07一次函数反比例函数及其综合应用大题综合原卷版+解析

07一次函数反比例函数及其综合应用1．（2023·江苏苏州·校考一模）如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象交于A、B两点，已知，．(1)求与的值；(2)直线在直线的下方且与平行，与x轴、y轴分别交于点D、E，点P是直线上的一动点，当的面积为1时，求直线的解析式．2．（2023·江苏连云港·统考一模）某餐饮公司推出甲、乙两种外卖菜品，已知售出2份甲菜品和1份乙菜品可获利40元，售出3份甲菜品和2份乙菜品可获利65元．(1)求每份甲、乙菜品的利润各是多少元？(2)根据营销情况，该餐饮公司每日都可以销售完甲、乙两种外卖菜品600份，且甲菜品的数量不多于乙菜品的一半，应该如何设计两种菜品的数量才能使获得的利润最高？最高利润是多少？3．（2023·江苏苏州·模拟预测）如图，一次函数的图像与反比例函数的图像交于点和点，与轴交于点．(1)求一次函数和反比例函数的表达式；(2)连接，，在直线上是否存在点，使的面积是面积的？若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由．4．（2023·江苏镇江·校联考一模）如图，点和点都在反比例函数的图像上，作直线．(1)m=，k=；(2)点P为x轴上一点，若的面积等于18，求点P坐标．5．（2023·江苏常州·统考二模）如图，直线与双曲线交于点和点，过点A作轴，垂足为C．(1)求直线和双曲线的解析式；(2)连接，求的面积．6．（2023·江苏徐州·统考一模）学校与图书馆在同一条笔直道路上，甲从学校去图书馆，乙从图书馆回学校，甲、乙两人都匀速步行且同时出发，乙先到达目的地，两人之间的距离y（米）与时间t（分钟）之间的函数关系如图所示．(1)甲、乙何时相遇？相遇时甲的速度为多少？(2)求乙到达目的地时，两人之间的距离；(3)求出线段AB所表示的函数关系式．7．（2023·江苏南京·统考一模）慢车从甲地出发匀速驶往乙地，出发后快车也从甲地出发，匀速行驶，到达乙地后保持原速沿原路返回甲地．已知快车出发时第1次追上慢车．在整个行程中，慢车离甲地的距离（单位：）与时间t（单位：）之间的函数关系如图所示．(1)在图中画出快车离甲地的距离（单位：）与时间t之间的函数图像；(2)若快车出发时与慢车第2次相遇．①求快车从出发到返回甲地所用的时间；②当两车第2次相遇的地点距离甲地时，s的值为________．8．（2023·江苏淮安·统考一模）用充电器给某手机充电时，其屏幕的起始画面如图1．经测试，在用快速充电器和普通充电器对该手机充电时，其电量（单位：%）与充电时间（单位：）的函数图像分别为图2中的线段、．(1)求线段对应的函数表达式；(2)已知该手机正常使用时耗电量为，在用快速充电器将其充满电后，正常使用，接着再用普通充电器将其充满电，其“充电一耗电一充电”的时间恰好是，求的值．9．（2023·江苏徐州·校考二模）小敏打算买一束百合和康乃馨组合的鲜花在“母亲节”的时候送给妈妈．已知买1支百合和3支康乃馨共需花费23元，2支百合的价格比1支康乃馨的价格多4元．(1)求买一支康乃馨和一支百合各需多少元？(2)小敏准备买康乃馨和百合共12支，且康乃馨不少于5支，设买这束鲜花所需费用为w元，百合有x支，求w与x之间的函数关系式，并设计一种使费用最少的买花方案，写出最少费用．10．（2023·江苏南京·统考一模）如图①，小明家，妈妈的单位和超市在一条直线上，一天傍晚，小明从家步行去超市，与此同时妈妈从单位骑行回家拿东西，再以相同的速度骑行去超市．如图②，线段和折线分别表示小明和妈妈离家的距离与出发时间的关系．(1)小明步行的速度是______，妈妈的单位距离超市______；(2)求线段CD所表示的y与x之间的函数表达式；(3)当______时，小明与妈妈相距．11．（2023·江苏无锡·统考一模）春夏之交正是农业用水高峰期，某地水利站有两台泵机实施调水作业．如果单开泵机，可以正好在预定时间内完成，总费用为1920元；如果单开泵机，则要比预定时间多4天，总费用为2240元．水利站经过测算，如果两台泵机同时开启3天，然后由泵机单独完成余下的调水作业，这样也能正好在预定时间内完成．(1)两台泵机平均每天费用分别是多少元？(2)水利站接到上级部门要求提前3天完成调水作业，请问如何安排两台泵机作业才能完成任务？花费最少是多少元？（注：不足一天按照一天计算费用．）12．（2023·江苏常州·校考一模）2022年FIFA世界杯期间，某商店购进A、B两种品牌的足球进行销售．