2023年二轮复习解答题专题二十四：抛物线上的线段长问题的转化与探究(原卷版+解析)

2023年二轮复习解答题专题二十四：抛物线上的线段长问题的转化与探究方法点睛二次函数图象上的线段长问题，往往涉及到以下三类：平行x轴或y轴的线段长，一般的斜线类线段，与线段之间的数量有关的问题。典例分析类型一：平行于x轴或y轴的线段长的问题例1：（2022贵港中考）如图，已知抛物线经过和两点，直线与x轴相交于点C，P是直线上方的抛物线上的一个动点，轴交于点D．（1）求该抛物线的表达式；（2）若轴交于点E，求的最大值；（3）若以A，P，D为顶点的三角形与相似，请直接写出所有满足条件的点P，点D的坐标．类型二：一般的斜线类线段问题例2：（2022眉山中考）在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，（点在点的左侧），与轴交于点，且点的坐标为．（1）求点坐标；（2）如图1，若点是第二象限内抛物线上一动点，求点到直线距离的最大值；（3）如图2，若点是抛物线上一点，点是抛物线对称轴上一点，是否存在点使以，，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．类型三：与线段之间的数量有关的问题例3：（2022乐山中考）如图1，已知二次函数的图象与x轴交于点、，与y轴交于点C，且．（1）求二次函数的解析式；（2）如图2，过点C作轴交二次函数图象于点D，P是二次函数图象上异于点D的一个动点，连接PB、PC，若，求点P的坐标；（3）如图3，若点P是二次函数图象上位于BC下方的一个动点，连接OP交BC于点Q．设点P的横坐标为t，试用含t的代数式表示的值，并求的最大值．专题过关1.（2022益阳中考）（12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线E：y＝﹣（x﹣m）2+2m2（m＜0）的顶点P在抛物线F：y＝ax2上，直线x＝t与抛物线E，F分别交于点A，B．（1）求a的值；（2）将A，B的纵坐标分别记为yA，yB，设s＝yA﹣yB，若s的最大值为4，则m的值是多少？（3）Q是x轴的正半轴上一点，且PQ的中点M恰好在抛物线F上．试探究：此时无论m为何负值，在y轴的负半轴上是否存在定点G，使∠PQG总为直角？若存在，请求出点G的坐标；若不存在，请说明理由．2．（2022湘西中考）（12分）定义：由两条与x轴有着相同的交点，并且开口方向相同的抛物线所围成的封闭曲线称为“月牙线”，如图①，抛物线C1：y＝x2+2x﹣3与抛物线C2：y＝ax2+2ax+c组成一个开口向上的“月牙线”，抛物线C1和抛物线C2与x轴有着相同的交点A（﹣3，0）、B（点B在点A右侧），与y轴的交点分别为G、H（0，﹣1）．（1）求抛物线C2的解析式和点G的坐标．（2）点M是x轴下方抛物线C1上的点，过点M作MN⊥x轴于点N，交抛物线C2于点D，求线段MN与线段DM的长度的比值．（3）如图②，点E是点H关于抛物线对称轴的对称点，连接EG，在x轴上是否存在点F，使得△EFG是以EG为腰的等腰三角形？若存在，请求出点F的坐标；若不存在，请说明理由．3.（2022广元中考）在平面直角坐标系中，直线y＝﹣x﹣2与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）经过A，B两点，并与x轴的正半轴交于点C．（1）求a，b满足的关系式及c的值；（2）当a＝时，若点P是抛物线对称轴上的一个动点，求△PAB周长的最小值；（3）当a＝1时，若点Q是直线AB下方抛物线上的一个动点，过点Q作QD⊥AB于点D，当QD的值最大时，求此时点Q的坐标及QD的最大值．4.（2022德阳中考）抛物线的解析式是．直线与轴交于点，与轴交于点，点与直线上的点关于轴对称．（1）如图①，求射线的解析式；（2）在（1）的条件下，当抛物线与折线有两个交点时，设两个交点的横坐标是x1，x2（），求的值；（3）如图②，当抛物线经过点时，分别与轴交于，两点，且点在点的左侧．在轴上方的抛物线上有一动点，设射线与直线交于点．求的最大值．5．（2022内江中考）（12分）如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A（﹣4，0），B（2，0），与y轴交于点C（0，2）．（1）求这条抛物线所对应的函数的表达式；（2）若点D为该抛物线上的一个动点，且在直线AC上方，求点D到直线AC的距离的最大值及此时点D的坐标；（3）点P为抛物线上一点，连接CP，直线CP把四边形CBPA的面积分为1：5两部分，求点P的坐标．6.（2022山西中考）综合与探究如图，二次函数的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，点P是第一象限内二次函数图象上的一个动点，设点P的横坐标为m．过点P作直线轴于点D，作直线BC交PD于点E

（1）求A，B，C三点的坐标，并直接写出直线BC的函数表达式；（2）当是以PE为底边的等腰三角形时，求点P的坐标；（3）连接AC，过点P作直线，交y轴于点F，连接DF．试探究：在点P运动的过程中，是否存在点P，使得，若存在，请直接写出m的值；若不存在，请说明理由．7.（2022抚顺中考）如图，抛物线与x轴交于，B两点，与y轴交于点，点D为x轴上方抛物线上的动点，射线交直线于点E，将射线绕点O逆时针旋转得到射线，交直线于点F，连接．

（1）求抛物线的解析式；（2）当点D在第二象限且时，求点D的坐标；（3）当为直角三角形时，请直接写出点D的坐标．8.（2022湘潭中考）已知抛物线．（1）如图①，若抛物线图象与轴交于点，与轴交点．连接．①求该抛物线所表示的二次函数表达式；②若点是抛物线上一动点（与点不重合），过点作轴于点，与线段交于点．是否存在点使得点是线段的三等分点？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．（2）如图②，直线与轴交于点，同时与抛物线交于点，以线段为边作菱形，使点落在轴的正半轴上，若该抛物线与线段没有交点，求的取值范围．9.（2022武汉中考）抛物线交轴于A，两点（A在的左边），是第一象限抛物线上一点，直线交轴于点．

（1）直接写出A，两点的坐标；（2）如图（1），当时，在抛物线上存在点（异于点），使，两点到的距离相等，求出所有满足条件的点的横坐标；（3）如图（2），直线交抛物线于另一点，连接交轴于点，点的横坐标为．求的值（用含的式子表示）．10.（2022齐齐哈尔中考）综合与探究如图，某一次函数与二次函数的图象交点为A（-1，0），B（4，5）．

（1）求抛物线的解析式；（2）点C为抛物线对称轴上一动点，当AC与BC的和最小时，点C的坐标为；（3）点D为抛物线位于线段AB下方图象上一动点，过点D作DE⊥x轴，交线段AB于点E，求线段DE长度最大值；（4）在（2）条件下，点M为y轴上一点，点F为直线AB上一点，点N为平面直角坐标系内一点，若以点C，M，F，N为顶点的四边形是正方形，请直接写出点N的坐标．11.已知抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧）．

