4.2.1指数函数的概念 课件-2023-2024学年高一上学期数学人教A版

4.2指数函数4.2.1指数函数的概念

我是电脑病毒，在传播时我可以由一个复制成二个，二个复制成四个，……，我复制x次后，得到的病毒个数y与x有怎样的函数关系？问题一:分裂次数病毒个数123842x?病毒个数y与分裂次数x的函数关系为

：y=2x

………………….引入：

某种商品的价格从今年起每年降低15%，设原来的价格为1，x年后的价格为y，则y与x的函数关系式为：

问题二:y=0.85x探究：

问题一中函数y=2x的解析式与问题二中函数y=0.85x的解析式有什么共同特征？以上两个函数解析式都可以表示为：指数为自变量y=ax底数a是一个大于0且不等于1的常数引入：

一般地，函数y=ax（a＞0，且a≠1）叫做指数函数，其中x为自变量，定义域为R

.注意：（1）形如y=ax

；一、指数函数概念例1：下列函数中，哪些是指数函数？y=4xy=x4y=-4xy=4x+1例2：已知函数y=(a2-3a+3)ax是指数函数,则a的值为____2例3：已知y=f(x)是指数函数，且f(2)=4,求函数y=f(x)的解析式。y=2x（2）底数a＞0，且a≠1一、指数函数概念一、指数函数概念A

D

为什么规定a>0,且a1呢？则当x>0时，=0；无意义.当x则对于x的某些数值，可使

无意义.

如，这时对于在实数范围内函数值不存在.①若a=0，②若a<0，③若a=1，没有研究的必要性.则对于任何

是一个常量，思考：总结：1.指数函数的解析式必须具有三个特征：(1)底数a为大于0且不等于1的常数；(2)指数位置是自变量x；(3)ax的系数是1.2．求指数函数的关键是求底数a，并注意a的限制条件．求指数函数解析式的步骤：(1)设指数函数的解析式为f(x)＝ax(a>0且a≠1)．(2)利用已知条件求底数a.(3)写出指数函数的解析式．探究新知二、指数型函数模型

形如_______(k∈R，且k≠0；a>0且a≠1)的函数是指数型函数模型．y＝kax

4.2.2指数函数的图像和性质第一课时思考：怎样得到指数函数图像?

在直角坐标系中画出下列函数的图象：

(1)y=2x(2)y=(1／2)x(3)y=3x(4)y=(1／3)x

思考：指数函数图像的特点?通过图像，你能发现指数函数的哪些性质?探究新知

图象

性质定义域

:

值域

:

恒过点：

在R

上单调递增在R

上单调递减a>10<a<1R(0,+∞)(0,1)

yx1xy1奇偶性:非奇非偶一、指数函数的图像及性质思考：题型一：指数函数的图像例1：如图所示是下列指数函数的图象：(1)y＝ax；(2)y＝bx；(3)y＝cx；(4)y＝dx.则a，b，c，d与1的大小关系是 (

)A．a<b<1<c<d

B．b<a<1<d<cC．1<a<b<c<d

D．a<b<1<d<cB

总结：指数函数的图象随底数变化的规律可归纳为：在第一象限内，图象自下而上对应的底数依次增大．题型一：指数函数的图像B

C

解析当0<k<1时，方程有两解．当k<0时，方程无解；当k＝0或k≥1时，方程有一解；例4：

k为何值时，方程|3x－1|＝k无解？有一解？有两解？题型一：指数函数的图像题型二：幂式比大小[解析]

(1)∵1.82.2，1.83可看作函数y＝1.8x的两个函数值，∵1.8>1，∴y＝1.8x在R上为增函数，又2.2<3，∴1.82.2<1.83.(2)∵y＝0.7x在R上为减函数，又∵－0.3>－0.4，∴0.7－0.3<0.7－0.4.方法总结：利用单调性比大小题型二：幂式比大小[解析]

