，将BD绕点D逆时针旋转90°得ED，连接CE．（1）如图1，当点D在线段AC上时，若DE＝，BC＝3，求△ABD的周长；（2）如图2，点D在AC延长线上，作点C关于AB边的对称点F，连接FE，FD，将FD绕点D顺时针旋转90°得GD，连接AG，求证：AG＝CE；（3）如图3，点D在AC延长线上运动过程中，延长EC交AG于H，当BH最大时，直接写出的值．23．（2021·北京·九年级单元测试）如图1，矩形纸片ABCD的边长分别为a，b（a＜b）．将纸片任意翻折（如图2），折痕为PQ．（P在BC上），使顶点C落在四边形APCD内一点C′，PC′的延长线交直线AD于M，再将纸片的另一部分翻折，使A落在直线PM上一点A′，且A′M所在直线与PM所在直线重合（如图3），折痕为MN．（1）猜想两折痕PQ，MN之间的位置关系，并加以证明．（2）若∠QPC的角度在每次翻折的过程中保持不变，则每次翻折后，两折痕PQ，MN间的距离有何变化？请说明理由．（3）若∠QPC的角度在每次翻折的过程中都为45°（如图4），每次翻折后，非重叠部分的四边形MC′QD，及四边形BPA′N的周长与a，b有何关系，为什么？第15讲锐角三角函数及相关概念（6大考点）考点考向考点考向一、锐角三角函数的定义在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=c，BC=a，AC=b，正弦：sinA=；余弦：cosA=；正切：tanA=．根据定义求三角函数值时，一定根据题目图形来理解，严格按照三角函数的定义求解，有时需要通过辅助线来构造直角三角形.注意：正弦、余弦、正切是在一个直角三角形中引入的，实际上是两条边的比，它们是正实数，没单位，其大小只与角的大小有关，而与所在直角三角形无关。二、特殊角的三角函数值αsinαcosαtanα30°45°160°三、解直角三角形1．在直角三角形中，除直角外，一共有五个元素，即三条边和两个锐角，由直角三角形中除直角外的已知元素求出所有未知元素的过程叫做解直角三角形．2．解直角三角形的常用关系：在Rt△ABC中，∠C=90°，则：（1）三边关系：a2+b2=c2；（2）两锐角关系：∠A+∠B=90°；（3）边与角关系：sinA=cosB=，cosA=sinB=，tanA=；（4）sin2A+cos2A=1．3．科学选择解直角三角形的方法口诀：已知斜边求直边，正弦、余弦很方便；已知直边求直边，理所当然用正切；已知两边求一边，勾股定理最方便；已知两边求一角，函数关系要记牢；已知锐角求锐角，互余关系不能少；已知直边求斜边，用除还需正余弦.考点精讲考点精讲一．锐角三角函数的定义（共3小题）1．（2021秋•北林区期末）在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，AB＝5，则sinA的值为（）A． B． C． D．以上都不对【分析】利用锐角三角函数定义判断即可．【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，AB＝5，则sinA＝＝，故选：A．【点评】此题考查了锐角三角函数的定义，熟练掌握锐角三角函数定义是解本题的关键．2．（2021秋•梧州期末）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝3，则下列三角函数值中，正确的是（）A．sinA＝ B．cosA＝ C．tanA＝ D．sinB＝【分析】先利用勾股定理求出AC的长，然后根据锐角三角函数的定义对各选项分别进行计算，再利用排除法求解即可．【解答】解：∵∠ACB＝90°，AB＝5，BC＝3，∴AC＝4，∴sinA＝，故选项A不符题意；cosA＝，故选项B不符题意；tanA＝＝，故选项C符合题意；sinB＝，故选项D不符题意；故选：C．【点评】本题考查了锐角三角函数的定义，勾股定理的应用，熟记在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边是解题的关键．3．