（1）求点A，点B的坐标；（2）如图，过点A的直线与抛物线的另一个交点为C，点P为抛物线对称轴上的一点，连接，设点P的纵坐标为m，当时，求m的值；（3）将线段AB先向右平移1个单位长度，再向上平移5个单位长度，得到线段MN，若抛物线与线段MN只有一个交点，请直接写出a的取值范围．12.（2022年重庆中考B卷）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点，与y轴交于点．（1）求抛物线的函数表达式；（2）点P为直线上方抛物线上一动点，过点P作轴于点Q，交于点M，求的最大值及此时点P的坐标；（3）在（2）的条件下，点与点P关于抛物线的对称轴对称．将抛物线向右平移，使新抛物线的对称轴l经过点A．点C在新抛物线上，点D在l上，直接写出所有使得以点A、、C、D为顶点的四边形是平行四边形的点D的坐标，并把求其中一个点D的坐标的过程写出来．13.（2022重庆中考A卷）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与直线交于点，．（1）求该抛物线的函数表达式；（2）点是直线下方拋物线上的一动点，过点作轴的平行线交于点，过点作轴的平行线交轴于点，求的最大值及此时点的坐标；（3）在（2）中取得最大值的条件下，将该抛物线沿水平方向向左平移5个单位，点为点的对应点，平移后的抛物线与轴交于点，为平移后的抛物线的对称轴上一点．在平移后的抛物线上确定一点，使得以点，，，为顶点的四边形是平行四边形，写出所有符合条件的点的坐标，并写出求解点的坐标的其中一种情况的过程．14.（2022河南天一大联考）如图，抛物线y＝ax2+bx﹣4交x轴于A，B两点，交y轴于点C，OB＝2OC＝4OA，连接AC，BC．（1）求抛物线的解析式；（2）点D是抛物线y＝ax2+bx﹣4的图象上在第四象限内的一动点，DE⊥x轴于点E，交BC于点F．设点D的横坐标为m．①请用含m的代数式表示线段DF的长；②已知DG∥AC，交BC于点G，请直接写出当时点D的坐标．15.（2022商丘二模）在平面直角坐标系中，抛物线解析式为，直线l：y=－x＋1与x轴交于点A，与y轴交于点B．（1）如图1，当抛物线经过点A且与x轴的两个交点都在y轴右侧时，求抛物线的解析式．（2）在（1）的条件下，若点P为直线l上方的抛物线上一点，过点P作PQ⊥l于Q，求PQ的最大值．（3）如图2，点C（－2，0），若抛物线与线段AC只有一个公共点，求m取值范围．16.（2022南阳唐河一模）如图，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c与一直线相交于A（﹣1，0），C（2，3）两点，与y轴交于点N，其项点为D．（1）填空：抛物线的解析式为；（2）若P是抛物线上位于直线AC上方的一个动点，设点P的横坐标为t，过点P作y轴的平行线交AC与M，当t为何值时，线段PM的长最大，并求其最大值；（3）若抛物线的对称轴与直线AC相交于点B，E为直线AC上的任意一点，过点E作EF∥BD交抛物线于点F，以B，D，E，F为顶点的四边形能否为平行四边形？若能，请直接写出点E的坐标；若不能，请说明理由．17.（2022大同二模）如图，已如二次函数的图象与x轴相交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴相交于点C．

