专题8将军饮马模型-【压轴必刷】中考数学压轴大题之经典模型培优案（学生版）

【压轴必刷】中考数学压轴大题之经典模型培优案专题8将军饮马模型解题策略解题策略模型1：当两定点A、B在直线l异侧时，在直线l上找一点P，使PA＋PB最小．连接AB交直线l于点P，点P即为所求作的点．PA＋PB的最小值为AB.模型2：当两定点A、B在直线l同侧时，在直线l上找一点P，使得PA＋PB最小．作点B关于直线l的对称点B'，连接AB'交直线l于点P，点P即为所求作的点．PA＋PB的最小值为AB'模型3：当两定点A、B在直线l同侧时，在直线l上找一点P，使得最大．连接AB并延长交直线l于点P，点P即为所求作的点，的最大值为AB模型4：当两定点A、B在直线l异侧时，在直线l上找一点P，使得最大．作点B关于直线I的对称点B'，连接AB'并延长交直线l于点P，点P即为所求作的点．的最大值为AB'模型8：当两定点A、B在直线l同侧时，在直线l上找一点P，使得最小．连接AB，作AB的垂直平分线交直线l于点P，点P即为所求作的点．的最小值为0模型6：点P在∠AOB内部，在OB边上找点D，OA边上找点C，使得△PCD周长最小．分别作点P关于OA、OB的对称点P′、P″，连接P′P″，交OA、OB于点C、D，点C、D即为所求．△PCD周长的最小值为P′P″模型7：点P在∠AOB内部，在OB边上找点D，OA边上找点C，使得PD＋CD最小．作点P关于OB的对称点P′，过P′作P′C⊥OA交OB，PD＋CD的最小值为P′C经典例题经典例题【例1】．（2022·湖南师大附中博才实验中学九年级开学考试）如果有一条直线经过三角形的某个顶点，将三角形分成两个三角形，其中一个三角形与原三角形相似，则称该直线为三角形的“自相似分割线”．如图1，在△ABC中，AB=AC=1，∠BAC=108°，DE垂直平分AB，且交BC于点D，连接AD．(1)证明直线AD是△ABC的自相似分割线；(2)如图2，点P为直线DE上一点，当点P运动到什么位置时，PA+PC的值最小？求此时PA+PC的长度．(3)如图3，射线CF平分∠ACB，点Q为射线CF上一点，当AQ+5−14【例2】．（2021·四川南充·一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2＋bx＋c经过点A（4，0）、B（0，4）、C．其对称轴l交x轴于点D，交直线AB于点F，交抛物线于点E．(1)求抛物线的解析式；(2)点P为直线l上的动点，求△PBC周长的最小值；(3)点N为直线AB上的一点（点N不与点F重合），在抛物线上是否存在一点M，使以点E、F、N、M为顶点的四边形为平行四边形？若存在，直接写出点M的坐标，若不存在，说明理由．【例3】（2022·浙江衢州·模拟预测）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB为直径，弦AD平分∠BAC，过点D作射线AC的垂线，垂足为M，点E为线段AB上的动点．(1)求证：MD是⊙O的切线；(2)若∠B＝30°，AB＝8，在点E运动过程中，EC+EM是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，说明理由；(3)若点E恰好运动到∠ACB的角平分线上，连接CE并延长，交⊙O于点F，交AD于点P，连接AF，CP＝3，EF＝4，求AF的长．【例4】（2022·重庆巴蜀中学七年级期末）在Rt△ABC中，AB＝BC，在Rt△CEH中，∠CEH＝45°，∠ECH＝90°，连接AE．(1)如图1，若点E在CB延长线上，连接AH，且AH＝6，求AE的长；(2)如图2，若点E在AC上，F为AE的中点，连接BF、BH，当BH＝2BF，∠EHB+12∠HBF＝45°时，求证：AE＝CE(3)如图3，若点E在线段AC上运动，取AE的中点F，作FH'∥BC交AB于H，连接BE并延长到D，使得BE＝DE，连接AD、CD；在线段BC上取一点G，使得CG＝AF，并连接EG；若点E在线段AC上运动的过程中，当ACD的周长取得最小值时，△AED的面积为25，请直接写出GE+BH′的值．【例5】（2022·江苏·九年级课时练习）如图，四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，AB＝8，BC＝20，AD＝18，点Q为BC中点，动点P在线段AD边上以每秒2个单位的速度由点A向点D运动，设动点P的运动时间为t秒．(1)当t为何值时，四边形PBQD是平行四边形，请说明理由?(2)在AD边上是否存在一点R，使得B、Q、R、P四点为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出t的值：若不存在，请说明理由．(3)在线段PD上有一点M，且PM＝10，当点P从点A向右运动_________秒时，四边形BCMP的周长最小，其最小值为_________．培优训练培优训练一、解答题1．（2022·江苏·八年级专题练习）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是△ABC底边BC上的中线，点P为线段AB上一点．（1）在AD上找一点E，使得PE+EB的值最小；（2）若点P为AB的中点，当∠BPE满足什么条件时，△ABC是等边三角形，并说明理由．2．