第二章二次函数单元综合检测(能力拓展卷)-2021-2022学年九年级数学下册同步分层练习(基础巩固＋能力拓展北师大版)(原卷版+解析)

第二章二次函数单元综合检测学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________能力拓展卷一、单选题1．（2021—2022山东日照市九年级月考）点，，均在二次函数的图象上，则，，的大小关系是（）A． B． C． D．2．（2021—2022湖北武汉市九年级月考）抛物线y＝x2－（4a＋1）x＋3a2＋3a（a为常数）与x轴交于A、B两点，若AB＝2，则a的值是（）A． B．－ C．－或 D．－或3．（2021—2022广东肇庆市九年级月考）已知二次函数的图象如图所示，给出以下结论：①；②；③；④；⑤．其中结论正确的个数有A．1 B．2 C．3 D．4第3题图第4题图4．（2021·山东青岛中考真题）已知反比例函数的图象如图所示，则一次函数和二次函数在同一直角坐标系中的图象可能是（）A． B．C． D．5．（2021·江苏南通中考真题）如图，四边形中，，垂足分别为E，F，且，．动点P，Q均以的速度同时从点A出发，其中点P沿折线运动到点B停止，点Q沿运动到点B停止，设运动时间为，的面积为，则y与t对应关系的图象大致是（）A． B．C． D．6．（2021—2022陕西西安九年级模拟预测）已知二次函数的图象只经过三个象限，则m的取值范围是（）A． B． C． D．7．（2021—2022浙江温州市实验中学九年级月考）如图，抛物线（a＞0）与x轴交于A，B，顶点为点D，把抛物线在x轴下方部分关于点B作中心对称，顶点对应D′，点A对应点C，连接DD′，CD′，DC，当△CDD′是直角三角形时，a的值为（）A．或 B．或 C．或 D．或第7题图第8题图第10题图8．（2021—2022·江苏苏州市九年级月考）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝x2﹣2x＋c的图象与x轴交于A、C两点，与y轴交于点B（0，﹣3），若P是x轴上一动点，点D（0，1）在y轴上，连接PD，则PD＋PC的最小值是（）A．4 B．2＋2 C．2 D．9．（2021·河北邢台中考二模）对于题目：“线段与抛物线有唯一公共点，确定的取值范围”、甲的结果是，乙的结果是，则（）A．甲的结果正确 B．乙的结果正确C．甲、乙的结果合在一起才正确 D．甲、乙的结果合在一起也不正确10．（2021·广东深圳市中考一模）已知抛物线在坐标系中的位置如图所示，它与，轴的交点分别为，，是其对称轴上的动点，根据图中提供的信息，以下结论中不正确的是（）A． B．C．周长的最小值是 D．是的一个根11．（2021·山东菏泽一模）如图，在平画直角坐标系中，抛物线经过点A(－2，0)和B(4，0)，点C为抛物线的顶点，则下列结论：①abc＞0；②关于x的不等式ax2＋bx＋c＜0的解集为－2＜x＜4；③3a＋c＜0；④若是直角三角形，则点C的坐标为(1，－3)；⑤若m为任意实数，则其中结论正确的个数是（）A．2 B．3 C．4 D．5二、填空题12．（2021—2022·北京市九年级月考）在平面直角坐标系xOy中，开口向下的抛物线y＝ax2+bx+c的一部分图象如图所示，它与x轴交于A(1，0)，与y轴交于点B(0，3)，可以判断该抛物线的开口方向为___，a的取值范围是___．第12题图第16题图13．（2021—2022江苏通州九年级月考）已知二次函数，当时，y随x的增大而增大，则m的取值范围是______．15．（2021—2022江苏苏州市校九年级月考）抛物线经过点、两点，点C为抛物线与y轴的交点，点D是直线AC上方的抛物线上一点，则面积的最大值是_________．16．（2021—2022·浙江温州市实验中学九年级月考）小刚家装有一种可调节淋浴喷头高度的淋浴器，完全开启后，水流近似呈抛物线状，升降器AB和淋浴喷头BC所成∠ABC＝135°，其中AB＝10cm，BC＝cm．刚开始时，OA＝140cm，水流所在的抛物线恰好经过点A，抛物线落地点D和点O相距70cm．为了方便淋浴，淋浴器仍需完全处于开启的状态，且要求落地点和点O的距离增加10cm，则小刚应把升降器AB向上平移____________cm．17．（2021—2022湖北武汉市九年级月考）如图，二次函数的图像与轴交于两点，，其中，下列四个结论①；②；③；④，正确的序号是__________．第17题图第18题图18．（2021—2022浙江宁波市九年级开学考试）如图，抛物线与x轴交于、两点，与y轴交于点，设抛物线的顶点为D．坐标轴上有一动点P，使得以P、A、C为顶点的三角形与相似．则点P的坐标______．19．（2021·湖北青山中考三模）抛物线y＝ax2＋bx＋c（a，b，c是常数，a＞0）经过点A（1，－1），B（－5，－1）两点．下列四个结论：①ab＞0；②一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的一个根在1和2之间；③当c＝－11时，方程ax2＋（b＋1）x＋c＝－6的解是x1＝－5，x2＝0.5；④对于任意的实数m，总有am2＋bm≥－b．