（1）求点A、B、C的坐标并直接写出直线BC的关系式；（2）若D是第四象限内二次函数图象上任意一点，轴于点E，与线段BC交于点F，过点F作轴于点G，连接CD．①求线段的最大值；②当是以FC为腰的等腰三角形时，请直接写出点E的坐标．18.（2022深圳三模）如图1，抛物线经过点，点．（1）求抛物线解析式；（2）如图2，点P为抛物线上第三象限内一动点，过点作y轴的平行线，交直线于点M，交直线于点N，当点P运动时，的值是否变化？若变化，说明变化规律，若不变，求其值；（3）如图3，长度为的线段（点C在点D的左边）在射线上移动（点C在线段上），连接，过点C作CEOD交抛物线于点E，线段在移动的过程中，直线经过一定点F，直接写出定点F的坐标与的最小值．2023年二轮复习解答题专题二十四：抛物线上的线段长问题的转化与探究方法点睛二次函数图象上的线段长问题，往往涉及到以下三类：平行x轴或y轴的线段长，一般的斜线类线段，与线段之间的数量有关的问题。典例分析类型一：平行于x轴或y轴的线段长的问题例1：（2022贵港中考）如图，已知抛物线经过和两点，直线与x轴相交于点C，P是直线上方的抛物线上的一个动点，轴交于点D．（1）求该抛物线的表达式；（2）若轴交于点E，求的最大值；（3）若以A，P，D为顶点的三角形与相似，请直接写出所有满足条件的点P，点D的坐标．【答案】（1）（2）最大值为（3）或，【解析】【分析】（1）直接利用待定系数法，即可求出解析式；（2）先求出点C的坐标为，然后证明，设点P的坐标为，其中，则点D的坐标为，分别表示出和，再由二次函数的最值性质，求出答案；（3）根据题意，可分为两种情况进行分析：当∽时；当∽时；分别求出两种情况点的坐标，即可得到答案．【小问1详解】解：（1）∵抛物线经过和两点，∴解得：，，∴抛物线的表达式为．【小问2详解】解：∵，∴直线表达式为，∵直线与x轴交于点C，∴点C的坐标为，∵轴，轴，∴，∴，∴，则，设点P的坐标为，其中，则点D的坐标为，∵，∴，∵，∴当时，有最大值，且最大值为．【小问3详解】解：根据题意，在一次函数中，令，则，∴点C的坐标为（2，0）；当∽时，如图此时点D与点C重合，∴点D的坐标为（2，0）；∵轴，∴点P的横坐标为2，∴点P的纵坐标为：，∴点P的坐标为（2，3）；当∽时，如图，则，设点，则点P，∴，∵，∴，，∴，∴，∴点D的坐标为，点P的坐标为；∴满足条件的点P，点D的坐标为或，．【点睛】本题考查了二次函数的图像和性质，坐标与图形，相似三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定和性质，二次函数的图像和性质，运用数形结合的思想进行分析．类型二：一般的斜线类线段问题例2：（2022眉山中考）在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，（点在点的左侧），与轴交于点，且点的坐标为．（1）求点坐标；（2）如图1，若点是第二象限内抛物线上一动点，求点到直线距离的最大值；（3）如图2，若点是抛物线上一点，点是抛物线对称轴上一点，是否存在点使以，，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）（2）最大为（3）存在，的坐标为或（3，-16）或【解析】【分析】（1）把点A的坐标代入，求出c的值即可；（2）过作于点，过点作轴交于点，证明是等腰直角三角形，得，当最大时，最大，，运用待定系数法求直线解析式为，设，，则，求得PH，再根据二次函数的性质求解即可；（3）分①当AC为平行四边形ANMC的边，②当AC为平行四边形AMNC的边，③当AC为对角线三种情况讨论求解即可．【小问1详解】（1）∵点在抛物线的图象上，∴∴，∴点的坐标为；【小问2详解】过作于点，过点作轴交于点，如图：∵，∴，∴是等腰直角三角形，∴，∵轴，∴，∴是等腰直角三角形，∴，∴当最大时，最大，设直线解析式为，将代入得，∴，∴直线解析式为，设，，则，∴，∵，∴当时，最大为，∴此时最大为，即点到直线的距离值最大；【小问3详解】存在．∵∴抛物线的对称轴为直线，设点N的坐标为（-2，m），点M的坐标为（x，）分三种情况：①当AC为平行四边形ANMC的边时，如图，∵A（-5，0），C（0，5），∴，即解得，x=3.∴∴点M的坐标为（3，-16）②当AC为平行四边形AMNC的边长时，如图，方法同①可得，，∴∴点M的坐标为（-7，-16）；③当AC为对角线时，如图，∵A（-5，0），C（0，5），∴线段AC的中点H的坐标为，即H（）∴，解得，。∴∴点M的坐标为（-3，8）综上，点的坐标为：或（3，-16）或．【点睛】本题是二次函数综合题，其中涉及到二次函数图象上点的坐标特征，二次函数图象与几何变换，二次函数的性质，平行四边形的判定与性质．熟知几何图形的性质利用数形结合是解题的关键．类型三：与线段之间的数量有关的问题例3：（2022乐山中考）如图1，已知二次函数的图象与x轴交于点、，与y轴交于点C，且．（1）求二次函数的解析式；（2）如图2，过点C作轴交二次函数图象于点D，P是二次函数图象上异于点D的一个动点，连接PB、PC，若，求点P的坐标；（3）如图3，若点P是二次函数图象上位于BC下方的一个动点，连接OP交BC于点Q．设点P的横坐标为t，试用含t的代数式表示的值，并求的最大值．【答案】（1）；（2）P（1+）或（1-）；（3）【解析】【分析】（1）在Rt△AOC中求出OC的长，从而确定点C的坐标，将二次函数设为交点式，将点C的坐标代入，进一步求得结果；（2）可分为点P在第三象限和第一象限两种情况：当点P在第三象限时，设点P（a，），可表示出△BCD的面积，作PE∥AB交BC于E，先求出直线BC，从而得到E点坐标，从而表示出△PBC的面积，根据S△PBC=S△BCD，列出方程，进一步求得结果，当P在第一象限，同样的方法求得结果；（3）作PN⊥AB于N，交BC于M，根据P（t，），M（t，），表示出PM的长，根据PN∥OC，得出△PQM∽△OQC，从而得出，从而得出的函数表达式，进一步求得结果．【小问1详解】∵A（-1，0），∴OA=1，又∵∠AOC=90°，tan∠OAC=，∴OC=2OA=2即点C的坐标为（0，-2），设二次函数的解析式为y=a（x+1）（x-2），将C点坐标代入得：a=1，∴y=（x+1）（x-2）=；【小问2详解】设点P（a，），如图所示，当点P在第三象限时，作PE∥AB交BC于E，∵B（2，0），C（0，-2），∴直线BC的解析式为：y=x-2，∴当时，x=y+2=，∴PE==，∴S△PBC=PE·OC，∵抛物线的对称轴为y=，CD∥x轴，C（0，-2），∴点D（1，-2），∴CD=1，∴S△BCD=CD·OC，∴PE·OC=CD·OC，∴a2-2a=1，解得a1=1+（舍去），a2=1-；当x=1-时，y==a-1=-，∴P（1-，-），如图，当点P在第一象限时，作PE⊥x轴于点E，交直线BC于F，∴F（a，a-2），∴PF=（）-（a-2）=，∴S△PBC=PF·OB=CD·OC，∴=1，解得a1=1+，a2=1-（舍去）；当a=1+时，y==，∴P（1+，），综上所述，P点坐标为（1+）或（1-）；【小问3详解】如图，作PN⊥AB于N，交BC于M，由题意可知，P（t，），M（t，t-2），∴PM=（t-2）-（）=-，又∵PN∥OC，∴△PQM∽△OQC，∴+，∴当t=1时，()最大=．【点睛】本题考查二次函数的综合应用，三角函数的应用、二次函数的解析式、相似三角形的综合和配方法求最值等，熟练掌握二次函数的图象与性质是解决此类问题的关键．专题过关1.（2022益阳中考）（12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线E：y＝﹣（x﹣m）2+2m2（m＜0）的顶点P在抛物线F：y＝ax2上，直线x＝t与抛物线E，F分别交于点A，B．（1）求a的值；（2）将A，B的纵坐标分别记为yA，yB，设s＝yA﹣yB，若s的最大值为4，则m的值是多少？（3）Q是x轴的正半轴上一点，且PQ的中点M恰好在抛物线F上．试探究：此时无论m为何负值，在y轴的负半轴上是否存在定点G，使∠PQG总为直角？若存在，请求出点G的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）由抛物线的顶点式可直接得出顶点P的坐标，再代入抛物线F即可得出结论；（2）根据题意可分别表达A，B的纵坐标，再根据二次函数的性质可得出m的值；（3）过点Q作x轴的垂线KN，分别过点P，G作x轴的平行线，与KN分别交于K，N，则△PKQ∽△QNG，设出点M的坐标，可表达点Q和点G的坐标，进而可得出结论．【解答】解：（1）由题意可知，抛物线E：y＝﹣（x﹣m）2+2m2（m＜0）的顶点P的坐标为（m，2m2），∵点P在抛物线F：y＝ax2上，∴am2＝2m2，∴a＝2．（2）∵直线x＝t与抛物线E，F分别交于点A，B，∴yA＝﹣（t﹣m）2+2m2＝﹣t2+2mt+m2，yB＝2t2，∴s＝yA﹣yB＝﹣t2+2mt+m2﹣2t2＝﹣3t2+2mt+m2＝﹣3（t﹣m）2+m2，∵﹣3＜0，∴当t＝m时，s的最大值为m2，∵s的最大值为4，∴m2＝4，解得m＝±，∵m＜0，∴m＝﹣．（3）存在，理由如下：设点M的坐标为n，则M（n，2n2），∴Q（2n﹣m，4n2﹣m2），∵点Q在x轴正半轴上，∴2n﹣m＞0且4n2﹣m2＝0，∴n＝﹣m，∴M（﹣m，m2），Q（﹣m﹣m，0）．如图，过点Q作x轴的垂线KN，分别过点P，G作x轴的平行线，与KN分别交于K，N，∴∠K＝∠N＝90°，∠QPK+∠PQK＝90°，∵∠PQG＝90°，∴∠PQK+∠GQN＝90°，∴∠QPK＝∠GQN，∴△PKQ∽△QNG，∴PK：QN＝KQ：GN，即PK•GN＝KQ•QN．∵PK＝﹣m﹣m﹣m＝﹣m﹣2m，KQ＝2m2，GN＝﹣m﹣m，∴（﹣m﹣2m）（﹣m﹣m）＝2m2•QN解得QM＝．∴G（0，﹣）．【点评】本题属于二次函数综合题，涉及待定系数法求函数解析式，二次函数的性质，相似三角形的性质与判定，中点坐标公式等知识，构造相似得出方程是解题关键．2．（2022湘西中考）（12分）定义：由两条与x轴有着相同的交点，并且开口方向相同的抛物线所围成的封闭曲线称为“月牙线”，如图①，抛物线C1：y＝x2+2x﹣3与抛物线C2：y＝ax2+2ax+c组成一个开口向上的“月牙线”，抛物线C1和抛物线C2与x轴有着相同的交点A（﹣3，0）、B（点B在点A右侧），与y轴的交点分别为G、H（0，﹣1）．