湖北省随州市广水市第二高级中学2024-2025学年高三上学期9月月考数学试题

湖北省广水市第二高级中学高2024--2025学年上学期九月月考高三数学试题本试卷共4页，19题，全卷满分150分，考试用时120分钟。★祝考试顺利★考试范围：高中全部高考内容注意事项：1、答题前，请将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的制定位置。2、选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。3、非选择题作答：用黑色签字笔直接答在答题卡对应的答题区域内，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。4、考试结束后，请将答题卡上交。一、选择题：本题共8小题，每题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、若“∃x∈[1,2],2x2-λx+1<0”是假命题,则实数λ的取值范围是()A.(-∞,22] B.2C.(-∞,3] D.92、已知a=log52,b=log83,c=12,则下列判断正确的是(A.c<b<a B.a<c<bC.b<a<c D.a<b<c3、若0<x1<x2<1,则()A.ex2-ex1>lnx2-lnx1B.eC.x2ex1>x14、已知函数f(x)=sin(ωx+φ)ω>0,φ<π2的部分图象如图所示,则函数f(xA.f(x)=sin2x+π6B.fC.f(x)=sinx+π6D.f(5、若Sn为数列{an}的前n项和,且Sn=nn+1,则1aA.56 B.6C.1306、在空间四边形ABCD中,E,F分别是AB和BC上的点,若AE∶EB=CF∶FB=1∶2,则AC和平面DEF的位置关系是()A.平行 B.相交C.在平面内 D.不能确定7、直线x+(a2+1)y+1=0的倾斜角的取值范围是()A.0,π4C.0,π48、为调查某地区中学生每天睡眠时间,采用样本量比例分配的分层随机抽样,现抽取初中生800人,其每天睡眠时间均值为9小时,方差为1,抽取高中生1200人,其每天睡眠时间均值为8小时,方差为0.5,则估计该地区中学生每天睡眠时间的方差为()A.0.96 B.0.75C.0.79 D.0.94二、选择题：本题共3小题，每题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。9、(多选题)若a>0>b>-a,c<d<0,则下列结论正确的是()A.ad>bc B.ad+bC.a-c>b-d D.a(d-c)>b(d-c)10、(多选题)下列结论中正确的是()A.sin1>cos1B.cos-C.tan(-52°)>tan(-47°)D.sin-11、(多选题)水平放置的三角形ABC的直观图A'B'C'中,D'是△A'B'C'中B'C'边上的一点,且D'C'<D'B',A'D'∥y'轴,那么原三角形ABC的AB,AD,AC三条线段中()A.最长的是AC B.最长的是ABC最短的是AD D..最短的是AC三、填空题：本题共3小题，每题5分，共15分12、若实数λ∈R,不等式λx+λxeλxx+1>lnx在(1,+∞)上恒成立,则λ13、如图,在△ABC中,cos∠BAC=14,点D在线段BC上,且BD=3DC,AD=152,则△ABC的面积的最大值为

14、若已知i=1n(yi-y)2是i=1n(xi-x)2的4倍,i=1n(xi-x)·(yi-y)是i=1n(xi-x)2的1.5倍,四、解答题：本题共5小题，共75分15、（本小题满分13分）已知函数f(x)=log4(ax2+2x+3)。(1)若f(1)=1,求f(x)的单调区间;(2)若f(x)的最小值为0,求a的值。16、（本小题满分13分）在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,c=2b,2sinA=3sin2∠ACB。(1)求sin∠ACB;(2)若△ABC的面积为372,求AB边上的中线17、（本小题满分13分）已知数列{an}的前n项和为Sn,且a1=1,an+1=Sn+1。(1)求数列{an}的通项公式;(2)设bn=an(Sn+2)(Sn+1+2),数列{bn}的前n项和为T18、（本小题满分16分）已知双曲线x2-y2=4,直线l:y=k(x-1),在下列条件下,求实数k的取值范围。(1)直线l与双曲线有两个公共点;(2)直线l与双曲线有且只有一个公共点;(3)直线l与双曲线没有公共点。19、（本小题满分20分）如图,半圆O的直径为2cm,A为直径延长线上的点,OA=2cm,B为半圆上任意一点,以AB为一边作等边三角形ABC。设∠AOB=α。(1)当α=π3时,求四边形OACB(2)克罗狄斯·托勒密所著的《天文集》中讲述了制作弦表的原理,其中涉及如下定理:任意凸四边形中,两条对角线的乘积小于或等于两组对边乘积之和,当且仅当对角互补时取等号,根据以上材料,则当线段OC的长取最大值时,求∠AOC。(3)当B在什么位置时,四边形OACB的面积最大,并求出面积的最大值。