（2021秋•遂川县期末）（1）已知2x＝3y，求；（2）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝4，，求sinA的值．【分析】（1）根据题意得到＝，根据比例的性质计算，得到答案；（2）根据勾股定理求出BC，再根据正弦的定义计算即可．【解答】解：（1）∵2x＝3y，∴＝，∴＝＝；（2）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝4，AC＝2，则BC＝＝＝2，∴sinA＝＝＝．【点评】本题考查的是比例的性质、锐角三角函数的定义，熟记比例的性质、正弦的定义是解题的关键．二．锐角三角函数的增减性（共3小题）4．（2021秋•大荔县期末）如图，半径为3的⊙O内有一点A，OA＝，点P在⊙O上，当∠OPA最大时，S△OPA等于（）A． B． C． D．1【分析】当PA⊥OA时，∠OPA取得最大值，在直角三角形OPA中利用勾股定理求PA的值，再根据三角形的面积公式即可得出答案．【解答】解：如图所示：∵OA、OP是定值，∴PA⊥OA时，∠OPA最大，在直角三角形OPA中，OA＝，OP＝3，∴PA＝＝，∴S△OPA＝OA•AP＝××＝．故选：B．【点评】本题考查了解直角三角形．解答此题的关键是找出“当PA⊥OA时，∠OPA最大”这一隐含条件．5．（2021秋•周村区期末）已知cosα＝，则锐角α的取值范围是（）A．0°＜α＜30° B．30°＜α＜45° C．45°＜α＜60° D．60°＜α＜90°【分析】根据余弦值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）；【解答】解：∵cos30°＝，cos45°＝，∵＜＜，∴30°＜α＜45°，故选：B．【点评】考查了锐角三角函数的增减性，关键是熟练掌握当角度在0°～90°间变化时，①正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）；②余弦值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）；③正切值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）．6．（2021秋•宽城县期末）比较大小：当0＜α＜45°时，sinα＜cosα．【分析】先利用互余公式把余弦函数化为正弦函数，然后根据正弦值随着角度的增大而增大去解．【解答】解：∵cosα＝sin（90°﹣α），而0＜α＜45°，∴90°﹣α＞α，∴sin（90°﹣α）＞sinα，即sinα＜cosα．故答案为：＜．【点评】本题考查了锐角三角函数的增减性：当角度在0°～90°间变化时，正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）；余弦值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）；正切值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）．三．同角三角函数的关系（共4小题）7．（2022•市南区校级开学）在Rt△ABC中，∠C＝90°，若sinA＝，则cosA＝（）A． B． C． D．【分析】根据sin2A+cos2A＝1，进行计算即可解答．【解答】解：由题意得：sin2A+cos2A＝1，∴cos2A＝1﹣＝，∴cosA＝，故选：C．【点评】本题考查了同角三角函数的关系，熟练掌握sin2A+cos2A＝1是解题的关键．8．（2021秋•舟山期末）在直角△ABC中，已知∠C＝90°，sinA＝，求cosA＝（）A． B． C． D．2【分析】利用平方关系求∠A的余弦值．【解答】解：∵sin2A+cos2A＝1，∴cosA＝＝.\故选：C．【点评】本题考查了同角三角函数的关系：平方关系：sin2A+cos2A＝1（∠A为锐角）．9．（2021秋•永春县期末）下列选项正确的是（）A．sin31°+cos31°＜1 B．sin31°+cos31°＞2 C．sin31°+cos31°＝1 D．sin31°+cos31°＞1【分析】根据锐角三角函数的定义进行计算即可判断．