销售5个A品牌和个B品牌足球的利润和为元，销售个A品牌和5个B品牌足球的利润和为元．(1)求每个A品牌和B品牌足球的销售利润；(2)商店计划购进两种品牌足球共100个，设购进A品牌足球x个，两种足球全部销售完共获利y元．①求y与x之间的函数关系式；（不必写x的取值范围）②若购进A品牌足球的个数不少于60个，且不超过B品牌足球个数的4倍，求最大利润．13．（2023·江苏苏州·模拟预测）如图，已知双曲线与直线相交于A、B两点，AC⊥x轴，垂足为C，直线与x轴交于点D．若的面积为1，．(1)求k的值；(2)若点B的纵坐标为，求该直线的函数表达式；(3)在（2）条件下，直接写出当x为何值时？14．（2023·江苏苏州·统考一模）如图，正比例函数与反比例函数的图像交于点，点是反比例函数图像上的一动点．过点作轴，垂足为，交直线于点．(1)求与的值；(2)若的面积是2，求此时点的坐标．15．（2023·江苏苏州·统考二模）如图，矩形ABCD的两个顶点A、B都在反比例函数的图象上，经过原点O，对角线AC垂直于x轴，垂足为E，已知点A的坐标为．(1)求直线AB和反比例函数的解析式；(2)求矩形的面积；16．（2023·江苏常州·统考一模）如图，一次函数的图像与反比例函数的图像交于点，与y轴交于点，与x轴交于点．(1)求与的值；(2)点是x轴正半轴上一点，若，求的面积．17．（2023·江苏常州·统考一模）已知直线过点．点为直线上一点，其横坐标为．过点作轴的垂线，与函数的图象交于点．(1)求的值；(2)①求点的坐标（用含的式子表示）；②若的面积等于3，求出点的横坐标的值．18．（2023·江苏南通·南通田家炳中学校考模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，直线经过点，与y轴交于点B，与反比例函数的图象交于点，过B作轴，交反比例函数的图象于点D，连接．(1)________，________，不等式的解集是________；(2)求的面积．19．（2023·江苏常州·常州市第二十四中学校考一模）已知是直线l和双曲线的交点．(1)求m的值．(2)若直线l分别和x轴、y轴交于E、F两点，且点A是的外心，试确定直线l的解析式．(3)在双曲线上另取一点B，过B作轴于K，试问：在y轴上是否存在点P，使得？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．20．（2023·江苏无锡·统考一模）某学校准备到文化用品商店购买数学实验器材A和B，若购买3件器材A和2件器材B共需要550元，若购买2件器材A和3件器材B共需要450元.(1)求每件器材A、B的销售价格；(2)学校准备用不多于3000元的金额购买这两种器材共25件，求最多购买器材A的件数；(3)在（2）的条件下，学校还要求购买器材A不少于15件，则学校购买费用最少多少元？21．（2023·江苏苏州·校联考一模）如图，在中，，，轴，垂足为，边与轴交于点，反比例函数的图像经过点．(1)若点是边的中点，求直线和反比例函数的表达式．(2)将边沿边所在直线翻折，交反比例函数的图像于点，交轴于点，若点的纵坐标为，求的值．22．（2023·江苏无锡·校考一模）为响应国家“双减”政策．提高同学们的创新思维，某中学开设了创新思维课程．为满足学生的需求，准备再购买一些型号和型号的电脑．如果分别用元购买、型号电脑，购买型号台数比型号少台、已知型号电脑的单价为型号的．(1)求两种型号电脑单价分别为多少元；(2)学校计划新建两个电脑室需购买台电脑，学校计划总费用不多于元，并且要求型电脑数量不能低于台，那么应如何安排购买方案才能使费用最少，最少费用应为多少？23．（2023·江苏连云港·统考一模）如图，一次函数与反比例函数第一象限交于、两点，点是轴负半轴上一动点，连接，．(1)求一次函数的表达式；(2)若的面积为，求点的坐标；(3)在（2）的条件下，若点为直线上一点，点为轴上一点，是否存在这样的点和点，使得四边形是平行四边形？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．24．（2023·江苏常州·常州实验初中校考一模）在平面直角坐标系中，已知一次函数与坐标轴分别交于，两点，且与反比例函数的图像在第一象限内交于P，K两点，连接，的面积为．(1)求一次函数与反比例函数的解析式；(2)若C为线段上的一个动点，当最小时，求的面积．25．（2023·江苏苏州·模拟预测）如图，直线与双曲线交于点和点，过点A作轴，垂足为C．