2022-2024年中考数学试题分类汇编：一元二次方程（4大考点）

专题08一元二次方程（4大考点）

【考点归纳】

一、考点01解一元二次方程---------------------------------------------------------------------1

二、考点02—元二次方程根的判别式-------------------------------------------------------------2

三、考点03根与系数的关系----------------------------------------------------------------------

四、考点04—元二次方程的实际应用--------------------------------------------------------------

考点01解一元二次方程

一、考点01解一元二次方程

1.（2024.贵州.中考真题）一元二次方程尤2-2彳=0的解是（）

A.再=3,犬2=1B.石=2,X2=。C.%=3,x?=-2D.芯=—2,x?=-1

2.（2024・四川凉山•中考真题）若关于x的一元二次方程（。+2）/+彳+£-4=0的一个根是》=0,则a的值

为（）

A.2B.-2C.2或—2D.；

3.（2022・青海・中考真题）已知方程必+如+3=0的一个根是1,则机的值为（）

A.4B.-4C.3D.-3

4.（2024•河北・中考真题）淇淇在计算正数a的平方时，误算成a与2的积，求得的答案比正确答案小1,

则。=（）

A.1B.y/2-1C.72+1D.1或a+1

5.（2024•内蒙古赤峰.中考真题）等腰三角形的两边长分别是方程V-10x+21=0的两个根，则这个三角形的

周长为（）

A.17或13B.13或21C.17D.13

6.（2024.吉林・中考真题）下列方程中，有两个相等实数根的是（）

A.（x-2）z=-lB.（x-2）2=0

C.（尤-2）2=1D.（x-2）2=2

7.（2024四川南充・中考真题）当2。45时，一次函数了=（m+1）尤+苏+1有最大值6,则实数根的值为（）

A.-3或0B.0或1C.-5或-3D.-5或1

8.（2024・四川凉山・中考真题）已知/一工=0,%2-3/+%-3=0,则x的值为.

9.（2023・广东广州•中考真题）解方程：<-6x+5=0.

10.（2024.青海・中考真题）（1）解一元二次方程：f-4x+3=0；

（2）若直角三角形的两边长分别是（1）中方程的根，求第三边的长.

考点02一元二次方程根的判别式

二、考点02一元二次方程根的判别式

11.（2024•黑龙江大兴安岭地•中考真题）关于x的一元二次方程（〃L2）f+4x+2=0有两个实数根，则相

的取值范围是（）

A.m<4B.m>4C.且加w2D.根«4且mw2

12.（2023・辽宁锦州・中考真题）若关于x的一元二次方程依2—2x+3=O有两个实数根，则上的取值范围是（

A.k<—B.k4—C.k<—且左D.k4—且左

3333

13.（2023・山东聊城・中考真题）若一元二次方程如2+2%+i=o有实数解，则根的取值范围是（）

A.m>—1B.m£1C.机之一1且相D.根£1且机W0

14.（2022・四川宜宾・中考真题）若关于%的一元二次方程依2+2%-1=0有两个不相等的实数根，则〃的取

值范围是（）

A.B.〃>一1且C.-1且D.a>-l

15.（2024•甘肃兰州•中考真题）关于％的一元二次方程9/—6%+c=0有两个相等的实数根，贝（）

A.-9B.4C.-1D.1

16.（2024・四川广安・中考真题）若关于犬的一元二次方程⑺+l）f-2x+l=0有两个不相等的实数根，则冽的

取值范围是（）

A.HIVO且"ZW—1B.m>0

C.根40且相。一1D.m<0

17.（2024・四川泸州・中考真题）已知关于x的一元二次方程d+2X+1—k=0无实数根，则函数y=依与函

2

数y=4的图象交点个数为（）

X

A.0B.1C.2D.3

18.（2024.上海.中考真题）以下一元二次方程有两个相等实数根的是（）

A.X2-6x=0B.f-9=0

C.x2—6x+6=0D.x2-6x+9=0

19.（2024.北京・中考真题）若关于九的一元二次方程12—4x+c=。有两个相等的实数根,则实数c的值为（）

A.-16B.-4C.4D.16

20.（2024.吉林长春・中考真题）若抛物线y=/_1+。（c是常数）与x轴没有交点，则c的取值范围是

21.（2024・河南・中考真题）若关于x的方程5--尤+c=0有两个相等的实数根，则c的值为.

22.（2024・湖南・中考真题）若关于尤的一元二次方程d_以+2左=0有两个相等的实数根,则k的值为

23.（2024・山东・中考真题）若关于x的方程4尤2-2x+m=0有两个相等的实数根，则机的值为.

