第22章二次函数(基础、常考、易错、压轴)分类专项训练(原卷版+解析)

第22章二次函数（基础、常考、易错、压轴）分类专项训练【基础】一．二次函数的性质（共3小题）1．（2022•南岗区一模）抛物线y＝﹣（x+1）2+6的顶点坐标是．2．（2022•武进区二模）二次函数y＝﹣2x2+4x﹣6图象的对称轴是直线．3．（2022•吉林模拟）已知二次函数y＝（x﹣1）2+3，当x＝时，y取得最小值．二．二次函数图象与系数的关系（共3小题）4．（2022•烟台）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，其对称轴为直线x＝﹣，且与x轴的一个交点坐标为（﹣2，0）．下列结论：①abc＞0；②a＝b；③2a+c＝0；④关于x的一元二次方程ax2+bx+c﹣1＝0有两个相等的实数根．其中正确结论的序号是（）A．①③ B．②④ C．③④ D．②③5．（2022春•沙坪坝区校级期末）已知二次函数y＝x2+2（k﹣1）x+k2的图象与x轴无交点，则k的取值范围是（）A． B． C．k＞2 D．k＜26．（2022•襄城区模拟）如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过点A（﹣1，0），B（3，0），与y轴交于点C．下列结论：①ac＞0；②当x＞0时，y随x的增大而增大；③3a+c＝0；④b＝2a．其中正确的是（）A．④ B．③ C．② D．①三．二次函数图象与几何变换（共4小题）7．（2022•通辽）在平面直角坐标系中，将二次函数y＝（x﹣1）2+1的图象向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，所得函数的解析式为（）A．y＝（x﹣2）2﹣1 B．y＝（x﹣2）2+3 C．y＝x2+1 D．y＝x2﹣18．（2022•自贡模拟）将y＝x2的图象向右平移3个单位再向上平移2个单位后的解析式为．9．（2022•东海县二模）把抛物线y＝﹣x2的图象向右平移1个单位，再向上平移3个单位后，所得图象的函数表达式是．10．（2022•黔东南州一模）抛物线y＝x2﹣x﹣1关于坐标原点对称的抛物线的解析式为．四．待定系数法求二次函数解析式（共1小题）11．（2022春•绥棱县期末）已知y与x2成正比例，并且x＝1时y＝2．（1）求y与x之间的函数关系式．（2）当x＝﹣1时y的值．五．二次函数的三种形式（共1小题）12．（2022•山西二模）用配方法将二次函数y＝x2﹣2x﹣4化为y＝a（x﹣h）2+k的形式为（）A．y＝（x﹣2）2﹣4 B．y＝（x﹣1）2﹣3 C．y＝（x﹣2）2﹣5 D．y＝（x﹣2）2﹣6六．抛物线与x轴的交点（共1小题）13．（2022•崂山区一模）一条抛物线具有以下三个性质：①开口向下；②与x轴没有交点；③对称轴在y轴右侧．请写出同时满足以上三个性质的一个二次函数表达式为．七．二次函数的应用（共4小题）14．（2022•南通）根据物理学规律，如果不考虑空气阻力，以40m/s的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出，小球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间的函数关系是h＝﹣5t2+20t，当飞行时间t为s时，小球达到最高点．15．（2022春•柯桥区月考）“双减”政策落地后，对校外培训机构的影响巨大，不管是机构还是机构老师都面临着转型，培训机构李老师推出了“热学文化”新零售项目．他新开了甲、乙两家分店共同销售，因地段不同，甲店一天可售出某品牌科技产品20件，每件盈利26元；乙店一天可售出同一品牌科技产品32件，每件盈利20元．经调查发现，每件此种科技产品每降价1元，甲、乙两家店一天都可多售出2件．设甲店每件降价a元时，一天可盈利y1元，乙店每件降价b元时，一天可盈利y2元．（1）当a＝5时，求y1的值．（2）求y2关于b的函数表达式．（3）若李老师规定两家分店下降的价格必须相同，请求出每件此种科技产品下降多少元时，两家分店一天的盈利和最大，最大是多少元？16．（2022•南安市一模）某餐饮店每天限量供应某一爆款菜品大份袋，小份袋合计100份，且当天全部销售完毕，其成本和售价如下表所示．份量小份装大份装成本（元/份）4060售价（元/份）60100从该店店长处获悉：该餐饮店平均每天实出的小份装比大份装多40份．（1）求该店每天销售这款爆品菜品获得的总利润．（2）店长为了增加利润，准备提高小份装的售价，同时降低大份装的售价，售卖时发现：小份装售价每升1元，每天会少销售4份；大份装售价每降1元，每天可多销售2份．设小份装的售价提高了m元（m为整数）．每售出一份小份装可获利元，此时大份装每天可售出份．（3）当m取何值时，每天获利最多？最大利润为多少元？17．（2022•东营模拟）某店购进一种今年新上市的饰品进行销售，饰品的进价为每件40元，售价为每件60元，每月可卖出300件，市场调查反映：调整价格时，售价每涨1元每月要少卖10件，售价每下降1元每月要多卖20件，为了获得更大的利润，现将商品售价调整为60+x（元/件）（x＞0即售价上涨，x＜0即售价下降），每月商品销量为y（件），月利润为w（元）．（1）直接写出y与x之间的函数关系式；（2）当销售价格是多少时才能使月利润最大？求最大月利润？（3）为了使每月利润不少于6000元应如何控制销售价格？【常考】一．二次函数的图象（共1小题）1．（2022•南海区二模）在同一平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝ax与二次函数y＝ax2+a的图象可能是（）A． B． C． D．二．二次函数的性质（共2小题）2．（2022•宁波模拟）已知点A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3）均在抛物线其中．下列说法正确的是（）A．若|x1﹣x2|≤|x3﹣x2|，则y2≥y3≥y1 B．若|x1﹣x2|≥|x3﹣x2|，则y2≥y3≥y1 C．若y1＞y3≥y2，则|x1﹣x2|＜|x2﹣x3| D．若y1＞y3≥y2，则|x1﹣x2|＞|x2﹣x3|3．（2022•宣州区校级一模）已知二次函数y＝（x﹣2）2+1，若点A（0，y1）和B（1，y2）在此函数图象上，则y1与y2的大小关系是：y1y2．三．二次函数图象与系数的关系（共4小题）4．（2022•包头模拟）在平面直角坐标系中，已知点A（﹣2，3），B（2，1），若抛物线y＝ax2﹣2x+1（a≠0）与线段AB有两个不同的交点，则a的取值范围是（）A．﹣＜a≤﹣或a≥1 B．a≥﹣或a＜﹣ C．≤a≤1且a≠0 D．a≤﹣或a≥15．（2022•青羊区模拟）如图，顶点为（﹣3，﹣6）的抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）经过点（﹣1，﹣4），则下列结论中正确的是（）A．b2﹣4ac＜0 B．若点（﹣2，m），（﹣4，n）在抛物线上，则m＞n C．当x＜﹣3时，y随x的增大而减小 D．关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝﹣7（a≠0）有两个不相等的实数根6．（2022•江汉区模拟）抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a＜0）经过A（0，3），B（4，3）．下列四个结论：①4a+b＝0；②点P1（x1，y1），P2（x2，y2）在抛物线上，当|x1﹣2|﹣|x2﹣2|＞0时，y1＞y2；③若抛物线与x轴交于不同两点C，D，且CD≤6，则a≤﹣；④若3≤x≤4，对应的y的整数值有3个，则﹣1＜a≤﹣．其中正确的结论是（填写序号）．7．（2022•工业园区模拟）如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象，且关于x的一元二次方程ax2+bx+c﹣m＝0没有实数根，有下列结论：①b2﹣4ac＞0；②abc＜0；③m＜﹣3；④3a+b＞0．其中正确结论的序号有．四．二次函数图象上点的坐标特征（共2小题）8．（2022•天桥区校级模拟）点P（x1，y1），Q（x2，y2）在抛物线y＝ax2﹣4ax+2（a＞0）上，若对于t＜x1＜t+1，t+2＜x2＜t+3，都有y1≠y2，则t的取值范围是（）A．