其中正确的结论是_________（填写序号）．三、解答题20．（2021—2022天津市九年级月考）如图，抛物线经过点，，．（1）求抛物线的解析式；（2）若点为抛物线对称轴上一点，求周长取得最小值时点的坐标；（3）设抛物线的顶点为，轴于点，在轴上是否存在点使得是直角三角形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．21．（2021—2022四川南充市九年级月考）如图，直线交轴于A点，交轴于B点，过A、B两点的抛物线的顶点坐标(1，4)．（1）求的值和抛物线的解析式；（2）在抛物线的对称轴上求一点P，使得PAB的周长最小，并求出最小值；（3）在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使ABQ是等腰三角形？若存在，求出符合条件的Q点坐标；若不存在，请说明理由．22．（2021—2022辽宁盖州市第四中学九年级月考）如图，对称轴x＝1的抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A（﹣2，0），B两点，与y轴交于点C（0，2），（1）求抛物线和直线BC的函数表达式；（2）若点Q是直线BC上方的抛物线上的动点，求△BQC的面积的最大值；（3）点P为抛物线上的一个动点，过点P作过点P作PD⊥x轴于点D，交直线BC于点E．若点P在第四象限内，当OD＝4PE时，△PBE的面积；（4）在（3）的条件下，若点M为直线BC上一点，点N为平面直角坐标系内一点，是否存在这样的点M和点N，使得以点B，D，M，N为顶点的四边形是菱形？若存在，直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．23．（2021—2022湖北大悟县实验中学九年级月考）如图1，抛物线与x轴交于A（2，0），B（4，0），D为抛物线的顶点．（1）求抛物线的解析式；（2）如图2，若H为射线DA与y轴的交点，N为射线AB上一点，设N点的横坐标为t，△DHN的面积为S，求S与t的函数关系式；（3）如图3，在（2）的条件下，若N与B重合，G为线段DH上一点，过G作y轴的平行线交抛物线于F，连接AF，若∠AGN＝∠FAG，求GF的长．24．（2021—2022·重庆市育才中学九年级月考）如图，抛物线y=ax2+bx+3交x轴于点A(−1，0)和点B(3，0)，与y轴交于点C，连BC，交对称轴于点D．（1）求抛物线的解析式；（2）点是直线上方的抛物线上的一点，连接，，求的面积的最大值以及此时点的坐标；（3）将抛物线向右平移个单位得到新抛物线，新抛物线与原抛物线交于点，点是新抛物线的对称轴上的一点，点是坐标平面内一点．当以、、、四点为顶点的四边形是菱形时，直接写出点的坐标，并写出求解其中一个点的坐标的过程．25．（2021·重庆一中九年级期中）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx﹣4与x轴交于点A（﹣2，0）、B（4，0），与y轴交于点C．E为抛物线上一点，直线AE交y轴于点D，且OD＝OA．（1）求抛物线的解析式；（2）点P是第四象限内的抛物线上一点，过点P作PQ∥y轴交直线AE于点Q，交x轴于点F，过点P作PG⊥AE于点G，交x轴于点H，求PQ﹣GQ的最大值，并求出此时点P的坐标；（3）如图2，点K为线段OD的中点，作射线AK，将该抛物线沿射线AK方向平移个单位长度，得到新抛物线y1＝a1x2+b1x+c1（a1≠0），新抛物线与原抛物线交于点I．点N是平面内一点，点M是新抛物线上一点，若以点I、E、M、N为顶点的四边形是以IE为边的矩形，请直接写出点N的坐标．第二章二次函数单元综合检测学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________能力拓展卷一、单选题1．（2021—2022山东日照市九年级月考）点，，均在二次函数的图象上，则，，的大小关系是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据函数解析式的特点，其对称轴为x=1，图象开口向上，在对称轴的右侧，y随x的增大而增大，据二次函数图象的对称性可知，P1（-1，y1）与（3，y1）关于对称轴对称，可判断y3＞y1=y2．【详解】解：∵y=x2-2x+1=（x-1）2，∴抛物线开口向上，对称轴为x=1，∴在对称轴的右侧，y随x的增大而增大，根据二次函数图象的对称性可知，P1（-1，y1）与（3，y1）关于对称轴对称，∴1＜3＜5，故y3＞y1=y2，故选：A．【点睛】本题主要考查对二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质等知识点的理解和掌握，能熟练地运用二次函数的性质进行推理是解此题的关键．2．（2021—2022湖北武汉市九年级月考）抛物线y＝x2－（4a＋1）x＋3a2＋3a（a为常数）与x轴交于A、B两点，若AB＝2，则a的值是（）A． B．－ C．－或 D．－或【答案】D【分析】根据题意，设，则，根据一元二次方程根与系数的关系求解即可【详解】则，AB＝2，即则解得－或．