模型22瓜豆原理之曲线型(原卷版+解析)

模型介绍模型介绍运动轨迹为圆问题1.如图，P是圆O上一个动点，A为定点，连接AP，Q为AP中点．当点P在圆O上运动时，Q点轨迹是？解析：Q点轨迹是一个圆理由：Q点始终为AP中点，连接AO，取AO中点M，则M点即为Q点轨迹圆圆心，半径MQ是OP一半，任意时刻，均有△AMQ∽△AOP，．问题2.如图，△APQ是直角三角形，∠PAQ=90°且AP=2AQ，当P在圆O运动时，Q点轨迹是？解析：Q点轨迹是一个圆理由：∵AP⊥AQ，∴Q点轨迹圆圆心M满足AM⊥AO；又∵AP：AQ=2：1，∴Q点轨迹圆圆心M满足AO：AM=2：1．即可确定圆M位置，任意时刻均有△APO∽△AQM，且相似比为2．模型总结条件：两个定量（1）主动点、从动点与定点连线的夹角是定量（∠PAQ是定值）；（2）主动点、从动点到定点的距离之比是定量（AP:AQ是定值）．结论（1）主、从动点与定点连线的夹角等于两圆心与定点连线的夹角：∠PAQ=∠OAM；（2）主、从动点与定点的距离之比等于两圆心到定点的距离之比：AP:AQ=AO:AM，也等于两圆半径之比．例题精讲例题精讲【例1】．如图，A是⊙B上任意一点，点C在⊙B外，已知AB＝2，BC＝4，△ACD是等边三角形，则的面积的最大值为变式训练【变式1-1】．如图，线段AB为⊙O的直径，点C在AB的延长线上，AB＝4，BC＝2，点P是⊙O上一动点，连接CP，以CP为斜边在PC的上方作Rt△PCD，且使∠DCP＝60°，连接OD，则OD长的最大值为（）A． B．2 C．2 D．4【变式1-2】．如图，已知正方形ABCD的边长为4，以点C为圆心，2为半径作圆，P是⊙C上的任意一点，将点P绕点D按逆时针方向旋转90°，得到点Q，连接BQ，则BQ的最大值是（）A．6 B． C． D．【例2】．四边形ABCD是边长为4的正方形，点P是平面内一点．且满足BP⊥PC，现将点P绕点D顺时针旋转90度，则CQ的最大值＝．变式训练【变式2-1】．如图，线段AB＝4，M为AB的中点，动点P到点M的距离是1，连接PB，线段PB绕点P逆时针旋转90°得到线段PC，连接AC，则线段AC长度的最大值是．【变式2-2】．如图，AB＝4，O为AB的中点，⊙O的半径为1，点P是⊙O上一动点，以PB为直角边的等腰直角三角形PBC（点P、B、C按逆时针方向排列），则线段AC的长的取值范围为．1．如图，点A是双曲线y＝在第一象限上的一动点，连接AO并延长交另一分支于点B，以AB为斜边作等腰Rt△ABC，点C在第二象限，随着点A的运动，点C的位置也不断的变化，但始终在一函数图象上运动，则这个函数的解析式为（）A．y＝﹣x B．y＝﹣x C．y＝﹣ D．y＝﹣2．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，D是以点A为圆心，2为半径的圆上一点，连接BD，M为BD的中点，则线段CM长度的最大值为（）A．7 B．3.5 C．4.5 D．33．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，点O是AB的三等分点，半圆O与AC相切，M，N分别是BC与半圆弧上的动点，则MN的最小值和最大值之和是（）A．5 B．6 C．7 D．84．如图，一次函数y＝2x与反比例函数y＝（k＞0）的图象交于A，B两点，点P在以C（﹣2，0）为圆心，1为半径的⊙C上，Q是AP的中点，已知OQ长的最大值为，则k的值为（）A． B． C． D．