（1）求抛物线C2的解析式和点G的坐标．（2）点M是x轴下方抛物线C1上的点，过点M作MN⊥x轴于点N，交抛物线C2于点D，求线段MN与线段DM的长度的比值．（3）如图②，点E是点H关于抛物线对称轴的对称点，连接EG，在x轴上是否存在点F，使得△EFG是以EG为腰的等腰三角形？若存在，请求出点F的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）将A（﹣3，0）、H（0，﹣1）代入y＝ax2+2ax+c中，即可求函数的解析式；（2）设M（t，t2+2t﹣3），则D（t，t2+t﹣1），N（t，0），分别求出MN，DM，再求比值即可；（3）先求出E（﹣2，﹣1），设F（x，0），分来两种情况讨论：①当EG＝EF时，2＝，可得F（﹣2，0）或（﹣﹣2，0）；②当EG＝FG时，2＝，F点不存在．【解答】解：（1）将A（﹣3，0）、H（0，﹣1）代入y＝ax2+2ax+c中，∴，解得，∴y＝x2+x﹣1，在y＝x2+2x﹣3中，令x＝0，则y＝﹣3，∴G（0，﹣3）；（2）设M（t，t2+2t﹣3），则D（t，t2+t﹣1），N（t，0），∴NM＝﹣t2﹣2t+3，DM＝t2+t﹣1﹣（t2+2t﹣3）＝﹣t2﹣t+2，∴＝＝；（3）存在点F，使得△EFG是以EG为腰的等腰三角形，理由如下：由（1）可得y＝x2+2x﹣3的对称轴为直线x＝﹣1，∵E点与H点关于对称轴x＝﹣1对称，∴E（﹣2，﹣1），设F（x，0），①当EG＝EF时，∵G（0，﹣3），∴EG＝2，∴2＝，解得x＝﹣2或x＝﹣﹣2，∴F（﹣2，0）或（﹣﹣2，0）；②当EG＝FG时，2＝，此时x无解；综上所述：F点坐标为（﹣2，0）或（﹣﹣2，0）．【点评】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，等腰三角形的性质，分类讨论是解题的关键．3.（2022广元中考）在平面直角坐标系中，直线y＝﹣x﹣2与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）经过A，B两点，并与x轴的正半轴交于点C．（1）求a，b满足的关系式及c的值；（2）当a＝时，若点P是抛物线对称轴上的一个动点，求△PAB周长的最小值；（3）当a＝1时，若点Q是直线AB下方抛物线上的一个动点，过点Q作QD⊥AB于点D，当QD的值最大时，求此时点Q的坐标及QD的最大值．【答案】（1）2a=b+1，c=-2；（2）△PAB周长最小值是2+2；（3）此时Q（-1，-2），DQ最大值为．【解析】【分析】（1）先求得点A、点B的坐标，再利用待定系数法求解即可；（2）先利用对称性找出△PAB周长最小时点P的位置，此时AP=CP，△PAB的周长最小值为：PB+PA+AB=BC+AB，根据勾股定理求出AB、BC的长即可求出△PAB最小值；（3）过点Q作QF⊥x轴交于F点，交直线AB于点E，得到∠QED=∠EQD=45°，推出QD=ED=EQ，设Q（t，t2+t-2），E（t，-t-2），求得QE=-t2-2t，再利用二次函数的性质即可求解．【小问1详解】解：∵直线y＝﹣x﹣2与x轴交于点A，与y轴交于点B，∴点A的坐标为(-2，0)，点B的坐标为(0，-2)，∵抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）经过A，B两点，∴，∴2a=b+1，c=-2；【小问2详解】解：当a=时，则b=-，∴抛物线的解析式为y=x2-x-2，抛物线的对称轴为直线x=1，∵点A的坐标为(-2，0)，∴点C的坐标为(4，0)，△PAB的周长为：PB+PA+AB，且AB是定值，∴当PB+PA最小时，△PAB的周长最小，∵点A、C关于直线x=1对称，∴连接BC交直线x=1于点P，此时PB+PA值最小，∵AP=CP，∴△PAB的周长最小值为：PB+PA+AB=BC+AB，∵A（-2，0），B（0，-2），C（4，0），∴OA=2，OB=2，OC=4，由勾股定理得BC=2，AB=2，∴△PAB的周长最小值是：2+2．【小问3详解】解：当a=1时，b=1，∴抛物线的解析式为y=x2+x-2，过点Q作QF⊥x轴交于F点，交直线AB于点E，∵A（-2，0），B（0，-2），∴OA=OB，∴∠OAB=45°，∵QD⊥AB，∴∠AEF=∠QED=∠EQD=45°，∴QD=ED=EQ，设Q（t，t2+t-2），E（t，-t-2），∴QE=-t-2-(t2+t-2)=-t2-2t，∴DQ=QE=-(t2+2t)=-(t+1)2+，当t=-1时，DQ有最大值，此时Q（-1，-2）．【点睛】本题是二次函数的综合题，熟练掌握二次函数的图象及性质，等腰直角三角形的性质是解题的关键．4.（2022德阳中考）抛物线的解析式是．直线与轴交于点，与轴交于点，点与直线上的点关于轴对称．（1）如图①，求射线的解析式；（2）在（1）的条件下，当抛物线与折线有两个交点时，设两个交点的横坐标是x1，x2（），求的值；（3）如图②，当抛物线经过点时，分别与轴交于，两点，且点在点的左侧．在轴上方的抛物线上有一动点，设射线与直线交于点．求的最大值．【答案】（1），（2）4（3）【解析】【分析】（1）先求出直线与坐标轴的交点M、E的坐标，根据G(5,-3)、F关于x轴对称求出F点坐标，再利用待定系数法即可求解；（2）求出抛物线的对称轴x=2，可确定M点在抛物线对称轴上，可确定抛物线与折线EMF的两个交点，必然是一个点落在射线ME上，一个点落在射线MF，即可得到，①-②，得到，则问题得解；（3）先求出抛物线的解析式，再求出抛物线与x轴的交点A、B坐标，设P点坐标为，根据A、P的坐标求出直线AP的解析式，即可求出AP与ME的交点N的坐标，即可用含a的代数式表示出和，即可得到，则问题得解．【小问1详解】∵直线与坐标轴交于点M、E，∴令x=0时，y=2；令y=0时，x=2，∴M点坐标为(2,0)，E点坐标为(0,2)，∵G(5,-3)，且点G、F关于x轴对称，∴F(5,3)，设射线MF的解析式为，，∵M点坐标为(2,0)，F(5,3)，∴，解得：，∴射线MF的解析式为，，【小问2详解】根据题意可知射线ME的解析式为：，，在（1）中已求得射线MF的解析式为，，∵的对称轴为x=2，又∵M点(2,0)，∴M点刚好在的对称轴为x=2上，∴抛物线与折线EMF的两个交点，必然是一个点落在射线ME上，一个点落在射线MF，∵，∴此时交点的坐标为、，且、，∵、在抛物线上，∴，由①-②，得：，整理得：∵、，∴，∴，∴，∴；【小问3详解】∵抛物线过点C(0,5)，∴代入C点坐标可得a=5，∴抛物线解析式，令y=0，得，解得：，，∴A点坐标(-1,0)、B点坐标为(5,0)，∵P点在抛物线上，∴设P点坐标为，显然A、P不重合，即a≠-1，∵P点在x轴上方，∴，设直线AP的解析式为，∴即有，解得，即直线AP的解析式为：，联立，解得，∴N点坐标为，∵P点坐标为，A点坐标(-1,0)，∴，∴，∴，∴，∵，且通过图像可知，只有当P点在直线ME上方时，的值才有可能取得最大值，∴，即，∴即有，∴，∴当时，取的最大值，且最大值为：，即的最大值为．【点睛】本题考查了用待定系数法求解析式、抛物线与一元二次方程的根的知识、勾股定理、二次函数求最值等知识，本题的计算量较大，仔细化简所表示出和的代数式是解答本题的关键．5．（2022内江中考）（12分）如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A（﹣4，0），B（2，0），与y轴交于点C（0，2）．（1）求这条抛物线所对应的函数的表达式；（2）若点D为该抛物线上的一个动点，且在直线AC上方，求点D到直线AC的距离的最大值及此时点D的坐标；（3）点P为抛物线上一点，连接CP，直线CP把四边形CBPA的面积分为1：5两部分，求点P的坐标．【分析】（1）运用待定系数法即可解决问题；（2）过点D作DH⊥AB于H，交直线AC于点G，过点D作DE⊥AC于E，可用待定系数法求出直线AC的解析式，设点D的横坐标为m，则点G的横坐标也为m，从而可以用m的代数式表示出DG，然后利用cos∠EDG＝cos∠CAO得到DE＝DG，可得出关于m的二次函数，运用二次函数的最值即可解决问题；（3）根据S△PCB：S△PCA＝EB×（yC﹣yP）：AE×（yC﹣yP）＝BE：AE，即可求解．【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A（﹣4，0），B（2，0），与y轴交于点C（0，2）．∴，解得：，∴抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣x+2；（2）过点D作DH⊥AB于H，交直线AC于点G，过点D作DE⊥AC于E，如图．设直线AC的解析式为y＝kx+t，则，解得：，∴直线AC的解析式为y＝x+2．设点D的横坐标为m，则点G的横坐标也为m，∴DH＝﹣m2﹣m+2，GH＝m+2∴DG＝﹣m2﹣m+2﹣m﹣2＝﹣m2﹣m，∵DE⊥AC，DH⊥AB，∴∠EDG+DGE＝AGH+∠CAO＝90°，∵∠DGE＝∠AGH，∴∠EDG＝∠CAO，∴cos∠EDG＝cos∠CAO＝＝，∴，∴DE＝DG＝（﹣m2﹣m）＝﹣（m2+4m）＝﹣（m+2）2+，∴当m＝﹣2时，点D到直线AC的距离取得最大值．此时yD＝﹣×（﹣2）2﹣×（﹣2）+2＝2，即点D的坐标为（﹣2，2）；（3）如图，设直线CP交x轴于点E，直线CP把四边形CBPA的面积分为1：5两部分，又∵S△PCB：S△PCA＝EB×（yC﹣yP）：AE×（yC﹣yP）＝BE：AE，则BE：AE＝1：5或5：1则AE＝5或1，即点E的坐标为（1，0）或（﹣3，0），将点E的坐标代入直线CP的表达式：y＝nx+2，解得：n＝﹣2或，故直线CP的表达式为：y＝﹣2x+2或y＝x+2，联立方程组或，解得：x＝6或﹣（不合题意值已舍去），故点P的坐标为（6，﹣10）或（﹣，﹣）．【点评】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求函数的解析式，二次函数的性质，锐角三角函数、图象面积计算等，解决问题的关键是将面积比转化为线段比．6.（2022山西中考）综合与探究如图，二次函数的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，点P是第一象限内二次函数图象上的一个动点，设点P的横坐标为m．过点P作直线轴于点D，作直线BC交PD于点E