(1)求直线和双曲线的解析式；(2)连接，求的面积．(3)在x轴上找一点P，使的值最大，请直接写出满足条件的点P的坐标．07一次函数反比例函数及其综合应用1．（2023·江苏苏州·校考一模）如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象交于A、B两点，已知，．(1)求与的值；(2)直线在直线的下方且与平行，与x轴、y轴分别交于点D、E，点P是直线上的一动点，当的面积为1时，求直线的解析式．【答案】(1)，；(2)直线的解析式为或或．【分析】（1）求出点A、B的坐标，即可求解；（2）设点，直线的解析式为：，分两种情况讨论，当时，利用的面积，列式计算可求解；当时，的面积，列式计算即可求解．【详解】（1）解：反比例函数的图象过点，，∴，解得，∴点，，则，故反比例函数的解析式为：；将点，的坐标代入一次函数解析式得：，解得，故一次函数的解析式为；∴，；（2）解：设点，直线的解析式为：，令，则，令，则，∴点D、E的坐标分别为、，当时，如图，连接，∴，∴的面积，整理得解得：或1．∴直线的解析式为：或；当时，如图，连接，同理，∴的面积，整理得解得：(舍去)或．∴直线的解析式为：；综上，直线的解析式为或或．【点睛】本题考查一次函数、反比例函数图象上点的坐标特征及求函数表达式、坐标与图形，把点的坐标代入是常用方法，把坐标转化为线段的长，为计算三角形的面积准备条件．2．（2023·江苏连云港·统考一模）某餐饮公司推出甲、乙两种外卖菜品，已知售出2份甲菜品和1份乙菜品可获利40元，售出3份甲菜品和2份乙菜品可获利65元．(1)求每份甲、乙菜品的利润各是多少元？(2)根据营销情况，该餐饮公司每日都可以销售完甲、乙两种外卖菜品600份，且甲菜品的数量不多于乙菜品的一半，应该如何设计两种菜品的数量才能使获得的利润最高？最高利润是多少？【答案】(1)每份菜品甲的利润为15元，每份菜品乙的利润为10元(2)购进甲菜品200份，乙菜品400份，所获利润最大，最大利润为7000元【分析】（1）设每份菜品甲的利润为元，每份菜品乙的利润为元，根据售出2份甲菜品和1份乙菜品可获利40元，售出3份甲菜品和2份乙菜品可获利65元，列二元一次方程组，求解即可；（2）设销售甲菜品份，总利润为元，根据甲菜品的数量不多于乙菜品的一半，求出的取值范围，再表示出与的函数关系式，根据一次函数的增减性即可确定最大利润时进货方案，进一步求出最大利润即可．【详解】（1）解：设每份菜品甲的利润为元，每份菜品乙的利润为元，根据题意，得：，解得：，答：每份菜品甲的利润为15元，每份菜品乙的利润为10元；（2）设销售甲菜品份，总利润为元，根据题意，得：，解得：，，∵，∴随着的增大而增大，当时，取得最大值，最大值为：（元），此时销售乙菜品：（份），答：销售甲菜品200份，乙菜品400份，所获利润最大，最大利润为7000元．【点睛】本题考查一次函数的应用，二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，理解题意是解题的关键．3．（2023·江苏苏州·模拟预测）如图，一次函数的图像与反比例函数的图像交于点和点，与轴交于点．(1)求一次函数和反比例函数的表达式；(2)连接，，在直线上是否存在点，使的面积是面积的？若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由．【答案】(1)，(2)或【分析】（1）将、两点代入反比例函数解析式，，，可得，解得的值，即可求出、两点的坐标，用待定系数法即可求出一次函数和反比例函数的表达式；（2）令，求出点坐标，根据、、三点坐标求出的面积，再得到的面积，设，利用三角形面积求出的值即可．【详解】（1）由题意，得，解得，，，把代入，得，反比例函数表达式为，把，代入，得，，一次函数表达式为；（2）令，则得，，点的坐标为，，，设，则，得，，解得：或，故或．【点睛】本题考查了一次函数和反比例函数的综合应用，反比例函数与几何综合，待定系数法求函数解析式，三角形的面积的计算，正确求出一次函数和反比例函数解析式是解题的关键．4．（2023·江苏镇江·校联考一模）如图，点和点都在反比例函数的图像上，作直线．(1)m=，k=；(2)点P为x轴上一点，若的面积等于18，求点P坐标．【答案】(1)-2，6(2)或【分析】（1）由已知可得，，求解即可解答．（2）连接、，作轴于C，轴于D，由（1）可得点M坐标，再根据的面积等于18，即可解答．【详解】（1）∵，点和点都在反比例函数的图像上，∴，．