故选D．【点睛】本题考查了二次函数与坐标轴交点的距离，一元二次方程根与系数的关系，掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．3．（2021—2022广东肇庆市九年级月考）已知二次函数的图象如图所示，给出以下结论：①；②；③；④；⑤．其中结论正确的个数有A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】观察抛物线与x轴的交点情况即可对①作出判断；根据抛物线的开口方向、对称轴的位置及抛物线与y轴的交点位置即可对②作出判断；根据抛物线的对称轴为直线x=1，即可对③作出判断；观察图象当x=-2时，y>0，从而可对④作出判断；观察图象当x=3时，y<0，从而可对⑤作出判断．【详解】抛物线与轴有两个交点，，即，故①正确；抛物线开口向上，，对称轴在轴的右侧，，抛物线与轴交于负半轴，，，故②正确；，，故③错误；时，，，即，故④错误；根据抛物线的对称性可知，当时，，，故⑤正确，故选：C．【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，涉及数形结合；对于此类问题，一般是看抛物线的开口方向可确定a的符号、看对称轴的位置可确定b的符号、看抛物线与y轴的交点位置确定c的符号，看抛物线与x轴交点的个数确定判别式的符号，根据函数图象可确定的符号．关键是熟练掌握二次函数的图象与性质．4．（2021·山东青岛中考真题）已知反比例函数的图象如图所示，则一次函数和二次函数在同一直角坐标系中的图象可能是（）A． B．C． D．【答案】D【分析】根据反比例函数的图象得出b＜0，逐一分析四个选项，根据二次函数图象的开口以及对称轴与y轴的关系，抛物线与y轴的交点，即可得出a、b、c的正负，由此即可得出一次函数图象经过的象限，再与函数图象进行对比即可得出结论．【详解】解：∵反比例函数的图象在二、四象限，∴b＜0，A、∵二次函数图象开口向上，对称轴在y轴右侧，交y轴的负半轴，∴a＞0，b＜0，c＜0，∴一次函数图象应该过第一、二、四象限，A错误；B、∵二次函数图象开口向下，对称轴在y轴右侧，∴a＜0，b＞0，∴与b＜0矛盾，B错误；C、∵二次函数图象开口向下，对称轴在y轴右侧，∴a＜0，b＞0，∴与b＜0矛盾，C错误；D、∵二次函数图象开口向上，对称轴在y轴右侧，交y轴的负半轴，∴a＜0，b＜0，c＜0，∴一次函数图象应该过第一、二、四象限，D正确．故选：D．【点睛】本题主要考查了一次函数、反比例函数、二次函数的图象与性质，根据函数图象与系数的关系进行判断是解题的关键，同时考查了数形结合的思想．5．（2021·江苏南通中考真题）如图，四边形中，，垂足分别为E，F，且，．动点P，Q均以的速度同时从点A出发，其中点P沿折线运动到点B停止，点Q沿运动到点B停止，设运动时间为，的面积为，则y与t对应关系的图象大致是（）A． B．C． D．【答案】D【分析】分四段考虑，①点P在AD上运动，②点P在DC上运动，且点Q还未到端点B，③点P在DC上运动，且点Q到达端点B，④点P在BC上运动，分别求出y与t的函数表达式，继而可得出函数图象．【详解】解：在Rt△ADE中AD=(cm)，在Rt△CFB中，BC=(cm)，AB=AE+EF+FB=15(cm)，①点P在AD上运动，AP=t，AQ=t，即0，如图，过点P作PG⊥AB于点G，，则PG=(0)，此时y=AQPG=(0)，图象是一段经过原点且开口向上的抛物线；②点P在DC上运动，且点Q还未到端点B，即13，此时y=AQDE=(13)，图象是一段线段；③点P在DC上运动，且点Q到达端点B，即15，此时y=ABDE=(15)，图象是一段平行于x轴的水平线段；④点P在BC上运动，PB=31-t，即18，如图，过点P作PH⊥AB于点H，，则PH=，此时y=ABPH=(18)，图象是一段线段；综上，只有D选项符合题意，故选：D．【点睛】本题考查了动点问题的函数图象，解答本题的关键是分段讨论y与t的函数关系式，6．（2021—2022陕西西安九年级模拟预测）已知二次函数的图象只经过三个象限，则m的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】由于二次函数的图象开口向上，对称轴为x＝﹣1，要使二次函数的图象只过三个象限，则函数只能不过第四象限，顶点在第三象限，据此列出不等式组解答即可．【详解】解：二次函数的图象开口方向向上，其对称轴为，抛物线只经过三个象限，则函数只能不过第四象限，顶点在第三象限，则，解得．故选：D．如图：【点睛】本题考查了二次函数的性质，要结合不等式组，求出m的取值范围，熟悉二次函数的图象是解题的关键．7．（2021—2022浙江温州市实验中学九年级月考）如图，抛物线（a＞0）与x轴交于A，B，顶点为点D，把抛物线在x轴下方部分关于点B作中心对称，顶点对应D′，点A对应点C，连接DD′，CD′，DC，当△CDD′是直角三角形时，a的值为（）A．或 B．或 C．或 D．或【答案】A【分析】先求出点A（-3，0），点B（1，0），由点B为中心对称，求出点C（5，0），把抛物线配方为顶点式可得D（－1，－4a），点D与点D′关于点B对称，D′（3，4a），DD′，CD=，CD′=，由△CDD′是直角三角形，分两种情况，当∠CD′D=90°，∠DCD′=90°时利用勾股定理列出方程，解方程即可．