2023年二轮复习解答题专题五：解直角三角形的应用母子型(原卷版+解析)

2023年二轮复习解答题专题五：解直角三角形的应用母子型方法点睛解直角三角形的实际应用题解题方法审题、分析题意，将已知量和未知量弄清楚，明确题目中的一些名词、术语的含义，如仰角、俯角、坡角、坡度、方位角等；若所给三角形是直角三角形，确定合适的边角关系进行计算；若不是直角三角形，可尝试添加辅助线，把它们分割成一些直角三角形或矩形，把实际问题转化为直角三角形问题进行解决.此外，在测量问题中往往会涉及测角仪等与计算无关的数据，在求建筑物高度时不要忽略这些数据.典例分析例（2022河南中考）开封清明上河园是依照北宋著名画家张择端的《清明上河图》建造的，拂云阁是园内最高的建筑．某数学小组测量拂云阁DC的高度，如图，在A处用测角仪测得拂云阁顶端D的仰角为34°，沿AC方向前进15m到达B处，又测得拂云阁顶端D的仰角为45°．已知测角仪的高度为1.5m，测量点A，B与拂云阁DC的底部C在同一水平线上，求拂云阁DC的高度（结果精确到1m．参考数据：，，）．专题过关1．（2022兰州中考）如图，小睿为测量公园的一凉亭AB的高度，他先在水平地面点E处用高1.5m的测角仪DE测得，然后沿EB方向向前走3m到达点G处，在点G处用高1.5m的测角仪FG测得．求凉亭AB的高度．（A，C，B三点共线，，，，．结果精确到0.1m）（参考数据：，，，，，）3.（2022大连中考）如图，莲花山是大连著名的景点之一，游客可以从山底乘坐索道车到达山项，索速车运行的速度是1米/秒，小明要测量莲花山山顶白塔的高度，他在索道A处测得白塔底部B的仰角的为，测得白塔顶部C的仰角的为．索道车从A处运行到B处所用时间的为5分钟．（1）索道车从A处运行到B处的距离约为________米；（2）请你利用小明测量的数据，求白塔的高度（结果取整数）．（参考数据：）4.（2022天津中考）如图，某座山的项部有一座通讯塔，且点A，B，C在同一条直线上，从地面P处测得塔顶C的仰角为，测得塔底B的仰角为．已知通讯塔的高度为，求这座山的高度（结果取整数）．参考数据：．5.（2022眉山中考）数学实践活动小组去测量眉山市某标志性建筑物的高．如图，在楼前平地处测得楼顶处的仰角为，沿方向前进到达处，测得楼顶处的仰角为，求此建筑物的高．（结果保留整数．参考数据：，）6.（2022包头中考）如图，是底部B不可到达的一座建筑物，A为建筑物的最高点，测角仪器的高米．某数学兴趣小组为测量建筑物的高度，先在H处用测角仪器测得建筑物顶端A处的仰角为，再向前走5米到达G处，又测得建筑物顶端A处的仰角为，已知，H，G，B三点在同一水平线上，求建筑物的高度．7．（2022天门中考）（6分）小红同学在数学活动课中测量旗杆的高度．如图，已知测角仪的高度为1.58米，她在A点观测旗杆顶端E的仰角为30°，接着朝旗杆方向前进20米到达C处，在D点观测旗杆顶端E的仰角为60°，求旗杆EF的高度．（结果保留小数点后一位）（参考数据：≈1.732）8.（2022荆州中考）荆州城徽“金凤腾飞”立于古城东门外．如图，某校学生测量其高AB（含底座），先在点C处用测角仪测得其顶端A的仰角为32°，再由点C向城徽走6.6m到E处，测得顶端A的仰角为45°，已知B，E，C三点在同一直线上，测角仪离地面的高度CD＝EF＝1.5m，求城徽的高AB．（参考数据：，，）