（2）解：连接、，作轴于C，轴于D，由（1）知，，，，直线于x轴交点，∵的面积等于18，∴，∴，∴，∴．同理得：．【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的综合应用，掌握三角形面积公式是解题的关键．5．（2023·江苏常州·统考二模）如图，直线与双曲线交于点和点，过点A作轴，垂足为C．(1)求直线和双曲线的解析式；(2)连接，求的面积．【答案】(1)，；(2)12．【分析】（1）把点代入，可得双曲线的解析式为，再求出，再把A，B代入，即可求解；（2）过点B作轴，交延长线于D，可得，，再根据三角形的面积公式计算，即可求解．【详解】（1）解：把点代入得：，即，∴双曲线的解析式为；把点代入得，，∴，把A，B代入得：，解得：，∴直线的解析式为；（2）解：过点B作轴，交AC延长线于D，∵，轴，垂足为C，∴点C的坐标为，∴．∵，∴，∴，∴的面积．【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，考查了待定系数法求函数的解析式，反比例函数图像上点的坐标特征，三角形的面积，求得交点坐标是解题的关键．6．（2023·江苏徐州·统考一模）学校与图书馆在同一条笔直道路上，甲从学校去图书馆，乙从图书馆回学校，甲、乙两人都匀速步行且同时出发，乙先到达目的地，两人之间的距离y（米）与时间t（分钟）之间的函数关系如图所示．(1)甲、乙何时相遇？相遇时甲的速度为多少？(2)求乙到达目的地时，两人之间的距离；(3)求出线段AB所表示的函数关系式．【答案】(1)24分钟时甲、乙两人相遇，甲的速度为米/分钟(2)当乙到达目的地时，两人之间的距离为1600米(3)【分析】（1）根据函数图像可知相遇时间，根据总路程和总的时间可以求得甲的速度；（2）两人的距离与时间的关系在点A出现了拐点，根据题意，乙先到达目的地，可以求出此时两人相距的距离；（3）根据（2）中结论求得A点的坐标，结合图像中B点的坐标，待定系数法求一次函数的解析式即可；【详解】（1）当时，分钟，此时甲、乙两人相遇，∵乙先到达目的地，∴B点表示甲到达目的地时所用时间为60分钟．∴甲的速度为（米/分钟）；（2）当分钟时，甲乙两人相遇，∴甲、乙两人的速度和为（米/分钟），∵甲的速度为40米/分钟，∴乙的速度为60米/分钟，而A点表示乙到达目的地，∴乙到达目的地所用时间为（分钟）．而此时甲乙两人相距（米），∴当乙到达目的地时，两人之间的距离为1600米；（3）由（2）可知，A点坐标为，B点坐标为；设线段AB所表示的函数关系式为，将，代入，得，解得，∴线段所表示的函数关系式为．【点睛】本题考查了函数图像的意义，待定系数法求一次函数解析式，理解题意，数形结合是解题的关键．7．（2023·江苏南京·统考一模）慢车从甲地出发匀速驶往乙地，出发后快车也从甲地出发，匀速行驶，到达乙地后保持原速沿原路返回甲地．已知快车出发时第1次追上慢车．在整个行程中，慢车离甲地的距离（单位：）与时间t（单位：）之间的函数关系如图所示．(1)在图中画出快车离甲地的距离（单位：）与时间t之间的函数图像；(2)若快车出发时与慢车第2次相遇．①求快车从出发到返回甲地所用的时间；②当两车第2次相遇的地点距离甲地时，s的值为________．【答案】(1)见解析(2)①快车从出发到返回甲地所用的时间为．②285【分析】（1）根据题意可知快车和慢车的函数图象在时第一次相交于B，因此借助慢车的函数图象确定点B的位置，把连接点与B并延长交直线于C，然后对称作出快车返回甲地的函数图象即可；（2）设慢车速度为，快车速度为，根据快车出发两车相遇列出方程求出，根据路程速度时间得到，根据题意可得．设的函数表达式为，进而求出，然后求出当时，x的值即可得到答案；（3）根据题意可得点E的纵坐标为，由此求出快车的速度，再根据路程速度时间进行求解即可．【详解】（1）解：与t之间的函敷图像如图所示．

（2）解：设慢车速度为，快车速度为．根据题意，得．即．

根据题意，得．∵，∴点E的坐标为．设的函数表达式为．将代入，得．即的函数表达式为．

令，得．

