高中数学新教材人教A版选择性必修培优练习：17 等差数列（学生版+解析版）

专题17等差数列

一、单选题

L（2020•进贤县第一中学高一月考）在等差数列｛《J中，已知仆+。5+%=15,则该数列前9项和Sg=

（）

A.18B.27C.36D.45

2.（2020•江苏省如皋中学高一月考）在等差数列｛4｝中，q=2,a2=|,则4oi的值是（）

A.49B.50C.51D.52

3.（2020•湖南省高三三模（理））《九章算术》大约成书于公元一世纪，是我国古代第一部数学著作，共收

臧了246个与生产实践有关的应用问题，其中有一题：今有金筵，长五尺，斩本一尺，重四斤，斩末一尺,

重二斤.问次一尺各重几何？其意：现有一根金杖，五尺长，一头粗，一头细，在粗的一端截下一尺，重量

为四斤，在细的一端截下一尺，重量为二斤.问依次每一尺各有多重？假设金杖由粗到细所截得的每尺的重

量依次成等差数列｛4｝,%=4斤，则/=（）

A.2.5斤B.2.75斤C.3斤D.3.5斤

4.（2020•北京理工大学附属中学通州校区高二期中）记又为等差数列｛册｝的前〃项和.已知54=0,«5=5,

则（）

:2

A.an=2n—5B.an=3n-10C.Sn=2n—8nD.S„=^n-2n

5.（2020.福建省高二期末）等差数列｛a,,｝的前〃项和为S“，若4=3,%T1，则S,=（）

A.51B.50C.49D.48

6.（2019•福建省莆田一中高三月考（文））已知5“是等差数列｛4｝的前"项和，%+%=8，$7=35,

则«2=（）

A.5B.6C.7D.8

7.（2020.进贤县第一中学高一月考）等差数列｛q｝中，S”为它的前“项和，若q>0,520>0,S21<0,

则当”=（）时，S.最大.

A.8B.9C.10D.11

8.（2020.安徽师范大学附属中学高一期中）已知｛%｝是公差为d的等差数列，前〃项和是S“，若

S9<Ss<5|0，则（）

A.d>0,Su〉。B.d<Q,Sl7<0

C.d>0,5l8<0D.d>0,5l8>0

二、多选题

9.（2020•山东省高二期末）设等差数列｛4｝的前〃项和为若§3=0,%=8,则（）

22

A.Sn=2n-6nB.Sn=n-3nC.an=4n-8D.an~2n

10.（2020.尤溪县第五中学高一月考）设数列｛4｝是等差数列，S”是其前〃项和，m>0,且S6=S9,则（）

A.d<0,B.«8=0,C.Ss>Sb,D.S7或Ss为S,的最大值

11.（2020•寿光市第二中学高三月考）记S“为等差数列｛4｝的前"项和.若4+4=24,56=48,则下

列正确的是（）

A.q=-2B.a,=2C.d=4D.d--4

12.（2020•诸城市教育科学研究院高二期中）已知S,,是等差数列｛为｝（〃€N*）的前〃项和，且55>S6>S4,

以下有四个命题，其中正确的有（）

A.数列｛S,,｝中的最大项为九B.数列｛叫的公差d<0

C.Sl0>0D.SH<0

三、填空题

13.（2020•湖北省江夏实验高中高一期中）已知｛%｝是等差数列，且%=-5,6=4+6,则4=

14.（2020.北京市第四十四中学高二期中）设等差数列｛a,,｝的前〃项和为S“，4+4=6,则$5=.

15.（2019•全国高三月考（文））等差数列｛4｝的前〃项和为S“，q=ll，50=10（）,则须=.

16.设等差数列｛4｝的前几项和为S“，若生+4+。9=24,贝1]$9=；今•类的最大值为.

810

四、解答题

17.（2018•平遥县综合职业技术学校高二期中）在等差数列｛%｝中，«i>0,3a4=lai,求S“取得最大值时"

的值.

18.(2020•毕节市实验高级中学高一期中)已知数列｛四｝是一个等差数列，且痣=1,“5=-5.