【详解】解：∵抛物线（a＞0）与x轴交于A，B，∴∵a＞0解得∴点A（-3，0），点B（1，0），∵点B为中心对称，∴点C的横坐标为：1+（1+3）=5，∴点C（5，0），∴抛物线，∴D（－1，－4a），点D与点D′关于点B对称，点D′的横坐标为1+（1+1）=3，纵坐标为4a，∴D′（3，4a），DD′=，CD=，CD′=，∵△CDD′是直角三角形，当∠CD′D=90°，根据勾股定理，CD′2＋DD′2＝CD2，即，解得，∵a＞0，∴；当∠DCD′=90°，根据勾股定理，CD′2＋CD2＝DD′2，即，解得，∴，∴综合得a的值为或．故答案选：A．【点睛】本题考查待定系数法求抛物线解析式，分类思想的应用，勾股定理，中心对称性质，掌握待定系数法求抛物线解析式，分类思想的应用，勾股定理，中心对称性质是解题关键．8．（2021—2022·江苏苏州市九年级月考）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝x2﹣2x＋c的图象与x轴交于A、C两点，与y轴交于点B（0，﹣3），若P是x轴上一动点，点D（0，1）在y轴上，连接PD，则PD＋PC的最小值是（）A．4 B．2＋2 C．2 D．【答案】A【分析】过点P作PJ⊥BC于J，过点D作DH⊥BC于H．根据，求出的最小值即可解决问题．【详解】解：过点P作PJ⊥BC于J，过点D作DH⊥BC于H．∵二次函数y＝x2﹣2x+c的图象与y轴交于点B（0，﹣3），∴c＝﹣3，∴二次函数的解析式为y＝x2﹣2x﹣3，令y＝0，x2﹣2x﹣3＝0，解得x＝﹣1或3，∴A（﹣1，0），B（3，0），∴OB＝OC＝3，∵∠BOC＝90°，∴∠OBC＝∠OCB＝45°，∵D（0，1），∴OD＝1，BD＝4，∵DH⊥BC，∴∠DHB＝90°，设，则,∵，∴，∴，∴，∵PJ⊥CB，∴，∴，∴，∵，∴，∴DP+PJ的最小值为，∴的最小值为4．故选：A．【点睛】本题考查了二次函数的相关性质，以及等腰直角三角形的判定和性质，垂线段最短等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题．9．（2021·河北邢台中考二模）对于题目：“线段与抛物线有唯一公共点，确定的取值范围”、甲的结果是，乙的结果是，则（）A．甲的结果正确 B．乙的结果正确C．甲、乙的结果合在一起才正确 D．甲、乙的结果合在一起也不正确【答案】D【分析】根据抛物线和线段的位置关系，找到临界点，确定的值，即可求解．【详解】解：∵线段与抛物线有唯一公共点，∴只有一个实数解，即：在范围内只有一个实数解，∴函数在范围与轴只有一个交点，∴且端点与端点内，不存在同时为0的情况，∴∴∴或或且，经验证，且，∴或或，∴甲、乙的结果合在一起也不正确，故选：D．【点睛】本题考查的是二次函数性质和图象，根据抛物线和线段的位置关系，找到临界点是解题的关键．10．（2021·广东深圳市中考一模）已知抛物线在坐标系中的位置如图所示，它与，轴的交点分别为，，是其对称轴上的动点，根据图中提供的信息，以下结论中不正确的是（）A． B．C．周长的最小值是 D．是的一个根【答案】C【分析】根据对称轴方程求得a、b的数量关系即可判断A；根据抛物线的对称性知抛物线与x轴的另一个交点的横坐标是3，则x=3时，y=0，得到3a+3=0，即2a+3=-a>0即可判断B、D；利用两点间直线最短来求△PAB周长的最小值即可判断C．【详解】解：A、根据图象知，对称轴是直线x=-=1，则b=-2a，即2a+b=0，故A正确；B、根据图象知，点A的坐标为(-1,0)，对称轴是x=1，则根据抛物线关于对称轴对称的性质知，抛物线与x轴的另一个交点的坐标是(3,0)，∴x=3时，y=9a+3b+3=0，∴9a-6a+3=0,∴3a+3=0，∵抛物线开口向下，则a<0，∴0＞a>-，故B正确；C、点A关于x=1对称的点是A´(3,0)，即抛物线与x轴的另一个交点，连接BA´与直线x=1的交点即为点P，则△PAB的周长的最小值是(BA´+AB)的长度，∵A(-1,0)，B(0,3)，A´(3,0)，∴AB=，BA´=，即△PAB周长的最小值为+，故C错误；D、根据图象知，点A的坐标为(-1,0)，对称轴是x=1，则根据抛物线关于对称轴对称的性质知，抛物线与x轴的另一个交点的坐标为(3,0)，所以是的一个根，故D正确．故选C．【点睛】本题考查了二次函数综合题，涉及到二次函数图象与系数的关系，二次函数图象的性质及两点之间线段最短．解答该题时，充分利用了抛物线的对称性．11．（2021·山东菏泽一模）如图，在平画直角坐标系中，抛物线经过点A(－2，0)和B(4，0)，点C为抛物线的顶点，则下列结论：①abc＞0；②关于x的不等式ax2＋bx＋c＜0的解集为－2＜x＜4；③3a＋c＜0；④若是直角三角形，则点C的坐标为(1，－3)；⑤若m为任意实数，则其中结论正确的个数是（）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】C【分析】根据抛物线过点A、B，可得抛物线的解析式为，由抛物线的开口方向知，a>0，所以b=-2a<0，c=-8a<0，因此可分别对①③作出判断；观察图象，即可对②作出判断；，所以点C到x轴的距离为9a，因AB=6，若是直角三角形，根据抛物线的对称性，即可满足条件，此时点C的坐标为(1,-3)，因而可判断④正确；由可得：，由此可对⑤作出判断．