，即快车从出发到返回甲地所用的时间为．②由题意得，，∴，∴．∴，故答案为：285．【点睛】．本题主要考查了一次函数的实际应用，正确理解题意读懂函数图象是解题的关键．8．（2023·江苏淮安·统考一模）用充电器给某手机充电时，其屏幕的起始画面如图1．经测试，在用快速充电器和普通充电器对该手机充电时，其电量（单位：%）与充电时间（单位：）的函数图像分别为图2中的线段、．(1)求线段对应的函数表达式；(2)已知该手机正常使用时耗电量为，在用快速充电器将其充满电后，正常使用，接着再用普通充电器将其充满电，其“充电一耗电一充电”的时间恰好是，求的值．【答案】(1)(2)【分析】（1）设线段的函数表达式为，利用待定系数法求解即可；（2）根据题意列出方程，然后解方程求解即可．【详解】（1）解：设线段的函数表达式为将，代入，即解得，线段的函数表达式为；（2）根据题意，得，．【点睛】本题考查的一次函数的实际应用，同时考查一元一次方程的应用，掌握以上知识是解题的关键．9．（2023·江苏徐州·校考二模）小敏打算买一束百合和康乃馨组合的鲜花在“母亲节”的时候送给妈妈．已知买1支百合和3支康乃馨共需花费23元，2支百合的价格比1支康乃馨的价格多4元．(1)求买一支康乃馨和一支百合各需多少元？(2)小敏准备买康乃馨和百合共12支，且康乃馨不少于5支，设买这束鲜花所需费用为w元，百合有x支，求w与x之间的函数关系式，并设计一种使费用最少的买花方案，写出最少费用．【答案】(1)买一支百合需5元，一支康乃馨需6元(2)当购买百合7支，康乃馨5支时，所需费用最少，最少费用为65元【分析】（1）设买一支康乃馨需x元，买一支百合需y元，根据“买1支百合和3支康乃馨共需花费23元，2支百合的价格比1支康乃馨的价格多4元”列出方程组求解即可；（2）根据康乃馨和百合的费用之和列出函数关系式，由“康乃馨不少于5支”求出x的取值范围，再根据一次函数的性质即可求出最少费用．【详解】（1）解：设买一支百合需x元，一支康乃馨需y元，由题意得：，解得：，答：买一支百合需5元，一支康乃馨需6元．（2）解：由（1）及题意得：康乃馨有支，则有，∵康乃馨不少于5支，∴，解得：，∵，∴w随x的增大而减小，∴当时，w取最小值，最小值为．∴当购买百合7支，康乃馨5支时，所需费用最少，最少费用为65元．【点睛】本题主要考查一次函数的应用和二元一次方程组的应用，解题的关键是找准等量关系列出方程组．10．（2023·江苏南京·统考一模）如图①，小明家，妈妈的单位和超市在一条直线上，一天傍晚，小明从家步行去超市，与此同时妈妈从单位骑行回家拿东西，再以相同的速度骑行去超市．如图②，线段和折线分别表示小明和妈妈离家的距离与出发时间的关系．(1)小明步行的速度是______，妈妈的单位距离超市______；(2)求线段CD所表示的y与x之间的函数表达式；(3)当______时，小明与妈妈相距．【答案】(1)100；800(2)(3)或或【分析】（1）根据图示数据解答；（2）设解析式后，根据图示把代入求出即可；（3）根据题意知，小明与妈妈相距有三次，利用列方程分别求出即可．【详解】（1）解：由图可知：小明步行的速度是，妈妈的单位距离超市m；故答案为：100；800．（2）解：设线段所表示的函数表达式为：，把代入得：解得：，线段所表示的函数表达式为：．（3）由图示知，小明妈妈从单位骑行回家拿东西共用时间是，小明妈妈从单位骑行速度是：当小明妈妈从单位骑行回家拿东西时，小明与妈妈相距，由题意列方程为：，解得：；当小明妈妈回家拿东西并在家停留时，小明与妈妈相距，此时；当小明妈妈回家拿东西后再以相同的速度骑行去超市时，由题意列方程为：，解得：，综上所述：或或时，小明与妈妈相距400m．故答案为：或或．【点睛】本题考查了一次函数的应用，解题的关键是从图象中获取信息，利用数形结合的思想解答．11．（2023·江苏无锡·统考一模）春夏之交正是农业用水高峰期，某地水利站有两台泵机实施调水作业．如果单开泵机，可以正好在预定时间内完成，总费用为1920元；如果单开泵机，则要比预定时间多4天，总费用为2240元．水利站经过测算，如果两台泵机同时开启3天，然后由泵机单独完成余下的调水作业，这样也能正好在预定时间内完成．(1)两台泵机平均每天费用分别是多少元？(2)水利站接到上级部门要求提前3天完成调水作业，请问如何安排两台泵机作业才能完成任务？花费最少是多少元？（注：不足一天按照一天计算费用．）【答案】(1)泵机平均每天费用是160元，泵机平均每天费用是140元(2)泵机工作9天，泵机工作4天，总费用为最少为2000元【分析】（1）设预定完成工作任务的时间为天，则单开泵机需要天完成，单开泵机需要天完成，由题意列分式方程并求解，即可获得答案；（2）设泵机工作天，泵机工作天（其中，）总费用为元，由题意可得，，整理可得，结合一次函数的性质即可获得答案．【详解】（1）解：设预定完成工作任务的时间为天，则单开泵机需要天完成，单开泵机需要天完成，由题意可得，解得，经检验，是原分式方程的解，所以，泵机平均每天费用是元，泵机平均每天费用是元；（2）设泵机工作天，泵机工作天（其中，）总费用为元，由题意可得，，∵，∴，∴，∵，∴随的增大而减小，∴当时，有最小值，最小值为元，此时天，∴泵机工作9天，泵机工作4天，总费用为最少为2000元．