（1）求A，B，C三点的坐标，并直接写出直线BC的函数表达式；（2）当是以PE为底边的等腰三角形时，求点P的坐标；（3）连接AC，过点P作直线，交y轴于点F，连接DF．试探究：在点P运动的过程中，是否存在点P，使得，若存在，请直接写出m的值；若不存在，请说明理由．【答案】（1），点C的坐标为；（2）（3）存在；m的值为4或【解析】【分析】（1）令中y和x分别为0，即可求出A，B，C三点的坐标，利用待定系数法求直线BC的函数表达式；（2）过点C作于点G，易证四边形CODG是矩形，推出，，，再证明，推出，由等腰三角形三线合一的性质可以得出，则，由P点在抛物线上可得，联立解出m，代入二次函数解析式即可求出点P的坐标；（3）分点F在y轴的负半轴上和点F在y轴的正半轴上两种情况，画出大致图形，当时，，由（2）知，用含m的代数式分别表示出OF，列等式计算即可．【小问1详解】解：由得，当时，，∴点C的坐标为．当时，，解得．∵点A在点B的左侧，∴点A，B的坐标分别为．设直线BC的函数表达式为，将，代入得，解得，∴直线BC的函数表达式为﹒【小问2详解】解：∵点P在第一象限抛物线上，横坐标m，且轴于点D，∴点P的坐标为，，∴．∵点B的坐标为，点C的坐标为，∴，．过点C作于点G，则．∵，∴四边形CODG是矩形，∴，，．∴．∵，∴．∴，即，∴．在中，∵，∴．∴，∴解得（舍去），∴．当时，﹒∴点P的坐标为．

