2022-2023年度小升初数学攻克难点真题解析-分数问题全国

分数问题

难点一、利润和利息问题

1.（2015•长沙）商店出售一种商品，进货时120元5件，卖出时180元4件，那么商店要盈利

4200元必须卖出（）件该商品.

A.180B.190C.200D.210

2.（济南）某种商品按成本的25%的利润为定价，然后为吸引顾客又打着九折的优惠措施卖

出，结果商家获利700元.这种商品的成本价是元.

3.（成都）一种商品，如果降价5%卖出，可得525元的利润.如果按定价的七五折卖，就会

亏175元，那么这种商品的成本价是元.

4.（岳麓区）商店购进了一批钢笔，决定以每支9.5元的价格出售.第一个星期卖出了60%,

这时还差84元收回全部成本.又过了一个星期后全部售出，总共获得利润372元.那么商店购

进这批钢笔的价格是每支多少元？

5.（鹤山市）人人商场到海南岛去收购山竹，收购价为每千克2.7元.从海南岛到商场的距离

是600千米，运费为每吨货物每运1千米收3元.如果在运输及销售过程中的损耗是10%,那

么商场要想实现20%的利润，每千克山竹的零售价应定为多少元？

6.（广州模拟）据了解，鞋城销售皮鞋只要高出进价的20%就可盈利，而商家往往以高出进

价的50%--100%标价，如果你准备买一双标价600元的皮鞋，在保证老板盈利你又不吃亏的

情况下，最少还价多少元？最多还价多少元？

难点二、浓度问题

7.（长沙）甲、乙两只相同的水杯，甲杯50克糖水中含糖5克；乙杯中先放入2克糖，再放

入20克水，搅匀后，（）中的糖水甜些.

A.甲杯B.乙杯C.一样甜

8.（恩施州）2011年4月29日，英国威廉王子大婚，到场的各国政要多达1900人，盛况空前.在

婚宴上，调酒师为宾客准备了一些酒精度为45%的鸡尾酒，大受赞赏.唯独有2位酒量不佳的

宾客，一位在酒里加入一定量的汽水稀释成度数为36%才敢畅饮，另一位则更不济，加入2份

同样多的汽水才敢饮用，这位不甚酒力者喝的是度数为（）的鸡尾酒.

A.28%B.25%C.40%D.30%

9.（恩施州）把浓度为20%、30%、40%的三种盐水按2：3：5的比例混合在一起，得到的盐

水浓度为（）

A.32%B.33%C.34%D.35%

10.（长沙）有浓度为20%的盐水700克，现在往盐水里面加入盐，使得盐水的浓度变为30%,

需要加入盐（）克.

A.70B.100C.150D.200

11.（长沙）甲瓶盐水浓度为8%,乙瓶盐水浓度为5%,混合后浓度为6.2%,若从甲瓶取工盐

4

水，从乙瓶取工盐水，则混合后的浓度为.

6

12.（长沙）在20千克含盐15%的盐水中加千克水，可得到含盐为5%的盐水.

13.（济南）桶种有些40%的某种盐水，当加入5千克水后，浓度降低到30%,再加入

千克盐，可使盐水的浓度提高到50%.

14.（东莞）用浓度为2.5%的盐水800克制成浓度为4%的盐水，需要蒸发掉克

水.