【点睛】本题主要考查了分式方程和一次函数的应用，理解题意，找到等量关系是解题关键．12．（2023·江苏常州·校考一模）2022年FIFA世界杯期间，某商店购进A、B两种品牌的足球进行销售．销售5个A品牌和个B品牌足球的利润和为元，销售个A品牌和5个B品牌足球的利润和为元．(1)求每个A品牌和B品牌足球的销售利润；(2)商店计划购进两种品牌足球共100个，设购进A品牌足球x个，两种足球全部销售完共获利y元．①求y与x之间的函数关系式；（不必写x的取值范围）②若购进A品牌足球的个数不少于60个，且不超过B品牌足球个数的4倍，求最大利润．【答案】(1)每个A品牌足球的销售利润分别为元、每个B品牌足球的销售利润为元；(2)①y与x之间的函数关系式为；②最大利润为元【分析】（1）设每个A品牌和B品牌足球的销售利润分别为m元、n元，根据题“销售5个A品牌和个B品牌足球的利润和为元，销售个A品牌和5个B品牌足球的利润和为元”得方程组，解方程组即得；（2）①由题意、根据“总利润等于销售A品牌和B品牌所得利润之和”可得函数关系式；②由已知条件可得关于x的不等式组，从而得出x的取值范围，再根据一次函数的增减性，即可求出最大利润．【详解】（1）解：设每个A品牌足球的销售利润为m元、每个B品牌足球的销售利润为n元，根据题意，得：，解得：，答：每个A品牌足球的销售利润分别为60元、每个B品牌足球的销售利润为40元；（2）解：①由题意知，，∴y与x之间的函数关系式为；②∵购进A品牌足球的个数不少于个，且不超过B品牌足球个数的4倍，∴，解得：，在中，∵，∴y随x的增大而增大，∴当时，y取得最大值，最大值为，即最大利润为元．【点睛】本题考查一次函数的应用和二元一次方程组的应用，关键是找到等量关系列出函数解析式或方程组．13．（2023·江苏苏州·模拟预测）如图，已知双曲线与直线相交于A、B两点，AC⊥x轴，垂足为C，直线与x轴交于点D．若的面积为1，．(1)求k的值；(2)若点B的纵坐标为，求该直线的函数表达式；(3)在（2）条件下，直接写出当x为何值时？【答案】(1)(2)直线的函数表达式为(3)当或时，【分析】（1）利用反比例函数系数k的几何意义即可求得；（2）利用三角形面积求得A的坐标，把代入反比例函数的解析式求得B的坐标，然后利用待定系数法求得直线的解析式；（3）根据图象即可求得．【详解】（1）解：∵，∴；（2）∵的面积为1，．∴，∴，∴，∴，把代入得，，∴，∴，∵直线过A、B两点，∴，解得，∴直线的函数表达式为；（3）解：观察图象，当或时，．【点睛】本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了反比例函数系数k的几何意义，三角形的面积，待定系数法求一次函数的解析式，反比例函数图象上点的坐标特征，数形结合是解题的关键．14．（2023·江苏苏州·统考一模）如图，正比例函数与反比例函数的图像交于点，点是反比例函数图像上的一动点．过点作轴，垂足为，交直线于点．(1)求与的值；(2)若的面积是2，求此时点的坐标．【答案】(1)，(2)或【分析】（1）先把点A坐标代入正比例函数解析式求出点A的坐标，再把点A的坐标代入反比例函数解析式求出k的值即可得到答案；（2）设，则，则，再分如图1所示，当点P在点G上方时，如图2所示，当点P在点G下方时，求出对应的，并据此建立方程求解即可．【详解】（1）解：把点代入到中得：，∴，把代入到中得：，∴；（2）解：由（1）得反比例函数解析式为，设，则，∴，∵是反比例函数图像上的一动点．，∴，如图1所示，当点P在点G上方时，∵的面积是2，∴，∴，解得（负值舍），∴；如图2所示，当点P在点G下方时，则，∴，∴，；综上所述，点P的坐标为或．【点睛】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合，反比例函数比例系数的几何意义，利用分类讨论的思想求解是解题的关键．15．（2023·江苏苏州·统考二模）如图，矩形ABCD的两个顶点A、B都在反比例函数的图象上，经过原点O，对角线AC垂直于x轴，垂足为E，已知点A的坐标为．(1)求直线AB和反比例函数的解析式；(2)求矩形的面积；【答案】(1)，(2)10【分析】（1）将点A的坐标代入反比例函数中，得，即可得反比例函数的解析式，再设出直线的解析式为，将点A的坐标代入，即可得直线AB的解析式；（2）先根据点A的坐标求出的长，根据，得到，即得到，即可求矩形的面积．