【小问3详解】解：存在；m的值为4或．分两种情况，①当点F在y轴的负半轴上时，如下图所示，过点P作直线轴于点H，

∵过点P作直线，交y轴于点F，∴，∴，∴，∴，即，∴，∵，∴，由（2）知，．根据勾股定理，在中，，在中，，当时，，∵，∴，∴，解得或，∵点P是第一象限内二次函数图象上的一个动点，∴；②当点F在y轴的正半轴上时，如下图所示，

同理可得，，，，，∴∴，解得或，∵点P是第一象限内二次函数图象上一个动点，∴；综上，m的值为4或【点睛】本题属于二次函数综合题，考查了二次函数、一次函数、等腰三角形、矩形、勾股定理、相似三角形等知识点，第三问难度较大，需要分情况讨论，画出大致图形，用含m的代数式表示出OF是解题的关键．7.（2022抚顺中考）如图，抛物线与x轴交于，B两点，与y轴交于点，点D为x轴上方抛物线上的动点，射线交直线于点E，将射线绕点O逆时针旋转得到射线，交直线于点F，连接．

（1）求抛物线的解析式；（2）当点D在第二象限且时，求点D的坐标；（3）当为直角三角形时，请直接写出点D的坐标．【答案】（1）（2）或（3）或或或【解析】【分析】（1）利用待定系数法求解即可；（2）过点D作于点G，交于点H，先求出直线AC的解析式，设，则，证明△EDH∽△EOC得到，即可求出DH=3，据此求解即可；（3）分D和F为直角顶点进行讨论求解即可．【小问1详解】解：将代入得：，解得，∴抛物线解析式为；【小问2详解】解：过点D作于点G，交于点H，设过点的直线的解析式为，则，解得，

∴直线的解析式为，设，则．∵，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∴解得或将分别代入得∴或；【小问3详解】解：如图1所示，当点D与点C重合时，∵点A（-4，0），点C（0，4），∴OA=OC=4，∴∠OCA=∠OAC=45°，当点C与点D重合时，∵OP是OD逆时针旋转45°得到的，∴∠POD=45°，即∠FOC=45°，∴∠AOF=∠FOC=45°，又∵OA=OC，∴OF⊥AC，即∠OFC=90°，∴△OFC是直角三角形，∴此时点D的坐标为（0，4）；

如图2所示，当∠DFO=90°时，连接CD，由旋转的性质可得∠DOF=45°，∴△DOF是等腰直角三角形，∴OF=OD，∠FDO=∠FCO=45°，∴C、D、F、O四点共圆，∴∠FCD=∠FOD=45°，∴∠OCD=∠FCD+∠FCO=90°，∴CD⊥OC，∴点D的纵坐标为4，∴当y=4时，，解得或（舍去），∴点D的坐标为（-3，4）；

如图3所示，当∠ODF=90°时，过点D作DH⊥y轴于H，过点F作FG⊥DH交HD延长线于G，同理可证△DOF是等腰直角三角形，∴OD=DF，∵FG⊥DH，DH⊥y轴，∴∠FGD=∠DHO=90°，∴∠GDF+∠GFD=90°，又∵∠GDF+∠HDO=90°，∴∠GFD=∠HDO，∴△GDF≌△HOD（AAS），∴GD=OH，GF=DH，设点D的坐标为（m，），∴，∴，∴点F的坐标为（，），∵点F在直线AC：上，∴，∴，解得，∴点D的坐标为或；综上所述，点D的坐标为（-3，4）或（0，4）或或

【点睛】本题主要考查了二次函数与一次函数综合，二次函数与几何综合，全等三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定等等，熟知相关知识是解题的关键．8.（2022湘潭中考）已知抛物线．（1）如图①，若抛物线图象与轴交于点，与轴交点．连接．①求该抛物线所表示的二次函数表达式；②若点是抛物线上一动点（与点不重合），过点作轴于点，与线段交于点．是否存在点使得点是线段的三等分点？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．（2）如图②，直线与轴交于点，同时与抛物线交于点，以线段为边作菱形，使点落在轴的正半轴上，若该抛物线与线段没有交点，求的取值范围．【答案】（1）①，②存在，点P坐标为(2，-3)或（，-），理由见解析（2）b<或b>【解析】【分析】（1）①直接用待定系数法求解；②先求出直线AB的解析式，设点M(m，m-3)点P（m，m2-2m-3）若点是线段的三等分点，则或，代入求解即可；（2）先用待定系数法求出n的值，再利用勾股定理求出CD的长为5，因为四边形CDFE是菱形，由此得出点E的坐标．再根据该抛物线与线段没有交点，分两种情况（CE在抛物线内和CE在抛物线右侧）进行讨论，求出b的取值范围．【小问1详解】①解：把，代入，得，解得：，∴②解：存在，理由如下，设直线AB的解析式为y=kx+b，把，代入，得，解得，∴直线AB的解析式为y=x-3，设点M(m，m-3)、点P（m，m2-2m-3）若点是线段的三等分点，则或，即或，解得：m=2或m=或m=3，经检验，m=3是原方程的增根，故舍去，∴m=2或m=∴点P坐标为(2，-3)或（，-）【小问2详解】解：把点D（-3，0）代入直线，解得n=4，∴直线，当x=0时，y=4，即点C（0，4）∴CD==5，∵四边形CDFE是菱形，∴CE=EF=DF=CD=5，∴点E（5，4）∵点在抛物线上，∴（-3）2-3b+c=0，∴c=3b-9，∴，∵该抛物线与线段没有交点，分情况讨论当CE在抛物线内时52+5b+3b-9<4解得：b<当CE在抛物线右侧时，3b-9>4解得：b>综上所述，b<或b>【点睛】此题考查了二次函数和一次函数以及图形的综合，解题的关键是数形结合和分情况讨论．9.（2022武汉中考）抛物线交轴于A，两点（A在的左边），是第一象限抛物线上一点，直线交轴于点．

（1）直接写出A，两点的坐标；（2）如图（1），当时，在抛物线上存在点（异于点），使，两点到的距离相等，求出所有满足条件的点的横坐标；（3）如图（2），直线交抛物线于另一点，连接交轴于点，点的横坐标为．求的值（用含的式子表示）．【答案】（1），；（2）0，或；（3）．【解析】【分析】（1）令求出x的值即可知道A，两点的坐标；（2）求出直线的解析式为，分情况讨论：①若点在下方时，②若点在上方时；（3）设点的横坐标为．过点的直线解析式为．联立，得．利用A，B点的横坐标求出，，设直线的解析式为，求出，进一步求出，即可求出答案．【小问1详解】解：令，解得：，，∴，．【小问2详解】解：∵，∴，∴直线的解析式为．①若点在下方时，过点作的平行线与抛物线的交点即为．

∵，，∴的解析式为．联立，解得，，（舍）．∴点的横坐标为0．②若点在上方时，点关于点的对称点为．过点作的平行线，则与抛物线的交点即为符合条件的点．直线的解析式为．联立，得，解得，，．∴点，的横坐标分别为，．∴符合条件的点的横坐标为：0，或．【小问3详解】解：设点的横坐标为．过点的直线解析式为．联立，得．设，是方程两根，则．（*）∴．∵，∴，∴．∵，∴，∴．设直线的解析式为，同（*）得，∴．∴．∴．∵，∴．∴．【点睛】本题考查二次函数与一次函数的综合，难度较大，需要掌握函数与x轴交点坐标，（1）的关键是令进行求解；（2）的关键是分点在下方和在上方时两种情况讨论：（3）的关键是求出OP，FP．10.（2022齐齐哈尔中考）综合与探究如图，某一次函数与二次函数的图象交点为A（-1，0），B（4，5）．