（2021·全国·八年级专题练习）如图所示，在平面直角坐标系中，已知一次函数y=12x+1的图象与x轴，y轴分别交于A，B两点，以AB为边在第二象限内作正方形ABCD（1）求边AB的长；（2）求点C，D的坐标；（3）在x轴上是否存在点M，使△MDB的周长最小？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．3．（2022·江苏·八年级专题练习）已知Rt△ABC中∠C＝90°，且BC＝9，∠B＝30°．（1）如图1、2，若点D是CB上一点，且CD＝3，点E是AB上的动点，将△DBE沿DE对折，点B的对应点为B′（点B′和点C在直线AB的异侧），DB′与AB交于点H．①当∠B′EA＝20°时，求∠EDB的度数．②当△B′HE是等腰三角形时，求∠DEB的度数．（2）如图2，若点D是CB上一点，且CD＝3，M是线段AC上的动点，以∠MDN为直角构造等腰直角△DMN（D，M，N三点顺时针方向排列），在点M的运动过程中，直接写出CN+NB的最小值．4．（2021·湖北武汉·八年级期中）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，AC＝2，以BC为边向左作等边△BCE，点D为AB中点，连接CD，点P、Q分别为CE、CD上的动点．（1）求证：△ADC为等边三角形；（2）求PD+PQ+QE的最小值．5．（2022·江苏·八年级专题练习）如图，在△ABC中，已知AB=AC，AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，连接BE．（1）若∠ABC=68°，求∠AED的度数；（2）若点P为直线DE上一点，AB=8,BC=6，求△PBC周长的最小值．6．（2021·江苏·星海实验中学八年级期中）如图，在平面直角坐标系中，直线l平行于x轴，l上有两点A、B，且点A坐标为（－14，8），点B位于A点右侧，两点相距8个单位，动点P、Q分别从A、B出发，沿直线l向右运动，点P速度为2个单位/秒，点Q速度为6个单位/秒，设运动时间为t秒．（1）用含t的代数式表示P、Q的坐标：P（_________），Q（_________）；（2）在P、Q运动过程中，取线段PQ的中点D，当△OBD为直角三角形时，求出t的值及相应的点D的坐标；（3）取满足（2）中条件最右侧的D点，若坐标系中存在另一点E（−133，－4），请问x轴上是否存在一点F，使FD－7．（2021·全国·九年级专题练习）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝33x2﹣233x﹣3与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，对称轴与x轴交于点D，点E（1）求直线AE的解析式；（2）点P为直线CE下方抛物线上的一点，连接PC，PE．当△PCE的面积最大时，连接CD，CB，点K是线段CB的中点，点M是CP上的一点，点N是CD上的一点，求KM＋MN＋NK的最小值；（3）点G是线段CE的中点，将抛物线y＝33x2﹣233x﹣3沿x轴正方向平移得到新抛物线y′，y′经过点D，y′的顶点为点F．在新抛物线y′的对称轴上，是否存在一点Q，使得△FGQ8．（2021·四川省成都市七中育才学校八年级开学考试）以BC为斜边在它的同侧作Rt△DBC和Rt△ABC，其中∠A＝∠D＝90°，AB＝AC，AC、BD交于点P．（1）如图1，BP平分∠ABC，求证：BC＝AB+AP；（2）如图2，过点A作AE⊥BP，分别交BP、BC于点E、点F，连接AD，过A作AG⊥AD，交BD于点G，连接CG，交AF于点H，①求证：△ABG≌△ADC；②求证：GH＝CH；（3）如图3，点M为边AB的中点，点Q是边BC上一动点，连接MQ，将线段MQ绕点M逆时针旋转90°得到线段MK，连接PK、CK，当∠DBC＝15°，AP＝2时，请直接写出PK+CK的最小值．9．（2021·广东·岭南画派纪念中学八年级阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣12x﹣2分别与x、y轴交于A、C两点，点B（1，0）在x（1）求直线BC的解析式；（2）若点C关于原点的对称点为C′，问在AB的垂直平分线上是否存在一点G，使得△GBC′的周长最小？若存在，求出点G的坐标和最小周长；若不存在，请说明理由．（3）设点P是直线BC上异于点B、C的一个动点，过点P作PQ∥x轴交直线AC于点Q，过点Q作QM⊥x轴于点M，再过点P作PN⊥x轴于点N，得到矩形PQMN，在点P的运动过程中，当矩形PQMN为正方形时，求该正方形的边长．10．（2021·陕西宝鸡·九年级期中）问题提出（1）在图1中作出点B关于直线AC的对称点B'问题探究（2）如图2，在△ABC中，AB=AC=6，∠BAC=120°，D为AC的中点，P为线段BC上一点，求AP+DP的最小值.问题解决（3）如图3，四边形ABCD为小区绿化区，DA=DC，∠ADC=90°，AB=6+63，BC=12，∠B=30°，AC是以D为圆心，DA为半径的圆弧.现在规划在AC，边BC和边AC上分别取一点P，E，F，使得DP+PE+EF+PF11．（2021·全国·九年级专题练习）已知在Rt△OAB中，∠OAB=90°，∠ABO=30°，OB=4，将Rt△OAB绕点O顺时针旋转60°，得到△ODC，点D在BO上，连接BC．

