45-第四章习题课下(概率统计)

第四章随机变量的数字特征习题课4（下）习题课4分为上、下两部分.在

上部分中,我们归纳了第四章的概念、理论与方法等内容,并对关键而又容易出错的地方作了讲评.在“例题分类解析”部分,讲解了:1.直接按定义计算随机变量的数学期望;2.利用数学期望的性质及常见分布的期望进行计算.3.直接按定义计算随机变量的方差;4.利用方差的性质及常见分布的数字特征进行计算.习题课4（下）内容简介：

在下部分中,在“例题分类解析”部分，讲解:6.一维随机变量函数的数字特征;7.二维随机变量及其函数的数字特征;8.相关性与独立性问题;9.有关数字特征的证明问题.介绍了学习与研究方法.6.一维随机变量函数的数字特征分析

例4.11

设X表示10次独立重复射击命中目标的次数,每次射中目标的概率为0.4,则的数学期望____.

解,得到所以本题涉及二项分布及函数的数字

特征.扩展本题可扩展到求X(X+1)的数学期望,或考虑更为一般的形式讲评的灵活应用.在解题中,我们经常需要先计算本题考查方差公式进而算得方差D(X).但有时,如本例也可倒过来,借助常用分布的期望和方差来计算某些随机变量函数的数字特征.

例4.12

设随机变量X服从参数为1的指数分布,求分析本题涉及一维随机变量函数的数学期望的计算.解由题设可知X的概率密度于是因此,讲评本题主要考查随机变量函数的期望公式再次强调指出,书写时不要出现类似这样的低级错误.扩展的随机变量X的函数数学期望为使我们可以直接计算Y的期望,

而不必求其分布.

7.二维随机变量及其函数的数字特征的分布律为

例4.13

设和是相互独立且服从同一分布的两个随机变量,

已知

又设(1)写出二维随机变量(X,Y)的分布律;

(2)求分析本题涉及二维离散随机变量的函数的分布律和期望.解(1)下面实际计算一下注意到因此类似地计算,可得的分布律如下表332121YX000所以讲评和是两个重要的随机变量函数.对于离散型而言,由独立通过穷举法即可得到其分布律,进而可得边缘分布律及所需数字特征.

(2)

由的分布律可得关于X的321X边缘分布律扩展本题可扩展成求等.和

例4.14

设二维随机变量(X,Y)的概率密度为求分析由于概率密度中含有待定参数,所以应首先根据求得A.解由得因此,于是有利用对称性,有由于所以,协方差在二维随机变量的数字特征计算中,一定要注意二重积分的“有效积分区域”.同时,熟悉一些基本的积分结果将有助于提高我们计算连续型随机变量数学期望的速度和准确性.如本题中的扩展讲评本题比较全面地考查了二维随机变量的数字特征.

例4.15

设X和Y是相互独立且服从正态分布的两个随机变量,则_____.

分析注意到相互独立的正态随机变量的线性函数仍服从正态分布,得X,Y的分布是确解记U=X-Y,则

由此可知讲评类似本题这样的问题利用正态随机变量的良好性质可以简化计算.于是扩展本题可扩展成考虑更为一般的期望问题,形如以及8.相关性和独立性问题

例4.16

设二维随机变量(X,Y)服从二维正态分布,则随机变量与不相关的充分必要条().(A)

(B)(C)

(D)分析本题涉及协方差的计算,因为不相关等价于协方差为零.解而等价于与不相关,

所以选(B).讲评相关系数(相关性)是二维随机变量的一个重要数字特征.扩展本题可扩展为进一步考虑与的独立性.(A)不相关的充分条件,但不是必要条件.(B)独立的充分条件,但不是必要条件.

例4.17

设随机变量X和Y的方差存在且不是X与Y().等于0,

则(C)不相关的充分必要条件.(D)独立的充分必要条件.分析两个随机变量不相关的充要条件是它们的相关系数为零,而后者只是两个随机变量立的必要条件.解因为故选项(C)正确.所以X

和Y

不相关的充分必要条件是即讲评注意随机变量X

和Y

的独立性仅是的充分条件.扩展事实上,分析本题涉及知识点很多,包括期望、方差和相关系数及独立性等.