参考答案1、C2、B3、C4、A5、D6、A7、B8、D9、BCD。10、AD11、BC12、1e,+∞。13、1515、解(1)因为f(1)=1,所以log4(a+5)=1,因此a+5=4,即a=-1,所以f(x)=log4(-x2+2x+3)。由-x2+2x+3>0,得-1<x<3,即函数f(x)的定义域为(-1,3)。令g(x)=-x2+2x+3,则g(x)在(-1,1]上单调递增,在[1,3)上单调递减。又y=log4x在(0,+∞)上单调递增,所以f(x)的单调递增区间是(-1,1],单调递减区间是[1,3)。(2)若f(x)的最小值为0,则h(x)=ax2+2x+3应有最小值1,因此应有a>0,3a-1a=1,解得a16、解(1)由2sinA=3sin2∠ACB,得2sinA=3×2sin∠ACBcos∠ACB,即sinA=3sin∠ACBcos∠ACB,由正弦定理和余弦定理得a=3c·a2+b2-c22ab,又c=2b,所以a=322b。所以cos∠ACB=sinA3sin∠ACB=a3c=3(2)因为△ABC的面积为12absin∠ACB=372,所以ab=62。又a=322b,c=2b解法一:cosA=b2+c2-a22bc=18,又AD=12AB=2,所以在△ACD中,CD2=AC2+AD2解法二:因为CD=12所以CD2=CD2=14(CA+CB)2=14(CA2+2CA·CB+CB2)=14[22+2×2×317、解(1)当n≥2时,an+1=Sn+1,an=Sn-1+1,两式相减,得an+1-an=an,an+1=2an,又a1=1,a2=a1+1=2,所以a2a1=2。所以数列(2)证明:Sn=1+2+22+…+2n-1=1-2n1-2=2n-1,因为bn=2n-1(2n+1)(2n+1+1)=12×(2n+1+1)-(2n+1)(18、解由x2-y2=4,y=k(x-1),消去y,得(1-k2)x2+2k2x-k2-4=0(*)。当1-k2=0,即k=±1时,直线l与双曲线渐近线平行,方程化为2x=5,故此方程(*)只有一个实数解,即直线l与双曲线相交,且只有一个公共点。当1-k2≠0,即k≠±1时,Δ=(2k2)2-4(1-k2)·(-k2-4)=4(4-3k2)。当4-3k2>0,1-k2≠0,即-233<k<233,且k≠±1时,方程(*)有两个不相等的实数解,即直线l与双曲线有两个公共点。当4-3k2=0,1-k2≠0,即k=±233时,方程(*)有两个相等的实数解,即直线l(2)当k∈k|k=±1,或k=±2(3)当k∈-∞,-23319、解(1)在△ABO中,由余弦定理得AB2=OA2+OB2-2OA·OB·cosα=1+4-2×1×2×12=3,即AB=3,于是四边形OACB的周长为OA+OB+2AB=3+23(2)因为OB·AC+OA·BC≥AB·OC,且△ABC为等边三角形,OB=1,OA=2,所以OB+OA≥OC,所以OC≤3,即OC的最大值为3,取等号时∠OBC+∠OAC=180°,所以cos∠OBC+cos∠OAC=0,不妨设AB=x,则x2+1-92x+x2+4-94x=0,解得x=7,所以cos(3)在△ABO中,由余弦定理得AB