（1）如图①，求线段BC的长；（2）如图②，连接AC，作OP⊥AC，垂足为P，求OP的长度；（3）如图③，点M是线段OC的中点，点N是线段OB上的动点（不与点O重合），求△CMN周长的最小值．12．（2021·全国·九年级专题练习）如图，在平面直角坐标系中，A0,2、B−2,0、C2,2，点E、F分别是直线AB和x13．（2021·全国·九年级专题练习）如图，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A−1,0、B两点，与

（1）求抛物线的解析式；（2）如图①，连接BC，点P是抛物线在第四象限上一点，连接PB，PC，求△BCP面积的最大值；（3）如图②，点D为抛物线的顶点，点C关于抛物线对称轴的对称点为点E，连接DE．将抛物线沿x轴向右平移t个单位，点A，B的对应点分别为A′、B′，连接A′D、B′14．（2022·全国·八年级课时练习）如图，在四边形ABCD中，∠B=∠D=90°，E，F分别是BC，CD上的点，连接AE，AF，EF．（1）如图①，AB=AD，∠BAD=120°，∠EAF=60°．求证：EF=BE+DF；

（2）如图②，∠BAD=120°，当△AEF周长最小时，求∠AEF+∠AFE的度数；（3）如图③，若四边形ABCD为正方形，点E、F分别在边BC、CD上，且∠EAF=45°，若BE=3，DF=2，请求出线段EF的长度．15．（2021·全国·九年级专题练习）如图，等边△ABC的边长为6，点D，E分别是边BC，AC的中点，连接BE．（1）如图①，求点D到线段BE的最短距离；

（2）点P，N分别是BE，BC上的动点，连接PN、PD．①如图②，当PN+PD的长度取得最小值时，求BP的长度；②如图③，点Q在BE上，若BQ=1，连接QN，求QN+NP+PD的最小值．16．（2021·全国·九年级课时练习）在平面直角坐标系中，以点P23,−3为圆心的圆与x轴相交于A、B两点，与y轴相切于点C，抛物线y=ax2+bx+c经过点A、（1）求抛物线的表达式；（2）点M为y轴上一点，连接DM，MP，是否存在点M使得△DMP的周长最小？若存在，求出点M的坐标及△DMP的周长最小值；若不存在，请说明理由．17．（2021·全国·九年级专题练习）如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，∠C=30°，BC=4，⊙O是△ABC的外接圆，D是CB延长线上一点，且BD=2，连接DA，点P是射线DA上的动点

（1）求证：DA是⊙O的切线；（2）DP的长度为多少时，∠BPC的度数最大，最大度数是多少？请说明理由；（3）点P运动的过程中，PB+PC的值能否达到最小，若能，求出这个最小值；若不能，请说明理由．18．（2021·全国·九年级专题练习）如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，点E是AD的中点，过点A作AF∥BC交BE的延长线于F，连接CF．（1）求证：△AEF≌△DEB；（2）若∠BAC=90°，试判断四边形ADCF的形状，并证明你的结论；（3）在（2）的情况下，点M在AC线段上移动，请直接回答，当点M移动到什么位置时，MB+MD有最小值．19．（2022·全国·八年级课时练习）（1）【问题解决】已知点P在∠AOB内，过点P分别作关于OA、OB的对称点P1、P①如图1，若∠AOB=25∘，请直接写出②如图2，连接P1P2分别交OA、OB于C、D，若∠CPD=③在②的条件下，若∠CPD=α度（90<α<180），请直接写出∠AOB=______度（用含α的代数式表示）.（2）【拓展延伸】利用“有一个角是60∘的等腰三角形是等边三角形”这个结论，解答问题：如图3，在ΔABC中，∠BAC=30∘，点P是ΔABC内部一定点，AP=8，点E、F分别在边AB、AC上，请你在图3中画出使ΔPEF周长最小的点E、F20．（2012·浙江金华·中考真题）在锐角△ABC中，AB=4，BC=5，∠ACB=45°，将△ABC绕点B按逆时针方向旋转，得到△A1BC1．（1）如图1，当点C1在线段CA的延长线上时，求∠CC1A1的度数；（2）如图2，连接AA1，CC1．若△ABA1的面积为4，求△CBC1的面积；（3）如图3，点E为线段AB中点，点P是线段AC上的动点，在△ABC绕点B按逆时针方向旋转过程中，点P的对应点是点P1，求线段EP1长度的最大值与最小值．21．（2021·全国·九年级专题练习）已知，如图，二次函数y=ax2+2ax−3aa≠0图象的顶点为H，与x轴交于A、B两点(B点在A点右侧)，点H、B关于直线(1)求A、B两点的坐标，并证明点A在直线l上；(2)求二次函数解析式；(3)过点B作直线BK//AH交直线l于K点，M、N分别为直线AH和直线l上的两个动点，连结HN、NM、MK，求HN+NM+MK的最小值.22．（2022·吉林松原·八年级期中）教材呈现：下图是华师版八年级下册数学教材第111页的部分内容．(1)问题解决：请