24.（2019・上海•中考真题）若关于x的方程—一万+左=。没有实数根，则上的取值范围是.

25.（2024・广东・中考真题）若关于x的一元二次方程Y+2x+c=0有两个相等的实数根，则，=.

26.（2023•江苏连云港・中考真题）若关于x的一元二次方程》2一2》+左=0有两个不相等的实数根，则上的

取值范围是.

27.（2024・四川遂宁•中考真题）已知关于x的一元二次方程--（"z+2）x+相-1=0.

（1）求证：无论加取何值，方程都有两个不相等的实数根；

（2）如果方程的两个实数根为为,9,且呼+君-%％=9,求机的值.

28.（2024・广东广州•中考真题）关于x的方程/一2元+4=0有两个不等的实数根.

（1）求加的取值范围；

一、咐1-m2m-1m-3

（2）化简：-~---------

|m-312m+1

29.（2023•湖北襄阳•中考真题）关于龙的一元二次方程尤2+2尤+3-左=0有两个不相等的实数根.

（1）求％的取值范围;

⑵若方程的两个根为。,且上z=a£+3左，求左的值.

30.（2023・湖北・中考真题）已知关于尤的一元二次方程f-（2机+1）%+毋+〃2=0.

（1）求证：无论机取何值时，方程都有两个不相等的实数根；

⑵设该方程的两个实数根为a，b,若（2a+6）（a+2b）=20,求优的值.

31.（2023•湖北荆州•中考真题）已知关于x的一元二次方程京2_色左+4）x+k-6=0有两个不相等的实数根.

（1）求Z的取值范围；

（2）当左=1时，用胆方法解方程.

32.（2023・四川南充・中考真题）已知关于x的一元二次方程尤2一（2机-l）x-3疗+机=0

（1）求证：无论相为何值，方程总有实数根；

%x5

⑵若看，演是方程的两个实数根，且上+」=-5,求机的值.

考点03根与系数的关系

三、考点03根与系数的关系

33.（2022•内蒙古呼和浩特•中考真题）已知占，巧是方程尤?2022=0的两个实数根，则代数式

X：-2022%+x；的值是（）

A.4045B.4044C.2022D.1

_11c

34.（2024・四川乐山•中考真题）若关于x的一元二次方程厂+2x+p=0两根为X]、々，且；+£=3,则p

的值为（）

A.—B.-C.—6D.6

33

35.（2024・四川成都・中考真题）若加，”是一元二次方程/-5x+2=0的两个实数根，则加+（〃-2）2的值

为.

36.（2024・四川泸州・中考真题）已知X],巧是一元二次方程尤2-3彳-5=0的两个实数根，则（W+3石尤?

的值是.

37.（2024.四川内江•中考真题）己知关于x的一元二次方程V-px+l=0（P为常数）有两个不相等的实数

根与和巧.

（1）填空：尤]+々=，X1X2=；

111

（2）求一+—,%+—；

%x2X]

（3）已知片+考=2p+l,求P的值.

38.（2024・四川南充・中考真题）已知毛，巧是关于x的方程/一2依+左2一左+1=。的两个不相等的实数根.

（1）求人的取值范围.

（2）若上＜5,且％,不，々都是整数，求％的值.

39.（2023•内蒙古通辽•中考真题）阅读材料:

材料1：关于X的一元二次方程依2+Zzx+c=0(a#0)的两个实数根占，%和系数a,6,c有如下关系：

bc

%+々=--,=—.

aa

材料2：已知一元二次方程V一无一1=0的两个实数根分别为机，n,求根,+相〃2的值.

解：..."3"是一元二次方程d-x-l=o的两个实数根，

m+n—l,mn=-1.

贝［|nrn+mn2=mn(z?z+«)=—lxl=-1.

根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题：

(1)应用：一元二次方程2尤2+3x-l=0的两个实数根为4%,则为+9=,xtx2=；

⑵类比：已知一元二次方程2尤2+3x-l=0的两个实数根为如n,求苏+〃2的值；

(3)提升：已知实数s,r满足2s2+3S-1=022+3，一1=0且£片心求的值.

st

考点04一元二次方程的实际应用

四、考点04一元二次方程的实际应用

40.(2024•云南・中考真题)两年前生产1千克甲种药品的成本为80元，随着生产技术的进步，现在生产1

千克甲种药品的成本为60元.设甲种药品成本的年平均下降率为x,根据题意，下列方程正确的是()