5．如图，在矩形纸片ABCD中，AB＝2，AD＝3，点E是AB的中点，点F是AD边上的一个动点，将△AEF沿EF所在直线翻折，得到△A′EF，则A′C的长的最小值是（）A． B．3 C．﹣1 D．﹣16．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠ACB＝30°，BC＝2，△ADC与△ABC关于AC对称，点E、F分别是边DC、BC上的任意一点，且DE＝CF，BE、DF相交于点P，则CP的最小值为（）A．1 B． C． D．27．如图，⊙O的直径AB＝4，P为⊙O上的动点，连结AP，Q为AP的中点，若点P在圆上运动一周，则点Q经过的路径长是．8．如图，已知点A是第一象限内的一个定点，若点P是以O为圆心，2个单位长为半径的圆上的一个动点，连接AP，以AP为边向AP右侧作等边三角形APB．当点P在⊙O上运动一周时，点B运动的路径长是．9．如图，⊙O的半径为3，AB为圆上一动弦，以AB为边作正方形ABCD，求OD的最大值．10．如图，在平面直角坐标系中，B（0，4），A（3，0），⊙A的半径为2，P为⊙A上任意一点，C是BP的中点，则OC的最大值是．11．如图，点C是半圆上一动点，以BC为边作正方形BCDE（使在正方形内），连OE，若AB＝4cm，则OE的最大值为cm．12．如图，点O为坐标原点，⊙O的半径为1，点A（2，0），动点B在⊙O上，连接AB，作等边△ABC（A，B，C为顺时针顺序），求OC的最大值与最小值．13．如图，点O在线段AB上，OA＝1，OB＝2，以点O为圆心、OA长为半径的圆为⊙O，在⊙O上取动点P，以PB为边作△PBC，使∠PBC＝90°，tan∠PCB＝，P、B、C三点为逆时针顺序，连接AC，求AC的取值范围．14．已知：如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，OD⊥AC于点D，过点C作⊙O的切线，交OD的延长线于点E，连接AE．（1）求证：AE与⊙O相切；（2）连接BD，若ED：DO＝3：1，OA＝9，求AE的长；（3）若AB＝10，AC＝8，点F是⊙O任意一点，点M是弦AF的中点，当点F在⊙O上运动一周，则点M运动的路径长为．15．若AC＝4，以点C为圆心，2为半径作圆，点P为该圆上的动点，连接AP．（1）如图1，取点B，使△ABC为等腰直角三角形，∠BAC＝90°，将点P绕点A顺时针旋转90°得到AP′．①点P'的轨迹是（填“线段”或者“圆”）；②CP′的最小值是；（2）如图2，以AP为边作等边△APQ（点A、P、Q按照顺时针方向排列），在点P运动过程中，求CQ的最大值．（3）如图3，将点A绕点P逆时针旋转90°，得到点M，连接PM，则CM的最小值为．16．如图1，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣5x+5与x轴，y轴分别交于A、C两点，抛物线y＝x2+bx+c经过A、C两点，与x轴的另一交点为B．（1）求抛物线解析式；（2）若点M为x轴下方抛物线上一动点，当点M运动到某一位置时，△ABM的面积等于△ABC面积的35，求此时点M（3）如图2，以B为圆心，2为半径的⊙B与x轴交于E、F两点（F在E右侧），若P点是⊙B上一动点，连接PA，以PA为腰作等腰Rt△PAD，使∠PAD＝90°（P、A、D三点为逆时针顺序），连接FD．