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文档简介
第1页/共1页2023北京初三一模数学汇编解直角三角形及其应用一、解答题1.(2023·北京朝阳·统考一模)在平面直角坐标系中,对于点P,C,Q(点P与点C不重合),给出如下定义:若,且,则称点Q为点P关于点C的“k—关联点”.已知点,的半径为r.(1)①在点中,是点A关于点O的“1—关联点”的为;②点B关于点O的“—关联点”的坐标为;(2)点P为线段上的任意一点,点C为线段上任意一点(不与点B重合).①若上存在点P关于点O的“—关联点”,直接写出r的最大值及最小值;②当时,上不存在点P关于点C的“k—关联点”,直接写出k的取值范围:.2.(2023·北京顺义·统考一模)如图,在中,是直径,是弦,点C在上,于点E,,交的延长线于点F,且.(1)求证:是的切线;(2)若,,求的长.3.(2023·北京平谷·统考一模)如图,在中,点E是中点.点F是中点.连接平分.(1)求证:四边形是菱形:(2)连接,与交于点O,连接.若,,求的长.4.(2023·北京顺义·统考一模)给出如下定义:对于线段,以点P为中心,把点逆时针旋转得到点R,点R叫做线段关于点P的“完美点”,例如等边中,点C就是线段关于点A的“完美点”.在平面直角坐标系中.(1)已知点,在,,,中,_____是线段关于点O的“完美点”;(2)直线上存在线段,若点恰好是线段关于点B的“完美点”,求线段的长;(3)若,,点D是线段关于点O的“完美点”,点F是线段关于点E的“完美点”,当线段分别取得最大值和最小值时,直接写出线段的长.5.(2023·北京延庆·统考一模)如图,是的外接圆,AB是直径,,且.(1)求证:是的切线;(2)若,,求的半径.6.(2023·北京丰台·统考一模)如图,是的直径,,是的两条弦,,过点D作的切线交的延长线于点E.(1)求证:;(2)若,,求的长.7.(2023·北京平谷·统考一模)如图,是的直径,C、D是上的两点,且,过点D作的切线交的延长线于点E.(1)求证:;(2)连接.若,,求的长.8.(2023·北京通州·统考一模)已知在中,,点D,E分别是边中点,连接,延长到点F,使得,连接.(1)求证:四边形是菱形(2)如果,且,求的长.9.(2023·北京海淀·统考一模)如图,为的直径,C为上一点,D为的中点,交的延长线于点E.(1)求证:直线为的切线;(2)延长交于点F.若,求的长.10.(2023·北京西城·统考一模)如图,是的直径,C是上一点,的平分线交于点D,过点D作的切线交CB的延长线于点E.(1)求证:;(2)若,,求线段的长.
参考答案1.(1)①D;②或;(2)①3,;②【分析】(1)①在坐标系中描出对应的点,再根据“k—关联点”的定义逐一判断即可;②设点B关于点O的“—关联点”为T,由题意得,,则点T一定在x轴上,再求出的长即可得到答案;(2)①设上存在一点Q是点P关于点O的“—关联点”,过点O作于H,根据定义可得,则当最大时,最大,即的半径r最大,当最小时,最小,即的半径r最小,当点P与点B重合时,最大,点P与点H重合时,最小,据此求解即可;②假设C、P都为定点,那么k值越小,越大,因此总存在一个特定的值t使得当时,点Q恰好在上,当,点Q一定在圆内,则当C、P在运动过程中要保证上不存在点P关于点C的“k—关联点”,那么就要保证当最大时,此时即可;当点C与点B重合,点P与点A重合时,此时取得临界最大值,如图所示,连接,过点O作交延长线于H,通过解直角三角形和勾股定理求出,则当时满足题意,由于点C不与点B重合,则上述临界情况也符合题意,即可得到.【详解】(1)解:①由题意得,如果一个点M是点A关于点O的“1—关联点”,则,如下图坐标系中,只有点D和点E满足,又∵,,∴只有点D是点A关于点O的“1—关联点”,故答案为:D;②解:设点B关于点O的“—关联点”为T,由题意得,,∴点T一定在x轴上,∵,∴,∴,∴,又∵点T在x轴上,∴点T的坐标为或;故答案为:或;(2)解:①设上存在一点Q是点P关于点O的“—关联点”,过点O作于H,由题意得,,∴,∴当最大时,最大,即的半径r最大,当最小时,最小,即的半径r最小,∵点P在线段上运动,∴当点P与点B重合时,最大,点P与点H重合时,最小,∴,∵,∴,∴,∴,∴;②设点P关于点C的“k—关联点”为Q,∴,且,∴,假设C、P都为定点,那么k值越小,越大,因此总存在一个特定的值t使得当时,点Q恰好在上,当,点Q一定在圆内,∴当C、P在运动过程中要保证上不存在点P关于点C的“k—关联点”,那么就要保证当最大时,此时即可;∵点C在上运动,点P在上运动,∴,当点C与点B重合,点P与点A重合时,此时取得临界最大值,如图所示,连接,过点O作交延长线于H,∵,∴,∴,在中,由勾股定理得,∴,∴,∴当时满足题意,由于点C不与点B重合,则上述临界情况也符合题意,∴,故答案为:.【点睛】本题主要考查了坐标与图形,勾股定理,解直角三角形,圆的基本性质,正确理解题意,找到临界情况是解题的关键.2.(1)见解析;(2).