A.80(1-X2)=60B.80(1-尤广=60

C.80(1-^)=60D.80(1-2x)=6。

41.(2024・四川内江•中考真题)某市2021年底森林覆盖率为64%,为贯彻落实“绿水青山就是金山银山”的

发展理念，该市大力发展植树造林活动，2023年底森林覆盖率已达到69%.如果这两年森林覆盖率的年平

均增长率为x,则符合题意得方程是()

A.0.64(1+%)=0.69B.0.64(1+%)2=0.69

C.0.64(1+2x)=069D.0.64(1+2x)2=0.69

42.(2024・四川眉山・中考真题)眉山市东坡区永丰村是“天府粮仓”示范区，该村的“智慧春耕”让生产更高效，

提升了水稻亩产量，水稻亩产量从2021年的670千克增长到了2023年的780千克，该村水稻亩产量年平

均增长率为x,则可列方程为()

A.670x(1+2x)=780B.670x(1+无『=780

C.670x(1+尤2)=780D.670x(1+%)=780

43.（2024.黑龙江牡丹江•中考真题）一种药品原价每盒48元，经过两次降价后每盒27元，两次降价的百

分率相同，则每次降价的百分率为（）

A.20%B.22%C.25%D.28%

44.（2024•内蒙古通辽•中考真题）如图，小程的爸爸用一段10m长的铁丝网围成一个一边靠墙（墙长5.5m）

的矩形鸭舍，其面积为15m2,在鸭舍侧面中间位置留一个1m宽的门（由其它材料制成），则长为（）

A.5m或6mB.2.5m或3mC.5mD.3m

45.（2023•浙江衢州•中考真题）某人患了流感，经过两轮传染后共有36人患了流感.设每一轮传染中平均

每人传染了x人，则可得到方程（）

A.x+（l+x）=36B.2（l+x）=36C.l+x+x（l+x）=36D.1+尤+尤2=36

46.（2023・湖北襄阳•中考真题）我国南宋数学家杨辉在1275年提出的一个问题：“直田积八百六十四步，

只云阔不及长一十二步.问阔及长各几步.”意思是：长方形的面积是864平方步，宽比长少12步，问宽

和长各是几步.设宽为x步，根据题意列方程正确的是（）

A.2x+2（x+12）=864B,x2+（x+12）2=864

C.尤（尤―12）=864D.x（尤+12）=864

47.（2023•黑龙江哈尔滨•中考真题）为了改善居民生活环境，云中小区对一块矩形空地进行绿化，这块空

地的长比宽多6米，面积为720平方米，设矩形空地的长为无米，根据题意，所列方程正确的是（）

A.x（x-6）=720B.x（x+6）=720C,x（x-6）=360D.x（x+6）=360

48.（2023•黑龙江•中考真题）如图，在长为100m,宽为50m的矩形空地上修筑四条宽度相等的小路，若余

下的部分全部种上花卉，且花圃的面积是3600H?,则小路的宽是（）

A.5mB.70mC.5m或70mD.10m

49.（2022.黑龙江.中考真题）2022年北京冬奥会女子冰壶比赛有若干支队伍参加了单循环比赛，单循环比

赛共进行了45场，共有多少支队伍参加比赛？（）

A.8B.10C.7D.9

50.（2024.重庆・中考真题）随着经济复苏，某公司近两年的总收入逐年递增.该公司2021年缴税40万元，

2023年缴税48.4万元，该公司这两年缴税的年平均增长率是.

51.（2023•黑龙江牡丹江•中考真题）张师傅去年开了一家超市，今年2月份开始盈利，3月份盈利5000元，

5月份盈利达到7200元，从3月到5月，每月盈利的平均增长率都相同,则每月盈利的平均增长率是.

52.（2022・上海・中考真题）某公司5月份的营业额为25万，7月份的营业额为36万，已知6、7月的增长

率相同，则增长率为—.

53.（2022・四川成都・中考真题）若一个直角三角形两条直角边的长分别是一元二次方程/-6x+4=0的两

个实数根，则这个直角三角形斜边的长是.

54.（2024・湖北・中考真题）学校要建一个矩形花圃，其中一边靠墙，另外三边用篱笆围成.已知墙长42m,

篱笆长80m.设垂直于墙的边AB长为尤米，平行于墙的边BC为，米，围成的矩形面积为Sen?.

AD

IT------------r

（1）求y与x,s与x的关系式.

（2）围成的矩形花圃面积能否为750cmL若能，求出x的值.

（3）围成的矩形花圃面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值，并求出此时无的值.