求FD长度的取值范围．模型介绍模型介绍运动轨迹为圆问题1.如图，P是圆O上一个动点，A为定点，连接AP，Q为AP中点．当点P在圆O上运动时，Q点轨迹是？解析：Q点轨迹是一个圆理由：Q点始终为AP中点，连接AO，取AO中点M，则M点即为Q点轨迹圆圆心，半径MQ是OP一半，任意时刻，均有△AMQ∽△AOP，．问题2.如图，△APQ是直角三角形，∠PAQ=90°且AP=2AQ，当P在圆O运动时，Q点轨迹是？解析：Q点轨迹是一个圆理由：∵AP⊥AQ，∴Q点轨迹圆圆心M满足AM⊥AO；又∵AP：AQ=2：1，∴Q点轨迹圆圆心M满足AO：AM=2：1．即可确定圆M位置，任意时刻均有△APO∽△AQM，且相似比为2．模型总结R条件：两个定量（1）主动点、从动点与定点连线的夹角是定量（∠PAQ是定值）；（2）主动点、从动点到定点的距离之比是定量（AP:AQ是定值）．R结论（1）主、从动点与定点连线的夹角等于两圆心与定点连线的夹角：∠PAQ=∠OAM；（2）主、从动点与定点的距离之比等于两圆心到定点的距离之比：AP:AQ=AO:AM，也等于两圆半径之比．例题例题精讲【例1】．如图，A是⊙B上任意一点，点C在⊙B外，已知AB＝2，BC＝4，△ACD是等边三角形，则的面积的最大值为解：以BC为边作等边△BCM，连接DM．∵∠DCA＝∠MCB＝60°，∴∠DCM＝∠ACB，∵DC＝AC，MC＝BC∴△DCM≌△CAB（SAS），∴DM＝AB＝2为定值，即点D在以M为圆心，半径为2的圆上运动，当点D运动至BC的中垂线与圆的交点时，CB边上的高取最大值为2+2，此时面积为4+4．变式训练【变式1-1】．如图，线段AB为⊙O的直径，点C在AB的延长线上，AB＝4，BC＝2，点P是⊙O上一动点，连接CP，以CP为斜边在PC的上方作Rt△PCD，且使∠DCP＝60°，连接OD，则OD长的最大值为（）A． B．2 C．2 D．4解：如图，作△COE，使得∠CEO＝90°，∠ECO＝60°，连接OP，则CO＝2CE，OE＝2，∠OCP＝∠ECD，∵∠CDP＝90°，∠DCP＝60°，∴CP＝2CD，∴＝＝2∴△COP∽△CED，∴＝＝2，即ED＝OP＝1（定长），∵点E是定点，DE是定长，∴点D在半径为1的⊙E上，∵OD⩽OE+DE，∴OD≤+1，∴OD的最大值为+1，故选：C．【变式1-2】．如图，已知正方形ABCD的边长为4，以点C为圆心，2为半径作圆，P是⊙C上的任意一点，将点P绕点D按逆时针方向旋转90°，得到点Q，连接BQ，则BQ的最大值是（）A．6 B． C． D．解：连接AQ，CP，∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝DC，∠ADC＝90°，由旋转得：DP＝DQ，∠QDP＝90°，∴∠ADC﹣∠QDC＝∠QDP﹣∠QDC，∴∠ADQ＝∠CDP，∴△ADQ≌△CDP（SAS），∴AQ＝CP＝2，∴点Q的轨迹是以点A为圆心，半径为2的圆上，∴当点Q在BA的延长线时，BQ的值最大，如图所示：∴BQ的最大值＝AB+AQ＝4+2＝6，故选：A．【例2】．四边形ABCD是边长为4的正方形，点P是平面内一点．且满足BP⊥PC，现将点P绕点D顺时针旋转90度，则CQ的最大值＝2+2．