(1)求｛”“｝的通项a,,；

(2)求｛飙｝前〃项和S”的最大值.

19.(2020.福建省高三月考(文))Sn为数列｛%｝的前兀项和•已知与＞°，成+2册=4之+3.

(I)求｛册｝的通项公式；

(II)设九=」一，求数列｛%｝的前n项和.

♦i

20.(2020•进贤县第一中学高一月考)已知数列｛4｝的前〃项和为S“，满足5“=”24,一〃2(〃一］),且

1

'2

M-L1

⑴令d=——s“，证明:2一21="(〃22)；(2)求｛q｝的通项公式.

n

21.(2020•湖北省高三三模(文))已知等差数列｛4｝的前〃项和为S“，且满足：a；+d=8,at+a2=5.

(1)求数列｛4｝的通项公式;

(2)记数列的前”项和为7；,求取得最大值时〃的值.

n

22.(2020.安徽师范大学附属中学高一期中)设等差数列｛〃“｝的前〃项和为S“，a2+52=-5,S5=-15.

(1)求数列｛4｝的通项公式；

⑵若々=(―1)"%,求数列出｝的前20项和T20.

专题17等差数列

一、单选题

1.(2020•进贤县第一中学高一月考)在等差数列｛4｝中，已知/+%+%=15,则该数列前9项和$9=

()

A.18B.27C.36D.45

【答案】D

【解析】

在等差数列｛0“｝中，%+%+%=3%=15,%=5,所以S9=^^x9=^x9=9%=9x5=45.

故选：D

5

=

2.（2020.江苏省如皋中学高一月考）在等差数列｛“"｝中，4=2,2-则。］（）1的值是（）

A.49B.50C.51D.52

【答案】D

【解析】

在等差数列｛4｝中，4=2,出=，则公差d=4_q=|_2=g,

所以a［。］=4+100d=2+100xg=52.

故选：D.

3.（2020•湖南省高三三模（理））《九章算术》大约成书于公元一世纪，是我国古代第一部数学著作，共收

藏了246个与生产实践有关的应用问题，其中有一题：今有金就，长五尺，斩本一尺，重四斤，斩末一尺,

重二斤.问次一尺各重几何？其意：现有一根金杖，五尺长，一头粗，一头细，在粗的一端截下一尺，重量

为四斤，在细的一端截下一尺，重量为二斤.问依次每一尺各有多重？假设金杖由粗到细所截得的每尺的重

量依次成等差数列｛%｝,q=4斤，则生=（）

A.2.5斤B.2.75斤C.3斤D.3.5斤

【答案】D

【解析】

由题意可知，4=4斤，%=2斤，则公差d=%二幺=—0.5斤，

5-1

故々=4+d=3.5斤.

故选:D.

4.（2020•北京理工大学附属中学通州校区高二期中）记S”为等差数列｛%｝的前n项和.已知为=0,as=5,

则（）

2:

A.a„=2n-5B.a„=3n-10C.S„=2n—8nD.Sn=^n-2n

【答案】A

【解析】

分析：等差数列通项公式与前n项和公式.本题还可用排除，对B,as=5,=£zZ±£）=-100,排除

2

B,对C,S4=0,as=Ss_54=2x5-8x5-0=105,排除C.对D,

S4=0,a5=S5-S4=1x5=-2x5-0=®*5,排除D,故选A.

详解：由题知，件=4%+gx4x3=0,解得『广二3.•2n一5,故选A.

Ia5=a1+4d=51d=2

5.（2020.福建省高二期末）等差数列｛叫的前”项和为S“，若外=3,6=11，则$7=（）

A.51B.50C.49D.48

【答案】C

【解析】

设等差数列的公差为d,首项为q，

a,+d-3,..

所以《一,,-解得：ai=l,d=2

q+5d=11

7x6

所以S7=7xl+q^x2=49.

