2023年北京市初三一模数学试题汇编：解直角三角形及其应用

第1页/共1页2023北京初三一模数学汇编解直角三角形及其应用一、解答题1．（2023·北京朝阳·统考一模）在平面直角坐标系中，对于点P，C，Q（点P与点C不重合），给出如下定义：若，且，则称点Q为点P关于点C的“k—关联点”．已知点，的半径为r．(1)①在点中，是点A关于点O的“1—关联点”的为；②点B关于点O的“—关联点”的坐标为；(2)点P为线段上的任意一点，点C为线段上任意一点（不与点B重合）．①若上存在点P关于点O的“—关联点”，直接写出r的最大值及最小值；②当时，上不存在点P关于点C的“k—关联点”，直接写出k的取值范围：．2．（2023·北京顺义·统考一模）如图，在中，是直径，是弦，点C在上，于点E，，交的延长线于点F，且．(1)求证：是的切线；(2)若，，求的长．3．（2023·北京平谷·统考一模）如图，在中，点E是中点．点F是中点．连接平分．(1)求证：四边形是菱形：(2)连接，与交于点O，连接．若，，求的长．4．（2023·北京顺义·统考一模）给出如下定义：对于线段，以点P为中心，把点逆时针旋转得到点R，点R叫做线段关于点P的“完美点”，例如等边中，点C就是线段关于点A的“完美点”．在平面直角坐标系中．(1)已知点，在，，，中，_____是线段关于点O的“完美点”；(2)直线上存在线段，若点恰好是线段关于点B的“完美点”，求线段的长；(3)若，，点D是线段关于点O的“完美点”，点F是线段关于点E的“完美点”，当线段分别取得最大值和最小值时，直接写出线段的长．5．（2023·北京延庆·统考一模）如图，是的外接圆，AB是直径，，且．(1)求证：是的切线；(2)若，，求的半径．6．（2023·北京丰台·统考一模）如图，是的直径，，是的两条弦，，过点D作的切线交的延长线于点E．(1)求证：；(2)若，，求的长．7．（2023·北京平谷·统考一模）如图，是的直径，C、D是上的两点，且，过点D作的切线交的延长线于点E．(1)求证：；(2)连接．若，，求的长．8．（2023·北京通州·统考一模）已知在中，，点D，E分别是边中点，连接，延长到点F，使得，连接．(1)求证：四边形是菱形(2)如果，且，求的长．9．（2023·北京海淀·统考一模）如图，为的直径，C为上一点，D为的中点，交的延长线于点E．(1)求证：直线为的切线；(2)延长交于点F．若，求的长．10．（2023·北京西城·统考一模）如图，是的直径，C是上一点，的平分线交于点D，过点D作的切线交CB的延长线于点E．(1)求证：；(2)若，，求线段的长．

参考答案1．(1)①D；②或；(2)①3，；②【分析】（1）①在坐标系中描出对应的点，再根据“k—关联点”的定义逐一判断即可；②设点B关于点O的“—关联点”为T，由题意得，，则点T一定在x轴上，再求出的长即可得到答案；（2）①设上存在一点Q是点P关于点O的“—关联点”，过点O作于H，根据定义可得，则当最大时，最大，即的半径r最大，当最小时，最小，即的半径r最小，当点P与点B重合时，最大，点P与点H重合时，最小，据此求解即可；②假设C、P都为定点，那么k值越小，越大，因此总存在一个特定的值t使得当时，点Q恰好在上，当，点Q一定在圆内，则当C、P在运动过程中要保证上不存在点P关于点C的“k—关联点”，那么就要保证当最大时，此时即可；当点C与点B重合，点P与点A重合时，此时取得临界最大值，如图所示，连接，过点O作交延长线于H，通过解直角三角形和勾股定理求出，则当时满足题意，由于点C不与点B重合，则上述临界情况也符合题意，即可得到．【详解】（1）解：①由题意得，如果一个点M是点A关于点O的“1—关联点”，则，如下图坐标系中，只有点D和点E满足，又∵，，∴只有点D是点A关于点O的“1—关联点”，故答案为：D；②解：设点B关于点O的“—关联点”为T，由题意得，，∴点T一定在x轴上，∵，∴，∴，∴，又∵点T在x轴上，∴点T的坐标为或；故答案为：或；（2）解：①设上存在一点Q是点P关于点O的“—关联点”，过点O作于H，由题意得，，∴，∴当最大时，最大，即的半径r最大，当最小时，最小，即的半径r最小，∵点P在线段上运动，∴当点P与点B重合时，最大，点P与点H重合时，最小，∴，∵，∴，∴，∴，∴；②设点P关于点C的“k—关联点”为Q，∴，且，∴，假设C、P都为定点，那么k值越小，越大，因此总存在一个特定的值t使得当时，点Q恰好在上，当，点Q一定在圆内，∴当C、P在运动过程中要保证上不存在点P关于点C的“k—关联点”，那么就要保证当最大时，此时即可；∵点C在上运动，点P在上运动，∴，当点C与点B重合，点P与点A重合时，此时取得临界最大值，如图所示，连接，过点O作交延长线于H，∵，∴，∴，在中，由勾股定理得，∴，∴，∴当时满足题意，由于点C不与点B重合，则上述临界情况也符合题意，∴，故答案为：．【点睛】本题主要考查了坐标与图形，勾股定理，解直角三角形，圆的基本性质，正确理解题意，找到临界情况是解题的关键．2．(1)见解析；(2)．【分析】（1）根据证出是的平分线，再利用平行证出即可．