解：如图，∵BP⊥PC，∴∠BPC＝90°，∴点P的运动轨迹是以BC为直径的圆，∵PD⊥DQ，PD＝QD，∴点Q的运动轨迹是圆，且和点P的运动轨迹是等圆，圆心O在BA的延长线上，（可以利用旋转法证明：取BC的中点E，连接DE，PE，将△DEC绕点D顺时针旋转90°得到△DAO，连接OQ，只要证明△DEP≌△DOQ即可，推出OQ＝PE＝的值）在Rt△BOC中，OC＝＝＝2，∴当点Q1在CO的延长线上时，CQ1的长最大，最大值为2+2，故答案为2+2．变式训练【变式2-1】．如图，线段AB＝4，M为AB的中点，动点P到点M的距离是1，连接PB，线段PB绕点P逆时针旋转90°得到线段PC，连接AC，则线段AC长度的最大值是3．解：以AB为斜边向上作等腰直角△AJB，连接CJ，BC．∵AM＝BM，∴JM＝AM＝MB，∴△JMB是等腰直角三角形，△PBC是等腰直角三角形，∴BJ＝BM，BC＝PB，∠MBJ＝∠PBC＝45°，∴∠MBP＝∠JBC，∵＝，∴△JBC∽△MBP，∴＝＝，∵PM＝1，∴JC＝，∴点C的运动轨迹是以J为圆心，为半径的圆，∵AJ＝AB＝2，∴AC≤AJ+JC＝3故线段AC长度的最大值为3．【变式2-2】．如图，AB＝4，O为AB的中点，⊙O的半径为1，点P是⊙O上一动点，以PB为直角边的等腰直角三角形PBC（点P、B、C按逆时针方向排列），则线段AC的长的取值范围为≤AC≤3．解：如图，作OK⊥AB，在OK上截取OK＝OA＝OB，连接AK、BK、KC、OP．∵OK＝OA＝OB，OK⊥AB，∴KA＝KB，∠AKB＝90°，∴△AKB是等腰直角三角形，∵∠OBK＝∠PBC，∴∠OBP＝∠KBC，∵＝＝，∴△OBP∽△KBC，∴＝＝，∵OP＝1，∴KC＝，∴点C的运动轨迹是以点K为圆心，KC为半径的圆，AK＝OA＝2，∴AC的最大值为3，AC的最小值，∴≤AC≤3．故答案为≤AC≤．1．如图，点A是双曲线y＝在第一象限上的一动点，连接AO并延长交另一分支于点B，以AB为斜边作等腰Rt△ABC，点C在第二象限，随着点A的运动，点C的位置也不断的变化，但始终在一函数图象上运动，则这个函数的解析式为（）A．y＝﹣x B．y＝﹣x C．y＝﹣ D．y＝﹣解：作AD⊥x轴与点D，连接OC，作CE⊥y轴于点E，∵△ABC为等腰直角三角形，点O是AB的中点，∴OC＝OA，CO⊥AO，∴∠COE＝∠AOD，∵∠OEC＝∠ODA＝90°，∴△OEC≌△ODA（AAS），∴OD＝OE，AD＝CE，设点C的坐标为（x，y），则点A为（y，﹣x），∵点A是双曲线y＝上，∴﹣yx＝4，∴xy＝﹣4，∴点C所在的函数解析式为：y＝，故选：C．2．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，D是以点A为圆心，2为半径的圆上一点，连接BD，M为BD的中点，则线段CM长度的最大值为（）A．7 B．3.5 C．4.5 D．3解：取AB的中点E，连接AD、EM、CE．在直角△ABC中，．∵E是直角△ABC斜边AB上的中点，∴CE＝AB＝2.5．∵M是BD的中点，E是AB的中点，∴ME＝AD＝1．∵2.5﹣1≤CM≤2.5+1，即1.5≤CM≤3.5．∴最大值为3.5，故选：B．