（1）求抛物线的解析式；（2）点C为抛物线对称轴上一动点，当AC与BC的和最小时，点C的坐标为；（3）点D为抛物线位于线段AB下方图象上一动点，过点D作DE⊥x轴，交线段AB于点E，求线段DE长度最大值；（4）在（2）条件下，点M为y轴上一点，点F为直线AB上一点，点N为平面直角坐标系内一点，若以点C，M，F，N为顶点的四边形是正方形，请直接写出点N的坐标．【答案】（1）（2）（1，2）（3）（4）【解析】【分析】（1）将A（-1，0），B（4，5）代入得到关于m，n的二元一次方程组求解即可；（2）抛物线的对称轴为，求出直线AB与对称轴的交点即可求解；（3）设，则，则，根据二次函数的性质求解即可；（4）根据题意画出图形，分情况求解即可．【小问1详解】解：将A（-1，0），B（4，5）代入得，，解这个方程组得，抛物线的解析式为：；小问2详解】解：如图，设直线AB的解析式为：，把点A（-1，0），B（4，5）代入，得，解得，直线AB的解析式为：，由（1）知抛物线的对称轴为，点C为抛物线对称轴上一动点，，当点C在AB上时，最小，把x=1代入，得y=2，点C的坐标为（1，2）；

【小问3详解】解：如图，由（2）知直线AB的解析式为y=x+1设，则，则，当时，DE有最大值为，

【小问4详解】解：如图，直线AB的解析式为：y=x+1，直线与y轴的交点为D（0，1），，，若以点C，M，F，N为顶点的四边形是正方形，分情况讨论：①过点C作轴于点，则为等腰直角三角形，过点C作，则四边形为正方形，依题意，知D与F重合，点的坐标为（1，1）；

②以为中心分别作点F，点C点的对称点，连接，则四边形是正方形，则点的坐标为（-1，2）；

③延长到使，作于点，则四边形是正方形，则的坐标为（1，4）；

④取的中点，的中点，则为正方形，则的坐标为，

综上所述，点N的坐标为：【点睛】本题考查了用待定系数法求一次函数和二次函数的解析式，二次函数的性质，正方形的判定，根据题意正确画图是解本题的关键．11.已知抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧）．

（1）求点A，点B的坐标；（2）如图，过点A的直线与抛物线的另一个交点为C，点P为抛物线对称轴上的一点，连接，设点P的纵坐标为m，当时，求m的值；（3）将线段AB先向右平移1个单位长度，再向上平移5个单位长度，得到线段MN，若抛物线与线段MN只有一个交点，请直接写出a的取值范围．【答案】（1）A（-1，0），B（3，0）（2）-3（3）或或【解析】【分析】（1）令，由抛物线解析式可得，解方程即可确定点A，点B的坐标；（2）由抛物线解析式确定其对称轴为，可知点P（1，m），再将直线l与抛物线解析式联立，解方程组可确定点C坐标，由列方程求解即可；（3）根据题意先确定点M（0，5）、N（4，5），令，整理可得，根据一元二次方程的根的判别式为可知，然后分情况讨论时以及结合图像分析a的取值范围．【小问1详解】解：抛物线解析式，令，可得，解得，，故点A、B的坐标分别为A（-1，0），B（3，0）；【小问2详解】对于抛物线，其对称轴，∵点P为抛物线对称轴上的一点，且点P的纵坐标为m，∴P（1，m），将直线l与抛物线解析式联立，可得，可解得或，故点C坐标为（4，-5），∴，，当时，可得，解得；【小问3详解】将线段AB先向右平移1个单位长度，再向上平移5个单位长度，得到线段MN，结合（1），可知M（0，5）、N（4，5），令，整理可得，其判别式为，①当时，解得，此时抛物线与线段MN只有一个交点；②当即时，解方程，可得，即，，若时，如图1，由，可解得，