9.（2022大庆中考）如图，为了修建跨江大桥，需要利用数学方法测量江的宽度．飞机上的测量人员在C处测得A，B两点的俯角分别为和．若飞机离地面的高度为，且点D，A，B在同一水平直线上，试求这条江的宽度（结果精确到，参考数据：）10.（2022梧州中考）今年，我国“巅峰使命”2022珠峰科考团对珠穆朗玛峰进行综合科学考察，搭建了世界最高海拔的自动气象站，还通过释放气球方式进行了高空探测．某学校兴趣小组开展实践活动，通过观测数据，计算气球升空的高度AB．如图，在平面内，点B，C，D在同一直线上，垂足为点B，，，，求AB的高度．（精确到）（参考数据：﹐﹐，）11.（2022贺州中考）如图，在小明家附近有一座废旧的烟囱，为了乡村振兴，美化环境，政府计划把这片区域改造为公园．现决定用爆破的方式拆除该烟囱，为确定安全范围，需测量烟囱的高度AB，因为不能直接到达烟囱底部B处，测量人员用高为的测角器在与烟囱底部B成一直线的C，D两处地面上，分别测得烟囱顶部A的仰角，同时量得CD为．问烟囱AB的高度为多少米？（精确到，参考数据：）12.（2022山西中考）随着科技的发展，无人机已广泛应用于生产和生活，如代替人们在高空测量距离和角度．某校“综合与实践”活动小组的同学要测星AB，CD两座楼之间的距离，他们借助无人机设计了如下测量方案：无人机在AB，CD两楼之间上方的点O处，点O距地面AC的高度为60m，此时观测到楼AB底部点A处的俯角为70°，楼CD上点E处的俯角为30°，沿水平方向由点O飞行24到达点F，测得点E处俯角为60°，其中点A，B，C，D，E，F，O均在同一竖直平面内．请根据以上数据求楼AB与CD之间的距离AC的长（结果精确到1m．参考数据：）．13．（2022遂宁中考）（9分）数学兴趣小组到一公园测量塔楼高度．如图所示，塔楼剖面和台阶的剖面在同一平面，在台阶底部点A处测得塔楼顶端点E的仰角∠GAE＝50.2°，台阶AB长26米，台阶坡面AB的坡度i＝5：12，然后在点B处测得塔楼顶端点E的仰角∠EBF＝63.4°，则塔顶到地面的高度EF约为多少米．（参考数据：tan50.2°≈1.20，tan63.4°≈2.00，sin50.2°≈0.77，sin63.4°≈0.89）14.（2022邵阳中考）如图，一艘轮船从点处以的速度向正东方向航行，在处测得灯塔在北偏东方向上，继续航行到达处，这时测得灯塔在北偏东方向上，已知在灯塔的四周内有暗礁，问这艘轮船继续向正东方向航行是否安全？并说明理由．（提示：，）15.（2022恩施中考）如图，湖中一古亭，湖边一古柳，一沉静，一飘逸、碧波荡漾，相映成趣．某活动小组赏湖之余，为了测量古亭与古柳间的距离，在古柳A处测得古亭B位于北偏东60°，他们向南走50m到达D点，测得古亭B位于北偏东45°，求古亭与古柳之间的距离AB的长（参考数据：，，结果精确到1m）．