（2）利用三角函数求出和，再用计算即可．【详解】（1）连接、.，，，.，，..，，为的半径，是的切线；（2）连接.，.，，为等边三角形，.，，【点睛】本题考查了切线的判定、平行的性质、角平分线的判定、三角函数的应用等知识点，计算的准确性是解题关键．3．(1)见解析(2)【分析】（1）根据四边形ABCD是平行四边形及F是AD中点，E是BC中点，可得四边形AECF是平行四边形，再根据EF平分∠AEC，易证得，则可得，继而证得结论；（2）过点O作于点G，由三角形面积公式可求的长，勾股定理可求，的长，的长即可求解.【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形∴，∵F是AD中点，E是BC中点∴，∴四边形AECF是平行四边形∵EF平分∠AEC∴∵∴∴∴四边形AECF是菱形（2）解：∵四边形AECF是菱形∴，，∵，，∴∴，过点O作于点G，∵，即∴，∵∴，∴【点睛】本题考查了平行四边形的性质，菱形的判定和性质，勾股定理的应用，解直角三角形，三角形面积公式的应用，解题的关键是熟练掌握各知识点，作出辅助线，用好数形结合的思想.4．(1)(2)(3)，【分析】（1）根据“完美点”的定义判断即可；（2）根据“完美点”的定义计算即可；（3）根据“完美点”的定义画出图形再分别计算即可．【详解】（1）∵点∴线段关于点O的“完美点”在第二象限，∴是线段关于点O的“完美点”；其他点都不符合题意；故答案为：；（2）点恰好是线段关于点B的“完美点”，是等边三角形.过点O作于点M.∴，∴在直线上，∴直线与x轴交点为，与y轴交点为，..（3）∵点D是线段关于点O的“完美点”，点F是线段关于点E的“完美点”，∴、是等边三角形，∴，，，当线段取得最大值时，此时在线段上，此时∵，∴，∴；当线段取得最小值时，此时在线段上，过作于，则∴，，∴∴．【点睛】本题考查等边三角形的性质，三角函数，一次函数的性质等知识点，解题的关键是理解“完美点”的定义得到等边三角形．5．(1)见解析；(2)4．【分析】（1）由和即可得出，由此证明结论．（2）过点C作于点，根据，设（），则，，求出，继而根据求解即可．【详解】（1）证明：∵，∴．∴．∵∴．∴．∵是的直径，∴是的切线．（2）解：∵是⊙O的直径，∴．∴．过点C作于点，∴．∴．∵，∴．设（），则，．∴，．∴．∴．∵，，∴，∴．∴．∵，∴．∴的半径为4．【点睛】本题考查切线的判定，相似三角形的判定与性质、三角函数，勾股定理，等腰三角形的判定，圆周角定理的推论，本题属圆的综合题目，熟练掌握相关性质与判定是解题的关键．6．(1)见解析；(2)8．【分析】（1）连接．由切线的性质可知，根据圆周定理可得，可知，进而可得，可证得结论；（2）连接，．先证明，，再利用，求解即可．【详解】（1）证明：连接．是的切线，．．．．（2）解：连接，．是的直径，．．，．，．，，．，．【点睛】本题考查了切线的性质，圆周角定理，解直角三角形，正确地作出辅助线是解题的关键．7．(1)见解析(2)【分析】（1）连接，根据为的切线，得出，根据，得出，进而得出，则，即可求证；（2）根据圆内接四边形，则，根据是直径，得出，则，最后根据，得出．【详解】（1）解：连接．∵为的切线，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∴．（2）解：∵四边形内接于，∴，∵，∴，∵是直径，∴，∵，∴，∵，∴，∵，∴．【点睛】本题主要考查了切线的判定与性质、圆周角定理，解决本题掌握切线的判定与性质和圆周角定理是解答本题的关键．8．(1)见解析(2)的长为10【分析】（1）先根据对角线互相平分证明四边形是平行四边形，再根据三角线中位线的性质证明，进而得出，即可证明四边形是菱形；（2）根据菱形的性质可得，再利用三角函数、勾股定理解即可．【详解】（1）证明：点E是边中点，，又，四边形是平行四边形在中，点D，E分别是边中点，，，，，．四边形是菱形；（2）解：由（1）知，四边形是菱形，，，，，在中，，，解得或（舍），的长为10．【点睛】本题考查三角形中位线的性质，菱形的判定和性质，利用三角函数、勾股定理解直角三角形等，解题的关键是掌握菱形的判定方法及性质，牢记三角函数的定义．9．(1)证明见解析(2)【分析】（1）连接，连接交于点，是的直径，可得，根据垂径定理可得，进而得出四边形是矩形，即可得出结论；（2）设的半径为r，则，先解，得到，解得，则，再证明，最后解，即可得到．【详解】（1）证明：连接，连接交于点．∵是的直径，∴，∵点是的中点，∴，又∵，∴四边形是矩形，∴，∴，又∵是的半径，∴是的切线．（2）解：设的半径为r，则，在中，，∴，∴，∴，∵，∴，∴，在中，，∴．【点睛】本题考查了切线的性质判定，垂径定理，矩形的性质与判定，解直角三角形，圆周角定理，正确的作出辅助线是解题的关键．10．(1)见解析(2)【分析】（1）连接，由切线的性质得，再由圆周角定理可求得，从而得结论成立．（2）过点作于点，可证明四边形是正方形，与都与互余，得，在中，由，求出，再由得结果．【详解】（1）证明：连接