高考数学理科二轮总复习高考小题分项练8

高考小题分项练8立体几何1．如果圆锥的底面半径为eq\r(2)，高为2，那么它的侧面积为________．答案2eq\r(3)π解析圆锥底面周长为2eq\r(2)π，母线长为eq\r(22＋2)＝eq\r(6)，所以它的侧面积为eq\f(1,2)×2eq\r(2)π×eq\r(6)＝2eq\r(3)π.2．若两球表面积之比是4∶9，则其体积之比为________．答案8∶27解析设两球半径分别为r1，r2，∵4πreq\o\al(2,1)∶4πreq\o\al(2,2)＝4∶9，∴r1∶r2＝2∶3，∴两球体积之比为eq\f(4,3)πreq\o\al(3,1)∶eq\f(4,3)πreq\o\al(3,2)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(r1,r2)))3＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))3＝8∶27.3．下列命题中，其中真命题的个数为________．①若直线l平行于平面α内的无数条直线，则l∥α；②若直线a在平面α外，则a∥α；③若直线a∥b，直线b⊂α，则a∥α；④若直线a∥b，b⊂α，那么直线a就平行于平面α内的无数条直线．答案1解析∵直线l虽与平面α内无数条直线平行，但l有可能在平面α内，∴l不一定平行于平面α，∴①是假命题；∵直线a在平面α外包括两种情况：a∥α和a与α相交，∴a和α不一定平行．∴②是假命题；∵直线a∥b，b⊂α，则只能说明a和b无公共点，但a可能在平面α内，∴a不一定平行于平面α，∴③是假命题；∵a∥b，b⊂α，∴a⊂α或a∥α，∴a可以与平面α内的无数条直线平行，∴④是真命题．综上，真命题的个数为1.4．如图，▱ADEF的边AF⊥平面ABCD，且AF＝2，CD＝3，则CE＝________.答案eq\r(13)解析因为AF⊥平面ABCD，所以AF垂直于平面ABCD内的任意一条直线；又AF∥ED，所以ED垂直于平面ABCD内的任意一条直线．所以ED⊥CD，所以△EDC为直角三角形，CE＝eq\r(ED2＋CD2)＝eq\r(13).5．圆柱形容器的内壁底面半径是10cm，有一个实心铁球浸没于容器的水中，若取出这个铁球，测得容器的水面下降了eq\f(5,3)cm，则这个铁球的表面积为________cm2.答案100π解析设该铁球的半径为rcm，则由题意得eq\f(4,3)πr3＝π×102×eq\f(5,3)，解得r3＝53，∴r＝5，∴这个铁球的表面积S＝4π×52＝100π(cm2)．6．如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，若E，F分别为AB，AC的中点，平面EB1C1F将三棱柱分成体积为V1，V2的两部分，那么V1∶V2＝________.答案7∶5解析设三棱柱的高为h，底面的面积为S，体积为V，则V＝V1＋V2＝Sh.∵E，F分别为AB，AC的中点，∴S△AEF＝eq\f(1,4)S，V1＝eq\f(1,3)heq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(S＋\f(1,4)S＋\r(S·\f(S,4))))＝eq\f(7,12)Sh，V2＝Sh－V1＝eq\f(5,12)Sh，∴V1∶V2＝7∶5.7．以一个圆柱的下底面为底面，并以圆柱的上底面圆心为顶点作圆锥，若所得的圆锥底面半径等于圆锥的高，则圆锥的侧面积与圆柱的侧面积之比为________．答案eq\f(\r(2),2)解析设底面半径为r，则圆锥的母线长为eq\r(2)r，圆锥的侧面积与圆柱的侧面积之比为eq\f(πr·\r(2)r,2πr·r)＝eq\f(\r(2),2).8．P为矩形ABCD所在平面外一点，矩形对角线的交点为O，M为PB的中点，给出结论：①OM∥PD；②OM∥平面PCD；③OM∥平面PDA；④OM∥平面PBA；⑤OM∥平面PCB.其中正确的是________．(填序号)答案①②③解析由题意可知OM是△BPD的中位线，∴OM∥PD，①正确；由线面平行的判定定理可知，②③正确；OM与平面PBA及平面PCB都相交，故④⑤不正确．