【详解】由图象知，抛物线的开口向上，故a>0由题意得：∴b=-2a<0，c=-8a<0∴abc>0，3a+c=3a-8a=-5a<0即①③正确观察图象知，当－2＜x＜4时，函数的图象位于x轴下方，即ax2＋bx＋c＜0，故②正确若是直角三角形，根据抛物线的对称性，则此三角形必是等腰直角三角形，由AB=6，则点C到x轴的距离为3∵∴9a=3即抛物线的顶点C的坐标为(1,-3)故④正确由可得：而当x=1时，函数的函数值为a+b+c，且也是函数的最小值∵对任意实数m，函数的函数值不小于其最小值即

则am2+bm≥a+b故⑤错误所以正确结论的个数有4个故选：C．【点睛】本题综合考查了二次函数的图象与性质，涉及函数表达式的三种形式，抛物线的对称性，最值，函数与不等式的关系等知识，还涉及数形结合的思想，是一道全面考查二次函数图象与性质的好题，因此全面掌握二次函数的图象与性质是解答本题的关键．二、填空题12．（2021—2022·北京市九年级月考）在平面直角坐标系xOy中，开口向下的抛物线y＝ax2+bx+c的一部分图象如图所示，它与x轴交于A(1，0)，与y轴交于点B(0，3)，可以判断该抛物线的开口方向为___，a的取值范围是___．【答案】向下﹣3＜a＜0【分析】根据图象得出抛物线开口向下，对称轴在y轴的左侧，由此可得a＜0，b＜0，由抛物线与x轴交于A（1，0），与y轴交于点B（0，3）得出a+b＝﹣3，得出﹣3＜a＜0即可．【详解】解：由图象可知：抛物线开口向下，对称轴在y轴的左侧，∴a＜0，＜0，∴b＜0，∵抛物线与x轴交于A（1，0），与y轴交于点B（0，3），∴，∴a+b＝﹣3，∴b＝﹣3﹣a，∵b＜0，∴﹣3﹣a＜0，解得：a＞﹣3，又∵a＜0，∴﹣3＜a＜0，故答案为：向下；﹣3＜a＜0．【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点、二次函数图象与系数的关系，难度一般，关键是正确获取图象信息进行解题．13．（2021—2022江苏通州九年级月考）已知二次函数，当时，y随x的增大而增大，则m的取值范围是______．【答案】【分析】根据二次函数的性质，利用二次函数的对称轴不大于2列式计算即可得解．【详解】解：，抛物线的对称轴为直线，当时，随的增大而增大，当时，的值随值的增大而增大，，解得：，故答案为：．【点睛】本题考查了二次函数的性质，主要利用了二次函数的增减性，熟记性质并列出不等式是解题的关键．14．（2021·天津外国语大学附属外国语学校九年级月考）当时，二次函数有最大值，则的值为______．【答案】或【分析】先求得其对称轴为，再分、和根据二次函数的单调性分别求得其最大值，由最大值为2，可求得的值．【详解】解：，其对称为，开口向下，当即时，在上随的增大而减小，当时有最大值，最大值，解得，符合题意；当即时，的最大值，（不合题意，舍去），或（舍去）；当即时，在上随的增大而增大，当时，有最大值，，综上可知的值为或．故答案是：或．【点睛】本题主要考查二次函数的单调性和最值，掌握二次函数的单调性是解题的关键，注意分类讨论思想的应用．15．（2021—2022江苏苏州市校九年级月考）抛物线经过点、两点，点C为抛物线与y轴的交点，点D是直线AC上方的抛物线上一点，则面积的最大值是_________．【答案】4【分析】把A与B坐标代入求出抛物线解析式，再过D作DE与y轴平行，因为，从而表示出S与t的二次函数解析式，利用二次函数性质求出S的最大值即可．【详解】解：∵抛物线过，，∴将、代入解析式得，，解得：，∴抛物线解析式为，∴，∴直线AC的解析式为，过点D作y轴的平行线交AC于点E，连接、，设D点的横坐标为t，则D点的纵坐标为，∴E点的坐标为，∴，∴,∴当时，面积最大值为4，故答案为：4．【点睛】本题考查了二次函数的应用，解题的关键是熟练利用铅垂法求三角形的面积．16．（2021—2022·浙江温州市实验中学九年级月考）小刚家装有一种可调节淋浴喷头高度的淋浴器，完全开启后，水流近似呈抛物线状，升降器AB和淋浴喷头BC所成∠ABC＝135°，其中AB＝10cm，BC＝cm．刚开始时，OA＝140cm，水流所在的抛物线恰好经过点A，抛物线落地点D和点O相距70cm．为了方便淋浴，淋浴器仍需完全处于开启的状态，且要求落地点和点O的距离增加10cm，则小刚应把升降器AB向上平移____________cm．【答案】60【分析】过点C作延长线于点E，先求出BE的长，再以点O为原点，OA为y轴正方向，OD为x轴正方向，以1cm为一个单位，建立直角坐标系，得出A、C、D的坐标，用待定系数法求出抛物线解析式，再把抛物线向上平移k个单位，再把坐标代入解析式求出k的值即可．【详解】解：过点C作延长线于点E，cm以点O为原点，OA为y轴正方向，OD为x轴正方向，以1cm为一个单位，建立直角坐标系，则设此时抛物线解析式为：代入点得，，整理得，解得设小刚应把升降器向上平移kcm，即将抛物线向上平移k个单位，则抛物线解析式为：将代入解析式得，即小刚应把升降器向上平移60cm故答案为：60【点睛】本题考查二次函数的应用，关键是根据实际情况建立直角坐标系，用待定系数法求解析式．