3．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，点O是AB的三等分点，半圆O与AC相切，M，N分别是BC与半圆弧上的动点，则MN的最小值和最大值之和是（）A．5 B．6 C．7 D．8解：如图，设⊙O与AC相切于点D，连接OD，作OP⊥BC垂足为P交⊙O于F，此时垂线段OP最短，PF最小值为OP﹣OF，∵AC＝4，BC＝3，∴AB＝5∵∠OPB＝90°，∴OP∥AC∵点O是AB的三等分点，∴OB＝×5＝，＝＝，∴OP＝，∵⊙O与AC相切于点D，∴OD⊥AC，∴OD∥BC，∴＝＝，∴OD＝1，∴MN最小值为OP﹣OF＝﹣1＝，如图，当N在AB边上时，M与B重合时，MN经过圆心，经过圆心的弦最长，MN最大值＝+1＝，∴MN长的最大值与最小值的和是6．故选：B．4．如图，一次函数y＝2x与反比例函数y＝（k＞0）的图象交于A，B两点，点P在以C（﹣2，0）为圆心，1为半径的⊙C上，Q是AP的中点，已知OQ长的最大值为，则k的值为（）A． B． C． D．解：连接BP，由对称性得：OA＝OB，∵Q是AP的中点，∴OQ＝BP，∵OQ长的最大值为，∴BP长的最大值为×2＝3，如图，当BP过圆心C时，BP最长，过B作BD⊥x轴于D，∵CP＝1，∴BC＝2，∵B在直线y＝2x上，设B（t，2t），则CD＝t﹣（﹣2）＝t+2，BD＝﹣2t，在Rt△BCD中，由勾股定理得：BC2＝CD2+BD2，∴22＝（t+2）2+（﹣2t）2，t＝0（舍）或﹣，∴B（﹣，﹣），∵点B在反比例函数y＝（k＞0）的图象上，∴k＝﹣＝；故选：C．5．如图，在矩形纸片ABCD中，AB＝2，AD＝3，点E是AB的中点，点F是AD边上的一个动点，将△AEF沿EF所在直线翻折，得到△A′EF，则A′C的长的最小值是（）A． B．3 C．﹣1 D．﹣1解：以点E为圆心，AE长度为半径作圆，连接CE，当点A′在线段CE上时，A′C的长取最小值，如图所示．根据折叠可知：A′E＝AE＝AB＝1．在Rt△BCE中，BE＝AB＝1，BC＝3，∠B＝90°，∴CE＝＝，∴A′C的最小值＝CE﹣A′E＝﹣1．故选：D．6．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠ACB＝30°，BC＝2，△ADC与△ABC关于AC对称，点E、F分别是边DC、BC上的任意一点，且DE＝CF，BE、DF相交于点P，则CP的最小值为（）A．1 B． C． D．2解：如图1，连接BD，Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠ACB＝30°，BC＝2，∴AB＝2，AC＝4，∵△ADC与△ABC关于AC对称，∴BC＝DC，∠ACD＝∠ACB＝30°，∴∠BCD＝60°，∴△BDC是等边三角形，∴BD＝CD，∠BDC＝∠BCD＝60°，∵DE＝CF，∴△BDE≌△DCF，∴∠BED＝∠DFC，∵∠BED+∠PEC＝180°，∴∠PEC+∠DFC＝180°，∴∠DCF+∠EPF＝∠DCF+∠BPD＝180°，∵∠DCF＝60°，∴∠BPD＝120°，由于点P在运动中保持∠BPD＝120°，如图2，∴点P的运动路径为：以A为圆心，AB为半径的120°的弧，连接AC与圆弧的交点即为点P，此时CP的长度最小，∴CP＝AC﹣AP＝4﹣2＝2，则线段CP的最小值为2；故选：D．