t≥1 B．t≤0 C．t≥1或t≤0 D．t≥1或t≤﹣19．（2022•临安区一模）已知点P1（x1，y1），P2（x2，y2）为抛物线y＝﹣ax2+4ax+c（a≠0）上两点，且x1＜x2，则下列说法正确的是（）A．若x1+x2＜4，则y1＜y2 B．若x1+x2＞4，则y1＜y2 C．若a（x1+x2﹣4）＞0，则y1＞y2 D．若a（x1+x2﹣4）＜0，则y1＞y2五．待定系数法求二次函数解析式（共1小题）10．（2022•洛阳三模）有一条抛物线，两位同学分别说了它的一个特点：甲：对称轴是直线x＝4；乙：顶点到x轴的距离为2．请你写出一个符合条件的解析式：．六．抛物线与x轴的交点（共1小题）11．（2022•青岛一模）若抛物线y＝x2﹣2x﹣m与x轴有两个交点，则m的取值范围是．七．二次函数的应用（共4小题）12．（2022•荷塘区校级模拟）在特定条件下，篮球赛中进攻球员投球后，篮球的运行轨迹是开口向下的抛物线的一部分．“盖帽”是一种常见的防守手段，防守队员在篮球上升阶段将球拦截即为“盖帽”，而防守队员在篮球下降阶段将球拦截则属“违规”．对于某次投篮而言，如果忽略其他因素的影响，篮球处于上升阶段的水平距离越长，则被“盖帽”的可能性越大，收集几次篮球比赛的数据之后，某球员投篮可以简化为下述数学模型：如图所示，该球员的投篮出手点为P，篮框中心点为Q，他可以选择让篮球在运行途中经过A，B，C，D四个点中的某一点并命中Q，忽略其他因素的影响，那么被“盖帽”的可能性最大的线路是（）A．P→A→Q B．P→B→Q C．P→C→Q D．P→D→Q13．（2022•襄城区模拟）小红对自己某次实心球训练的录像进行分析，发现实心球飞行高度y（米）与水平距离x（米）之间的关系为y＝﹣，由此可知小红此次实心球训练的成绩为米．14．（2022•雄县一模）2022年2月4日，冬奥会在北京举行，某公司抓住商机开发研制了两款冬奥会开幕式吉祥物纪念章，深受人们喜爱，投入市场后发现其日销售量y（套）与销售单价x（元）之间的函数图象如图所示（要求每套销售价格不能低于每套成本，每套成本100元）．（1）试求y关于x的函数关系式；（2）如果物价管理部门规定每套销售利润不能高于每套成本的45%，则此时每套定价是多少元时，所获得的日利润最大，最大利润为多少元？15．（2022•费县二模）如图1的某种发石车是古代一种远程攻击的武器，发射出去的石块的运动轨迹是抛物线的一部分，且距离发射点20米时达到最大高度10米．将发石车置于山坡底部O处，山坡上有一点A，点A与点O的水平距离为30米，与地面的竖直距离为3米，AB是高度为3米的防御墙．若以点O为原点，建立如图2的平面直角坐标系．（1）求石块运动轨迹所在抛物线的解析式；（2）试通过计算说明石块能否飞越防御墙AB；（3）在竖直方向上，试求石块飞行时与坡面OA的最大距离．八．二次函数综合题（共4小题）16．（2022•秀英区模拟）如图，已知抛物线y＝ax2+bx+4（a≠0）与x轴交于点A（1，0）和B（4，0），与y轴交于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，若点P是线段BC上的一个动点（不与点B，C重合），过点P作y轴的平行线交抛物线于点Q，连接OQ，当线段PQ长度最大时，判断四边形OCPQ的形状并说明理由；（3）如图2，在（2）的条件下，D是OC的中点，过点Q的直线交抛物线于点E，且∠DQE＝2∠ODQ．在y轴上是否存在点F，使得△BEF为等腰三角形？若存在，求点F的坐标；若不存在，请说明理由．17．（2022•吉安一模）已知抛物线C1：y＝ax2﹣2ax﹣3（a≠0）（1）当a＝1时，①抛物线C1的顶点坐标为．②将抛物线C1沿x轴翻折得到抛物线C2，则抛物线C2的解析式为．（2）无论a为何值，直线y＝m与抛物线C1相交所得的线段EF（点E在点F左侧）的长度都不变，求m的值和EF的长；（3）在（2）的条件下，将抛物线C1沿直线y＝m翻折，得到抛物线C3，抛物线C1，C3的顶点分别记为P，Q，是否存在实数a，使得以点E，F，P，Q为顶点的四边形为正方形？若存在，请求出a的值：若不存在，请说明理由．18．（2022•东莞市一模）如图，抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3a（a＞0）与x轴交于A，B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C，且OB＝OC．（1）求抛物线的解析式；（2）如图，若点P是线段BC（不与B，C重合）上一动点，过点P作x轴的垂线交抛物线于M点，连接CM，当△PCM和△ABC相似时，求此时点P的坐标；（3）若点P是直线BC（不与B，C重合）上一动点，过点P作x轴的垂线交抛物线于M点，连接CM，将△PCM沿CM对折，如果点P的对应点N恰好落在y轴上，求此时点P的坐标；19．（2022•伊金霍洛旗一模）抛物线y＝ax2+bx+3过点A（﹣1，0），B（3，0），与y轴交于点C．对称轴与x轴交于点D．（1）求抛物线的解析式及点D的坐标；（2）如图，连接CD、CB，在直线BC上方的抛物线上找点P，使得∠PCB＝∠DCB，求出P点的坐标；（3）点M为直线BC上一点，点N为平面直角坐标系内一点，是否存在这样的点M和点N，使得以C，D，M，N为顶点的四边形是菱形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由【易错】一．二次函数的定义（共1小题）1．（2022春•仓山区校级期末）二次函数y＝x2﹣2x+3的一次项系数是（）A．1 B．2 C．﹣2 D．3二．二次函数的图象（共1小题）2．（2022春•沙坪坝区校级期末）已知a是不为0的常数，函数y＝ax和函数y＝﹣ax2+a在同一平面直角坐标系内的图象可以是（）A． B． C． D．三．二次函数的性质（共1小题）3．（2022•贺州二模）已知二次函数y＝﹣x2+2x+1，当a≤x≤0时，y取得最小值为﹣2，则a的值为（）A．﹣1 B．0 C．1 D．2四．二次函数图象与系数的关系（共4小题）4．（2022•梧州）如图，已知抛物线y＝ax2+bx﹣2的对称轴是直线x＝﹣1，直线l∥x轴，且交抛物线于点P（x1，y1），Q（x2，y2），下列结论错误的是（）A．b2＞﹣8a B．若实数m≠﹣1，则a﹣b＜am2+bm C．3a﹣2＞0 D．当y＞﹣2时，x1•x2＜05．（2022•凤翔县二模）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）中的自变量x与函数值y的部分对应值如表：x…﹣3﹣2﹣1014…y…1670﹣5﹣8﹣5…则下列说法正确的是（）A．a＜0 B．顶点坐标为（1，﹣8） C．该函数的图象与x轴仅有一个交点 D．若点P（﹣2.5，y1）、Q（5，y2）在该二次函数图象上，则y1＞y26．（2022•龙湖区一模）如图是抛物线y＝ax2+bx+c的部分图象，图象过点（3，0）对称轴为直线x＝1，有下列四个结论：①abc＞0；②a﹣b+c＝0；③y的最大值为3；④方程ax2+bx+c+1＝0有实数根；⑤4a+c＜0．其中，正确结论的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．47．（2022•开福区三模）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，对称轴为x＝﹣，下列结论中，正确的是（）A．abc＞o B．b2﹣4ac＜0 C．2b+c＞0 D．4a﹣2b+c＜0五．二次函数图象上点的坐标特征（共1小题）8．（2022•江汉区模拟）若将双曲线y＝向下平移3个单位后，交抛物线y＝x2于点P（a，b），则a的取值范围是（）A．0＜a＜ B．＜a＜1 C．1＜a＜2 D．2＜a＜3六．二次函数图象与几何变换（共1小题）9．（2022•泸州）抛物线y＝﹣x2+x+1经平移后，不可能得到的抛物线是（）A．y＝﹣x2+x B．y＝﹣x2﹣4 C．y＝﹣x2+2021x﹣2022 D．y＝﹣x2+x+1七．抛物线与x轴的交点（共1小题）10．（2022•文登区一模）如图，点A，点B的坐标分别为（1，﹣4），（4，﹣4），抛物线y＝a（x﹣h）2+k的顶点在线段AB上运动，与x轴交于C，D两点（点C在点D的左侧）．