17．（2021—2022湖北武汉市九年级月考）如图，二次函数的图像与轴交于两点，，其中，下列四个结论①；②；③；④，正确的序号是__________．【答案】①④【分析】根据抛物线开口向上,抛物线对称轴,抛物线与y轴的交点可判断①正确；根据图象与x轴交于两点（x1，0），（2，0）和对称轴的位置可判断②错误；当x时，y的值为ab+c，结合对称轴可判断③错误；根据对称轴；可得2a+b＜0，变形可判断④正确；【详解】解：①∵抛物线开口向上，∴a＞0，∵抛物线对称轴在y轴的右侧，∴b＜0，∵抛物线与y轴的交点在x轴上方，∴c＞0，∴abc＜0，所以①正确；②∵图象与x轴交于两点（x1，0），（2，0），其中0＜x1＜1，∴，∴1，当时，b＞﹣3a，∵当x＝2时，y＝4a+2b+c＝0，∴b＝﹣2ac，∴﹣2ac＞﹣3a，∴2a﹣c＞0，故②错误；③当x时，y的值为ab+c，给ab+c乘以4，即可化为a+2b+4c，∵抛物线的对称轴在1，∴x关于对称轴对称点的横坐标在和之间，由图象可知在和2之间y为负值，2和之间y为正值，∴a+2b+4c与0的关系不能确定，故③错误；④∵，∴2a+b＜0，∴（2a+b）2＞0，4a2+b2+4ab＞0，4a2+b2＞﹣4ab，∵a＞0，b＜0，∴ab＜0，∴，即，故④正确．故答案：①④．【点睛】本题考查了二次函数图象与系数关系，熟练掌握二次函数图象的性质是解题的关键．18．（2021—2022浙江宁波市九年级开学考试）如图，抛物线与x轴交于、两点，与y轴交于点，设抛物线的顶点为D．坐标轴上有一动点P，使得以P、A、C为顶点的三角形与相似．则点P的坐标______．

【答案】或或【分析】利用勾股定理求得的三边的长，然后根据勾股定理的逆定理即可作出判断，再分在轴和轴两种情况讨论，舍出的坐标，根据相似三角形的对应边的比相等即可求解．【详解】解：过点作轴于点．

在中，，，，在中，，，，，，为直角三角形．①利用的三边，，又，故当是原点时，；②当是直角边时，若与是对应边，设的坐标是，则，，即，解得：，则的坐标是，三角形不是直角三角形，则不成立；③当是直角边，若与是对应边时，设的坐标是，则，则，即，解得：，故是时，则一定成立；④当在轴上时，是直角边，一定在的左侧，设的坐标是．则，当与是对应边时，，即，解得：，此时，两个三角形不相似；⑤当在轴上时，是直角边，一定在的左侧，设的坐标是．则，当与是对应边时，，即，解得：，符合条件．总之，符合条件的点的坐标为：或或．故答案为：或或．【点睛】此题主要考查了抛物线与轴的交点以及勾股定理以及相似三角形的判定与性质等知识，利用分类讨论得出是解题关键．19．（2021·湖北青山中考三模）抛物线y＝ax2＋bx＋c（a，b，c是常数，a＞0）经过点A（1，－1），B（－5，－1）两点．下列四个结论：①ab＞0；②一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的一个根在1和2之间；③当c＝－11时，方程ax2＋（b＋1）x＋c＝－6的解是x1＝－5，x2＝0.5；④对于任意的实数m，总有am2＋bm≥－b．其中正确的结论是_________（填写序号）．【答案】①③④【分析】把A、B两点的坐标分别代入函数解析式中，可得b=4a，c=-1-5a，根据a>0，则可判断①；当时，可得方程ax2＋bx＋c=0的一个正根大于2，故可判断②错误；当c＝－11时，解方程，得方程的解，从而可判断③；由am2＋bm≥－b，可得am2＋bm+c≥－b+c，而-b+c=-1-9a正好是函数的最小值，从而可对④作出判断．【详解】把A、B两点的坐标分别代入函数解析式中，得：解得：∴y＝ax2＋4ax-1-5a∴ab=4a2>0即①正确当时，方程ax2＋bx＋c=0即为其正根为：∵∴当时，方程ax2＋bx＋c=0的一个根不在1和2之间故②错误当c＝－11时，则由c=-1-5a，得a=2，从而b=4，原方程可化为：，解得x1＝－5，x2＝0.5故③正确∵且a>0∴当x=-2时，函数有最小值-1-9a即对任意的实数m，都有∴∵∴故④正确故答案为：①③④【点睛】本题是二次函数的综合题，它考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的性质，一元二次方程的解法等知识，难点是②④的判断，对②也可以计算当x=2时的函数值为7a-1,则当时，函数不为正，从而当1<x≤2时，函数值不为正，表明②错误．三、解答题20．（2021—2022天津市九年级月考）如图，抛物线经过点，，．（1）求抛物线的解析式；（2）若点为抛物线对称轴上一点，求周长取得最小值时点的坐标；（3）设抛物线的顶点为，轴于点，在轴上是否存在点使得是直角三角形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）；（2）；（3）存在，，，，【分析】（1）待定系数法求抛物线解析式：已知点的坐标，利用两点式设二次函数不等式，再把剩余的点代入整理即可得出抛物线解析式；（2）这是一个最短距离问题，利用点、关于抛物线对称轴的对称性，即可得出本题答案；（3）分三种情况进行讨论，利用勾股定理代入数据计算即可．