故选：C

6.（2019•福建省莆田一中高三月考（文））已知S.是等差数列｛4｝的前几项和，%+%=8，S7=35,

则a2=（）

A.5B.6C.7D.8

【答案】C

【解析】

因为%+%=8=2a5>S7=35=7%

所以。5=4,%=5,

故d=-l,

。2=%-2d=5+2=7,

故选C.

7.（2020.进贤县第一中学高一月考）等差数列｛凡｝中，S“为它的前w项和，若q>0,S20>0,S2l<0,

则当〃=（）时，S”最大.

A.8B.9C.10D.11

【答案】C

【解析】

等差数列｛4｝中，前〃项和为S,，且$20>0,S21<0,

即52。=2。（n+。）=104+%）〉0,.•«°+%>0,

S2[=21（"；生）=21即<0，所以，a,1<0,则4o>O,

因此，当〃=10时，S“最大.

故选：C.

8.（2020•安徽师范大学附属中学高一期中）已知｛《,｝是公差为d的等差数列，前〃项和是S“，若

S9<S,<Sw，贝ij（）

A.d>（）.Sc。B.d<0,Sl7<0

C.d>0,5l8<0D.d>0,S18>0

【答案】D

【解析】

•/S9<S8<Sl0,a9<0,a9+al0>0,a10>0,d>0.

Sl7=17a9<0,S[8=9（%+4（,）>0.

故选：D.

二、多选题

9.（2020.山东省高二期末）设等差数列｛《,｝的前〃项和为S”.若5=0,%=8,则（）

22

A.Sn-2n-6nB.Sn=n-3nC.an=4n-SD.an=2n

【答案】AC

【解析】

设等差数列｛4｝的公差为d,则｛31,解得，

1n>[&=q+3d=8[d=4

.♦.a”=q+（〃—l）d=-4+4（〃-1）=4〃-8,Sn=nax+_=-4〃+2〃（〃-1）=2〃?-6n.

故选：AC.

10.（2020.尤溪县第五中学高一月考）设数列｛%｝是等差数列，S“是其前n项和，0>0,且Sb^,则（）

A.d<0,B.«8=0,C.Ss>S（>,D.8或战为S：的最大值

【答案】ABD

【解析】

根据题意可得%+。8+49=0=36=0=/=0，

•••数列｛凡｝是等差数列，m>0,

二公差d<0,

所以数列｛%｝是单调递减数列，

对于A、B,。<0,/=0，显然成立，

对于C,由％>0,则Ss<S6,故C不正确;

对于D,由%=0,则§7=$8,又数列为递减数列，则S7或S8为S,的最大值,

故D正确；

故选：ABD

11.（2020•寿光市第二中学高三月考）记S“为等差数列｛%｝的前"项和.若4+%=24,$6=48,则下

列正确的是（）

A.4=-2B.q=2C.d=4D.d=-A

【答案】AC

【解析】

a+a=2^+1（1-24a=-2

因为《45,所以，[

S6=6a,+15^=48d=4

故选：AC.

12.（2020.诸城市教育科学研究院高二期中）已知Sn是等差数列｛a,,｝（〃eN*）的前〃项和，且S$>S$>,

以下有四个命题，其中正确的有（）

A.数列⑸｝中的最大项为与B.数列｛4｝的公差△<（）

C.Sl0>0D.Su<0

【答案】BCD

【解析】

S5>S6>S4,故&<o，火〉o且出+%>o，

故数列⑸｝中的最大项为醺，A错误；

数列｛4｝的公差d<0，3正确；

Eo=（4+））xl（）=5（%+4）>O,C正确；

S”=（q+；）xll。正确:

故选：BCD.

三、填空题

13.（2020•湖北省江夏实验高中高一期中）已知｛4｝是等差数列，且％=-5,&=%+6,则6=

【答案】-8

【解析】

q+d=-5

依题意<解得q=-8.

4+5d=q+3d+6

故答案为：-8

14.（2020.北京市第四十四中学高二期中）设等差数列｛q｝的前〃项和为S“，a2+a4=6,则S5

【答案】15

【解析】

,/数列｛an｝为等差数列，%+%=6,

.04+%<a+a

：.S、=---1x5--2----4-x5=15.

