4.3.2第1课时等比数列的前n项和课件高二上学期数学人教A版选择性

第四章数列

等比数列的前n项和公式第1课时等比数列的前n项和人教A版

数学选择性必修第二册课程标准1.掌握等比数列的前n项和公式的推导思路.2.掌握等比数列的前n项和公式,能够运用公式解决相关问题.3.理解等比数列前n项和的函数特征.基础落实·必备知识一遍过关知识点等比数列的前n项和公式

若等比数列的首项为a1,公比为q,则它的前n项和Sn=

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q不明确时,要分类讨论

名师点睛1.当等比数列的公比未知或是代数式时,求等比数列的前n项和公式常需分q=1与q≠1两种情况进行分类讨论.2.当q≠1时,等比数列的前n项和Sn有两个求解公式:当已知a1,q,n时,用思考辨析若等比数列{an}的公比q不为1,其前n项和变形为Sn=Aqn+B,则A与B有什么关系?提示A=-B.自主诊断1.[北师大版教材例题]已知等比数列{an}中,a1=2,q=3,求S3.重难探究·能力素养速提升重难探究·能力素养速提升探究点一

等比数列前n项和公式的基本运算

【例1】

在等比数列{an}中,Sn为其前n项和,解决下列问题:(2)若Sn=189,q=2,an=96,求a1和n.规律方法

等比数列前n项和公式的应用问题在等比数列{an}的五个量a1,q,an,n,Sn中,a1,q和n是最基本的元素,当条件与结论间的联系不明显时,均可以用a1,q和n表示an与Sn,从而列方程组求解.在解方程组时经常用到两式相除达到整体消元的目的.这是方程思想与整体思想在数列中的具体应用.CC探究点二等比数列前n项和公式的运算技巧【例2】

(1)[苏教版教材例题]设等比数列{an}的前n项和为Sn,若

(2)[人教B版教材习题]已知等比数列{an}中,a3=6,S3=18,求公比q.变式探究(变条件)本例(2)中,若条件改为“数列{an}是等比数列,其前n项和为Sn,且S3=3a3”,求其公比q的值.规律方法

等比数列前n项和公式的关注点(1)在利用等比数列的前n项和公式时,若其公比不确定,则应对公比分q=1和q≠1两种情况进行讨论.(2)当n的值较小时,求Sn可以直接利用Sn=a1+a1q+a1q2+…求解,这样与变式训练2[人教B版教材例题改编]已知等比数列{an}的公比q=,a8=1,则这个数列的前8项和是

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解

将该数列逆向重排即a8,a7,…,a1,构成一个首项为1,公比为2的等比数列,则S8==255.探究点三

等比数列的前n项和公式的函数特征

★【例3】

[2024江苏南通高二期末]已知数列{an}的前n项和为Sn,且满足Sn=2an-1,则数列{an}的通项公式为(

)A.an=2n

B.an=2-nC.an=2n-1 D.an=21-nC解析

当n=1时,a1=S1=2a1-1,解得a1=1.当n≥2时,an=Sn-Sn-1=2an-2an-1,∴an=2an-1.因此数列{an}是首项为1,公比为2的等比数列,an=2n-1.故选C.2.对于数列前n项和Sn=kan+b的结构,体会其等比数列属性.C本节要点归纳1.知识清单:(1)等比数列中与前n项和有关的基本运算.(2)等比数列前n项和公式的运算技巧.(3)等比数列前n项和公式的函数特征.2.方法归纳:列方程(组),分类讨论.3.常见误区:应用等比数列前n项和公式时漏掉q=1这一情况.重难探究·能力