【详解】（1）解：将点A的坐标代入反比例函数中，得，反比例函数的解析式为经过原点O，设直线的解析式为，将点A的坐标代入直线方程，得直线AB的解析式为．（2）解：对角线AC垂直于x轴，四边形为矩形，点A的坐标，在中，利用勾股定理得：即：得矩形的面积．【点睛】此题是一次函数与反比例函数综合题，此外考查了矩形的性质，相似三角形性质，勾股定理解直角三角形，解答本题的关键是明确题意，综合应用知识解答．16．（2023·江苏常州·统考一模）如图，一次函数的图像与反比例函数的图像交于点，与y轴交于点，与x轴交于点．(1)求与的值；(2)点是x轴正半轴上一点，若，求的面积．【答案】(1)，(2)【分析】（1）根据一次函数与反比例函数图像与性质，将相应点代入表达式解方程即可得到答案；（2）过点作轴，垂足为，如图所示，得到，，从而，利用代值求解即可得到答案．【详解】（1）解：一次函数的图像与反比例函数的图像交于点，与y轴交于点，与x轴交于点把，代入，得，解得，把，代入，得；把，代入，得，解得；（2）解：过点作轴，垂足为，如图所示：，，∵一次函数的图像与y轴交于点，即当时，，，∴，∵，，∴，∴．【点睛】本题考查一次函数与反比例函数综合问题，涉及一次函数与反比例函数图像与性质、函数图像交点问题及平面直角坐标系中图形面积求解，熟练掌握一次函数与反比例函数图像与性质是解决问题的关键．17．（2023·江苏常州·统考一模）已知直线过点．点为直线上一点，其横坐标为．过点作轴的垂线，与函数的图象交于点．(1)求的值；(2)①求点的坐标（用含的式子表示）；②若的面积等于3，求出点的横坐标的值．【答案】(1)(2)①；②【分析】（1）由直线过点，代入直线解析式即可求解；（2）①根据题意可求点P的纵坐标为，由轴，可得点的纵坐标为，由点Q在函数的图象上，可求点Q的横坐标即可；②根据点P，Q的坐标可求的长，利用三角形面积公式，即可．【详解】（1）解：∵直线过点，∴，即．（2）解：①∵在直线上且横坐标为，∴点的纵坐标为，∵轴，∴点的纵坐标为．∵点在函数的图象上，∴点的横坐标为．∴点的坐标为．②∵，，∴，∵中边上的高，∴，∵的面积等于3，∴，∴（舍），，∴点的横坐标为．【点睛】本题考查一次函数解析式与反比例函数，直线垂直y轴上的点的特征，三角形面积，掌握一次函数解析式，直线垂直y轴上的点的特征，三角形面积是解题关键．18．（2023·江苏南通·南通田家炳中学校考模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，直线经过点，与y轴交于点B，与反比例函数的图象交于点，过B作轴，交反比例函数的图象于点D，连接．(1)________，________，不等式的解集是________；(2)求的面积．【答案】(1)4，6，(2)【分析】（1）先把点A坐标代入直线解析式求出b的值，即求出直线解析式，进而求出点C的坐标，再把点C的坐标代入反比例函数解析式求出k的值；再根据图象法求出不等式的解集即可；（2）先求出点B的坐标，进而求出点D的坐标，再根据进行求解即可．【详解】（1）解：把代入到直线中得：，∴，∴直线解析式为，把点代入到直线中得：，∴，∴，把代入到反比例函数中得：，∴；由函数图象可知，当时，一次函数图象在反比例函数图象下方，∴不等式的解集是，故答案为：4，6，；（2）解：由（1）得反比例函数解析式为在中，令，则，∴，在中，令，则，∴，∴，∴．【点睛】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合，正确求出对应的函数解析式是解题的关键．19．（2023·江苏常州·常州市第二十四中学校考一模）已知是直线l和双曲线的交点．(1)求m的值．(2)若直线l分别和x轴、y轴交于E、F两点，且点A是的外心，试确定直线l的解析式．(3)在双曲线上另取一点B，过B作轴于K，试问：在y轴上是否存在点P，使得？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)(2)(3)存在，或【分析】（1）直接把点坐标代入可计算出；（2）由于为直角三角形，点是的外心，根据直角三角形外心为斜边的中点得到点，为的中点，再根据线段中点的坐标公式得到点坐标为，点坐标为，然后利用待定系数法确定的解析式；（3）根据反比例函数的比例系数的几何意义得到，设，利用三角形面积公式得到，然后求出即可得到点坐标．【详解】（1）解：把代入得，解得；（2）为直角三角形，点是的外心，点，为的中点，点坐标为，点坐标为，设直线的解析式为，把，代入得，解得，直线的解析式为；（3）存在．