【解答】解：如图：在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝31°，∴sin31°＝，cos31°＝，∴sin31°+cos31°＝+＝，∵BC+AC＞AB，∴+＞1，∴sin31°+cos31°＞1，故选：D．【点评】本题考查了同角三角函数的关系，锐角三角函数的增减性，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．10．（2022秋•蓬莱区期中）计算：（1）﹣4cos30°+20220；（2）已知α为锐角，sin（α+15°）＝，计算﹣4cosα+tanα+（）﹣1的值．【分析】（1）根据特殊锐角的三角函数值以及二次根式的化简进行计算即可；（2）根据特殊锐角三角函数值求出锐角α，再将α的值代入计算即可．【解答】解：（1）原式＝|1﹣|﹣4×+1＝﹣1﹣2+1＝﹣；（2）∵sin60°＝，sin（α+15°）＝，∴α+15°＝60°，∴α＝45°，∴﹣4cosα+tanα+（）﹣1＝2﹣4×+1+3＝4．【点评】本题考查特殊锐角三角函数值，掌握特殊锐角三角函数值是正确解答的前提．四．互余两角三角函数的关系（共4小题）11．（2022秋•张店区校级月考）在Rt△ABC中，∠C＝90°，tanA＝3，则tanB的值是（）A．3 B． C． D．【分析】根据直角三角形中两锐角三角函数之间的关系进行计算即可．【解答】解：设在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，∵tanA＝3＝，∴tanB＝＝＝，故选：B．【点评】本题考查互余两角三角函数的关系，理解锐角三角函数的定义是正确解答的前提．12．（2022秋•永年区校级月考）已知tan（90°﹣α）＝，则锐角α的度数是（）A．60° B．45° C．30° D．75°【分析】根据特殊角的正切值解决此题．【解答】解：∵tan（90°﹣α）＝，α为锐角，∴90°﹣α＝30°．∴α＝60°．故选：A．【点评】本题主要考查特殊角的正切值，熟练掌握特殊角的正切值是解决本题的关键．13．（2022•鹿城区校级模拟）已知＜cosA＜sin80°，则锐角A的取值范围是（）A．60°＜A＜80° B．30°＜A＜80° C．10°＜A＜60° D．10°＜A＜30°【分析】首先把所有的三角函数都化成余弦函数，然后利用余弦函数的增减性即可求解．【解答】解：∵＝cos60°，sin80°＝cos10°，∴cos60°＜cosA＜cos10°，∴10°＜A＜60°．故选：C．【点评】本题主要考查了余弦函数的增减性及互余三角函数之间的关系，尤其余弦函数的增减性容易出错．14．（2021秋•益阳期末）若sin65°＝，则cos25°＝．【分析】根据互余两锐角三角函数之间的关系进行判断即可．【解答】解：∵65°+25°＝90°，∴cos25°＝sin65°＝，故答案为：．【点评】本题考查互余两锐角三角函数之间的关系，理解“一个锐角的正弦值等于它余角的余弦值”是正确判断的前提．五．特殊角的三角函数值（共9小题）15．（2021秋•利辛县期末）已知tanα＝1，则锐角α的取值是（）A．α＝60° B．α＝45° C．α＝30° D．α＝75°【分析】直接利用特殊角的三角函数值得出答案．【解答】解：∵tanα＝1，∴α＝45°．故选：B．【点评】此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键．16．（2021秋•孟村县期末）已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，cosA＝，则∠B的度数为（）A．30° B．45° C．60° D．无法确定【分析】直接利用特殊角的三角函数值得出∠A的度数，进而利用直角三角形的性质得出答案．【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，∵cosA＝，∴∠A＝60°，∴∠B的度数为：90°﹣60°＝30°．故选：A．