若点D的横坐标的最大值为6，则点C的横坐标的最小值为（）A． B．1 C．﹣1 D．﹣2八．二次函数的应用（共1小题）11．（2022•自贡）九年级2班计划在劳动实践基地内种植蔬菜，班长买回来8米长的围栏，准备围成一边靠墙（墙足够长）的菜园，为了让菜园面积尽可能大，同学们提出了围成矩形、等腰三角形（底边靠墙）、半圆形这三种方案，最佳方案是（）A．方案1 B．方案2 C．方案3 D．方案1或方案2九．二次函数综合题（共3小题）12．（2022•中山市三模）如图，抛物线y＝ax2+bx﹣3与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴为直线x＝1，点A（﹣1，0），过B的直线交y轴于点D，交抛物线于E，且．（1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线第四象限的图象上找一点P，使得△BDP的面积最大，求出点P的坐标；（3）点M是线段BE上的一点，求的最小值，并求出此时点M的坐标．13．（2022•张店区二模）如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线y＝ax2﹣2x+c与x轴交于点A（1，0），点B（﹣3，0），与y轴交于点C，连接BC，点P在第二象限的抛物线上，连接PC、PO，线段PO交线段BC于点E．（1）求抛物线的表达式；（2）若△PCE的面积为S1，△OCE的面积为S2，当时，求点P的坐标；（3）已知点C关于抛物线对称轴的对称点为点N，连接BN，点H在x轴上，当∠HCB＝∠NBC时，①求满足条件的所有点H的坐标②当点H在线段AB上时，点Q是平面直角坐标系内一点，保持QH＝，连接BQ，将线段BQ绕着点Q顺时针旋转90°，得到线段QM，连接MH，请直接写出线段MH的取值范围．14．（2022•长春一模）在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+bx+c（b、c为常数）的对称轴为直线x＝1，与y轴交点的坐标为（0，﹣2），点A、点B均在这个抛物线上（点A在点B的左侧），点A的横坐标为m，点B的横坐标为1﹣2m．（1）求此抛物线对应的函数表达式．（2）当点A、点B关于此抛物线的对称轴对称时，连结AB，求线段AB的长．（3）将此抛物线上A、B两点之间的部分（包括A、B两点）记为图象G．①当图象G对应的函数值y随x的增大而先减小后增大时，设图象G最高点的纵坐标与最低点的纵坐标的差为h，求h与m之间的函数关系式，并写出h的取值范围．②设点E的坐标为（﹣2﹣2m，1），点F的坐标为（﹣2﹣2m，﹣3﹣2m），连结EF，当线段EF和图象G有公共点时，直接写出m的取值范围．【压轴】一．选择题（共3小题）1．（2022•香洲区校级一模）如图（1）所示，E为矩形ABCD的边AD上一点，动点P，Q同时从点B出发，点P沿折线BE﹣ED﹣DC运动到点C时停止，点Q沿BC运动到点C时停止，它们运动的速度都是1cm/秒．设P、Q同时出发t秒时，△BPQ的面积为ycm2．已知y与t的函数关系图象如图（2）（曲线OM为抛物线的一部分），则下列结论：①AD＝BE＝5；②；③当0＜t≤5时，；④当秒时，△ABE∽△QBP；其中正确的结论是（）A．①②③ B．②③ C．①③④ D．②④2．（2022•自贡模拟）定义：若抛物线的顶点与x轴的两个交点构成的三角形是直角三角形，则这种抛物线就称为：“美丽抛物线”．如图，直线l：y＝x+b经过点M（0，），一组抛物线的顶点B1（1，y1），B2（2，y2），B3（3，y3），…Bn（n，yn）（n为正整数），依次是直线l上的点，这组抛物线与x轴正半轴的交点依次是：A1（x1，0），A2（x2，0），A3（x3，0），…An+1（xn+1，0）（n为正整数）．若x1＝d（0＜d＜1），当d为（）时，这组抛物线中存在美丽抛物线．A．或 B．或 C．或 D．3．（2022•红花岗区模拟）如图，抛物线y＝x2﹣x﹣的图象与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，顶点为D，以AB为直径在x轴上方画半圆交y轴于点E，圆心为I，P是半圆上一动点，连接DP，点Q为PD的中点．下列四种说法：①点C在⊙I上；②IQ⊥PD；③当点P沿半圆从点B运动至点A时，点Q运动的路径长为π；④线段BQ的长可以是3.2．其中正确说法的个数为（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个二．填空题（共4小题）4．（2022•广陵区二模）如图，分别过点Pi（i，0）（i＝1、2、…、n）作x轴的垂线，交的图象于点Ai，交直线于点Bi．则＝．5．（2022•安徽模拟）如图，已知在平面直角坐标系xOy中，四边形OABC是矩形，点A、C分别在x轴和y轴上，A（3，0），C（0，）．D是BC的中点，M是线段OC上的点且OM＝OC，点P线段OM上一个动点，经过P、D、B三点的抛物线交x轴的正半轴于点E，连接DE交AB于点F．（1）当点P与原点重合时，此时的抛物线解析式是；（2）以线段DF为边，在DF所在直线的右上方作等边△DFG，当动点P从点O运动到点M时，点G也随之运动，则点G的运动路径的长是．6．（2022•牡丹江一模）如图，正方形ABCD的边长为2，点E在边AB上运动（不与点A、B重合），∠DAM＝45°，点F在射线AM上，且，CF与AD相交于点G，连接EC、EF、EG．则下列结论：①∠DCF+∠BCE＝45°；②；③BE2+DG2＝EG2；④△EAF面积的最大值为；⑤△AEG的周长为，其中正确结论的序号为．7．（2022•包河区校级三模）函数，其中m是常数且m≠0，该函数的图象记为G．（1）当时，图象G与x轴的交点坐标为．（2）若直线y＝m与该函数图象G恰好只有两个交点，则m的取值为．三．解答题（共12小题）8．（2022•平房区二模）如图1，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线y＝ax2+bx+4与x轴交于点A、B（点A在点B左侧），与y轴交于点C，直线y＝﹣x+4经过B、C两点，OB＝4OA．（1）求抛物线的解析式；（2）如图2，点P为第四象限抛物线上一点，过点P作PD⊥x轴交BC于点D，垂足为N，连接PC交x轴于点E，设点P的横坐标为t，△PCD的面积为S，求S与t的函数关系式；（3）在（2）的条件下，如图3，过点P作PF⊥PC交y轴于点F，PF＝PE．点G在抛物线上，连接PG，∠CPG＝45°，连接BG，求直线BG的解析式．9．（2022•三水区校级三模）已知抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3a（a＜0）交x轴于点A，B（A在B的左侧），交y轴于点C．（1）求点A的坐标；（2）若经过点A的直线y＝kx+k交抛物线于点D．①当k＞0且a＝﹣1时AD交线段BC于E，交y轴于点F，求S△EBD﹣S△CEF的最大值；②当k＜0且k＝a时，设P为抛物线对称轴上一动点，点Q是抛物线上的动点，那么以A，D，P，Q为顶点的四边形能否成为矩形？若能，求出点P的坐标，若不能，请说明理由．10．（2022•宽城区模拟）如图，在平面直角坐标系中，线段AB的两个端点的坐标分别为A（﹣2，﹣2）、B（1，1）．抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）交y轴于点C，顶点P在线段AB上运动，当顶点P与点A重合时，点C的坐标为（0，0），设点P的横坐标为m．（1）求a的值．（2）用含m的代数式表示点C的纵坐标，并求当m为何值时，点C的纵坐标最小，写出最小值．（3）当点C在y轴的负半轴上且点C的纵坐标随m的增大而增大时，求m的取值范围．（4）过点P作x轴的垂线交抛物线y＝﹣2x2+于点Q，将线段PQ绕点P顺时针旋转90°得到线段PQ'，连结QQ'．当△PQQ'的边与坐标轴有四个公共点时，直接写出m的取值范围．11．（2022春•兴宁区校级期末）如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A（﹣3，0），B（1，0）两点，与y轴交于点C，连接AC，BC，点P是直线AC下方抛物线上的一个动点．