【分析】(1)根据证出是的平分线,再利用平行证出即可.(2)利用三角函数求出和,再用计算即可.【详解】(1)连接、.,,,.,,..,,为的半径,是的切线;(2)连接.,.,,为等边三角形,.,,【点睛】本题考查了切线的判定、平行的性质、角平分线的判定、三角函数的应用等知识点,计算的准确性是解题关键.3.(1)见解析(2)【分析】(1)根据四边形ABCD是平行四边形及F是AD中点,E是BC中点,可得四边形AECF是平行四边形,再根据EF平分∠AEC,易证得,则可得,继而证得结论;(2)过点O作于点G,由三角形面积公式可求的长,勾股定理可求,的长,的长即可求解.【详解】(1)证明:∵四边形ABCD是平行四边形∴,∵F是AD中点,E是BC中点∴,∴四边形AECF是平行四边形∵EF平分∠AEC∴∵∴∴∴四边形AECF是菱形(2)解:∵四边形AECF是菱形∴,,∵,,∴∴,过点O作于点G,∵,即∴,∵∴,∴【点睛】本题考查了平行四边形的性质,菱形的判定和性质,勾股定理的应用,解直角三角形,三角形面积公式的应用,解题的关键是熟练掌握各知识点,作出辅助线,用好数形结合的思想.4.(1)(2)(3),【分析】(1)根据“完美点”的定义判断即可;(2)根据“完美点”的定义计算即可;(3)根据“完美点”的定义画出图形再分别计算即可.【详解】(1)∵点∴线段关于点O的“完美点”在第二象限,∴是线段关于点O的“完美点”;其他点都不符合题意;故答案为:;(2)点恰好是线段关于点B的“完美点”,是等边三角形.过点O作于点M.∴,∴在直线上,∴直线与x轴交点为,与y轴交点为,..(3)∵点D是线段关于点O的“完美点”,点F是线段关于点E的“完美点”,∴、是等边三角形,∴,,,当线段取得最大值时,此时在线段上,此时∵,∴,∴;当线段取得最小值时,此时在线段上,过作于,则∴,,∴∴.【点睛】本题考查等边三角形的性质,三角函数,一次函数的性质等知识点,解题的关键是理解“完美点”的定义得到等边三角形.5.(1)见解析;(2)4.【分析】(1)由和即可得出,由此证明结论.(2)过点C作于点,根据,设(),则,,求出,继而根据求解即可.【详解】(1)证明:∵,∴.∴.∵∴.∴.∵是的直径,∴是的切线.(2)解:∵是⊙O的直径,∴.∴.过点C作于点,∴.∴.∵,∴.设(),则,.∴,.∴.∴.∵,,∴,∴.∴.∵,∴.∴的半径为4.【点睛】本题考查切线的判定,相似三角形的判定与性质、三角函数,勾股定理,等腰三角形的判定,圆周角定理的推论,本题属圆的综合题目,熟练掌握相关性质与判定是解题的关键.6.(1)见解析;(2)8.【分析】(1)连接.由切线的性质可知,根据圆周定理可得,可知,进而可得,可证得结论;(2)连接,.先证明,,再利用,求解即可.【详解】(1)证明:连接.是的切线,....(2)解:连接,.是的直径,..,.,.,,.,.【点睛】本题考查了切线的性质,圆周角定理,解直角三角形,正确地作出辅助线是解题的关键.7.(1)见解析(2)【分析】(1)连接,根据为的切线,得出,根据,得出,进而得出,则,即可求证;(2)根据圆内接四边形,则,根据是直径,得出,则,最后根据,得出.【详解】(1)解:连接.∵为的切线,∴,∵,∴,∵,∴,∴,∴,∴.(2)解:∵四边形内接于,∴,∵,∴,∵是直径,∴,∵,∴,∵,∴,∵,∴.【点睛】本题主要考查了切线的判定与性质、圆周角定理,解决本题掌握切线的判定与性质和圆周角定理是解答本题的关键.8.(1)见解析(2)的长为10【分析】(1)先根据对角线互相平分证明四边形是平行四边形,再根据三角线中位线的性质证明,进而得出,即可证明四边形是菱形;(2)根据菱形的性质可得,再利用三角函数、勾股定理解即可.【详解】(1)证明:点E是边中点,,又,四边形是平行四边形在中,点D,E分别是边中点,,,,,.四边形是菱形;(2)解:由(1)知,四边形是菱形,,,,,在中,,,解得或(舍),的长为10.【点睛】本题考查三角形中位线的性质,菱形的判定和性质,利用三角函数、勾股定理解直角三角形等,解题的关键是掌握菱形的判定方法及性质,牢记三角函数的定义.9.(1)证明见解析(2)【分析】(1)连接,连接交于点,是的直径,可得,根据垂径定理可得,进而得出四边形是矩形,即可得出结论;(2)设的半径为r,则,先解,得到,解得,则,再证明,最后解,即可得到.【详解】(1)证明:连接,连接交于点.∵是的直径,∴,∵点是的中点,∴,又∵,∴四边形是矩形,∴,∴,又∵是的半径,∴是的切线.(2)解:设的半径为r,则,在中,,∴,∴,∴,∵,∴,∴,在中,,∴.【点睛】本题考查了切线的性质判定,垂径定理,矩形的性质与判定,解直角三角形,圆周角定理,正确的作出辅助线是解题的关键.10.(1)见解析(2)【分析】(1)连接,由切线的性质得,再由圆周角定理可求得,从而得结论成立.(2)过点作于点,可证明四边形是正方形,与都与互余,得,在中,由,求出,再由得结果.【详解】(1)证明:连接
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