55.（2024・山东烟台・中考真题）每年5月的第三个星期日为全国助残日，今年的主题是“科技助残，共享美

好生活”，康宁公司新研发了一批便携式轮椅计划在该月销售，根据市场调查，每辆轮椅盈利200元时，每

天可售出60辆；单价每降低10元，每天可多售出4辆.公司决定在成本不变的情况下降价销售，但每辆

轮椅的利润不低于180元，设每辆轮椅降价x元，每天的销售利润为y元.

（1）求y与x的函数关系式；每辆轮椅降价多少元时，每天的销售利润最大？最大利润为多少元？

（2）全国助残日当天，公司共获得销售利润12160元，请问这天售出了多少辆轮椅？

56.（2023•江苏・中考真题）为了便于劳动课程的开展，学校打算建一个矩形生态园A3CD（如图），生态园

一面靠墙（墙足够长），另外三面用18m的篱笆围成.生态园的面积能否为400??如果能，请求出A3的长；

如果不能，请说明理由.

墙

AB

生态园

D'-------lc

57.（2023・江苏・中考真题）如图，在打印图片之前，为确定打印区域，需设置纸张大小和页边距（纸张的

边线到打印区域的距离），上、下，左、右页边距分别为acm、6cm、ccm、dcm.若纸张大小为16cmxlOcm,

考虑到整体的美观性，要求各页边距相等并使打印区域的面积占纸张的70%,则需如何设置页边距？

58.（2023•湖北黄冈•中考真题）加强劳动教育，落实五育并举.孝礼中学在当地政府的支持下，建成了一

处劳动实践基地.2023年计划将其中lOOOm?的土地全部种植甲乙两种蔬菜.经调查发现：甲种蔬菜种植成

本y（单位；元/nf）与其种植面积单位：m2）的函数关系如图所示，其中200WxW700；乙种蔬菜的

种植成本为50元/m/

⑴当x=m?时，＞=35兀/m?;

（2）设2023年甲乙两种蔬菜总种植成本为W元，如何分配两种蔬菜的种植面积，使W最小？

（3）学校计划今后每年在这1000m?土地上，均按（2）中方案种植蔬菜，因技术改进，预计种植成本逐年下

降，若甲种蔬菜种植成本平均每年下降10%,乙种蔬菜种植成本平均每年下降。％,当“为何值时，2025

年的总种植成本为28920元？

59.（2022•山东德州•中考真题）如图，某小区矩形绿地的长宽分别为35m,15m.现计划对其进行扩充，将

绿地的长、宽增加相同的长度后，得到一个新的矩形绿地.

(1)若扩充后的矩形绿地面积为800m2,求新的矩形绿地的长与宽；

(2)扩充后，实地测量发现新的矩形绿地的长宽之比为5:3.求新的矩形绿地面积.

60.(2022・辽宁沈阳・中考真题)如图，用一根长60厘米的铁丝制作一个“日”字型框架ABC，铁丝恰好全

部用完.

(1)若所围成矩形框架ABCD的面积为144平方厘米，则AB的长为多少厘米?

(2)矩形框架ABCD面积最大值为平方厘米.

专题08一元二次方程（4大考点）（解析版）

【考点归纳】

一、考点01解一元二次方程....................................................................10

二、考点02一元二次方程根的判别式............................................................14

三、考点03根与系数的关系.....................................................................25

四、考点04一元二次方程的实际应用............................................................32

考点01解一元二次方程

一、考点01解一元二次方程

1.（2024•贵州•中考真题）一元二次方程f-2x=0的解是（）

A.X]=3,%2~1B.±=2,工2=0C.%=3,%2=-2D.尤]=—2,x?=—1

【答案】B

【分析】本题考查了解一元二次方程，利用因式分解法求解即可.

【详解】解：X2-2X=0,

/.x（x-2）=0,

/.x=0或％-2=0,

,.百=2,X?—0,

故选：B.

2.（2024•四川凉山•中考真题）若关于x的一元二次方程（〃+2）尤2+天+/-4=。的一个根是》=0,贝ija的

值为（）

A.2B.-2C.2或—2D.1

【答案】A

【分析】本题考查一元二次方程的定义和一元二次方程的解，二次项系数不为0.由一元二次方程的定义,

可知a+2/O；一■根是0,代入（。+2）x?+了+。2-4=。可得4—4=0,即可求答案.

【详解】解：（a+2）Y+x+Y-4=。是关于x的一元二次方程，

.'.a+2^0,即①

由一个根x=0,代入（a+2）/+x+。--4=0,

可得/—4=0，解之得a=±2；②

由①@得a=2；

故选A

3.（2022•青海•中考真题）己知方程炉+,以+3=0的一个根是1,则加的值为（）

A.4B.TC.3D.-3

【答案】B

【分析】本题考查了一元二次方程的解，熟练掌握“能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元

二次方程的解”是解题的关键.