【点评】此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键．17．（2022秋•巨野县期中）∠β为锐角，且2cosβ﹣1＝0，则∠β＝（）A．30° B．60° C．45° D．37.5°【分析】直接利用特殊角的三角函数值，进而得出答案．【解答】解：∵∠β为锐角，且2cosβ﹣1＝0，∴cosβ＝，∴∠β＝60°．故选：B．【点评】此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键．18．（2022秋•蜀山区校级期中）sin45°•tan60°＝．【分析】直接利用特殊角的三角函数值代入得出答案．【解答】解：原式＝×＝．故答案为：．【点评】此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键．19．（2021秋•唐河县期末）在△ABC中，若∠A，∠B满足，则∠C＝105°．【分析】直接利用非负数的性质以及特殊角的三角函数值得出∠A＝30°，∠B＝45°，进而得出答案．【解答】解：∵|cosA﹣|+（1﹣tanB）2＝0，∴cosA﹣＝0，1﹣tanB＝0，则cosA＝，tanB＝1，∴∠A＝30°，∠B＝45°，∴∠C＝180°﹣30°﹣45°＝105°．故答案为：105°．【点评】此题主要考查了特殊角的三角函数值、非负数的性质，正确记忆相关数据是解题关键．20．（2021秋•南宫市期末）已知α是锐角，，则α＝60；cosα＝．【分析】求出tanα的值，根据特殊角的三角函数值即可得出答案．【解答】解：∵tanα﹣＝0，∴tanα＝，∵α是锐角，∴α＝60°，∴cos60°＝，故答案为：60°；．【点评】本题考查了特殊角的三角函数值，掌握tan60°＝是解题的关键．21．（2021秋•泗县期末）如果（α、β为锐角），则α＝45°，β＝30°．【分析】根据绝对值的非负性、偶次方的非负性、特殊角的三角函数值解决此题．【解答】解：∵|1﹣tanα|≥0，≥0，∴当（α、β为锐角），则tanα＝1，sinβ＝．∴α＝45°，β＝30°．故答案为：45°，30°．【点评】本题主要考查绝对值的非负性、偶次方的非负性、特殊角的三角函数值，熟练掌握绝对值的非负性、偶次方的非负性、特殊角的三角函数值是解决本题的关键．22．（2021秋•礼泉县期末）计算：cos60°+2tan45°﹣sin30°．【分析】根据特殊锐角三角函数值代入计算即可．【解答】解：原式＝+2×1﹣＝2．【点评】本题考查特殊锐角三角函数值，掌握特殊锐角三角函数值是正确解答的前提．23．（2022秋•奉贤区期中）计算：．【分析】将特殊锐角三角函数值代入计算即可．【解答】解：原式＝＝＝﹣1．【点评】本题考查特殊锐角三角函数值，掌握特殊锐角三角函数值是正确解答的前提．六．计算器—三角函数（共2小题）24．（2022秋•潍城区期中）若用我们数学课本上采用的科学计算器计算tan35°12'，按键顺序正确的是（）A． B． C． D．【分析】根据科学计算器的使用方法得出结论即可．【解答】解：科学计算器计算tan35°12'，按键顺序是，故选：D．【点评】本题主要考查科学计算器的使用，熟练掌握科学计算器的使用方法是解题的关键．25．（2022•越秀区校级二模）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，AC＝4．下列四个选项，正确的是（）A．tanB＝0.75 B．sinB＝0.6 C．sinB＝0.8 D．cosB＝0.8【分析】根据勾股定理求出BC的长，根据锐角三角函数的定义求值即可得出答案．【解答】解：如图，∵∠C＝90°，AB＝5，AC＝4，∴BC＝＝＝3，A选项，原式＝＝，故该选项不符合题意；B选项，原式＝＝＝0.8，故该选项不符合题意；C选项，原式＝＝＝0.8，故该选项符合题意；D选项，原式＝＝＝0.6，故该选项不符合题意；故选：C．【点评】本题考查了勾股定理，锐角三角函数，牢记锐角三角函数的定义是解题的关键．巩固提升巩固提升一、单选题1．