理由如下：连接，设，，，，或满足条件的点坐标为或．【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：反比例函数与一次函数图象的交点坐标满足两函数的解析式．也考查了待定系数法求函数解析式以及反比例函数的比例系数的几何意义．20．（2023·江苏无锡·统考一模）某学校准备到文化用品商店购买数学实验器材A和B，若购买3件器材A和2件器材B共需要550元，若购买2件器材A和3件器材B共需要450元.(1)求每件器材A、B的销售价格；(2)学校准备用不多于3000元的金额购买这两种器材共25件，求最多购买器材A的件数；(3)在（2）的条件下，学校还要求购买器材A不少于15件，则学校购买费用最少多少元？【答案】(1)每件器材A的销售价格150元，每件器材B的销售价格50元(2)最多购买器材A的件数是17件(3)学校购买费用最少为2750元【分析】（1）设每件器材A的销售价格为x元，每件器材B的销售价格为y元，根据题意列出方程求解即可；（2）设购买器材A件数为，则购买器材A件数为，根据题意列出不等式求解即可；（3）设购买费用为元，列出购买费用和购买器材A件数的一次函数，利用一次函数的性质求解即可．【详解】（1）设每件器材A的销售价格为x元，每件器材B的销售价格为y元，根据题意得，解得，∴每件器材A的销售价格为150元，每件器材B的销售价格为50元；（2）设购买器材A件数为，则购买器材A件数为，由题意可得，∴，又∵为整数，∴最大是17，即最多购买器材A的件数是17件；（3）设购买费用为元，根据题意得，∵，，为整数，∴当时，（元），∴学校购买费用最少为2750元．【点睛】本题考查了二元一次方程组与实际问题，读懂题意，列出方程是解题的关键．21．（2023·江苏苏州·校联考一模）如图，在中，，，轴，垂足为，边与轴交于点，反比例函数的图像经过点．(1)若点是边的中点，求直线和反比例函数的表达式．(2)将边沿边所在直线翻折，交反比例函数的图像于点，交轴于点，若点的纵坐标为，求的值．【答案】(1)直线的解析式为；反比例函数解析式为(2)8【分析】（1）根据相似三角形的判定和性质得出，然后确定各个点的坐标，利用待定系数法即可确定直线和反比例函数解析式；（2）设，则，根据翻折确定，然后分别确定直线的解析式为：，反比例函数的表达式为：，确定相应的函数值为2时自变量的值，令其相等求解即可．【详解】（1）解：∵是边的中点，∴，∵，∴，∴，∴即，∴，∴，设直线的解析式为，将点A、B代入得：，解得：，∴直线的解析式为；将点A代入反比例函数得，解得：，∴反比例函数解析式为；（2）设，则，∵边沿边所在直线翻折得，∴，∴，设直线的解析式为，将点A、F代入得：，解得：，∴直线的解析式为：，令，解得：，将点A代入反比例函数得：，解得：，∴反比例函数的表达式为：，令，解得：，∵直线与反比例函数交于点E，且点E的纵坐标为2，∴，解得：，∴．【点睛】题目主要考查反比例函数与一次函数综合问题及相似三角形的判定和性质，理解题意，熟练掌握运用这些基础知识点是解题关键．22．（2023·江苏无锡·校考一模）为响应国家“双减”政策．提高同学们的创新思维，某中学开设了创新思维课程．为满足学生的需求，准备再购买一些型号和型号的电脑．如果分别用元购买、型号电脑，购买型号台数比型号少台、已知型号电脑的单价为型号的．(1)求两种型号电脑单价分别为多少元；(2)学校计划新建两个电脑室需购买台电脑，学校计划总费用不多于元，并且要求型电脑数量不能低于台，那么应如何安排购买方案才能使费用最少，最少费用应为多少？【答案】(1)设每台型号电脑进价为元，每台型号电脑进价为元；(2)购买台型号电脑，台型号电脑时费用最少，最少费用为元．【分析】（1）设每台型号电脑进价为元，每台型号电脑进价为元，由分别用元购买、型号电脑，购买型号台数数比型号少台列出方程即可求解；（2）设购买型号电脑台，则购买型号电脑台，设总费用为元，根据题意可求与关系，并列出不等式组求出的取值范围，再根据一次函数的性质解答即可．【详解】（1）解：设每台型号电脑进价为元，每台型号电脑进价为元，根据题意，得：解得，经检验，是原方程的解并满足题意，型号电脑进价为：答：设每台型号电脑进价为元，每台型号电脑进价为元；（2）设购买型号电脑台，则购买型号电脑台，设总费用为元，根据题意得：解得，由题意得，，，随的增大而增大，当时费用最少，最少费用为，台，答：购买台型号电脑，台型号电脑时费用最少，最少费用为元．【点睛】本题考查了一次函数的应用，分式方程的应用，一元一次不等式组的应