把尤=1代入一元二次方程得到1+机+3=0,求解即可得出机的值.

【详解】解：把x=l代入方程/+wzx+3=0得：1+%+3=0,

解得：772=—4.

故选:B.

4.（2024•河北•中考真题）淇淇在计算正数。的平方时，误算成。与2的积，求得的答案比正确答案小1,

则。（）

A.1B.V2-1C.V2+1D.1或立+1

【答案】C

【分析】本题考查了一元二次方程的应用，解一元二次方程，熟练掌握知识点是解题的关键.

由题意得方程2a+l=/,利用公式法求解即可.

【详解】解：由题意得：2a+l=a2,

解得：4=1+0或4=1-0（舍）

故选：C.

5.（2024•内蒙古赤峰•中考真题）等腰三角形的两边长分别是方程f_10x+21=0的两个根，则这个三角

形的周长为（）

A.17或13B.13或21C.17D.13

【答案】C

【分析】本题考查了解一元二次方程，等腰三角形的定义，三角形的三边关系及周长，由方程可得再=3,

%=7,根据三角形的三边关系可得等腰三角形的底边长为3,腰长为7,进而即可求出三角形的周长，掌

握等腰三角形的定义及三角形的三边关系是解题的关键.

【详解】解：由方程V-10x+21=0得，为=3,x2=7,

V3+3<7,

...等腰三角形的底边长为3,腰长为7,

这个三角形的周长为3+7+7=17,

故选：C.

6.(2024•吉林•中考真题)下列方程中，有两个相等实数根的是()

A.(%-2)2=-1B.(x-2)2=0

C.(尤-2)2=1D.(x-2)2=2

【答案】B

【分析】本题考查了一元二次方程的根，解一元二次方程，熟练掌握开平方法解方程是解题的关键.

分别对每一个选项运用直接开平方法进行解方程即可判断.

【详解】解：A、(X-2)2=-1<0,故该方程无实数解，故本选项不符合题意；

B、(X-2)2=0,解得：玉=%=2,故本选项符合题意；

C、(x-2)2=1,x-2-±l,解得尤|=3,々=1,故本选项不符合题意；

D、(X—2)2=2,尤一2=±0,解得占=2+血,三=2-灰，故本选项不符合题意.

故选:B.

7.(2024•四川南充•中考真题)当2Wx45时，一次函数y=(m+1)尤+»?+1有最大值6,则实数机的值

为()

A.一3或0B.0或1C.一5或-3D.一5或1

【答案】A

【分析】本题主要考查了一次函数的性质，以及解一元二次方程，分两种情况，当机+1>0时和当m+1<0,

根据一次函数性质列出关于m的一元二次方程，求解即可得出答案.

【详解】解：当机+1>0即m>-1时，一次函数y随x的增大而增大，

.,.当x=5时，y-6,

即5("?+1)+m2+1=6,

整理得：m2+5m=0

解得：加=0或加=-5(舍去)

当m+l<OBP根<-1时，一次函数y随x的增大而减小，

・,•当％=2时，y=6,

即2(m+1)+m2+1=6,

整理得：m2+2m—3=0

解得：机=-3或根=1(舍去)

综上，机=0或机=—3,

故选：A

8.(2024•四川凉山•中考真题)已知,2一%=0,x2-3/+x-3=0,则%的值为.

【答案】3

【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键.

将产=尤代入％2_3产+工_3=0,转化为解一元二次方程，y2=x>0,要进行舍解.

【详解】解：・・・,2_%=0,

•・y2=x)

将y2=%代入％2_3,2+%_3=0

得，x2-3x+x-3=0,

即：X2-2X-3=0,

(%-3)(x+l)=0,

:・x=3或,

*.*y2=x>0,

/.%=-1舍，

无=3,

故答案为：3.

2

9.(2023•广东广州•中考真题)解方程：X-6X+5=0.

【答案】%=1,%=5

【分析】直接利用因式分解法解一元二次方程即可.

【详解】解：x2-6x4-5=0,

X—1=0或x-5=0,

%=1,%=5.

【点睛】本题考查因式分解法解一元二次方程，正确计算是解题的关键.

10.(2024•青海•中考真题)(1)解一元二次方程：%2-4%+3=0；

(2)若直角三角形的两边长分别是(1)中方程的根，求第三边的长.