（2021·北京·九年级单元测试）如图，在ABC中，∠A＝120°，AB＝4，AC＝2，则sinB的值是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据∠A＝120°，得出∠DAC＝60°，∠ACD＝30°，得出AD＝1，CD=，再根据，利用解直角三角形求出．【详解】解：如图所示，过点C作CD⊥AB于D，∵∠BAC＝120°，∴∠CAD＝60°，又∵AC＝2，∴AD＝1，CD＝，∴BD＝BA+AD＝5，在Rt△BCD中，，∴．故选：D．【点睛】此题主要考查了解直角三角形以及勾股定理的应用，根据题意得出∠DAC＝60°，∠ACD＝30°是解决问题的关键．2．（2020·北京·九年级单元测试）在Rt△ABC中，∠C＝90°，若=1，则∠B的度数是（）A．30° B．45° C．60° D．75°【答案】B【分析】根据=1即可求得，根据直角三角形两个锐角互余即可求得．【详解】解：若=1，则∠A＝45°，∠B＝45°故选：B．【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值，解题的关键是熟记特殊角的三角函数值．3．（2021·山东东昌府·九年级期中）构造几何图形解决代数问题是“数形结合思想”的重要应用，小康在计算时，构造出如图所示的图形：在RtACD中，，，延长到，，连接，得．根据此图可求得的结果（）A． B． C． D．【答案】C【分析】设AC=BC=1，则AB=BD=，根据tan22.5°=计算即可．【详解】解：在Rt△ACB中，∠C=90°，∠ABC=45°，延长CB使BD=AB，连接AD，得∠D=22.5°，

设AC=BC=1，则AB=BD=，

∴tan22.5°===，

故选：C．【点睛】本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是学会用转化的思想思考问题，学会把问题转化为特殊角，属于中考常考题型．4．（2021·黑龙江龙凤·九年级期中）如图所示，在中，斜边，，点D在AB上，且，则的值是（）A． B．1 C． D．【答案】C【分析】过点D作DE⊥BC于点E，构造含∠BCD的Rt△CDE，分别算出DE、CE的长，利用正切的定义计算即可．【详解】如图，过点D作DE⊥BC于点E，∵∠ACB=∠DEB=90°，∴AC∥DE∴∠A=∠EDB∴△ACB∽△DEB（AA）∵，∴又∵AB=3，BC=1∴，，∵Rt△BDE∴∵BC=1∴∴故选C．【点睛】本题考查了正切的定义，相似三角形的性质与判定，勾股定理等知识点，正切值定义的成立条件是在直角三角形中，这点是容易被忽略的易错点．二、填空题5．（2020·北京·九年级单元测试）已知a＝3，且，则以a、b、c为边长的三角形面积等于_____．【答案】6【分析】根据平方的非负性，算术平方根的非负性，求得的值，进而根据勾股定理逆定理判断三角形为直角三角形，进而求得三角形的面积．【详解】解：根据题意知解得所以a＝3，b＝4，c＝5，即，其构成的三角形为直角三角形，且∠C＝90°，所以．故答案为：6．【点睛】本题考查了平方的非负性，算术平方根的非负性，特殊角的三角函数值，勾股定理逆定理，求得的值是解题的关键．6．（2021·黑龙江龙凤·九年级期中）若，则锐角______°．【答案】40【分析】根据可得，，由此求解即可．【详解】解：∵，∴，，∵，∴，∴，故答案为：40．【点睛】本题主要考查了三角函数的计算，解题的关键在于能够熟练掌握：．7．（2021·重庆八中九年级期中）如图，平行四边形ABCD中，点E为对角线AC上一点，连接BE，将△ABE沿BE翻折，点A的对应点F恰好落在BC边上，连接DF．若AB＝6，∠DAB＝120°，sin∠ACB＝，则点A到直线DF的距离为________．【答案】【分析】证△ABF是等边三角形，可得AB＝AF＝6，∠AFB＝60°，由等边三角形的性质和锐角三角函数可求AC，AD的长，由面积法可求解．