(3)法一：构造幂函数y=x3.2，在第一象限单调递增，∵0.5<0.6，∴0.53.2<0.63.2.法二：在同一个坐标系中分别作出y=0.5x和y=0.6x的图像可得.(4)方法同（3）可得3.7-4.1>3.8-4.1.方法总结：在第一象限底大值大题型二：幂式比大小[解析]

(5)∵1.90.4>1.90=1,0.92.4<0.90=1，∴1.90.4>0.92.4方法总结：找中间值题型三：指数型函数定义域、值域（最值）问题

题型三：指数型函数定义域、值域（最值）问题

解：若a>1，则f(x)在[1,2]上递增，若0<a<1，

则f(x)在[1,2]上递减，

解：若a>1，若0<a<1，题型三：指数型函数定义域、值域（最值）问题

例4：设a>0且a≠1，函数y＝a2x＋2ax－1在[－1,1]上的

最大值是14，求a的值．利用换元法，转化为一元二次函数的最值问题来求解则原函数化为y＝(t＋1)2－2．令t＝ax,①当0<a<1时，②当a>1时，∴f(t)max＝f(a)此时f(t)为增函数．此时f(t)为增函数．＝(a＋1)2－2＝14，

(舍)．解析(舍)．注意点

换元之后要注意新元等价性

式子名称

a

x

y指数函数:y=a

x

幂函数:y=x

a

底数指数指数底数幂值幂值幂函数与指数函数的对比判断一个函数是幂函数还是指数函数切入点看看未知数x是指数还是底数幂函数指数函数复习旧知知识回顾2、研究幂函数性质时，有哪些步骤，研究哪些方面性质（1）描点，作出图象，由图象得到函数性质（2）研究内容：函数三要素，单调性，奇偶性，特殊点类比研究幂函数性质的过程和方法，我们来研究指数函数。xy-2-1.50.35-1-0.50.7100.51.4111.52.8321xyo123-1-2-30.250.5124xy-2-1.52.83-1-0.51.4100.50.7111.50.352xy-20.25-1.50.35-10.5-0.50.71010.51.41121.52.83244210.50.251xyo123-1-2-3指数函数的图像和性质【二】指数函数的性质：在同一坐标系中作出底数不同的指数函数图像.

-3-2-11231一般地，指数函数的图像和性质如下表所示：

（1）过定点（0，1）(2)减函数(3)增函数

指数函数的图像和性质【1】指数函数既不是奇函数也不是偶函数【2】指数函数在y轴右侧的图像，底数越大

图像越高.（底大图高）

-3-2-11231

【3】①当

②当

③当

④当

【4】指数函数图像下端与轴无限接近，

但永不相交.

a>10<a<1图象性质(1)定义域:(2)值域:(3)过定点:(4)单调性：(4)单调性：(5)奇偶性：(5)奇偶性：R(0,+∞)(0,1)指数函数的图象和性质增函数减函数非奇非偶非奇非偶(6)当x>0时，y>1.

当x<0时，0<y<1.(6)当x>o时，0<y<1,当x<0时，y>1.xyo1xyo1指数函数的应用【例题】比较下列各题中两个值的大小.

【解】（1）函数是增函数，且2.5＜3，则1.72.5＜1.73

（2）函数是减函数，且，则

（3）例4：如图，某城市人口呈指数增长（1）根据图象，估计城市人口每翻一番所需的时间（倍增期）（2）该城市人口从80万人开始，经过20年会增长到多少万人分析：该城市人口指数增长，同一个函数的倍增期是相同。解：（1）从图象，可发现该城市人口经过20年约为10万人，经过40年约为20万人，即10万人增长到20万人所用的时间为20年，所以该城市人口每一翻一番所需的时间为20年。（2）因为倍增期为20年。所以每经过20年，人口将翻一番。因此，从80年人开始，经过20年，该城市人口大约会增长到160万人。课堂练习：完成课本第118