【详解】解：（1）∵抛物线经过点，∴可设抛物线的解析式为：，将代入得：解得：，则，∴抛物线的解析式为；（2）如下图，连接交对称轴于，∵，∴，∴此时最短，周长取得最小值，设直线的解析式为y=kx+b，则，解得，∴直线的解析式为∵抛物线的对称轴为，∴点的坐标为（-1，-2）；（3）在轴上存在点使得是直角三角形，理由如下：∵∴顶点的坐标为（-1，-4），∵∴,设点的坐标为（0，t），分三种情况进行讨论①当为直角顶点时，如下图由勾股定理，得即，解得，所以点的坐标为；②当为直角顶点时，如下图由勾股定理，得即，解得，所以点的坐标为；③当为直角顶点时，如下图由勾股定理，得，即，解得或，所以点的坐标为或；综上所述，点的坐标为，，，．【点睛】本题主要考查了待定系数法确定二次函数解析式，二次函数和一次函数综合，以及利用勾股定理确定直角三角形的知识熟练掌握二次函数的相关知识是解题关键．21．（2021—2022四川南充市九年级月考）如图，直线交轴于A点，交轴于B点，过A、B两点的抛物线的顶点坐标(1，4)．（1）求的值和抛物线的解析式；（2）在抛物线的对称轴上求一点P，使得PAB的周长最小，并求出最小值；（3）在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使ABQ是等腰三角形？若存在，求出符合条件的Q点坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）k=3，抛物线的解析式为；（2）△PAB周长的最小值为，点P坐标为（1，2）；（3）存在，点Q坐标分别为Q1（1，），Q2（1，），Q3（1，0），Q4（1，1）．【分析】（1）令x=0，可得点B坐标，根据顶点坐标可设设抛物线解析式为，把点B坐标代入可求出a值，即可得抛物线解析式，令y=0可得点A坐标，代入即可得k值；（2）如图连接BC，交对称轴于P，根据抛物线解析式可得对称轴为直线x=1，点C坐标为（3，0），根据二次函数得对称性可得PA=PC，即可得出PA+PB=BC，可得△PAB得周长的最小值为BC+AB，利用勾股定理即可得△PAB周长的最小值，根据点B、C坐标，利用待定系数法可得直线BC解析式，令x=1即可得点P坐标；（3）设点Q坐标为（1，m），分QA=AB，QB=AB，QA=QB，三种情况，根据两点间距离公式求出m的值即可得答案．【详解】（1）当x=0时，y=3，∴点B坐标为（0，3），∵过A、B两点的抛物线的顶点坐标(1，4)，∴设抛物线的解析式为，∴，解得：,∴抛物线的解析式为，即，当y=0时，，解得：，，∵点A在x轴负半轴，∴A（-1，0），C（3，0），把A（-1，0）代入得：-k+3=0，解得：k=3．（2）如图，连接BC，交对称轴于点P，∵抛物线的解析式为，∴对称轴为直线x=，∵抛物线与x轴交于点A、C，∴A、C关于对称轴对称，∴PA=PC，∴PA+PB=PB+PC=BC，∴△PAB的周长的最小值为AB+BC，∵A（-1，0），B（0，3），C（3，0），∴OA=1，OB=3，OC=3，∴AB+BC==，设直线BC的解析式为y=kx+b，∴，解得：k=-1，∴直线BC的解析式为y=-x+3，当x=1时，y=-1+3=2，∴点P坐标为（1，2）．∴△PAB周长的最小值为，点P坐标为（1，2）．（3）设点Q坐标为（1，m），∵A（-1，0），B（0，3），∴AB==，QA==，QB==，①当QA=AB时，∴=，解得：m=，∴Q1（1，），Q2（1，），②当QB=AB时，∴=，解得：m=6或m=0，∵直线AB的解析式为y=3x+3，∴x=1时，y=6，∴点（1，6）在直线AB上，与A、B不能构成三角形，∴Q3（1，0），③当QA=QB时，∴=，解得：m=1，∴Q4（1，1），综上所述：存在点Q，使ABQ是等腰三角形，点Q坐标分别为Q1（1，），Q2（1，），Q3（1，0），Q4（1，1）．【点睛】本题考查二次函数与一次函数的综合，熟练掌握待定系数法求函数解析式、二次函数得对称性并灵活运用分类讨论得思想是解题关键．22．（2021—2022辽宁盖州市第四中学九年级月考）如图，对称轴x＝1的抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A（﹣2，0），B两点，与y轴交于点C（0，2），（1）求抛物线和直线BC的函数表达式；（2）若点Q是直线BC上方的抛物线上的动点，求△BQC的面积的最大值；（3）点P为抛物线上的一个动点，过点P作过点P作PD⊥x轴于点D，交直线BC于点E．若点P在第四象限内，当OD＝4PE时，△PBE的面积；（4）在（3）的条件下，若点M为直线BC上一点，点N为平面直角坐标系内一点，是否存在这样的点M和点N，使得以点B，D，M，N为顶点的四边形是菱形？若存在，直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）抛物线表达式为；直线表达式为；（2）△BQC的面积的最大值为2（3）△PBE的面积为（4）点N的坐标为（，）或（，）或（，）或（，）．