【详解】解：如图，连接AF，过点A作AH⊥BC于H，∵四边形ABCD是平行四边形，∠DAB＝120°，∴∠BCD＝∠DAB＝120°，∠ABC＝60°，AB＝CD＝6，∵将△ABE沿BE翻折，∴AB＝BF，∴△ABF是等边三角形，∴AB＝AF＝6，∠AFB＝60°，∴∠AFC＝120°＝∠DCF，∵AH⊥BC，∴BH＝HF＝3，AH＝BH＝3，∵sin∠ACB＝＝，∴AC＝5，∴CH＝＝4，∴BC＝AD＝4+3，在△AFC和△DCF中，，∴△AFC≌△DCF（SAS），∴AC＝DF＝5，∵S△ADF＝×AD×AH＝，∴点A到直线DF的距离＝＝，故答案为：．【点睛】本题考查了翻折变换，平行四边形的性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，锐角三角函数等知识，求出DF的长是解题的关键．8．（2021·广东·佛山市南海石门实验中学九年级期中）如图，在边长为3的正方形ABCD中，E是AB边上一点，G是AD延长线上一点，BE＝DG＝1，连接EG，CF⊥EG交EG于点H，交AD于点F，则＝________．【答案】【分析】连接，证明，进而可得是等腰直角三角形，则，根据，即即可求解．【详解】解：如图，连接，四边形是正方形，又即是等腰直角三角形，故答案为：【点睛】本题考查了正方形的性质，锐角三角形函数，三角形全等的性质与判定，等腰直角三角形的性质，证明是等腰直角三角形是解题的关键．9．（2020·北京·九年级单元测试）已知⊙O的半径OA=2，弦AB、AC分别为一元二次方程的两个根，则∠BAC的度数为_______．【答案】15°或75°75°或15°【分析】先用因式分解法解一元二次方程，求得两根，设AB=2，AC=2，作出图形，进而分情况讨论解直角三角形，进而求得．【详解】解：弦AB、AC分别为方程的两个根，即x1=2，x2=2，设AB=2，AC=2．①如图，OM⊥AB于M，ON⊥AC于N．∵AB=2，AC=2，∴AM=，∵OA=2，在Rt△MAO中，∠MAO=45°，AC=2，∴AN=，在Rt△NAO中，.∠NAO=30°，∴∠BAC=②如图，当位于的两侧时，同理可得∠MAO=45°，∠NAO=30°，则∠BAC=75°．综上所述，∠BAC=15°或75°故答案为：15°或75°．【点睛】本题考查了解直角三角形，解一元二次方程，垂径定理，分类讨论是解题的关键．10．（2021·北京·九年级单元测试）已知是方程的一个根，θ是三角形的一个内角，那么cosθ的值为________．【答案】【分析】将代入方程，得出的值，从而得出的度数，进而的解．【详解】解：∵是方程的一个根，∴，解得：，∴，∴．故答案为：．【点睛】考查三角函数值与一元二次方程根的应用，熟练掌握一元二次方程的根的意义以及特殊角三角函数值是解本题的关键．11．（2021·黑龙江·哈尔滨德强学校九年级期中）如图，中，，以AC为边作等边，过D作，垂足为E，若，，则______．【答案】【分析】延长到点，使得，连接并延长交延长线于点，过点作，通过全等三角形，求得的长度，再根据直角三角形的性质求得，即可求解．【详解】解：延长到点，使得，连接并延长交延长线于点，过点作，如下图：∵为等边三角形∴，∵∴在和中∴∴，，∵∴，∴∴∵，∴，故答案为【点睛】此题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质、三角函数的定义以及勾股定理，解题的关键是根据题意构造出全等三角形和直角三角形．三、解答题12．（2021·北京·九年级单元测试）如图所示，在RtABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，b＝20，解这个直角三角形．【答案】∠A＝60°，，c＝40【分析】直角三角形的两个锐角互余，并且Rt△ABC中，∠C=90°则∠A=90-∠B=60°，解直角三角形就是求直角三角形中除直角以外的两锐角，三边中的未知的元素．【详解】由∠C＝90°知，∠A+∠B＝90°，而∠B＝30°，∴∠A＝90°-30°＝60°，，∴，∴c＝40，由勾股定理知，∴，解得：．【点睛】考查了解直角三角形的条件，已知三角形的一边与一个锐角，就可以求出另一个锐角与三角形的另外两边．13．（2021·广东·佛山市南海石门实验中学九年级期中）在△ABC中，已知∠C＝90°，∠A，∠B，∠C所对的边分别是a，b，c．