7．如图，⊙O的直径AB＝4，P为⊙O上的动点，连结AP，Q为AP的中点，若点P在圆上运动一周，则点Q经过的路径长是2π．解：如图，连接OQ，∵AB＝4，∴AO＝2，∵Q为AP的中点，∴OQ⊥AP，∴∠AQO＝90°，∴点Q在以AO为直径的圆上运动，∴点Q经过的路径长为2π，故答案为：2π．8．如图，已知点A是第一象限内的一个定点，若点P是以O为圆心，2个单位长为半径的圆上的一个动点，连接AP，以AP为边向AP右侧作等边三角形APB．当点P在⊙O上运动一周时，点B运动的路径长是．解：如图，连接AO、OP，将AO绕点A逆时针旋转60°，得线段AO'，连接O'B、OO'，∵AO＝AO'，∠OAO'＝60°，∴△OAO'为正三角形，∵△APB为正三角形，∴∠PAB＝60°，PA＝BA，∴∠PAB﹣∠OAB＝∠OAO'﹣∠OAB，∴∠PAO＝∠BAO，在△APO与△ABO′中，AO=AO′∠PAO=∠BAO′∴△APO≌△ABO′，∴OP＝O'B＝2，∴⊙O'即为动点B运动的路径，∴当点P在⊙O上运动一周时，点B运动的路径长是4π9．如图，⊙O的半径为3，AB为圆上一动弦，以AB为边作正方形ABCD，求OD的最大值3+3．解：如图，连接AO，OB，将OA绕点A顺时针旋转90°，可得AA'，连接OA'，A'D，∴OA＝AA'＝3，∠OAA'＝90°，∴OA'＝3，∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD，∠BAD＝90°，∴∠BAD＝∠OAA'＝90°，∴∠OAB＝∠A'AD，且OA＝AA'，AB＝AD，∴△OAB≌△A'AD（SAS）∴A'D＝OB＝3，在△OA'D中，OD≤OA'+A'D＝3+3，∴点A'，点O，点D共线时，OD有最大值为3+3，故答案为：3+3．10．如图，在平面直角坐标系中，B（0，4），A（3，0），⊙A的半径为2，P为⊙A上任意一点，C是BP的中点，则OC的最大值是3.5．解：如图，连接AB，取AB的中点H，连接CH，OH．∵BC＝CP，BH＝AH，∴CH＝PA＝1，∴点C的运动轨迹是以H为圆心半径为1的圆，∵B（0，4），A（3，0），∴H（1.5，2），∴OH＝＝2.5，∴OC的最大值＝OH+CH＝2.5+1＝3.5，故答案为：3.5．11．如图，点C是半圆上一动点，以BC为边作正方形BCDE（使在正方形内），连OE，若AB＝4cm，则OE的最大值为（2+2）cm．解：如图，连接OD，OE，OC，CE，设DO与⊙O交于点M，连接CM，BM，∵四边形BCDE是正方形，∴∠BCD＝∠CBE＝90°，CD＝BC＝BE＝DE，∵OB＝OC，∴∠OCB＝∠OBC，∴∠BCD+∠OCB＝∠CBE+∠OBC，即∠OCD＝∠OBE，∴△OCD≌△OBE（SAS），∴OE＝OD，过点O作OM⊥AB，交⊙O于点M，连接CM，BM，则∠BCM＝∠BOM＝45°，∵四边形BCDE是正方形，∴∠BCE＝45°，∴C、M、E三点共线，即点M在正方形BCDE的对角线CE上，∴DM＝BM为定值，∴点D在以M为圆心BM为半径的圆上，当OD过圆心M时最长，即OE最长，∵∠MCB＝∠MOB＝×90°＝45°，∴∠DCM＝∠BCM＝45°，∵四边形BCDE是正方形，∴C、M、E共线，∠DEM＝∠BEM，在△EMD和△EMB中，，∴△EMD≌△EMB（SAS），∴DM＝BM＝＝＝2（cm），∴OD的最大值＝（2+2）cm，即OE的最大值＝（2+2）cm；故答案为：（2+2）．12．如图，点O为坐标原点，⊙O的半径为1，点A（2，0），动点B在⊙O上，连接AB，作等边△ABC（A，B，C为顺时针顺序），求OC的最大值与最小值．