16.（2022年重庆中考B卷）湖中小岛上码头C处一名游客突发疾病，需要救援．位于湖面B点处的快艇和湖岸A处的救援船接到通知后立刻同时出发前往救援．计划由快艇赶到码头C接该游客，再沿方向行驶，与救援船相遇后将该游客转运到救援船上．已知C在A的北偏东30°方向上，B在A的北偏东60°方向上，且B在C的正南方向900米处．（1）求湖岸A与码头C的距离（结果精确到1米，参考数据：）；（2）救援船的平均速度为150米/分，快艇的平均速度为400米/分，在接到通知后，快艇能否在5分钟内将该游客送上救援船？请说明理由．（接送游客上下船的时间忽略不计）2023年二轮复习解答题专题五：解直角三角形的应用母子型方法点睛解直角三角形的实际应用题解题方法审题、分析题意，将已知量和未知量弄清楚，明确题目中的一些名词、术语的含义，如仰角、俯角、坡角、坡度、方位角等；若所给三角形是直角三角形，确定合适的边角关系进行计算；若不是直角三角形，可尝试添加辅助线，把它们分割成一些直角三角形或矩形，把实际问题转化为直角三角形问题进行解决.此外，在测量问题中往往会涉及测角仪等与计算无关的数据，在求建筑物高度时不要忽略这些数据.模型典例分析例（2022河南中考）开封清明上河园是依照北宋著名画家张择端的《清明上河图》建造的，拂云阁是园内最高的建筑．某数学小组测量拂云阁DC的高度，如图，在A处用测角仪测得拂云阁顶端D的仰角为34°，沿AC方向前进15m到达B处，又测得拂云阁顶端D的仰角为45°．已知测角仪的高度为1.5m，测量点A，B与拂云阁DC的底部C在同一水平线上，求拂云阁DC的高度（结果精确到1m．参考数据：，，）．【思维可视化】【详解】如图，延长交于点，则四边形是矩形，则，，在中，，在中，，，即，解得，(m)．拂云阁DC的高度约为32m．【点拨】本题考查了解直角三角形的应用，掌握直角三角形中的边角关系是解题的关键．专题过关1．（2022兰州中考）如图，小睿为测量公园的一凉亭AB的高度，他先在水平地面点E处用高1.5m的测角仪DE测得，然后沿EB方向向前走3m到达点G处，在点G处用高1.5m的测角仪FG测得．求凉亭AB的高度．（A，C，B三点共线，，，，．结果精确到0.1m）（参考数据：，，，，，）【答案】m【解析】【分析】根据题意可得BC＝FG＝DE＝1.5，DF＝GE＝3，∠ACF＝90°，然后设CF＝x，则CD＝（x+3），先在Rt△ACF中，利用锐角三角函数的定义求出AC的长，再在Rt△ACD中，利用锐角三角函数的定义列出关于x的方程，进行计算即可解答．【详解】解：由题意得：BC＝FG＝DE＝1.5，DF＝GE＝3，∠ACF＝90°，设CF＝x，∴CD＝CF+DF＝（x+3），在Rt△ACF中，∠AFC＝42°，∴AC＝CF•tan42°≈0.9x（m），在Rt△ACD中，∠ADC＝31°，∴tan31°，∴x＝6，经检验：x＝6是原方程的根，∴AB＝AC+BC＝0.9x+1.5＝6.9（m），∴凉亭AB的高约为6.9m．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．3.（2022大连中考）如图，莲花山是大连著名的景点之一，游客可以从山底乘坐索道车到达山项，索速车运行的速度是1米/秒，小明要测量莲花山山顶白塔的高度，他在索道A处测得白塔底部B的仰角的为，测得白塔顶部C的仰角的为．索道车从A处运行到B处所用时间的为5分钟．（1）索道车从A处运行到B处的距离约为________米；（2）请你利用小明测量的数据，求白塔的高度（结果取整数）．（参考数据：）【答案】（1）300（2）白塔的高度约为米．【解析】【分析】（1）由路程等于速度乘以时间即可得到答案；（2）由题意可得：而再求解再利用再解方程即可．