且b+c＝30，∠A﹣∠B＝30°，解这个直角三角形．【答案】，，【分析】根据直角三角形两锐角和为90°，以及∠A﹣∠B＝30°，可得，进而根据即可求得，根据cos即可求得，即可求解【详解】如图，在中，∠C＝90°，∵∠A﹣∠B＝30°，∴，∵∴cos【点睛】本题考查了解直角三角形，掌握解直角三角形是解题的关键．14．（2021·北京·九年级单元测试）如图所示，ABC中，D为AB的中点，DC⊥AC，且∠BCD＝30°，求∠CDA的正弦值、余弦值和正切值．【答案】，，【分析】过D作DE∥AC，交BC于点E，由平行线等分线段定理，根据D为AB中点，得到E为CB中点，可得出DE为三角形ABC中位线，利用中位线定理得到AC=2DE，由两直线平行内错角相等及垂直定义得到DE垂直与CD，在直角三角形CDE中，利用30度所对的直角边等于斜边的一半得到CE=2DE，利用勾股定理表示出DC与AD，利用锐角三角函数定义即可求出∠CDA的正弦值、余弦值和正切值．【详解】解：过D作DE∥AC，交BC于点E．∵AD＝BD，∴CE＝EB，∴AC＝2DE．又∵DC⊥AC，DE∥AC，∴DC⊥DE，即∠CDE＝90°．又∵∠BCD＝30°，∴EC＝2DE，DC＝DE．设DE＝k，则CD＝，AC＝2k．在Rt△ACD中，．∴，．．【点睛】此题考查了解直角三角形，涉及的知识有：三角形中位线定理，平行线等分线段定理，勾股定理，以及锐角三角函数定义，熟练掌握定理是解本题的关键．15．（2021·北京·九年级单元测试）计算下列各式的值：（1）(结果保留根号)（2）【答案】（1）；（2）2【分析】根据特殊角三角函数值计算即可．【详解】解：（1）sin30°·cos30°-tan30°＝．（2）．【点睛】本题考查了特殊角三角函数值的混合运算，熟记几个特殊角的三角函数值是解本题的关键．16．（2021·黑龙江龙凤·九年级期中）计算：（1）；（2）．【答案】（1）；（2）2【分析】（1）根据特殊角的三角函数值和实数的混合运算法则计算即可；（2）根据特殊角的三角函数值和实数的混合运算法则计算即可．【详解】解：（1）原式．（2）原式．【点睛】本题考查特殊角的三角函数值，实数的混合运算，熟练掌握这些知识点是解题关键．17．（2021·黑龙江·哈尔滨德强学校九年级期中）先化简，再求代数式的值，其中．【答案】，．【分析】首先根据分式的混合运算法则化简代数式，并根据特殊角的三角函数值求出x的值，然后代入求解即可．【详解】解：，将代入得：原式=．故答案为：．【点睛】此题考查了分式的化简求值，特殊角的三角函数值，解题的关键是熟练掌握分式的混合运算法则，熟记特殊角的三角函数值．18．（2021·北京·九年级单元测试）如图，在ABC中，AC=12cm，AB=16cm，sinA=．（1）求AB边上的高CD；（2）求ABC的面积S；（3）求tanB．【答案】（1）；（2）；（3）．【分析】（1）如图（见解析），根据正弦三角函数的定义即可得；（2）根据（1）的结论，利用三角形的面积公式即可得；（3）先根据勾股定理可得的长，再根据线段的和差可得的长，然后根据正切三角函数的定义即可得．【详解】解：（1）如图，，，；（2），；（3）在中，，，．【点睛】本题考查了求三角函数值，熟练掌握三角函数的定义是解题关键．19．（2021·北京·九年级单元测试）如图，将矩形纸片ABCD按如下顺序进行折叠：对折、展平，得折痕EF（如图①）；沿GC折叠，使点B落在EF上的点B′处（如图②）；展平，得折痕GC（如图③）；沿GH折叠，使点C落在DH上的点C′处（如图④）；沿GC′折叠（如图⑤）；展平，得折痕GC′、GH（如图⑥）．（1）求图②中∠BCB′的大小；（2）图⑥中的△GCC′是正三角形吗？请说明理由．【答案】（1）∠BCB′=60°；（2）是，理由见解析【分析】（1）由折叠的性质知：B′C=BC，然后在Rt△B′FC中，含30°角的直角三角形的性质，即可求得∠BCB′的度数；（2）首先根据题意得：GC平分∠BCB′，即可求得∠GCC′的度数，然后由折叠的性质知：GH是线段CC′的对称轴，可得GC′=GC，即可得△GCC′是正三角形．