522

故答案为：15.

15.（2019•全国高三月考（文））等差数列｛。,｝的前〃项和为S“，氏=U，，0=100,则/=.

【答案】7

【解析】

不妨设数列｛凡｝的公差为d,故可得4+3。=11,।°色产Li。。,

2

即4+3d=ll,2q+9d=20,解得4=13,J=--.

故可得4o=a\+9〃-7.

故答案为：7.

16.设等差数列｛为｝的前"项和为S“，若4+%+%=24,则Sg=；邑•鼠的最大值为.

810

【答案】7264

【解析】

设等差数列的公差为d,

则4+q+%=3q+12d=24,即4+4d=8,

所以S9=9cz,+36d=9x8=72,

s叫+-o—d][

—=------------=4+----d=8-44+----d

nn22

贝ij鸟■=8-4d+工d=8-4,=8-4d+—d=8+—,

8221022

当且仅当d=O时取等号，所以今•生的最大值为64.

810

故答案为：72；64.

四、解答题

17.（2018•平遥县综合职业技术学校高二期中）在等差数列｛斯｝中，a>>0,3出=7卬，求S”取得最大值时”

的值.

【答案】9

【解析】

设等差数列｛%｝的公差为d，

因为〃|>0,3(14=70],

.•.3(q+3d)=7(q+61)

化为4q+33d=0

33d

即q=—,则d<01

d3d

=q+8d———〉0,4()=4+9d—4<0,

所以前9项和最大.

即S”取得最大值时n的值为9.

18.(2020•毕节市实验高级中学高一期中)已知数列｛小｝是一个等差数列，且“2=1,«=-5,

(1)求｛斯｝的通项a”；

(2)求｛飙｝前〃项和S„的最大值.

【答案】(1)a,,=-2n+5.(2)4

【解析】

(I)设｛an｝的公差为d,由已知条件，，解出m=3,d=-2.

所以an=ai+(n—l)d=—2n+5.

(II)S”=nai+d=—M+4n=—(n—2)2+4)所以n=2时,S”取到最大值4.

19.(2020•福建省高三月考(文))又为数列｛册｝的前兀项和.已知册>0,+2an=4Sn+3.

(I)求｛(!"｝的通项公式；

(II)设％=」一,求数列｛b/的前n项和.

【答案】(I)2n+l(II)-一一—

64y1+6

【解析】

(/)由〃/+2“〃=4S〃+3,可知a〃+/+2a〃+1=4S〃+i+3

2

两式相减得an+i-。/+2(〃〃+i-斯)=4a〃+i，

艮口2(a“+i+a〃)-a/(a〃+i+q〃)(cin+1~a〃)，

•4〃>0,••Cln+\~a〃=2,

,•*tzi~+2tzi=4〃i+3,

*.a\=-I(舍)或m=3,

则｛斯｝是首项为3,公差d=2的等差数列，

,｛。〃｝的通项公式为=3+2（n-1）=2〃+1：

（II）；a"=2〃+l,

r.b„=-^-----------------------),

♦I(2n+l)(2n+3)2n+l2n+3

_1([工)_11_

--------------—)

・,・数列｛九｝的前〃项和―

2n+l2n+3232H+3-64n+6

20.（2020•进贤县第一中学高一月考）已知数列｛4｝的前〃项和为S“，满足5"="2勺一〃(〃一1),且

(1)令d证明:打一。1=〃(〃22)；(2)求｛4｝的通项公式.

2〃一1

【答案】(1)见解析(2)Q“=_y-

【解析】

22

(1)证明：VSn=nan-n(n-1),

・•・定2时,Sn=n2(Sn-Sn-1)-H2(0-1),

…"+1°nc

化为：Sn-3”一1一n，

nn-1

〃+lc

*/b=----S,/.bn-bi=n(n>2).

nnnn

(2)解：bi=2ai=l.

/.bn=n+(n-1)+...+2+1=--------.

2

〃+1Cn(n+\\…n2

/.bn=----S=-------,可得Sn=一.

n22

.\an=Sn-Sn-1=---—