【小问1详解】解：∵索速车运行的速度是1米/秒，索道车从A处运行到B处所用时间的为5分钟，∴（米）故答案为：300【小问2详解】解：由题意可得：而∴∴所以白塔的高度约为米．【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用，熟练的利用三角函数建立方程是解本题的关键．4.（2022天津中考）如图，某座山的项部有一座通讯塔，且点A，B，C在同一条直线上，从地面P处测得塔顶C的仰角为，测得塔底B的仰角为．已知通讯塔的高度为，求这座山的高度（结果取整数）．参考数据：．【答案】这座山的高度约为【解析】【分析】在中，，在中，，利用，即可列出等式求解．【详解】解：如图，根据题意，．在中，，∴．在中，，∴．∵，∴．∴．答：这座山的高度约为．【点睛】本题考查三角函数测高，解题的关键在运用三角函数的定义表示出未知边，列出方程．5.（2022眉山中考）数学实践活动小组去测量眉山市某标志性建筑物的高．如图，在楼前平地处测得楼顶处的仰角为，沿方向前进到达处，测得楼顶处的仰角为，求此建筑物的高．（结果保留整数．参考数据：，）【答案】82米【解析】【分析】设的长为，可以得出BD的长也为，从而表示出AD的长度，然后利用解直角三角形中的正切列出方程求解即可．【详解】解：设为，∵，∴，∴，在中，，即，∴∴．答：此建筑物的高度约为．【点睛】本题考查了解直角三角形的实际应用，准确的找准每一个直角三角形中边的关系，利用正弦，余弦，正切列出方程求解是解题的关键．6.（2022包头中考）如图，是底部B不可到达的一座建筑物，A为建筑物的最高点，测角仪器的高米．某数学兴趣小组为测量建筑物的高度，先在H处用测角仪器测得建筑物顶端A处的仰角为，再向前走5米到达G处，又测得建筑物顶端A处的仰角为，已知，H，G，B三点在同一水平线上，求建筑物的高度．【答案】19米【解析】【分析】设米．在中，得到．在中，得到，．根据，列方程．【详解】解：如图．根据题意，，．设米．在中，∵，∴．在中，∵，∴．∵，∴，∴，∴，即．∵，∴（米）．答：建筑物的高度为19米．【点睛】本题考查了解三角形的应用问题，锐角三角函数的应用，解题的关键是找出直角三角形，熟练利用正切函数的定理求解．7．（2022天门中考）（6分）小红同学在数学活动课中测量旗杆的高度．如图，已知测角仪的高度为1.58米，她在A点观测旗杆顶端E的仰角为30°，接着朝旗杆方向前进20米到达C处，在D点观测旗杆顶端E的仰角为60°，求旗杆EF的高度．（结果保留小数点后一位）（参考数据：≈1.732）【分析】过点D作DG⊥EF于点G，则A，D，G三点共线，BC＝AD＝20米，AB＝CD＝FG＝1.58米，设DG＝x米，则AG＝（20+x）米，在Rt△DEG中，∠EDG＝60°，tan60°＝，解得EG＝x，在Rt△AEG中，∠EAG＝30°，tan30°＝＝，解得x＝10，则EG＝10米，根据EF＝EG+FG可得出答案．【解答】解：过点D作DG⊥EF于点G，则A，D，G三点共线，BC＝AD＝20米，AB＝CD＝FG＝1.58米，设DG＝x米，则AG＝（20+x）米，在Rt△DEG中，∠EDG＝60°，tan60°＝，解得EG＝x，在Rt△AEG中，∠EAG＝30°，tan30°＝＝，解得x＝10，∴EG＝10米，∴EF＝EG+FG≈18.9米．∴旗杆EF的高度约为18.9米．【点评】本题考查解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解答本题的关键．8.（2022荆州中考）荆州城徽“金凤腾飞”立于古城东门外．如图，某校学生测量其高AB（含底座），先在点C处用测角仪测得其顶端A的仰角为32°，再由点C向城徽走6.6m到E处，测得顶端A的仰角为45°，已知B，E，C三点在同一直线上，测角仪离地面的高度CD＝EF＝1.5m，求城徽的高AB．（参考数据：，，）