（1）求抛物线的解析式；（2）连接AP，CP，设P点的横坐标为m，△ACP的面积为S，求S与m的函数关系式；（3）试探究：过点P作BC的平行线1，交线段AC于点D，在直线l上是否存在点E，使得以点D，C，B，E为顶点的四边形为菱形，若存在，请直接写出点E的坐标，若不存在，请说明理由．12．（2022春•鼓楼区校级期末）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax2﹣2（a+1）x+a+2（a≠0）．（1）当a＝﹣时，求抛物线的对称轴及顶点坐标；（2）请直接写出二次函数图象的对称轴是直线（用含a的代数式表示）及二次函数图象经过的定点坐标是．（3）若当1≤x≤5时，函数值有最大值为8，求二次函数的解析式；（4）已知点A（0，﹣3）、B（5，﹣3），若抛物线与线段AB只有一个公共点，请直接写出a的取值范围．13．（2022春•渝中区校级期末）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+3交x轴于A、B两点（点A在点B的左侧），交y轴于点C，连接AC，∠BAC＝45°，OC＝3OB．（1）求抛物线的解析式；（2）如图2．点P为线段AC上方的抛物线上一动点，连接PA、PC、CB，求四边形PABC面积的最大值及此时点P的坐标；（3）在（2）的条件下，将抛物线沿着射线AC方向平移个单位，得到新抛物线，点E是新抛物线对称轴上一点，点N是新抛物线上一点，直接写出所有使得以点B、P、N、E为顶点的四边形是平行四边形的点N的坐标，并把求其中一个点N的坐标的过程写出来．14．（2022•红花岗区三模）如图（1），△ABC中，AC＝BC＝6，∠C＝90°，点P在线段AC上，从C点向A点运动，∠PBE＝90°，BP＝BE，PE交BC于点D，完成下列问题：（1）①点E到BC边的距离为；②若CD＝x，△BDE的面积为S，则S与x的函数关系式为；（不写自变量取值范围）（2）当△BDE的面积为15时，若PC＜AC，以C为原点，AC、BC所在直线分别为x、y轴建立坐标系如图（2），抛物线C1过点A、D、B；①点Q在抛物线C1上，且位于线段PB的下方，过点Q作QN⊥PB，垂足为点N，是否存在点Q，使得QN最长，若存在，请求出QN的长度和Q点坐标；若不存在，请说明理由；②将抛物线C1绕原点C旋转180°，得到抛物线C2，当﹣2a≤x≤﹣a时（a＞0），抛物线C2有最大值2a，求a值．15．（2022•铁岭模拟）如图，抛物线y＝ax2+bx+3交x轴于A（3，0），B（﹣1，0）两点，交y轴于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，点D为第四象限抛物线上一点，连接OD，过点A作AE⊥OD于点E，若OE＝2AE，求点D的横坐标；（3）若点P是抛物线对称轴上一动点且在x轴的上方，点Q是平面直角坐标系内的任意一点，如果以A，C，P，Q为顶点的四边形是菱形，请直接写出符合条件的点Q的坐标．16．（2022•新民市一模）如图，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A（0，2），B（8，0），点D是第一象限抛物线上的一点，CD⊥AB于点C．（1）直接写出抛物线的表达式；（2）如图1，当CD取得最大值时，求点D的坐标，并求CD的最大值；（3）如图2，点D满足（2）的条件，点P在x轴上，且∠APD＝45°，直接写出点P的横坐标．17．（2022•襄州区模拟）平面直角坐标系中，已知抛物线y＝﹣x2+（1+m）x﹣m（m为常数，m≠±1）与轴交于定点A及另一点B，与y轴交于点C．（1）当点（2，2）在抛物线上时，求抛物线解析式及点A，B，C的坐标；（2）如图1，在（1）的条件下，D为抛物线x轴上方一点，连接BD，若∠DBA+∠ACB＝90°，求点D的坐标；（3）若点P是抛物线的顶点，令△ACP的面积为S，①直接写出S关于m的解析式及m的取值范围；②当时，直接写出m的取值范围．18．（2022•泰安二模）抛物线y＝x2﹣2x+m的顶点A在x轴上，与y轴交于点B．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，直线CD∥AB交抛物线于C，D两点，若，求△COD的面积；（3）如图2，已知（2）中C点坐标，点P是第二象限抛物线上一点，是否存在点P，使得tan∠PCO＝2，若存在，请求出点P坐标，若不存在，请说明理由．19．（2022•南岗区校级二模）如图1，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线y＝﹣ax2+6ax+6与y轴交于点B，交x轴的负半轴于点A，交x轴的正半轴于点C，且S△ABC＝30．（1）求抛物线的解析式；（2）如图2，点P为第一象限抛物线上一点，其横坐标为t，PD⊥x轴于点D，设tan∠PAD等于m，求m与t之间的函数关系式；（3）如图3，在（2）的条件下，当m＝时，过点B作BN⊥AB交∠PAC的平分线于点N，点K在线段AB上，点M在线段AN上，连接KM、KN，∠MKN＝2∠BNK，作MT⊥KN于点T，延长MT交BN于点H，若NH＝4BH，求直线KN的解析式．第22章二次函数（基础、常考、易错、压轴）分类专项训练【基础】一．二次函数的性质（共3小题）1．（2022•南岗区一模）抛物线y＝﹣（x+1）2+6的顶点坐标是（﹣1，6）．【分析】由二次函数的顶点式即可得出结果．【解答】解：∵抛物线的顶点式为：y＝﹣（x+1）2+6，∴顶点坐标为：（﹣1，6），故答案为：（﹣1，6）．【点评】本题考查二次函数的性质，解题的关键是熟练掌握二次函数的顶点式．2．（2022•武进区二模）二次函数y＝﹣2x2+4x﹣6图象的对称轴是直线x＝1．【分析】利用二次函数的对称轴公式即可求解．【解答】解：∵二次函数为：y＝﹣2x2+4x﹣6，∴对称轴为：x＝﹣＝﹣＝1，故答案为：x＝1．【点评】本题考查二次函数的性质，解题的关键是明确二次函数的对称轴为x＝﹣．3．（2022•吉林模拟）已知二次函数y＝（x﹣1）2+3，当x＝1时，y取得最小值．【分析】根据抛物线的顶点坐标和开口方向即可得出答案．【解答】解：∵y＝（x﹣1）2+3，∴该抛物线的顶点坐标为（1，3），且开口方向向上，∴当x＝1时，y取得最小值，故答案为：1．【点评】本题考查二次函数的最值，求二次函数最大值或最小值有三种方法：第一种可有图象直接得出，第二种是配方法，第三种是公式法．二．二次函数图象与系数的关系（共3小题）4．（2022•烟台）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，其对称轴为直线x＝﹣，且与x轴的一个交点坐标为（﹣2，0）．下列结论：①abc＞0；②a＝b；③2a+c＝0；④关于x的一元二次方程ax2+bx+c﹣1＝0有两个相等的实数根．其中正确结论的序号是（）A．①③ B．②④ C．③④ D．②③【分析】根据对称轴、开口方向、与y轴的交点位置即可判断a、b、c与0的大小关系，然后将由对称轴可知a＝b．图象过（﹣2，0）代入二次函数中可得4a﹣2b+c＝0．再由二次函数最小值小于0，从而可判断ax2+bx+c＝1有两个不相同的解．【解答】解：①由图可知：a＞0，c＜0，＜0，∴b＞0，∴abc＜0，故①不符合题意．②由题意可知：＝﹣，∴b＝a，故②符合题意．③将（﹣2，0）代入y＝ax2+bx+c，∴4a﹣2b+c＝0，∵a＝b，∴2a+c＝0，故③符合题意．④由图象可知：二次函数y＝ax2+bx+c的最小值小于0，令y＝1代入y＝ax2+bx+c，∴ax2+bx+c＝1有两个不相同的解，故④不符合题意．故选：D．【点评】本题考查二次函数的图像与系数的关系，解题的关键是正确地由图象得出a、b、c的数量关系，本题属于基础题型．5．（2022春•沙坪坝区校级期末）已知二次函数y＝x2+2（k﹣1）x+k2的图象与x轴无交点，则k的取值范围是（）A． B． C．k＞2 D．k＜2【分析】根据Δ＝4（k﹣1）2﹣4k2＜0，解出k的范围即可求出答案．【解答】解：由题意可知：Δ＝4（k﹣1）2﹣4k2＜0，4k2﹣8k+4﹣4k2＜0，4﹣8k＜0，k＞，故选：A．【点评】本题考查二次函数与x轴的交点，解题的关键是正确列出Δ＝4（k﹣1）2﹣4k2＜0，本题属于基础题型．6．