【答案】(1)尤=1或尤=3

(2)第三边的长是亚或2后

【分析】本题考查解一元二次方程，勾股定理.

(1)用因式分解法解即可；

(2)分情况讨论，一是两根都是直角边，二是两根一个是直角边，一个是斜边，再用勾股定理分别计算即

可.

【详解】解：(1)x2-4.v+3=0

=0

x=l或x=3；

(2)当两条直角边分别为3和1时，

根据勾股定理得，第三边为户手=加；

当一条直角边为1,斜边为3时，

根据勾股定理得，第三边为V?万=2&.

答：第三边的长是亚或2后.

二、考点02一元二次方程根的判别式

11.(2024•黑龙江大兴安岭地•中考真题)关于尤的一元二次方程("-2)Y+4x+2=。有两个实数根，则

机的取值范围是()

A.,72<4B.m>4C.且加r2D.且加力2

【答案】D

【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式.根据一元二次方程依②+法+。=0(。-0)的根的判别式

△=62_4“c的意义得到机-2/0且A20,即42-4x(2)x220,然后解不等式组即可得到加的取值范围.

【详解】解：.•关于X的一元二次方程（〃?-2）尤2+4苫+2=0有实数根，

〃z—2x0且AN。，

即42-4x（m-2）x2>0,

解得：m<4,

'''m的取值范围是打W4且加r2.

故选：D.

12.（2023•辽宁锦州•中考真题）若关于尤的一元二次方程履2-2工+3=0有两个实数根，则*的取值范围

是（）

A.k<-B.^<-C.且上W0D.k<-S.k^O

3333

【答案】D

【分析】根据一元二次方程的定义及根的判别式即可解答.

【详解】解：：底_2尤+3=0为一元二次方程，

•*.%w0,

V该一元二次方程有两个实数根，

A=（-2）2-4^X3>0,

解得£，

/.左W—且左力0,

3

故选：D.

【点睛】本题考查了一元二次方程的定义及根的判别式，解题的关键是熟知当判别式的值大于。时，方程

有两个不相等的实数根，同时要满足二次项的系数不能是0.

13.（2023•山东聊城・中考真题）若一元二次方程“2+2尤+1=。有实数解，则机的取值范围是（）

A.m>—1B.m£1C.加之—1且相。0D.机£1且相。0

【答案】D

【分析】由于关于x的一元二次方程如2+2%+1=。有实数根，根据一元二次方程根与系数的关系可知ANO,

且机。0,据此列不等式求解即可.

【详解】解：由题意得，4-4m>0,且相。0,

解得，m£1,且znwO.

故选：D.

【点睛】本题考查了一元二次方程分2+区+。=0（々*0）的根的判别式/\=〃一4或与根的关系，熟练掌握根

的判别式与根的关系式解答本题的关键.当△>（）时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当△=（）时，一

元二次方程有两个相等的实数根；当△<（）时，一元二次方程没有实数根.

14.（2022•四川宜宾•中考真题）若关于x的一元二次方程62+2.1=。有两个不相等的实数根，贝I］。的

取值范围是（）

A.a丰0B.a>—1且4HoC.a2—1且4工0D.<?>—1

【答案】B

【分析】根据一元二次方程的定义和根的判别式得出"0,/l=22-4ax（-1）=4+4a>0,再求出即可.

【详解】解：；关于x的一元二次方程以2+2/1=0有两个不相等的实数根，

.,.a/0,J-2z-4ax（-1）=4+4。>0,

解得:a>-l且存0,

故选：B.

【点睛】本题考查了根的判别式，能熟记根的判别式的内容是解此题的关键，注意：一元二次方程ax2+bx+c=0

（。、b、c为常数，存0）,当炉-4改>0时，方程有两个不相等的实数根；当〃-4℃=0时，方程有两个相等

的实数根；当按-4ac<0时，方程没有实数根.

15.（2024•甘肃兰州•中考真题）关于x的一元二次方程9尤2一6元+c=0有两个相等的实数根，贝壮=（）

A.-9B.4C.-1D.1

【答案】D

【分析】此题考查了根的判别式，根据根的情况确定参数上的取值，解题的关键是熟练掌握一元二次方程

办2+云+。=0g/0）根的判别式△=廿一4℃,当方程有两个不相等的实数根时，A>0；当方程有两个相

等的实数根时，△=（）;当方程没有实数根时，A<0.

【详解】解：：关于》的一元二次方程9/-6x+c=0有两个相等的实数根，

AA=（-6）2-4X9XC=36-36C=0,

解得：c=l,

故选：D.