9．如图，在正方形SG1G2G3中，E，F分别是G1G2，G2G3的中点，现在沿SE，SF，EF把这个正方形折成一个四面体，使G1，G2，G3重合，重合后的点记为G.给出下列关系：①SG⊥平面EFG；②SE⊥平面EFG；③GF⊥SE；④EF⊥平面SEG.其中成立的序号为________．答案①③解析由SG⊥GE，SG⊥GF，得SG⊥平面EFG，①正确；若SE⊥平面EFG，则SG∥SE，这与SG∩SE＝S矛盾，所以②错；由GF⊥GE，GF⊥GS，得GF⊥平面SEG，所以GF⊥SE，③正确；若EF⊥平面SEG，则EF∥GF，这与EF∩GF＝F矛盾，所以④错．10．已知在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝3，AA1＝2BC＝4，E，F，G分别为棱AB，BC，CC1的中点，则三棱锥G－A1EF的体积为________．答案eq\f(1,2)解析如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，连结A1C1，AC，C1F，C1E，因为E，F分别为棱AB，BC的中点，所以A1C1∥AC∥EF，所以＝＝＝＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×eq\f(1,2)CC1×eq\f(1,2)BC×eq\f(1,2)AB＝eq\f(1,2).11．已知平面α，β和直线m，l，则下列命题中正确的序号是________．①若α⊥β，α∩β＝m，l⊥m，则l⊥β；②若α∩β＝m，l⊂α，l⊥m，则l⊥β；③若α⊥β，l⊂α，则l⊥β；④若α⊥β，α∩β＝m，l⊂α，l⊥m，则l⊥β.答案④解析①缺少了条件：l⊂α；②缺少了条件：α⊥β；③缺少了条件：α∩β＝m，l⊥m；④具备了面面垂直的性质定理的所有条件．12．正△ABC的边长为a，沿高AD把△ABC折起，使∠BDC＝90°，则B到AC的距离为________．答案eq\f(\r(7),4)a解析如图，作DH⊥AC于点H，连结BH.∵BD⊥AD，BD⊥DC，AD∩DC＝D，∴BD⊥平面ACD，从而BD⊥DH.∴DH为BH在平面ACD内的射影，∴BH⊥AC.又正△ABC的边长为a，∴DH＝eq\f(\r(3),4)a，∴BH＝eq\r(BD2＋DH2)＝eq\f(\r(7),4)a.13．如图，点P在正方体ABCD－A1B1C1D1的面对角线BC1上运动，则下列四个命题：①三棱锥A－D1PC的体积不变；②A1P∥平面ACD1；③DP⊥BC1；④平面PDB1⊥平面ACD1.其中正确命题的序号是________．答案①②④解析由题意，可得直线BC1平行于直线AD1，并且直线AD1⊂平面ACD1，直线BC1⊄平面ACD1，所以直线BC1∥平面ACD1.所以点P到平面ACD1的距离不变，VA－D1PC＝VP－ACD1，所以体积不变．故①正确；如图，连结A1C1，A1B，可得平面ACD1∥平面A1C1B.又因为A1P⊂平面A1C1B，所以A1P∥平面ACD1，故②正确；当点P运动到点B时，△DBC1是等边三角形，所以DP不垂直于BC1，故③不正确；连结DB1，因为直线AC⊥平面DB1B，DB1⊂平面DB1B，所以AC⊥DB1.同理可得AD1⊥DB1，所以可得DB1⊥平面AD1C.又因为DB1⊂平面PDB1，所以可得平面PDB1⊥平面ACD1，故④正确．综上，正确命题的序号是①②④.14．如图，∠ACB＝90°，DA⊥平面ABC，AE⊥DB交DB于E，AF⊥DC交DC于F，且AD＝AB＝2，则三棱锥D－AEF体积的最大值为________．答案eq\f(\r(2),6)解析因为DA⊥平面ABC，所以DA⊥BC.又BC⊥AC，DA∩AC＝A，所以BC⊥平面ADC，所以BC⊥AF.又AF⊥CD，BC∩CD＝C，所以AF⊥平面DCB，所以AF⊥EF，AF⊥DB.又DB⊥AE，AE∩AF＝A，所以DB⊥平面AEF，所以DE为三棱锥D－AEF的高．因为AE为等腰直角三角形ABD斜边上的高，BD＝eq\r(AD2＋AB2)＝2eq\r(2)，所以AE