（2022•襄城区模拟）如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过点A（﹣1，0），B（3，0），与y轴交于点C．下列结论：①ac＞0；②当x＞0时，y随x的增大而增大；③3a+c＝0；④b＝2a．其中正确的是（）A．④ B．③ C．② D．①【分析】由图象可知：a＜0，c＞0，抛物线的对称轴为x＝1，再由抛物线过（﹣1，0）可知a﹣b+c＝0．【解答】解：①由图象可知：a＜0，c＞0，∴ac＜0，故①不符合题意．②由题意可知：抛物线的对称轴为x＝1，∴x＜1时，y随x的增大而增大，故②不符合题意．③∵＝1，∴b＝﹣2a，∵抛物线过（﹣1，0），∴a﹣b+c＝0，∴3a+c＝0，故③符合题意．④∵＝1，∴b＝﹣2a，故④不符合题意．故选：B．【点评】本题考查二次函数的图象与性质，解题的关键是熟练运用二次函数的图象与性质，本题属于基础题型．三．二次函数图象与几何变换（共4小题）7．（2022•通辽）在平面直角坐标系中，将二次函数y＝（x﹣1）2+1的图象向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，所得函数的解析式为（）A．y＝（x﹣2）2﹣1 B．y＝（x﹣2）2+3 C．y＝x2+1 D．y＝x2﹣1【分析】根据图象的平移规律，可得答案．【解答】解：将二次函数y＝（x﹣1）2+1的图象向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到的抛物线的解析式是y＝（x﹣1+1）2+1﹣2，即y＝x2﹣1．故选：D．【点评】主要考查了函数图象的平移，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．并用规律求函数解析式．8．（2022•自贡模拟）将y＝x2的图象向右平移3个单位再向上平移2个单位后的解析式为y＝（x﹣3）2+2．【分析】根据“上加下减、左加右减”的原则进行解答即可．【解答】解：二次函数y＝x2的图象向右平移3个单位所得函数解析式为：y＝（x﹣3）2；把二次函数y＝（x﹣3）2的图象向上平移2个单位，那么所得的二次函数解析式为：y＝（x﹣3）2+2．故答案是：y＝（x﹣3）2+2．【点评】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知“上加下减、左加右减”的原则是解答此题的关键．9．（2022•东海县二模）把抛物线y＝﹣x2的图象向右平移1个单位，再向上平移3个单位后，所得图象的函数表达式是y＝﹣（x﹣1）2+3或y＝﹣x2+2x+2．【分析】根据图象的平移规律，可得答案．【解答】解：把抛物线y＝﹣x2向右平移1个单位，再向上平移3个单位后，所得图象的函数表达式是y＝﹣（x﹣1）2+3或y＝﹣x2+2x+2．故答案是：y＝﹣（x﹣1）2+3或y＝﹣x2+2x+2．【点评】主要考查了函数图象的平移，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．并用规律求函数解析式．10．（2022•黔东南州一模）抛物线y＝x2﹣x﹣1关于坐标原点对称的抛物线的解析式为y＝﹣（x+）2+．【分析】利用配方法可得抛物线的顶点坐标为（，﹣），先确定点（，﹣）关于原点对称的对应点的坐标，由于关于原点对称的两抛物线开口方向相反，则可根据顶点式写出对称后的抛物线解析式．【解答】解：∵y＝x2﹣x﹣1＝（x﹣）2﹣，所以抛物线的顶点坐标为（，﹣），因为点（，﹣）关于原点对称的对应点的坐标为（﹣，）所以抛物线y＝x2﹣x﹣1关于坐标原点对称的抛物线的解析式为y＝﹣（x+）2+；故答案为：y＝﹣（x+）2+．【点评】本题考查了二次函数与几何变换，正确的理解题意是解题的关键．四．待定系数法求二次函数解析式（共1小题）11．（2022春•绥棱县期末）已知y与x2成正比例，并且x＝1时y＝2．（1）求y与x之间的函数关系式．（2）当x＝﹣1时y的值．【分析】（1）根据题意可以设y＝kx2（k≠0），然后将x、y的值代入该函数解析式即可求得k的值，进而求得解析式．（2）把x＝﹣1代入所求得的函数解析式即可求得相应的y的值．【解答】解：（1）∵y与x2成正比例，∴设y＝kx2（k≠0），∵当x＝1时，y＝2，∴2＝k•12，解得，k＝2，∴y与x之间的函数关系式为y＝2x2．（2）∵函数关系式为y＝2x2，∴当x＝﹣1时，y＝2×1＝2．【点评】本题考查了待定系数法求正比例函数解析式．此题属于易错题，注意是y与x2成正比例，而不是“y与x成正比例”．五．二次函数的三种形式（共1小题）12．（2022•山西二模）用配方法将二次函数y＝x2﹣2x﹣4化为y＝a（x﹣h）2+k的形式为（）A．y＝（x﹣2）2﹣4 B．y＝（x﹣1）2﹣3 C．y＝（x﹣2）2﹣5 D．y＝（x﹣2）2﹣6【分析】运用配方法把二次函数的一般式化为顶点式即可．【解答】解：y＝x2﹣2x﹣4＝（x﹣2）2﹣6，故选：D．【点评】本题考查的是二次函数的三种形式，正确运用配方法把二次函数的一般式化为顶点式是解题的关键．六．抛物线与x轴的交点（共1小题）13．（2022•崂山区一模）一条抛物线具有以下三个性质：①开口向下；②与x轴没有交点；③对称轴在y轴右侧．请写出同时满足以上三个性质的一个二次函数表达式为y＝﹣x2+2x﹣5（答案不唯一）．【分析】由于二次函数的图象具有下列特征：①开口方向向下，②图象与x轴没有交点，③对称轴在y轴右侧，由此可以分别确定二次项系数是负数，一次项系数为正数，抛物线的最高点在x轴的下方，根据这些条件即可解决问题．【解答】解：∵二次函数的图象具有下列特征：①开口方向向下；②与x轴没有交点；③对称轴在y轴右侧，∴满足以上条件的一个二次函数的解析式（任写一个符合条件的即可）为y＝﹣x2+2x﹣5．故答案为：y＝﹣x2+2x﹣5（答案不唯一）．【点评】此题主要考查了二次函数的性质，是一个开放性试题，答案不唯一，解题是要求学生熟练掌握二次函数的性质即可解决问题．七．二次函数的应用（共4小题）14．（2022•南通）根据物理学规律，如果不考虑空气阻力，以40m/s的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出，小球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间的函数关系是h＝﹣5t2+20t，当飞行时间t为2s时，小球达到最高点．【分析】把二次函数解析式化为顶点式，即可得出结论．【解答】解：h＝﹣5t2+20t＝﹣5（t﹣2）2+20，∵﹣5＜0，∴当t＝2时，h有最大值，最大值为20，故答案为：2．【点评】本题考查二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．15．（2022春•柯桥区月考）“双减”政策落地后，对校外培训机构的影响巨大，不管是机构还是机构老师都面临着转型，培训机构李老师推出了“热学文化”新零售项目．他新开了甲、乙两家分店共同销售，因地段不同，甲店一天可售出某品牌科技产品20件，每件盈利26元；乙店一天可售出同一品牌科技产品32件，每件盈利20元．经调查发现，每件此种科技产品每降价1元，甲、乙两家店一天都可多售出2件．设甲店每件降价a元时，一天可盈利y1元，乙店每件降价b元时，一天可盈利y2元．（1）当a＝5时，求y1的值．（2）求y2关于b的函数表达式．（3）若李老师规定两家分店下降的价格必须相同，请求出每件此种科技产品下降多少元时，两家分店一天的盈利和最大，最大是多少元？【分析】（1）根据题意，可以写出y1与a的函数关系式，然后将a＝5代入函数解析式，即可求得相应的y1值；（2）根据题意，可以写出y2关于b的函数表达式；（3）根据题意可以写出利润与所降价格的函数关系式，然后利用二次函数的性质即可得到每件科技产品下降多少元时，两家分店一天的盈利和最大，最大是多少元．【解答】解：（1）由题意可得，y1＝（26﹣a）（20+2a），当a＝5时，y1＝（26﹣5）×（20+2×5）＝630，即当a＝5时，y1的值是630；（2）由题意可得，y2＝（20﹣b）（32+2b）＝﹣2b2+8b+640，即y2关于b的函数表达式为y2＝﹣2b2+8b+640；（3）设两家下降的价格都为x元，两家的盈利和为w元，w＝（26﹣x）（20+2x）+（﹣2x2+8x+640）＝﹣4x2+40x+1160＝﹣4（x﹣5）2+1260，∴当x＝5时，w取得最大值，此时w＝1260，答：每件科技产品下降5元时，两家分店一天的盈利和最大，最大是1260元．