16.（2024•四川广安•中考真题）若关于x的一元二次方程（加+1祥-2工+1=0有两个不相等的实数根，则机

的取值范围是（）

A.机<0且MW—1B.m>0

C.切W0且mW—1D.m<0

【答案】A

【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程依2+/+。=。（°二0）,若

A=b2-4ac>0,则方程有两个不相等的实数根，若A=〃—4ac=0,则方程有两个相等的实数根，若

A=b2-4ac<0,则方程没有实数根.由关于x的一元二次方程（m+Dx2-2x+l=0两个不相等的实数根，可得

△>0且m+1/0,解此不等式组即可求得答案.

【详解】解：；关于X的一元二次方程（机+l）f-2丈+1=0有两个不相等的实数根，

/.A=（-2）2-4（m+l）>0,

解得：m<0,

m+1^0,

/.m^-1,

厂.机的取值范围是：加〈0且加。-1.

故选：A.

17.（2024•四川泸州•中考真题）已知关于工的一元二次方程％2+2%+1—左=0无实数根，则函数y=履与

2

函数y=—的图象交点个数为（）

X

A.0B.1C.2D.3

【答案】A

【分析】本题考查了根的判别式及一次函数和反比例函数的图象.首先根据一元二次方程无实数根确定攵

的取值范围，然后根据一次函数和反比例函数的性质确定其图象的位置.

【详解】解：・・•方程/+2%+1—左=。无实数根，

AA=4-4（l-jt）<0,

解得：k<0,则函数丁=丘的图象过二，四象限，

2

而函数y=—的图象过一，三象限，

X

2

工函数y=区与函数,=一的图象不会相交，则交点个数为0,

X

故选：A.

18.（2024•上海・中考真题）以下一元二次方程有两个相等实数根的是（）

A.X2—6x=0B.x2-9=0

C.X2—6x+6=0D.x2-6x+9=0

【答案】D

【分析】本题考查了一元二次方程判别式判断根的情况，解答本题的关键是熟练掌握一元二次方程

ax2+Z?x+c=0),当△=〃—4ac>0时，方程有两个不相等实数根；当△=〃-4ac=0时，方程的两个

相等的实数根；当A=/-4ac<0时，方程没有实数根.分别计算出各选项中的根的判别式的值，即可判断.

【详解】解：A.A=(-6)2-4xlx0=36>0,该方程有两个不相等实数根，故A选项不符合题意；

B.A=02-4xlx(-9)=36>0,该方程有两个不相等实数根，故B选项不符合题意；

C.A=(-6)2-4xlx6=12>0,该方程有两个不相等实数根，故C选项不符合题意；

D.A=(-6)2-4xlx9=0,该方程有两个相等实数根，故D选项不符合题意；

故选：D.

19.(2024•北京•中考真题)若关于x的一元二次方程Y-4x+c=0有两个相等的实数根，则实数。的值

为()

A.-16B.-4C.4D.16

【答案】C

【分析】根据方程的根的判另U式△=b2-4ac=(T)2-4xlxc=0即可.本题考查了一元二次方程的根的判别

式，熟练掌握根的判别式是解题的关键.

【详解】•••方程f—4x+c=0有两个相等的实数根，a=l,b=-4,c=c,

：.A=b2-4ac=(-4)2-4xlxc=0,

4c=16,

解得c=4.

故选C.

20.(2024•吉林长春•中考真题)若抛物线y=x2-x+c(c是常数)与x轴没有交点，则c的取值范围是

【答案】c>7

［分析】本题主要考查了抛物线y=ax?+次+c与x轴的交点问题，掌握抛物线y=办?+法+c与x轴没有交

点与尤2-尤+c=0没有实数根是解题的关键.

由抛物线与无轴没有交点，运用根的判别式列出关于c的一元一次不等式求解即可.

【详解】解：：抛物线y=V-x+c与x轴没有交点，

=0没有实数根,

**•A=l2-4xlxc=l-4c<0>

4

故答案为：c>：.

4

21.(2024•河南•中考真题)若关于x的方程［x2-x+c=。有两个相等的实数根，则。的值为_________.

2

【答案】1/0.5

【分析】本题考查一元二次方程根与判别式的关系.掌握一元二次方程a/+bx+c=0(aw0)的根的判别式

为公=k一4",且当△>()时，该方程有两个不相等的实数根；当△=()时，该方程有两个相等的实数根；

当A<0时，该方程没有实数根是解题关键.根据一元二次方程根与其判别式的关系可得：

91

A=(-1)--4X-C=0,再求解即可.