例4.18

已知随机变量且X与Y的相关系数设(1)求和(2)求X与Z的相关系数(3)问X与Z是否相互独立?为什么?解(1)由于所以而因此(2)由于所以(3)由知X与Z不相关,因Z不一定服从正态分布,(X,Z

)更不一定服从正态分布,X与Z不一定相互独立.讲评性质,

如“相互独立的正态随机变量的线性函数仍服从正态分布”,“二维正态随机变量不相关和独立是等价的”等.这些结果可以简化问题的计算.正态随机变量具有一些非常好的扩展.

9.有关数字特征的证明问题分析事实上就是一个以C为参数的二次函数.证由于本题可扩展为考虑随机变量X和的独立性如何依赖X与Y的相关系数在

例4.19

设X是随机变量,C是常数,证明处取得最小值函数≥

取得最小值等号仅当时成立,所以在处讲评意义,即方差是函数本题从另一个侧面揭示了方差的在处取最小值.扩展本问题可扩展为考虑二元函数的极值问题.分析本题涉及随机变量的方差的性质.证由于所以从而有

例4.20

证明:对于任意两个随机变量X和Y,则有

若扩展关系式即X和Y不相关.

例4.21

对于任意二事件A,B,讲评与数学期望不同,随机变量的方差不是线性的.

只有当随机变量X和Y独立或不相关时才有称做事件A和B的相关系数.(1)证明事件A和B相互独立的充分必要条件是其相关系数等于零;(2)利用随机变量相关系数的基本性质证明≤1.分析这里定义了随机事件的相关系数,并讨论了它的某些性质.证(1)由的定义可知即二事件A和B独立.因此是A和B独立的充分必要条件.(2)考虑随机变量由条件知,X,Y都服从0-1分布

本题考查了0-1分布的数字特征的计算.

考查学生的应变能力.随机事件的指示函数的作用.于是.这样,可知随机事件A和B的相关系数就等于随机变量X和Y的相关系数.因此≤1.

讲评

.借助于形如这样一个示性函数将随机事件的讨论巧妙地转化为关于随机变量的讨论.这种方法值得重视.

可以扩充到两个随机事件的指示函数讨论问题.扩展

例4.22

设A,B是二随机事件,随机变量

试证明随机变量X和Y不相关的充要条件是随机事件A和B相互独立.分析本问题涉及随机变量的相关性和随机事件的独性.证记由数学期望的定义有注意到XY的可能取值为-1,1,又

因此从而由此可见即故X和Y不相关的充要条件是A和B相关独立.讲评扩展关系是一个非常重要的问题,在以往研究生考试中曾多次涉及,参见第三节历年考研真题详解.

随机变量的独立性和不相关性的概念和随机事件独立的概念.切记,相互独立的随机变量一定是不相关的,但反之不然.

本题考查了随机变量的不相关的10.应用题

例4.23

假设一部机器在一天内发生故障的概率为0.2,机器发生故障时全天停止工作.若一周5个工作日里机器无故障企业可获利10万元;机器发生一次故障企业仍可获利润5万元;机器发生二次故障企业所获利润0元;机器发生三次或者三次以上故障企业就亏损2万元,求一周内企业期望利润是多少?分析本题涉及离散型随机变量函数的数学期望.

易知一周内发生故障的次数服从二项分布,而所获利润是它的函数.

解以X表示一周5天内机器发生故障天数,

则X服从参数为5,0.2的二项分布

于是≥以Y表示所获利润,则因此

=5.216(万元).讲评扩展正确建立函数关系的能力.题型是:X服从已知分布,Y是X的分段函数关系,计算E(Y).

本题主要考查在实际应用问题中本问题很具有代表性,其方法可扩展到X是其它离散型随机变量.

例4.24

假设由自动生产线加工的某种零件

的内径X(单位:mm)服从正态分布内径小于10或大于12为不合格品,其余为合格品.销售每件合格品获利,销售每件不合格品亏损.已知销售利润T(单位:元)与销售零件的内径X有如下关系:问平均内径取何值时,销售一个零件的平均利润最大?并求出平均利润的最大值.

分析

本题是一道综合题，既涉及到随机变量的数学期望的计算,又要用到导数求最值.解

由于所以

≤≤销售一个零件的平均利润为因为得令解得容易验证是的最大值点,即当

mm时,销售一个零件的平均利润最大,最大值为讲评

本题考查的是离散型随机变量的数学期望的计算.由于数学期望的