【详解】解：（1）由折叠的性质知：B′C=BC，在Rt△B′FC中，∵FC是斜边B′C的一半，∴∠FB′C=30°，∴∠BCB′=60°即∠BCB′=60°；（2）图⑥中的△CGC'是正三角形理由如下：∵GC平分∠BCB′，∴∠GCB=∠GCC′=∠BCB′=30°，∴∠GCC′=∠BCD-∠BCG=60°，由折叠的性质知：GH是线段CC′的对称轴，∴GC′=GC，∴△GCC′是正三角形．【点睛】此题考查了折叠的性质与正三角形的判定，以及三角函数的性质．此题难度不大，解题的关键是数形结合思想的应用．20．（2021·北京·九年级单元测试）已知矩形纸片ABCD，AB=2，AD=1．将纸片折叠，使顶点A与边CD上的点E重合．（1）如果折痕FG分别与AD，AB交于点F，G（如图（1）），AF=求DE的长．（2）如果折痕FG分别与CD，AB交于点F，G（如图（2）），△AED的外接圆与直线BC相切，求折痕FG的长．【答案】（1）；（2）【分析】（1）根据AF，AD的长可以求得DF的长，根据折叠知EF＝AF，再根据勾股定理即可计算得到DE的长；（2）根据直角三角形的外接圆的圆心是斜边的中点，则折痕与AE的交点O即是其外接圆的圆心．设DE＝x，根据三角形ADE的中位线定理求得OM＝x，进一步表示出ON的长．根据直线和圆相切，则圆心到直线的距离等于圆的半径得到AE＝2ON，在直角三角形ADE中，根据勾股定理列方程求解．再根据直角三角形FOE相似于直角三角形ADE，求得OF的长，从而根据轴对称的性质得到FG＝2OF．【详解】在矩形ABCD中，AB=2，AD=1，AF=，∠D=90°．根据轴对称的性质，得EF=AF=．∴DF=AD-AF=．在Rt△DEF中，DE=．（2）设AE与FG的交点为O．根据轴对称的性质，得AO=EO．取AD的中点M，连接MO．则MO=DE，MODC．设DE=x，则MO=x，在矩形ABCD中，∠C=∠D=90°，∴AE为△AED的外接圆的直径，O为圆心．延长MO交BC于点N，则ONCD，∴∠CNM=180°-∠C=90°，∴ON⊥BC，四边形MNCD是矩形．∴MN=CD=AB=2．∴ON=MN-MO=2-x．∵△AED的外接圆与BC相切，∴ON是△AED的外接圆的半径，∴OE=ON=2-x，AE=2ON=4-x．在Rt△AED中，AD2+DE2=AE2，∴12+x2=（4-x）2．解这个方程，得x=．∴DE=，OE=2-x=．根据轴对称的性质，得AE⊥FG．∴∠FOE=∠D=90°可得，即FO=．又ABCD，∴∠EFO=∠AGO，∠FEO=∠GAO．∴△FEO≌△GAO．∴FO=GO．∴FG=2FO=．∴折痕FG的长是．【点睛】本题通过矩形纸片折叠，利用轴对称图形的性质，在丰富的图形关系中，考查学生获取信息和利用所得信息认识新事物的能力，本题对图形折叠前后的不变量的把握、直线与圆位置关系的准确理解、方程思想的运用意识和策略等具有可再抽象性．21．（2020·北京·九年级单元测试）如图，AB为⊙O的直径，⊙O过AC的中点D，DE为⊙O的切线．（1）求证：DE⊥BC；（2）如果DE=2，tanC=，求⊙O的直径．【答案】（1）见解析；（2）5【分析】（1）连结OD，根据题意证明OD为△ABC的中位线，进而根据切线的性质和平行线的性质，即可证明DE⊥BC；（2）连结BD，证明∠C=∠BDE，进而求得CE=2DE=4，BE=DE=1，根据OD为△ABC的中位线即可求得⊙O的直径．【详解】解：（1）证明：连结OD，如图，∵D为AC的中点，O为AB的中点，∴OD为△ABC的中位线，∴OD∥BC，∵DE为⊙O的切线，∴DE⊥OD，∴DE⊥BC（2）解：连结BD，如图，∵AB为直径，∴∠ADB=90°，∴∠BDE+∠CDE=90°，而∠CDE+∠C=90°，∴∠C=∠BDE，在Rt△CDE中，∵tanC==，∴CE=2DE=4，在Rt△BDE中，∵tan∠BDE==，∴BE=DE=1，∴BC=BE+CE=5，∵OD为△ABC的中位线，∴OD=BC，∴AB=BC=5，即⊙O的直径为5．【点睛】本题考查了切线的性质、正切的定义，添加辅助线，证明∠C=∠BDE是解题的关键．22．（2021·重庆八中九年级期中）在△ABC中，CA＝CB，CA⊥CB，点D