1、

【详解】解：：方程彳f-x+c=0有两个相等的实数根，

2

,1

AA=(-l)--4x-c=0,

•c=L

2，

故答案为：义.

22.(2024湖南中考真题)若关于x的一元二次方程f一©+2左=0有两个相等的实数根，则人的值为

【答案】2

【分析】本题考查根据一元二次方程根的情况求参数.一元二次方程水2+辰+。=0(。*0)有两个不相等的

实数根，则△=〃-4或:>0;有两个相等的实数根，则A=〃—4ac=0;没有实数根，则据

此即可求解.

【详解】解：由题意得：△="-4ac=(-4)2-4x1x2左=0,

解得：k—2

故答案为：2

23.(2024•山东•中考真题)若关于x的方程4/一2%+m=0有两个相等的实数根，则机的值为.

【答案】^/0.25

4

【分析】本题考查了根的判别式，牢记“当A=0时，方程有两个相等的实数根”是解题的关键.

根据方程的系数结合根的判别式，即可得出△=廿-4收=22-4*4*m=0,解之即可得出结论.

【详解】解：:•关于x的方程4x2_2x+〃z=0有两个相等的实数根，

*'•A=Z?2—4ac=22-4x4x/n=4-16m=0,

解得：m=g.

4

故答案为：—.

4

24.（2019•上海•中考真题）若关于x的方程必一彳+左=0没有实数根，则上的取值范围是.

【答案】k>\

【分析】本题主要考查一元二次方程根的判别式.根据一元二次方程根的判别式可进行求解.

【详解】解：\•关于x的方程/-x+左=0有实数根，

：.A=b2-4ac=l-4k<Q,

解得：I；

4

故答案为：k>:.

4

25.（2024•广东•中考真题）若关于x的一元二次方程V+2x+c=0有两个相等的实数根，则。=.

【答案】1

【分析】由d+2x+c=0有两个相等的实数根，可得公=〃一44=0进而可解答.

【详解】解：.••必+2彳+°=0有两个相等的实数根，

\=b2-4ac=4-4c=0，

c=1.

故答案为：L

【点睛】本题主要考查根据一元二次方程根的情况求参数，掌握相关知识是解题的关键.

26.（2023•江苏连云港•中考真题）若关于龙的一元二次方程尤2一2%+左=0有两个不相等的实数根，则发

的取值范围是.

【答案】k<\

【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式.根据根的判别式的意义得到（-2）2-4k>0,然后解不等式即

可.

【详解】解：根据题意得△=（/?-必>0,

解得左<1.

故答案为：k<l.

27.（2024•四川遂宁•中考真题）已知关于x的一元二次方程V-（"z+2）x+〃z-l=0.

（1）求证：无论加取何值，方程都有两个不相等的实数根;

(2)如果方程的两个实数根为玉,马,且片+其-否彳2=9,求加的值.

【答案】(1)证明见解析；

⑵班=1或加2=-2.

【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，解一元二次方程，掌握一元二次方

程根的判别式是解题的关键.

(1)根据根的判别式证明A>0恒成立即可；

(2)由题意可得，xt+x2=m+2,-x2=m-l,进行变形后代入即可求解.

【详解】⑴证明：A=[-("z+2)]~-4x1x(,"-1)=〃/+8,

:无论机取何值，/+8>0,恒成立，

...无论切取何值，方程都有两个不相等的实数根.

(2)解：,苍，声是方程尤2-(%+2)x+nt-l=0的两个实数根，

...玉+/=机+2,x,-x2=m-1,

才+xf—XyX2=(玉+九2J—3玉/=(机+2)2—3(m—1)=9,

解得：叫=1或e=-2.

28.(2024•广东广州-中考真题)关于元的方程V—2x+4-机=0有两个不等的实数根.

⑴求加的取值范围；

,,_1-m2m-1m-3

(2)化简：-~---------

Im-312m+1

【答案】(1)加>3

⑵一2

【分析】本题考查的是一元二次方程根的判别式，分式的混合运算，掌握相应的基础知识是解本题的关键;

(1)根据一元二次方程根的判别式建立不等式解题即可；

(2)根据(1)的结论化简绝对值，再计算分式的乘除混合运算即可.

【详解】⑴解：,••关于x的方程/-2X+4-〃z=0有两个不等的实数根.

AA=(-2)2-4X1X(4-/M)>0,

解得：m>3；

（2）解:Vm>3,

.1-m2m-1m-3

|m-312m+1

_+2m-3

m-3m-1m+1

=-2；

29.（2023•湖北襄阳・中考真题）关于x的一元二次方程f+2x+3-左=0有两个不相等的实数根