【答案】城徽的高AB约为米．【解析】【分析】如图，延长DF交AB于M，由题意可得：所以四边形BMFE，四边形EFCD，四边形BMDC都为矩形；设再表示再利用锐角的正切建立方程，解方程即可．【详解】解：如图，延长DF交AB于M，由题意可得：所以四边形BMFE，四边形EFCD，四边形BMDC都为矩形；

设而由解得：经检验符合题意，所以答：城徽的高AB约为米．【点睛】本题考查的是矩形的判定与性质，解直角三角形的应用，作出适当的辅助线构建直角三角形是解本题的关键．9.（2022大庆中考）如图，为了修建跨江大桥，需要利用数学方法测量江的宽度．飞机上的测量人员在C处测得A，B两点的俯角分别为和．若飞机离地面的高度为，且点D，A，B在同一水平直线上，试求这条江的宽度（结果精确到，参考数据：）【答案】这条江的宽度AB约为732米【解析】【分析】在和中，利用锐角三角函数，用表示出的长，然后计算出AB的长；【详解】解：如图，∵，∴，在中，∵，∴米，在中，∵，∴（米），∴（米）

，答：这条江的宽度AB约为732米．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题．题目难度不大，解决本题的关键是用含表示出的长．10.（2022梧州中考）今年，我国“巅峰使命”2022珠峰科考团对珠穆朗玛峰进行综合科学考察，搭建了世界最高海拔的自动气象站，还通过释放气球方式进行了高空探测．某学校兴趣小组开展实践活动，通过观测数据，计算气球升空的高度AB．如图，在平面内，点B，C，D在同一直线上，垂足为点B，，，，求AB的高度．（精确到）（参考数据：﹐﹐，）【答案】984m【解析】【分析】设AB=xm，分别在Rt△ABC和Rt△ABD中求出BC=，BD=，然后根据BC=CD+BD，构建关于x的方程即可求解．【详解】解：设AB=xm，在Rt△ABC中，∠ACB=52°，∴BC=，在Rt△ABD中，∠ADB=60°，∴BD=，又∵CD=200m，BC=CD+BD，∴，解得，答：AB的高度约为984m．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，理解题意，灵活运用所学知识解决问题是解题的关键．11.（2022贺州中考）如图，在小明家附近有一座废旧的烟囱，为了乡村振兴，美化环境，政府计划把这片区域改造为公园．现决定用爆破的方式拆除该烟囱，为确定安全范围，需测量烟囱的高度AB，因为不能直接到达烟囱底部B处，测量人员用高为的测角器在与烟囱底部B成一直线的C，D两处地面上，分别测得烟囱顶部A的仰角，同时量得CD为．问烟囱AB的高度为多少米？（精确到，参考数据：）【答案】53.2【解析】【分析】设，得，，得方程，解出x，即求出AB的长．【详解】设，在中，，得．在中，，得．．解方程，得．．答：烟囱AB的高度为53.2米【点睛】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，构造仰角所在的直角三角形，利用两个直角三角形的公共边求解是常用的解直角三角形的方法．12.（2022山西中考）随着科技的发展，无人机已广泛应用于生产和生活，如代替人们在高空测量距离和角度．某校“综合与实践”活动小组的同学要测星AB，CD两座楼之间的距离，他们借助无人机设计了如下测量方案：无人机在AB，CD两楼之间上方的点O处，点O距地面AC的高度为60m，此时观测到楼AB底部点A处的俯角为70°，楼CD上点E处的俯角为30°，沿水平方向由点O飞行24到达点F，测得点E处俯角为60°，其中点A，B，C，D，E，F，O均在同一竖直平面内．请根据以上数据求楼AB与CD之间的距离AC的长（结果精确到1m．参考数据：）．【答案】58m【解析】【分析】延长AB和CD分别与直线OF交于点G和点H，则，再根据图形应用三角函数即可求解．【详解】解：延长AB和CD分别与直线OF交于点G和点H，则．又∵，∴四边形ACHG是矩形．∴．由题意，得．在中，，∴﹒∵是外角，∴．∴．∴．在中，∴．∴．答：楼AB与CD之间的距离AC的长约为58m．【点睛】本题主要考查三角函数的综合应用，正确构造直角三角形并应用三角函数进行求解是解题的关键．13．（2022遂宁中考）（9分）数学兴趣小组到一公园测量塔楼高度．如图所示，塔楼剖面和台阶的剖面在同一平面，在台阶底部点A处测得塔楼顶端点E的仰角∠GAE＝50.2°，台阶AB长26米，台阶坡面AB的坡度i＝5：12，然后在点B处测得塔楼顶端点E的仰角∠EBF＝63.4°，则塔顶到地面的高度EF约为多少米．（参考数据：tan50.2°≈1.20，tan63.4°≈2.00，sin50.2°≈0.77，sin63.4°≈0.89）【分析】如图，延长EF交AG于点H，则EH⊥AG，作BP⊥AG于点P，则四边形BFHP是矩形，设EF＝a，BF＝b，构建方程组求解．【解答】解：如图，延长EF交AG于点H，则EH⊥AG，作BP⊥AG于点P，则四边形BFHP是矩形，∴FB＝PH，FH＝PB，由i＝5：12，可以假设BP＝5x，AP＝12x，∵PB2+PA2＝AB2，∴（5x）2+（12x）2＝26，∴x＝2或﹣2（舍去），∴PB＝FH＝10，AP＝24，设EF＝a，BF＝b，∵tan∠EBF＝，∴＝2，∴a＝2b①，∵tan∠EAH＝＝＝，∴＝1.2②，由①②得a＝47，b＝23.5，答：塔顶到地面的高度EF约为47米．【点评】本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，学会利用参数，构建方程组解决问题．14.（2022邵阳中考）如图，一艘轮船从点处以的速度向正东方向航行，在处测得灯塔在北偏东方向上，继续航行到达处，这时测得灯塔在北偏东方向上，已知在灯塔的四周内有暗礁，问这艘轮船继续向正东方向航行是否安全？并说明理由．（提示：，）【答案】这艘轮船继续向正东方向航行是安全的，理由见解析【解析】【分析】如图，过C作CD⊥AB于点D，根据方向角的定义及余角的性质求出∠BAC=30°，∠CBD=45°，解Rt△ACD和Rt△BCD，求出CD即可．【详解】解：过点C作CD⊥AB，垂足为D．如图所示：

根据题意可知∠BAC=90°−60°=30°，∠DBC=90°-45°=45°，AB=30×1=30（km），在Rt△BCD中，∠CDB=90°，∠DBC=45°，tan∠DBC=，即=1∴CD=BD设BD=CD=xkm，

在Rt△ACD中，∠CDA=90°，∠DAC=30°，∴tan∠DAC=，即解得x=15+15≈40.98，∵40.98km>40km

∴这艘船继续向东航行安全．【点睛】此题考查了解直角三角形应用；解题的关键是熟练掌握锐角三角函数定义．15.（2022恩施中考）如图，湖中一古亭，湖边一古柳，一沉静，一飘逸、碧波荡漾，相映成趣．某活动小组赏