【分析】（1）首先根据二次函数的对称性求出点B的坐标，然后利用待定系数法把点的坐标代入表达式求解即可；（2）过Q点作QH垂直x轴交BC于点H，连接CQ，BQ，由二次函数表达式设点Q的坐标为（x，），表示出△BQC的面积，根据二次函数的性质即可求出△BQC的面积的最大值；（3）根据题意设出点P坐标为（m，），E点坐标为（m，），D点坐标为（m，0），表示出OD和PE的长度，根据OD＝4PE列出方程求出m的值，即可求出PE和BD的长度，然后根据三角形面积公式求解即可；（4）当BD是菱形的边和对角线时两种情况分别讨论，设出点M和点N的坐标，根据菱形的性质列出方程求解即可．【详解】解：（1）∵抛物线的对称轴为x＝1，A（﹣2，0），∴B点坐标为（4，0），∴将A（﹣2，0），B（4，0），C（0，2），代入y＝ax2+bx+c得，解得：，∴抛物线的表达式为；设直线BC的函数表达式为，∴将B（4，0），C（0，2），代入得，，解得：，∴直线BC的函数表达式为．（2）如图所示，过Q点作QH垂直x轴交BC于点H，交x轴于点M，连接CQ，BQ，设点Q的坐标为（x，），点H的坐标为（x，），∴HQ=，∴，∴当时，，∴△BQC的面积的最大值为2；（3）设点P坐标为（m，），E点坐标为（m，），D点坐标为（m，0），∴，，∵OD＝4PE，∴，整理得：，解得：(舍去)，，∴，D点坐标为（5，0），∴BD=1，∴；（4）如图所示，当BD是菱形的边时，BM是菱形的边时，∵四边形BDNM是菱形，∴BD=BM=MN，∴设M点坐标为（a，），N点坐标为（a+1，），又∵B点坐标为（4，0），D点坐标为（5，0），∴BD=1，，∵BD=BM，∴BD2=BM2，∴，整理得：，解得：，∴N点坐标为（，）或（，），当BD是菱形的边时，DM是菱形的边时，∵四边形BDMN是菱形，B点坐标为（4，0），D点坐标为（5，0），∴BD=MN=DM=1，∴设M点坐标为（b，），N点坐标为（b-1，），∴DM2=，∵BD=DM，∴BD2=DM2，∴，整理得：，解得：(舍去)，∴N点坐标为（，）；当BD是菱形的对角线时，∵四边形BMDN是菱形，B点坐标为（4，0），D点坐标为（5，0），∴M点横坐标为，将代入得：y=，∴M点的坐标为（，），又∵点M和点N关于x轴对称，∴点N的坐标为（，）．综上所述，点N的坐标为（，）或（，）或（，）或（，）．【点睛】此题考查了一次函数和二次函数表达式的求法，二次函数的性质，二次函数中三角形最大面积问题，菱形存在性问题等知识，解题的关键是根据题意设出点的坐标，表示出三角形面积，根据菱形的性质列出方程求解．23．（2021—2022湖北大悟县实验中学九年级月考）如图1，抛物线与x轴交于A（2，0），B（4，0），D为抛物线的顶点．（1）求抛物线的解析式；（2）如图2，若H为射线DA与y轴的交点，N为射线AB上一点，设N点的横坐标为t，△DHN的面积为S，求S与t的函数关系式；（3）如图3，在（2）的条件下，若N与B重合，G为线段DH上一点，过G作y轴的平行线交抛物线于F，连接AF，若∠AGN＝∠FAG，求GF的长．【答案】（1）；（2）；（3）2【分析】（1）把于A（2，0），B（4，0）代入抛物线解析式求解即可；（2）先求出D点的坐标，然后求出直线AD的解析式得到H的坐标，再根据求解即可；（3）延长FG与x轴交于M，先证明△MAF≌△MGB，得到FM=BM，设M（m，0），则F（m，），则，，则，由此求解即可．【详解】【点睛】本题主要考查了二次函数与一次函数综合，全等三角形的性质与判定，等腰直角三角形的性质与判定，平行线的性质，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.24．（2021—2022·重庆市育才中学九年级月考）如图，抛物线y=ax2+bx+3交x轴于点A(−1，0)和点B(3，0)，与y轴交于点C，连BC，交对称轴于点D．（1）求抛物线的解析式；（2）点是直线上方的抛物线上的一点，连接，，求的面积的最大值以及此时点的坐标；（3）将抛物线向右平移个单位得到新抛物线，新抛物线与原抛物线交于点，点是新抛物线的对称轴上的一点，点是坐标平面内一点．当以、、、四点为顶点的四边形是菱形时，直接写出点的坐标，并写出求解其中一个点的坐标的过程．【答案】（1）y=-x2+2x+3；（2）△PCD的面积最大值为，P（，）；（3）点F的坐标为(2，2)或(2，)或(2，)．【分析】（1）由A、B两点的坐标，利用待定系数法即可求得抛物线解析式；（2）过点P作直线PN⊥x轴于点N，交直线BC于点M，先求出直线BC的解析式，设P（x，-x2+2x+3），则M（x，-x+3），求出△PCD面积的表达式，这是一个二次函数，求出其取最大值的条件，即可求解；（3）求得新抛物线的解析式为y=-(x-2)2+4，对称轴为直线x=2，两抛物线的交点为E(，)，分DF为对角线，DG为对角线两种情况讨论，画出图形利用两点之间的距离公式求解即可．【详解】解：（1）由题意可得：，解得，∴抛物线解析式为y=-x2+2x+3；（2）过点P作直线PN⊥x轴于点N，交直线BC于点M，令x=0，则y=3，∴点C的坐标为(0，3)，抛物线y=-x2+2x+3的对称轴为直线x=-，设直线BC的解析式为：y=kx+3，则有