【点评】本题考查二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，写出相应的函数关系式，利用二次函数的性质解答．16．（2022•南安市一模）某餐饮店每天限量供应某一爆款菜品大份袋，小份袋合计100份，且当天全部销售完毕，其成本和售价如下表所示．份量小份装大份装成本（元/份）4060售价（元/份）60100从该店店长处获悉：该餐饮店平均每天实出的小份装比大份装多40份．（1）求该店每天销售这款爆品菜品获得的总利润．（2）店长为了增加利润，准备提高小份装的售价，同时降低大份装的售价，售卖时发现：小份装售价每升1元，每天会少销售4份；大份装售价每降1元，每天可多销售2份．设小份装的售价提高了m元（m为整数）．每售出一份小份装可获利（20+m）元，此时大份装每天可售出（30+4m）份．（3）当m取何值时，每天获利最多？最大利润为多少元？【分析】（1）设该店每天大份菜品卖x份，小份菜品卖（x+40）份，根据题意列出方程，解方程即可；（2）小份装售价每升1元，每天会少销售4份；大份装售价每降1元，每天可多销售2份列出代数式即可；（3）根据总利润＝小份装利润+大份装利润写出函数解析式，再根据函数的性质求函数最值．【解答】解：（1）设该店每天大份菜品卖x份，小份菜品卖（x+40）份，由题意得：x+x+40＝100，解得：x＝30，则x+40＝70，∴该店总利润为＝30×（100﹣60）+70（60﹣40）＝1200+1400＝2600（元），∴该店每天销售这款爆品菜品获得的总利润为2600元；（2）①小份菜售价提高m元之后，售价为（60+m）元，利润为60+m﹣40＝（20+m）元小份菜售价增加m元后，销量减少了4m份，则目前每天销售小份菜（70﹣4m）份，因为该菜品每天限量100份，小份菜减少了4m份，则大份菜会增加4m份，则大份菜销量为100﹣（70﹣4m）＝（30+4m）份．∴每售出一份小份菜可获利（20+m）元，大份菜可售出（30+4m）份，故答案为：（20+m），（30+4m）；（3）由（2）可知，大份装多售出4m份，∴大份装降价＝2m元，假设利润为W，则W＝（20+m）×（70﹣4m）+（40﹣2m）×（30+4m）＝﹣12m2+90m+2600，该二次函数开口向下，对称轴为m＝﹣＝3.75，∵m是整数，∴当m＝4时，W有最大值，最大值为﹣12×42+90×4+2600＝2768（元），∴当m＝4元时，每天获利最多，最大利润为2768元．【点评】本题考查了二次函数的应用和列代数式，关键是找出等量关系列出函数解析式．17．（2022•东营模拟）某店购进一种今年新上市的饰品进行销售，饰品的进价为每件40元，售价为每件60元，每月可卖出300件，市场调查反映：调整价格时，售价每涨1元每月要少卖10件，售价每下降1元每月要多卖20件，为了获得更大的利润，现将商品售价调整为60+x（元/件）（x＞0即售价上涨，x＜0即售价下降），每月商品销量为y（件），月利润为w（元）．（1）直接写出y与x之间的函数关系式；（2）当销售价格是多少时才能使月利润最大？求最大月利润？（3）为了使每月利润不少于6000元应如何控制销售价格？【分析】（1）直接根据题意售价每涨1元每月要少卖10件；售价每下降1元每月要多卖20件，进而得出等量关系；（2）利用每件利润×销量＝总利润，进而利用配方法求出即可；（3）利用函数图象结合一元二次方程的解法得出符合题意的答案．【解答】解：（1）由题意可得：y＝；（2）由题意可得：w＝，化简得：w＝，即w＝，当x＝﹣2.5时，w＝6125，当x＝5时，w＝6250，故当销售价格为65元时，利润最大，最大利润为6250元；（3）由题意w≥6000，如图，令w＝6000，将w＝6000代入﹣20≤x＜0时对应的抛物线方程，即6000＝﹣20（x+）2+6125，解得：x1＝﹣5，将w＝6000代入0≤x≤30时对应的抛物线方程，即6000＝﹣10（x﹣5）2+6250，解得x2＝0，x3＝10，综上可得，﹣5≤x≤10，故将销售价格控制在55元到70元之间（含55元和70元）才能使每月利润不少于6000元．【点评】此题主要考查了二次函数的应用以及配方法求二次函数最值等知识，利用函数图象得出x的取值范围是解题关键．【常考】一．二次函数的图象（共1小题）1．（2022•南海区二模）在同一平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝ax与二次函数y＝ax2+a的图象可能是（）A． B． C． D．【分析】根据各选项图象判断a的取值范围求解．【解答】解：A．由直线可知a＜0，由抛物线开口向上，a＞0，不符合题意．B．由抛物线开口向上a＞0，抛物线与y轴交点在x轴下方，在a＜0，不符合题意．C．由直线可知a＜0，由抛物线开口向下a＜0，抛物线与y轴交点在x轴下方，a＜0，符合题意．D．由直线可知a＞0，抛物线开口向下a＜0，不符合题意．故选：C．【点评】本题考查二次函数与一次函数的性质，解题关键是掌握函数图象与系数的关系．二．二次函数的性质（共2小题）2．（2022•宁波模拟）已知点A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3）均在抛物线其中．下列说法正确的是（）A．若|x1﹣x2|≤|x3﹣x2|，则y2≥y3≥y1 B．若|x1﹣x2|≥|x3﹣x2|，则y2≥y3≥y1 C．若y1＞y3≥y2，则|x1﹣x2|＜|x2﹣x3| D．若y1＞y3≥y2，则|x1﹣x2|＞|x2﹣x3|【分析】先将抛物线的解析式化为顶点式，然后得到函数的顶点即为点B，再由a的正负分情况讨论，得到y之间的大小关系．【解答】解：∵＝（x﹣3）2+a+c，∴函数的顶点坐标为（3，a+c），即为点B，当a＞0时，抛物线开口向下，则当x越靠近3时，y的值越大，∴当|x1﹣x2|≤|x3﹣x2|时，y2≥y1≥y3，当|x1﹣x2|≥|x3﹣x2|时，y2≥y3≥y1，当a＜0时，抛物线开口向上，则当x越靠近3时，y的值越小，∴当|x1﹣x2|≥|x3﹣x2|时，y2≥y1≥y2，故选项A，B无法确定，不符合题意；当y1＞y3≥y2时，y2是最小值，此时a＜0，开口向上，则当x越靠近3时，y的值越小，∴|x1﹣x2|＞|x2﹣x3|，故选项D正确，符合题意．故选：D．【点评】本题主要考查二次函数的性质，熟知由抛物线的开口方向和点到对称轴的距离大小决定对应y值的大小是解题关键．3．（2022•宣州区校级一模）已知二次函数y＝（x﹣2）2+1，若点A（0，y1）和B（1，y2）在此函数图象上，则y1与y2的大小关系是：y1＞y2．【分析】利用二次函数图象上点的坐标特征可求出y1，y2的值，比较后即可得出结论．【解答】解：∵点A（0，y1）、B（3，y2）是二次函数y＝（x﹣2）2+1图象上的两点，∴y1＝5，y2＝2．∴y1＞y2．故答案为：＞．【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，利用二次函数图象上点的坐标特征求出y1，y2的值是解题的关键．三．二次函数图象与系数的关系（共4小题）4．（2022•包头模拟）在平面直角坐标系中，已知点A（﹣2，3），B（2，1），若抛物线y＝ax2﹣2x+1（a≠0）与线段AB有两个不同的交点，则a的取值范围是（）A．﹣＜a≤﹣或a≥1 B．a≥﹣或a＜﹣ C．≤a≤1且a≠0 D．a≤﹣或a≥1【分析】分两种情况讨论：当a＞0时，，求出a的取值范围；当a＜0时，求出直线AB的解析式，联立方程组，由判别式Δ＝+4a＞0和函数经过点（﹣2，3）结合求出a的取值范围．【解答】解：当a＞0时，x＝﹣2时y≥3，x＝2时，y≥1，∴，解得a≥1，当a＜0时，设直线AB的解析式为y＝kx+b，∴，∴，∴y＝﹣x+2，联立方程组，∴ax2﹣x﹣1＝0，∴Δ＝+4a＞0，∴a＞﹣，∴﹣＜a＜0，当x＝﹣2时，y＝4a+4+1＝3，∴a＝﹣，此时抛物线y＝ax2﹣2x+1（a≠0）与线段AB有两个不同的交点，∴﹣＜a≤﹣，综上所述：a≥1或﹣＜a≤﹣时，抛物线y＝ax2﹣2x+1（a≠0）与线段AB有两个不同的交点，故选：A．