河南省郑州市2023届高三第三次质量预测文科数学试题

郑州市2023年高中毕业年级第三次质量预测文科数学试题卷注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．第I卷（选择题，共60分）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合，则（）A． B． C． D．2．已知复数为虚数单位），则复数在复平面内对应的点位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限3．已知实数满足则目标函数的最大值为（）A．6 B．8 C．10 D．114．在区间上随机取一个数，则事件“”，发生的概率为（）A． B． C． D．5．点到双曲线的一条渐近线的距离为，则双曲线的离心率为（）A． B． C． D．56．已知函数的最小值为2，则的值为（）A． B． C． D．7．在中，满足，且，，则（）A．3 B．4 C．5 D．68．把函数图象上所有点的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍，再把所得曲线向右平移个单位长度，得到函数的图象，则（）A． B． C． D．9．已知函数，对于下述四个结论：①函数的零点有三个；②函数关于对称；③函数的最大值为2；④函数的最小值为0．其中正确结论的个数有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个10．如图，函数在区间上的图象大致为（）A． B．C． D．11．设为椭圆的左、右焦点，点为椭圆的上顶点，点在椭圆上且满足，则椭圆的离心率为（）A． B． C． D．12．已知函数，若在定义域内恒成立，则实数的取值范围为（）A． B． C． D．第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知等差数列的前项和为，且，则______．14．已知点为坐标原点，，，点在线段上，且，则点的坐标为______．15．已知点四点共圆，则点到坐标原点的距离为______．16．在长方体中中，，，是棱的中点，过点的平面交棱于点，点为线段上一动点，则三棱锥外接球表面积的最小值为______．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或验算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：60分17．（12分）2023U．I．M．F1摩托艇世界锦标赛中国郑州大奖赛于2023年4月29日30日在郑东新区龙湖水域举办．这场世界瞩目的国际体育赛事在风光迤逦的龙湖上演绎了速度与激情，全面展示了郑州现代化国家中心城市的活力与魅力、为让更多的人了解体育运动项目和体育精神，某大学社团举办了相关项目的知识竞赛，并从中随机抽取了100名学生的成绩，绘制成如图所示的频率分布直方图．（I）求频率分布直方图中成绩的平均数和中位数（同一组数据用该组区间的中点值代替）；（Ⅱ）若先采用分层抽样的方法从成绩在的学生中共抽取6人，再从这6人中随机抽取2人为赛事志愿者，求这2名志愿者中至少有一人的成绩在的概率．18．（12分）如图，在四棱锥中，底面，，，，．（I）证明：平面平面；（Ⅱ）求点到平面的距离．19．（12分）已知数列满足：，．（I）求数列的通项公式；（Ⅱ）令，求数列的前项和．20．（12分）已知函数．（I）若，求函数的极值；（Ⅱ）若函数在区间上有且只有一个零点，求实数的范围．21．（12分）已知抛物线上一点关于动点的对称点为，过点的直线与抛物线交于两点，且为的中点．（I）当直线过坐标原点时，求直线的方程；（Ⅱ）求面积的最大值．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．在答题卷上将所选题号涂黑，如果多做，则按所做的第一题计分．22．［选修4—4：坐标系与参数方程]（10分）在直角坐标系中，曲线的方程为，曲线的参数方程为（为参数）．以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系．（I）求曲线的极坐标方程；（Ⅱ）若曲线分别交曲线（不包括极点）于两点，求的最大值．23．［选修4—5：不等式选讲]（10分）已知正实数．（I）若是正实数，求证：；（Ⅱ）求的最小值．郑州市2023年高中毕业年级第三次质量预测文科数学评分参考一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。1．C2．B3．D4．A5．C6．B7．C8．C9．B10．A11．D12．C二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．1514．15．316．三、解答题（本大题共6小题共70分）17．（1）由频率分布直方图中数据知：平均成绩设中位数为，则，解得．（2）因为成绩在的学生人数所占比例为，所以从成绩在的学生中应分别抽取4人，2人．记抽取成绩在的4人为：，抽取成绩在的2人为：．从这6人中随机抽取2人的所有可能为：，共15种，抽取的2名学生中至少有一人的成绩在的是，，只有9种，做培训的这2名学生中至少有一人的成绩在的概率为．18．（1）略（2）根据，即，中，由（1）可知，，，所以故，解得．即点到平面的距离为19．（1），由条件，当时检验知当时，结论也成立，故（2）．当为偶数时，．当为奇数时，20．（1）由题可得，函数的定义域为，若，，在上单调递减：在上单调递增．所以无极大值（2），易知，所以所求问题等价于函数在区间上没有零点，因为，所以在上单调递减，在上单调递增①当，即时，函数在区间上单调递增，所以，此时函数在区间上没有零点，满足题意．②当，即时，在区间上单调递减，在区间上单调递增，要使在上没有零点，只需，即，解得，所以③当，即时，函数在区间上单调递减，在区间上满足此时函数在区间上没有零点，满足题意．综上所述，实数的范围是或21．由为关于动点的对称点，所．设直线，联立整理得，则，．为的中点，得，故，由，解得．当直线过坐标原点时，得，．此时直线方程为．（2）由（1）可知，到直线的距离为．则面积．，由，解得．当，S单调递增；当，单调递减．故时，面积的最大值．（二）选考题：共10分，请考生在第22、23两题中任选一题作答．22．解：（1）曲线的方程可化为，又所