解：如图，以OA为边，在OA的下方作等边△OAD，连接BD，OC，BO，∵△ABC和△OAD都是等边三角形，∴AC＝AB，AO＝AD，∠BAC＝∠OAD，∴∠OAC＝∠BAD，∴△OAC≌△DAB（SAS），∴OC＝BD，∵OB＝1，OA＝OD＝2，∴2﹣1≤BD≤2+1，∴1≤BD≤3，∴1≤OC≤3，∴OC的最小值为1，最大值为3．13．如图，点O在线段AB上，OA＝1，OB＝2，以点O为圆心、OA长为半径的圆为⊙O，在⊙O上取动点P，以PB为边作△PBC，使∠PBC＝90°，tan∠PCB＝，P、B、C三点为逆时针顺序，连接AC，求AC的取值范围．解：如图，作BM⊥AB，使得BM＝2OB＝4，连接OP，AM，CM．在Rt△ABM中，∵AB＝OA+OB＝1＝2＝3，BM＝4，∴AM＝＝＝5，∵tan∠PCB＝＝，＝，∴＝，∵∠OBM＝∠PBC＝90°，∴∠OBP＝∠MBC，∴△OBP∽△MBC，∴＝＝，∵OP＝1，∴CM＝2，∵AM﹣CM≤AC≤AM+CM，∴3≤AC≤7．14．已知：如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，OD⊥AC于点D，过点C作⊙O的切线，交OD的延长线于点E，连接AE．（1）求证：AE与⊙O相切；（2）连接BD，若ED：DO＝3：1，OA＝9，求AE的长；（3）若AB＝10，AC＝8，点F是⊙O任意一点，点M是弦AF的中点，当点F在⊙O上运动一周，则点M运动的路径长为．（1）证明：如图1中，连接OC．∵OD⊥AC，∴AD＝DC，∴EA＝EC，在△OEC和△OEA中，OE=OEOC=OA∴△OEC≌△OEA，∴∠OAE＝∠OCE，∵EC是⊙O切线，∴EC⊥OC，∴∠OCE＝90°，∴∠OAE＝∠OCE＝90°，∴OA⊥AE，∴AE是⊙O的切线．（2）如图1中，设OD＝a，则DE＝3a，∵∠AOD＝∠AOE，∠ODA＝∠OAE，∴△OAD∽△OEA，∴OAOE∴4a2＝81，∵a＞0，∴a=9∴OE＝18，在Rt△AOE中，AE=OE2（3）如图2中，连接OM，取OA的中点O′，连接O′M．∵AM＝MF，∴OM⊥AF，∵AO′＝OO′，OA＝OB＝5，∴O′M=12OA＝定长∴当点F在⊙O上运动一周，则点M运动的路径是以O′为圆心52∴点M运动的路径长为2π•52=5故答案为5π．

15．若AC＝4，以点C为圆心，2为半径作圆，点P为该圆上的动点，连接AP．（1）如图1，取点B，使△ABC为等腰直角三角形，∠BAC＝90°，将点P绕点A顺时针旋转90°得到AP′．①点P'的轨迹是（填“线段”或者“圆”）；②CP′的最小值是；（2）如图2，以AP为边作等边△APQ（点A、P、Q按照顺时针方向排列），在点P运动过程中，求CQ的最大值．（3）如图3，将点A绕点P逆时针旋转90°，得到点M，连接PM，则CM的最小值为．解：（1）①连接CP、BP'，如图1所示：∵△ABC是等腰直角三角形，∠BAC＝90°，∴AC＝AB，由旋转的性质得：AP＝AP'，∠PAP'＝90°，∴∠PAC＝∠P'AB，在△ABP'和△ACP中，AP′=AP∠P′AB=∠PAC∴△ABP'≌△ACP（SAS），∴BP'＝CP＝2，即点P'到点B的距离等于定长，∴点P'的轨迹是以B为圆心，2为半径的圆；故答案为：圆；②∵△ABC是等腰直角三角形，AC＝4，∴BC=2AC＝42当点P'在线段BC上时，CP'最小