【点评】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，分类讨论是解题的关键．5．（2022•青羊区模拟）如图，顶点为（﹣3，﹣6）的抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）经过点（﹣1，﹣4），则下列结论中正确的是（）A．b2﹣4ac＜0 B．若点（﹣2，m），（﹣4，n）在抛物线上，则m＞n C．当x＜﹣3时，y随x的增大而减小 D．关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝﹣7（a≠0）有两个不相等的实数根【分析】由抛物线与x轴有两个交点则可对A进行判断；根据抛物线上的点离对称轴的远近，则可对B进行判断；由抛物线的增减性可直接判断C选项；根据二次函数的最值可对D进行判断．【解答】解：A、图象与x轴有两个交点，方程ax2+bx+c＝0有两个不相等的实数根，b2﹣4ac＞0，故A选项错误；B、抛物线的对称轴为直线x＝﹣3，因为﹣2离对称轴的距离等于﹣4离对称轴的距离，所以m＝n，故B选项错误；C、顶点为（﹣3，﹣6），则对称轴为直线x＝﹣3，抛物线开口向上，则当x＜﹣3时，y随x的增大而减小，故C选项正确；D、由抛物线开口向上及顶点为（﹣3，﹣6）可知，此函数的最小值为﹣6，则ax2+bx+c＝﹣7（a≠0）没有实数根，故D选项错误．故选：C．【点评】本题综合考查了二次函数的性质，属于基础题，且难度适中；考查了根的判别式、最值与顶点坐标的关系，及一元二次方程与二次函数的关系等方面的内容，掌握相关基础知识是解题关键．6．（2022•江汉区模拟）抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a＜0）经过A（0，3），B（4，3）．下列四个结论：①4a+b＝0；②点P1（x1，y1），P2（x2，y2）在抛物线上，当|x1﹣2|﹣|x2﹣2|＞0时，y1＞y2；③若抛物线与x轴交于不同两点C，D，且CD≤6，则a≤﹣；④若3≤x≤4，对应的y的整数值有3个，则﹣1＜a≤﹣．其中正确的结论是①③④（填写序号）．【分析】把AB两点的坐标代入函数解析式即可判断①正确；由平行于坐标轴直线上两点之间的距离的几何意义即可判断②；由于C、D是抛物线与x轴的交点，有根与系数的关系和CD≤6，可以判断③；x＝4时，y＝3，3≤x≤4，对应的y的整数值有3个，y对应得整数值为：3，4，5，结合图象，可以判断④．【解答】解：①将A、B两点坐标代入抛物线y＝ax2+bx+c中，则：，解得：，故①正确；②∵|x1﹣2|﹣|x2﹣2|＞0，即|x1﹣2|＞|x2﹣2|，∴x1距离x＝2比x2距离x＝2更远，如图：从图中可以看出x距离x＝2越远对应的函数值越小，故y1＜y2，故②错误；③∵a＜0，设C（x3，0）、D（x4，0），则由根与系数的关系得：x3+x4＝4，x3•x4＝，∴|x3﹣x4|＝＝＝≤6，解得：a≤﹣，故③正确；④由题意知：x＝4时，y＝3，∵3≤x≤4，对应的y的整数值有3个，∴y对应得整数值为：3，4，5，则x＝3时对应的函数值y的取值范围为：5≤9a﹣12a+3＜6，解得：﹣1＜a≤﹣，故④正确．故答案为：①③④．【点评】本题考查二次函数的图象与系数的关系，关键是对二次函数图象和性质的掌握和运用．7．（2022•工业园区模拟）如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象，且关于x的一元二次方程ax2+bx+c﹣m＝0没有实数根，有下列结论：①b2﹣4ac＞0；②abc＜0；③m＜﹣3；④3a+b＞0．其中正确结论的序号有①③④．【分析】由抛物线与x轴有两个不同交点，可判断①；根据抛物线的开口方向、对称轴及与y轴交点的位置，可得出a＞0、b＜0、c＜0，进而即可得出abc＞0，即可判断②；由将抛物线y＝ax2+bx+c与直线y＝﹣3有一个交点，即可判断③；由a＞0、b＝﹣2a，可得出3a+b＝a＞0，即可判断④．【解答】解：∵抛物线与x轴有两个交点，∴Δ＝b2﹣4ac＞0，①正确；∵抛物线开口向上，对称轴为直线x＝1，与y轴交于负半轴，∴a＞0，﹣＝1，c＜0，∴b＝﹣2a＜0，∴abc＞0，②错误；∵方程ax2+bx+c﹣m＝0没有实数根，∴m＜﹣3，③正确；∵a＞0，b＝﹣2a，∴3a+b＝a＞0，④正确．故答案为：①③④．【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系以及抛物线与x轴的交点，观察函数图象，逐一分析四条结论的正误是解题的关键．四．二次函数图象上点的坐标特征（共2小题）8．（2022•天桥区校级模拟）点P（x1，y1），Q（x2，y2）在抛物线y＝ax2﹣4ax+2（a＞0）上，若对于t＜x1＜t+1，t+2＜x2＜t+3，都有y1≠y2，则t的取值范围是（）A．t≥1 B．t≤0 C．t≥1或t≤0 D．t≥1或t≤﹣1【分析】分两种情况讨论：①当t+1＜2时，需满足x＝t+3时的函数值不大于x＝t+1时的函数值，②当t+1＞2时，需满足x＝t+2的函数值不小于x＝t的函数值，分别列出不等式即可得到答案．【解答】解：∵y＝ax2﹣4ax+2＝a（x2﹣4x+4）+2﹣4a＝a（x﹣2）2+2﹣4a，∴二次函数图象的对称轴是直线x＝2；对于t＜x1＜t+1，t+2＜x2＜t+3，都有y1≠y2，分两种情况：①当t+1＜2时，需满足x＝t+3时的函数值不大于x＝t+1时的函数值，如图：∴a（t+3）2﹣4a（t+3）+2≤a（t+1）2﹣4a（t+1）+2，解得t≤0；②当t+1＞2时，需满足x＝t+2的函数值不小于x＝t的函数值，如图：∴a（t+2）2﹣4a（t+2）+2≥at2﹣4at+2，解得t≥1，综上所述，对于t＜x1＜t+1，t+2＜x2＜t+3，都有y1≠y2，则t≤0或t≥1．故选：C．【点评】本题考查二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是分类画出图形，根据二次函数性质列不等式．9．（2022•临安区一模）已知点P1（x1，y1），P2（x2，y2）为抛物线y＝﹣ax2+4ax+c（a≠0）上两点，且x1＜x2，则下列说法正确的是（）A．若x1+x2＜4，则y1＜y2 B．若x1+x2＞4，则y1＜y2 C．若a（x1+x2﹣4）＞0，则y1＞y2 D．若a（x1+x2﹣4）＜0，则y1＞y2【分析】通过函数解析式求出抛物线的对称轴，分类讨论a＞0及a＜0时各选项求解．【解答】解：∵y＝﹣ax2+4ax+c，∴抛物线对称轴为直线x＝﹣＝2，P2（x2，y2）关于直线x＝2的对称点为P（4﹣x2，y2），若x1+x2＜4，由x2+4﹣x2＝4，x1＜x2，可得x1＜4﹣x2，当抛物线开口向上时，y1＞y2，∴选项A错误．若x1+x2＞4，由x2+4﹣x2＝4，x1＜x2，可得4﹣x2＜x1＜x2，当抛物线开口向下时，y1＞y2，∴选项B错误．若a（x1+x2﹣4）＞0，当x1+x2＜4时，则a＜0，﹣a＞0，抛物线开口向上，∴y1＞y2，当x1+x2＞4时，则a＞0，﹣a＜0，抛物线开口向下，∴y1＞y2，选项C正确．若a（x1+x2﹣4）＜0，当x1+x2＜4时，a＞0，﹣a＜0，抛物线开口向下，∴y1＜y2，选项D错误．解法二：作差法，∵y1＝﹣a+4ax1+c，y2＝﹣ax22+4ax2+c，∴y1﹣y2＝﹣a+4ax1+c﹣（﹣ax22+4ax2+c）＝﹣a（x﹣x）+4a（x1﹣x2）＝﹣a（x1+x2）（x1﹣x2）+4a（x1﹣x2）＝﹣a（x1﹣x2）（x1+x2﹣4）∵x1＜x2，∴x1﹣x2＜0，当a（x1+x2﹣4）＞0时，则﹣a（x1﹣x2）（x1+x2﹣4）＞0，∴y1＞y2，故选：C．【点评】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数的性质，掌握二次函数与方程及不等式的关系，通过数形结合求解．五．待定系数法求二次函数解析式（共1小题）10．（2022•洛阳三模）有一条抛物线，两位同学分别说了它的一个特点：甲：对称轴是直线x＝4；乙：顶点到x轴的距离为2．请你写出一个符合条件的解析式：y＝2x2﹣16x﹣34（答案不唯一）．