此时有，且，解得；②当时，如图2，由，可解得，

此时有，且，解得；综上所述，当抛物线与线段MN只有一个交点时，a的取值范围为或或．【点睛】本题主要考查了二次函数的综合应用，包括求二次函数与x轴的交点、利用二次函数解决图形问题等知识，解题关键是熟练运用数形结合和分类讨论的思想分析问题．12.（2022年重庆中考B卷）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点，与y轴交于点．（1）求抛物线的函数表达式；（2）点P为直线上方抛物线上一动点，过点P作轴于点Q，交于点M，求的最大值及此时点P的坐标；（3）在（2）的条件下，点与点P关于抛物线的对称轴对称．将抛物线向右平移，使新抛物线的对称轴l经过点A．点C在新抛物线上，点D在l上，直接写出所有使得以点A、、C、D为顶点的四边形是平行四边形的点D的坐标，并把求其中一个点D的坐标的过程写出来．【答案】（1）（2）最大值为：，（3）、、【解析】【分析】（1）将、代入抛物线，即可求出抛物线的解析式；（2）根据得到，推出，即可得到，则，求出直线的解析式为：，设，则，，求出，即可求解；（3）先求出平移后新抛物线解析式：，，，设，，再利用平行四边形中心对称性分情况列出方程组求解即可．【小问1详解】解：将、代入抛物线可得：，解得，∴抛物线的函数表达式为：；【小问2详解】解：∵、，∴，，在中，，∵，，∴，∴，∴，∴，∴，设直线的解析式为：，将、代入可得：，解得，∴直线的解析式为：，设，则，，∴∵，，∴当时，存在最大值，最大值为：，此时；【小问3详解】解：∵对称轴为：，∴，∵直线：，∴抛物线向右平移个单位，∴，，，设，，①以、为对角线时，，解得∴；②以、为对角线时，，解得∴；③以、为对角线时，，解得∴．【点睛】本题考查了二次函数的解析式、一次函数的解析式、二次函数的性质、平行四边形的性质、相似三角形的判定和性质等知识点，解题的关键是能够熟练应用待定系数法求得二次函数和一次函数解析式．13.（2022重庆中考A卷）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与直线交于点，．（1）求该抛物线的函数表达式；（2）点是直线下方拋物线上的一动点，过点作轴的平行线交于点，过点作轴的平行线交轴于点，求的最大值及此时点的坐标；（3）在（2）中取得最大值的条件下，将该抛物线沿水平方向向左平移5个单位，点为点的对应点，平移后的抛物线与轴交于点，为平移后的抛物线的对称轴上一点．在平移后的抛物线上确定一点，使得以点，，，为顶点的四边形是平行四边形，写出所有符合条件的点的坐标，并写出求解点的坐标的其中一种情况的过程．【答案】（1）（2），（3）；；【解析】【分析】（1）将点A，B的坐标代入抛物线中求出b，c即可；（2）设交于，可得，求出直线AB的解析式，设，则，，表示出，然后根据二次函数的性质求出最值即可；（3）根据平移的性质可得平移后抛物线解析式及点E、F坐标，设，，分情况讨论：①当为对角线时，②当为对角线时，③当为对角线时，分别根据对角线交点的横坐标相同列式计算即可．【小问1详解】解：将点，代入得：，解得：，∴该抛物线的函数表达式为：；【小问2详解】如图，设交于，∵，，∴OA＝OB＝4，∴，∵PC∥OB，PD∥OA，∴，，∴，设直线AB的解析式为，则，解得：，∴直线AB的解析式为，设，则，，∴，∴当时，取得最大值，此时；【小问3详解】由题意得：平移后抛物线解析式为，，∴，∵抛物线的对称轴为，∴设，，分情况讨论：①当为对角线时，则，解得：，此时，∴；②当为对角线时，则，即，此时，∴；③当为对角线时，则，即，此时，∴，综上所述，点的坐标为：，，．【点睛】本题考查了二次函数的综合应用，待定系数法，二次函数的图象和性质，一次函数的性质，二次函数的最值，二次函数图象的平移，平行四边形的性质等知识，解题的关键是学会用待定系数法求二次函数解析式，根据二次函数解析式求最大值以及利用平行四边形的性质列方程．14.（2022河南天一大联考）如图，抛物线y＝ax2+bx﹣4交x轴于A，B两点，交y轴于点C，OB＝2OC＝4OA，连接AC，BC．（1）求抛物线的解析式；（2）点D是抛物线y＝ax2+bx﹣4的图象上在第四象限内的一动点，DE⊥x轴于点E，交BC于点F．设点D的横坐标为m．①请用含m的代数式表示线段DF的长；②已知DG∥AC，交BC于点G，请直接写出当时点D的坐标．【答案】（1）（2）①；②点D的坐标为（2，-6）或（6，-4）【解析】【分析】（1）先求出点C坐标，再根据OB＝2OC＝4OA，求出点A、B的坐标，再代入函数关系式求出a，b，可得结果；（2）①先求出直线BC的函数关系式，再得点，，再求出DF的长；②先证明，得，再证得，再求出DF的长，最后求出m的值，即可得出点D的坐标【小问1详解】∵抛物线y＝ax2+bx﹣4交y轴于点C，∴C（0，-4），∴OC=4，∵OB＝2OC＝4OA，∴OA=2，OB=8，∴A（-2，0），B（8，0），∵抛物线y＝ax2+bx﹣4交x轴于A，B两点，∴，，∴抛物线的解析式为：；【小问2详解】①设直线BC的函数关系式为：y=mx+n，∵直线BC边点B（8，0），点C（0，-4），∴，解得：，∴直线BC的函数关系式为，∵点D是抛物线y＝ax2+bx﹣4的图象上在第四象限内的一动点，点D的横坐标为m，∴，∵DE⊥x轴于点E，交BC于点F，∴把x=m代入，得：，∴，，②，，，，，，∵，，，，，，，，，轴，，，，即又，，解得：，当m1=2时，，当m2=时，，或【点睛】本题是二次函数的综合题，熟练掌握二次函数的图象及性质，一次函数的图像与性质、相似三角形的性质及判定是解题的关键．15.（2022商丘二模）在平面直角坐标系中，抛物线解析式为，直线l：y=－x＋1与x轴交于点A，与y轴交于点B．（1）如图1，当抛物线经过点A且与x轴的两个交点都在y轴右侧时，求抛物线的解析式．（2）在（1）的条件下，若点P为直线l上方的抛物线上一点，过点P作PQ⊥l于Q，求PQ的最大值．（3）如图2，点C（－2，0），若抛物线与线段AC只有一个公共点，求m取值范围．【答案】（1）y=－2x2＋8x－6；（2）；（3）－3≤m＜－1或0＜m≤2．【解析】【分析】（1）先解得点A的坐标，再代入二次函数解析式中，求得抛物线与x轴的两个交点，根据题意解得m的值即可；（2）作PMy轴交直线l于点M，先求一次函数与y轴的交点B，证得∠PMQ=∠OBA=45°，再利用正弦定义解得PQ=PM，设点P的横坐标为n，则点P的纵坐标为－2n2＋8n－6，点M的纵坐标为－n＋1，计算PM的长，转化为解一元二次方程－2x2＋8x－6=－x＋1，解得x的值，最后根据一次函数的增减性解题；（3）分两种情况讨论，当只有点（m－1，0）在线段AC上时，或当只有点（m＋1，0）在线段AC上时，分别结合图象解题．【详解】解：（1）由y=－x＋1=0，解得：x=1，所以，由y=－2x2＋4mx－2m2＋2=－2（x－m）2＋2=0，解得：x1=m－1，x2=m＋1，∵抛物线经过点A，且抛物线与x轴的交点在y轴的右侧，m－1＜m＋1，∴m－1=1，解得：m=2，∴抛物线的解析式为y=－2x2＋8x－6；（2）如图，作PMy轴交直线l于点M，当x=0时，y=－x＋1=1，所以，∴OA=OB．∵∠AOB=90°，∴∠OAB=∠OBA=45°，∴∠PMQ=∠OBA=45°，∵PQ⊥l于Q，∴PQ=PM·sin∠PMQ=PM·sin45°=PM设点P的横坐标为n，则点P的纵坐标为－2n2＋8n－6，点M的纵坐标为－n＋1，∴PM=（－2n2＋8n－6）－（－n＋1）=－2（n－）2＋，∴PQ=PM=－（n－）2＋,由－2x2＋8x－6=－x＋1，解得：x1=1，x2=．∵点P在直线l上方的抛物线上，∴1＜n＜,∵－＜0，1＜＜，∴当n=时，PQ取最大值为;（3）∵，∴AC=3，由（1）可知，抛物线与x轴的两个交点坐标为（m－1，0），（m＋1，0）∵m－1＜m＋1，（m＋1）－（m－1）=2＜3，∴当抛物线与线段AC只有一个公共点时，这两个交点只能有1个在线段AC上,如图，当只有点（m－1，0）在线段AC上时，，解得：0＜m≤2,如图，当只有点（m＋1，0）在线段AC上时，，解得：－3≤m＜－1,综上可知：当抛物线与线段AC只有一个公共点时－3≤m＜－1或0＜m≤2．【点睛】本题考查二次函数综合题，涉及二次函数与x轴的交点问题、一次函数的图象与性质、正弦、二次函数与一元二次方程等知识，是重要考点，有难度，掌握相关知识是解题关键．16.（2022南阳唐河一模）如图，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c与一直线相交于A（﹣1，0），C（2，3）两点，与y轴交于点N，其项点为D．（1）填空：抛物线的解析式为；（2）若P是抛物线上位于直线AC上方的一个动点，设点P的横坐标为t，过点P作y轴的平行线交AC与M，当t为何值时，线段PM的长最大，并求其最大值；（3）若抛物线的对称轴与直线AC相交于点B，E为直线AC上的任意一点，过点E作EF∥BD交抛物线于点F，以B，D，E，F为顶点的四边形能否为平行四边形？若能，请直接写出点E的坐标；若不能，请说明理由．【25题答案】【答案】（1）y＝﹣x2+2x+3；（2）当t=时，PM有最大值，最大值为；（3）（0，1）或（，）或（，）．【解析】【分析】（1）运用待