四川省眉山市2023届高三下学期第二次诊断性数学（理）试题

眉山市高中2023届第二次诊断性考试数学（理工类）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、座位号和准考证号填写在答题卡上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知，则（）A．B．C．D．2．设全集为，集合，则（）A．B．C．D．3．某乡镇为推动乡村经济发展，优化产业结构，逐步打造高品质的农业生产，在某试验区种植了某农作物．为了解该品种农作物长势，在实验区随机选取了100株该农作物苗，经测量，其高度（单位：）均在区间内，按照分成5组，制成如图所示的频率分布直方图，记高度不低于的为“优质苗”．则所选取的农作物样本苗中，“优质苗”株数为（）A．20B．40C．60D．884．数学与音乐有着紧密的关联，我们平时听到的乐音一般来说并不是纯音，而是由多种波叠加而成的复合音．如图为某段乐音的图象，则该段乐音对应的函数解析式可以为（）A．B．C．D．5．已知，则（）A．B．C．D．6．一个四棱台的三视图如图所示，其中正视图和侧视图均为上底长为2，下底长为4，腰长为2的等腰梯形，则该四棱台的体积为（）A．B．C．D．7．已知实数a，b满足，则下列各项中一定成立的是（）A．B．C．D．8．己知四棱柱的底面是正方形，，点在底面ABCD的射影为BC中点H，则直线与平面ABCD所成角的正弦值为（）A．B．C．D．9．已知函数．给出下列结论：①是的最小值；②函数在上单调递增；③将函数的图象上的所有点向左平移个单位长度，可得到函数的图象．其中所有正确结论的序号是（）A．①②B．①③C．②③D．①②③10．已知直线与抛物线交于点A，B，以线段AB为直径的圆经过定点，则（）A．4B．6C．8D．1011．在菱形ABCD中，，将绕对角线BD所在直线旋转至BPD，使得，则三棱锥的外接球的表面积为（）A．B．C．D．12．若存在，使不等式成立，则a的取值范围是（）A．B．C．D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知，则实数________．14．已知的展开式中含项的系数为，则_________．15．已知O为坐标原点，直线与双曲线的两条渐近线从左往右顺次交于A，B两点．若，则双曲线C的离心率为_________．16．中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若，且，则周长的最大值为_________．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生依据要求作答。（一）必考题：共60分。17．（12分）某商店销售某种产品，为了解客户对该产品的评价，现随机调查了200名客户，其评价结果为“一般”或“良好”，并得到如下列联表：一般良好合计男20100120女305080合计50150200（1）通过计算判断，有没有的把握认为客户对该产品的评价结果与性别有关系？（2）该商店在春节期间开展促销活动，该产品共有如下两个销售方案．方案一：按原价的8折销售；方案二：顾客购买该产品时，可在一个装有4张“每满200元少80元”，6张“每满200元少40元”共10张优惠券的不透明箱子中，随机抽取1张，购买时按照所抽取的优惠券进行优惠．已知该产品原价为260（元/件）．顾客甲若想采用方案二的方式购买一件产品，估计顾客甲需支付的金额；你认为顾客甲选择哪种购买方案较为合理？附表及公式：0.150.100.050.0250.0102.0722.7063.8415.0246.635其中．18．（12分）已知数列是公差为2的等差数列，．是公比大于0的等比数列，．（1）求数列和的通项公式；（2）若数列满足，求的前n项和．19．（12分）如图，在三棱锥中，H为的内心，直线AH与BC交于M，．（1）证明：平面平面ABC；（2）若，求二面角的余弦值．20．（12分）已知椭圆经过两点，M，N是椭圆E上异于T的两动点，且，若直线AM，AN的斜率均存在，并分别记为．（1）求证：为常数；（2）求面积的最大值．21．（12分）已知函数有两个极值点．（1）求a的取值范围；（2）若，求的取值范围．（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分。22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）在直角坐标系中，直线l的参数方程为（t为参数）．以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为．（1）求C的直角坐标方程；（2）设直线l与曲线C交于A，B，求．23．[选修4-5：不等式选讲]（10分）设函数．（1）解不等式；（2）令的最小值为T，正数x，y，z满足，证明：．

理科数学参考解答及评分参考1．A2．C3．C4．A5．D6．A7．D8．C9．B10．C11．B12．D13．214．15．16．17．解析：（1）由题，得，2分因此，有的把握认为客户对该产品的评价结果与性别有关系．4分（2）顾客甲若想采用方案二的方式购买一件产品，设可能支付的金额为X，X的值可能为180，220．5分由题，7分则（元），顾客甲若采用方案二的方式购买一件产品，需支付金额的估计值为204（元）．9分顾客甲若采用方案一的方式购买一件产品，需支付金额为（元）．11分所以，该顾客采用方案二的方式购买较为合理．12分18．解析：（1）由已知，所以，所以数列的通项公式为．2分设等比数列的公比为q，由则，即，解得（舍去），所以数列的通项公式为．5分（2）由（1）得，所以①7分②8分①-②得，所以，10分即，所以．12分19．解析：（1）证明：设平面ABC于点N，过N作于E，于F，连接PE，PF．因为平面ABC，平面ABC，所以．又因为，所以平面PNE，所以，同理．2分在，中，，故，所以．在，中，，故，所以．4分即N到AB，AC的距离相等，同理N到BC，AC的距离相等，故N为的内心，N与H重合．所以平面ABC．又因为平面APM，所以平面平面ABC．6分（2）由于，故可以以B为坐标原点，BC为x轴，BA为y轴建立如图所示空间直角坐标系，则．7分设的内切圆半径为r，则，故．所以，故．所以，设平面AHP的法向量，则令，故平面AHP的一个法向量为．9分同理，设平面ACP的法向量，则令，故平面ACP的一个法向量为．10分所以，故二面角的余弦值为．12分20．解析：（1）椭圆经过点A，T，代入椭圆E的方程，得解得所以椭圆E的方程为：．2分由知AM与AN关于直线对称，在AM上任取一点，则关于直线对称的点为，3分从而，于是．4分（2）设点，由得，所以，同理．由（1）有，故．6分为方便，记，并不妨设，则于是8分10分（其中），当且仅当，即时取等．所以，面积的最大值为．12分21．解析：（1）由题得，因为函数有两个极值点，所以方程有两个不同实数根，即方程有两个不同实数根，2分设，则，知时，，则单调递增，时，，则单调递减，所以，时，取得极大值，又时，；时，，且时，，所以，方程有两个不同实数根时，有．即有两个极值点时，a的取值范围是．5分（2）由（1）可知，的两个极值点是方程的两根，且，则有，两式相除，得，则有．6分由得，所以，令，7分令，则需恒成立，，令，则，8分令，在上递增，可知，则存在，使得，当时，，则即单调递减，当时，即单调递增，又，所以存在，使得，10分当时，单调递减，时，单调递增，又，所以时，，则单调递减，时，，单调递增，所以时，，的取值范围是．12分22．解析：（1）将代入，得，即曲线C的直角坐标方程为：．5分（2）直线l的参数方程可改写为（t为参数），6分代入曲线C的方程，有，整理得．