【分析】设抛物线y＝ax2+bx+c，根据对称轴公式得对称轴x＝﹣＝4，顶点到x轴的距离为2，即可得顶点坐标为（4，﹣2）或（4，2），把顶点坐标代入抛物线解析式，即2b+c＝±2，满足这样条件的抛物线不唯一．设a＝2，根据b、c的关系取值即可得到抛物线解析式．【解答】解：设抛物线的表达式为：y＝ax2+bx+c，则其对称轴为直线x＝﹣＝4，∵顶点到x轴的距离为2，额顶点坐标为（4，﹣2）或（4，2），把顶点坐标代入抛物线解析式得：16a+4b+c＝±2，∵﹣＝4，即：2b+c＝±2，故满足这样条件的抛物线不唯一．设a＝2，当2b+c＝2时，则，设a＝2，当2b+c＝﹣2时，则，故其中一个符合条件解析式为：y＝﹣2x2﹣16x+34．故答案为：y＝﹣2x2﹣16x+34．答案不唯一．【点评】本题考查了二次函数的性质．解本题的关键熟练掌握二次函数的顶点坐标和对称轴．六．抛物线与x轴的交点（共1小题）11．（2022•青岛一模）若抛物线y＝x2﹣2x﹣m与x轴有两个交点，则m的取值范围是m＞﹣1．【分析】利用判别式得到Δ＝（﹣2）2﹣4×（﹣m）＞0，然后解不等式即可．【解答】解：根据题意得Δ＝（﹣2）2﹣4×（﹣m）＞0，解得m＞﹣1．故答案为：m＞﹣1．【点评】本题考查了二次函数与x轴的交点，把求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解一元二次方程ax2+bx+c＝0．△＝b2﹣4ac决定抛物线与x轴的交点个数．七．二次函数的应用（共4小题）12．（2022•荷塘区校级模拟）在特定条件下，篮球赛中进攻球员投球后，篮球的运行轨迹是开口向下的抛物线的一部分．“盖帽”是一种常见的防守手段，防守队员在篮球上升阶段将球拦截即为“盖帽”，而防守队员在篮球下降阶段将球拦截则属“违规”．对于某次投篮而言，如果忽略其他因素的影响，篮球处于上升阶段的水平距离越长，则被“盖帽”的可能性越大，收集几次篮球比赛的数据之后，某球员投篮可以简化为下述数学模型：如图所示，该球员的投篮出手点为P，篮框中心点为Q，他可以选择让篮球在运行途中经过A，B，C，D四个点中的某一点并命中Q，忽略其他因素的影响，那么被“盖帽”的可能性最大的线路是（）A．P→A→Q B．P→B→Q C．P→C→Q D．P→D→Q【分析】分类讨论投篮线路经过A，B，C，D四个点时篮球上升阶段的水平距离求解．【解答】解：B，D两点，横坐标相同，而D点的纵坐标大于B点的纵坐标，显然，B点上升阶段的水平距离长；A，B两点，纵坐标相同，而A点的横坐标小于B点的横坐标，等经过A点的篮球运行到与B点横坐标相同时，显然在B点上方，故B点上升阶段的水平距离长；同理可知C点路线优于A点路线，综上：P→B→Q是被“盖帽”的可能性最大的线路．故选：B．【点评】本题考查二次函数图象上点的坐标特征，解题关键是理解题意，通过分类讨论求解．13．（2022•襄城区模拟）小红对自己某次实心球训练的录像进行分析，发现实心球飞行高度y（米）与水平距离x（米）之间的关系为y＝﹣，由此可知小红此次实心球训练的成绩为10米．【分析】根据铅球落地时，高度y＝0，把实际问题可理解为当y＝0时，求x的值即可．【解答】解：当y＝0时，y＝﹣x2+x+＝0，解得：x1＝﹣2（舍去），x2＝10，∴小红此次实心球训练的成绩为10米．故答案为：10．【点评】本题考查了二次函数的应用中函数式中自变量与函数表达的实际意义，需要结合题意，取函数或自变量的特殊值列方程求解是解题关键．14．（2022•雄县一模）2022年2月4日，冬奥会在北京举行，某公司抓住商机开发研制了两款冬奥会开幕式吉祥物纪念章，深受人们喜爱，投入市场后发现其日销售量y（套）与销售单价x（元）之间的函数图象如图所示（要求每套销售价格不能低于每套成本，每套成本100元）．（1）试求y关于x的函数关系式；（2）如果物价管理部门规定每套销售利润不能高于每套成本的45%，则此时每套定价是多少元时，所获得的日利润最大，最大利润为多少元？【分析】（1）根据函数图象中的数据，可以计算出日销售量y与销售单价x的函数关系式；（2）根据题意和（1）中的结果，可以得到日销售利润w与销售单价x的函数关系式，化为顶点式，再根据x的取值范围和二次函数的性质，可以求得答案．【解答】解：（1）设日销售量y（件）与销售单价x（元）的函数关系式是y＝kx+b，∵点（150，304），点（156，280）在该函数图象上，∴，解得，即日销售量y与销售单价x函数关系式是y＝﹣4x+904；（2）由题意可得，设日销售利润为w元，w＝（x﹣100）（﹣4x+904）＝﹣4x2+1304x﹣90400＝﹣4（x﹣163）2+15876，∴该函数的图象开口向下，对称轴为x＝163，∵物价部门规定其每件的售价不低于成本且利润不高于成本的45%，∴100≤x≤145，∴当x＝145时，w取得最大值14580，答：当销售单价为145元时，日销售利润最大，最大利润为14580元．【点评】本题考查一次函数的应用、二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，写出相应的函数解析式，利用二次函数的性质求最值．15．（2022•费县二模）如图1的某种发石车是古代一种远程攻击的武器，发射出去的石块的运动轨迹是抛物线的一部分，且距离发射点20米时达到最大高度10米．将发石车置于山坡底部O处，山坡上有一点A，点A与点O的水平距离为30米，与地面的竖直距离为3米，AB是高度为3米的防御墙．若以点O为原点，建立如图2的平面直角坐标系．（1）求石块运动轨迹所在抛物线的解析式；（2）试通过计算说明石块能否飞越防御墙AB；（3）在竖直方向上，试求石块飞行时与坡面OA的最大距离．【分析】（1）设石块运行的函数关系式为y＝a（x﹣20）2+10，用待定系数法求得a的值即可求得答案．（2）把x＝30代入y＝﹣x2+x，求得y的值，与6作比较即可．（3）用待定系数法求得OA的解析式为y＝x，设抛物线上一点P（t，﹣t2+t），过点P作PQ⊥x轴，交OA于点Q，过点P作PC⊥OA，交OA于点C，延长BA交x轴与点E，则Q（t，t），用含t的式子表示出PQ关于t的表达式，再利用相似求出PC即可．【解答】解：（1）设石块的运动轨迹所在抛物线的解析式为y＝a（x﹣20）2+10，把（0，0）代入，得400a+10＝0，解得a＝﹣．∴y＝﹣（x﹣20）2+10．即y＝﹣x2+x．（2）石块能飞越防御墙AB，理由如下：把x＝30代入y＝﹣x2+x，得y＝﹣×900+30＝7.5，∵7.5＞3+3，∴石块能飞越防御墙AB．（3）设直线OA的解析式为y＝kx（k≠0），把（30，3）代入，得3＝30k，∴k＝．故直线OA的解析式为y＝x．如图：设直线OA上方的抛物线上的一点P的坐标为（t，﹣t2+t），过点P作PQ⊥x轴，交OA于点Q，交x轴于点D，则Q（t，t），∴PQ＝﹣t2+t﹣t，＝﹣t2+t＝﹣（t﹣18）2+8.1．∴当t＝18时，PQ取最大值，最大值为8.1．过点P作PC⊥OA，交OA于点C，延长BA交x轴与点E，∵∠PQC+∠QPC＝90°，∠OQD+∠QOD＝90°，∠PQC＝∠OQD，∴∠QPC＝∠QOD又∵∠PCQ＝∠AOE∴△PQC∽△COE∴＝，即：＝∴PE＝答：在竖直方向上，石块飞行时与坡面OA的最大距离是米．【点评】本题考查了二次函数在实际问题中的应用，理清题中的数量关系并熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．八．二次函数综合题（共4小题）16．（2022•秀英区模拟）如图，已知抛物线y＝ax2+bx+4（a≠0）与x轴交于点A（1，0）和B（4，0），与y轴交于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，若点P是线段BC上的一个动点（不与点B，C重合），过点P作y轴的平行线交抛物线于点Q，连接OQ，当线段PQ长度最大时，判断四边形OCPQ的形状并说明理由；（3）如图2，在（2）的条件下，D是OC的中点，过点Q的直线交抛物线于点E，且∠DQE＝2∠ODQ．在y轴上是否存在点F，使得△BEF为等腰三角形？若存在，求点F的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）将点A（1，0）代入y＝ax2+bx+4，再由对称轴可得﹣＝，分别求出a、b的值即可求解；（2）求出直线BC的解析式设P（t，﹣t+4），则Q（t，t2﹣5t+4），则P