15.（长沙县）用含盐5%的盐水和含盐8%的盐水混合成含盐6%的盐水600克，问这两种盐

水应各取多少克？

16.（长沙）A,B,C三个试管中各盛有10克、20克、30克水.把某种浓度的盐水10克倒

入A中，混合后取出10克倒入B中，混合后又从B中取出10克倒入C中.现在C中盐水浓

度是0.5%.问最早倒入A中的盐水浓度是多少？

难点三、分数和百分数应用题（多重条件）

17.（岳麓区）将2000减去它的工，再减去余下的工，又减去余下的工，…最后减去余下的」

234100

结果是（）

A.1B.20C.200D.2000

18.（泰州）甲、乙两人进行骑车比赛，同时出发，当甲骑到全程的工，乙骑到全程的王时，这

86

时两人相距70米，如果继续按各人的速度骑下去，当甲到达终点时，两人最大距离是（）

A.1600米B.70米C.80米D.无法确定

19.（济南）瓶内装满一瓶水，倒出全部水的工,然后再灌入同样多的酒精，又倒出全部溶液的

2

工，又用酒精灌满，然后再倒出全部溶液的工，再用酒精灌满，那么这时的酒精占全部溶液的

34―

__________%.

20.（长沙）甲、乙、丙三人合修一堵围墙，甲、乙合修6天完成了工，乙、丙合修2天完成

3

了余下工程的工，剩下的再由甲、乙、丙三人合修5天完成，现在领工资共18000元，依工作量

4

分配，甲、乙、丙应各得多少元？

21.（东莞）一个容器内注满水，有大、中、小三个球，一次将小球沉入水中，二次取出小球,

把中球沉入水中，三次把中球取出，再把大、小球一起沉不中，现在知道每次从容器中溢出的水

量，一次是二次的工，三次是一次的2.5倍，求三个小球体积的比？

3

22.（成都）体育商店买100个足球和50个排球，共有5600元，如果将每个足球加价」和每

10

个排球减价」，全部售出后共收入6040元，问买进时一个足球和排球是多少元？

10

23.（济南）某装订车间的三个工人要将一批书打包后送往邮局（要求每个包内所装书的册数

同样多）.第一次，他们领来这批书的工，结果打了14个包还多35本.第2次他们把剩下的

12

书全部领来了，连同第一次多的零头一起，刚好又打11包.这批书共有多少本？

24.（重庆）综合题.

某书店老板去图书批发市场购买某种图书，第一次用1200元购书若干本，按该书定价7元出售,

很快售完.第二次购书时，每本的批发价比第一次提高了20%,他用1500元所购该书数量比第

一次多10本，当按定价售出200本时出现滞销，便以定价的4折售完剩余图书.

（1）第二次购书时，每本书的批发价是多少元？（列方程解应用题）

（2）不考虑其他因素，书店老板这两次售书总体上是赔钱，还是赚钱？若赔，赔多少？若赚，

赚多少？

25.（福州）甲、乙两个仓库库存化肥的质量比是12：11,后来乙仓库又运来24吨，这时甲

仓库存化肥比乙仓库少工.乙仓库原来存化肥多少吨？

9

难点四、分数的最大公约数和最小公倍数

26.（黔西县）六（1）班的学生数在30〜60人之间，其中的2喜爱跳绳，下的同学喜爱跳皮筋，

38

六（1）班有（）人.

A.35B.42C.60D.48

27.（广州模拟）一个班不足50人，现大扫除，其中工扫地，工摆桌椅，工擦玻璃，这个班没有

245

参加大扫除的人数有（）人.

A.1B.2C.3D.1或2

难点五、按比例分配

28.（华亭县模拟）把5千克的糖溶解在100千克的水里，糖占糖水的（）

A.-LB.AC.-LD.十分之一

202119

29.（浙江）某会议厅主席台上方有一个长12.8m的长条形（矩形）会议横标框，铺红色衬底,

开会前将会议名称用白色厚纸或不干胶纸刻出来贴于其上，但会议名称不同，字数一般每次都多

少不等，为了制作及贴字时方便美观，会议厅工作人员对有关数据作了如下规定：边空：字宽:

字距=9：6：2,如图所示：

字距

字宽I

♦边空*■，＜-

西：；安市；大4

I一

根据这个规定，求会议名称的字数为18时，边空、字宽、字距各是多少？

30.（2007•绵阳）甲、乙、丙三堆煤的重量比是2：3：5,三堆煤共重15吨，甲比乙少多少

吨？

难点六、分数的拆项

31.（乐清市）已知工」+工，A,B是非0不相同的自然数，A+B的最小值是（）

5AB

A.36B.40C.45D.50

32.（长沙）在括号里填入两个不同的自然数，使等式成立：1=—1-+—

7（）（）

33.（武汉）设A和B都是自然数，并且满足上+良色.那么A+B=.

13791

34.（长沙）巧算.

①4+。+且+上上」+，

113042567290110

（2）（1+2+1）X（1+1+1+1）+1-（A+1+-1）2-（工+工+工）

357357357357

35.（仪征市）分子是1的分数，叫单位分数.古代埃及人在进行分数运算时，只使用分子是

1的分数，因此这种分数也叫做埃及分数.

例如：工工+工上二+工+工请你填写

23618239

难点七、工程问题

36.（长沙）一项工程，甲独做要30天，乙独做要40天，甲乙合作来完成这项工程，在这个过

程中甲休息了3天，乙也休息了几天，最后在21天完成了工程，那么乙休息了（）天.

A.3B.4C.5D.6

37.（广州）幼儿园的阿姨把一箱饼干发给一个幼儿园大、小班的小朋友，平均每个小朋友发

到12块，若只给小班的小朋友，每人可分到20块，若只分给大班的小朋友，每人可以分到—

__________块.

38.（西安自主招生）甲、乙两人制作同样的零件，每人每3分钟都能制作一个零件.甲每制

作2个零件要休息2分钟，乙每制作3个零件要休息1分钟.现在他们要共同完成制作202个零

件的任务，最少需要多少分钟？

39.（南昌）一项工程，甲做完成任务所需天数比甲、乙合作所需的天数多5天，乙独做完成

任务所需天数比甲乙合作完成任务所需时间多20天，甲、乙合作完成这项工程需要

天.

40.（黄岩区）有一个空罐如图，如果倒人6碗浓果汁和3杯水，刚好倒满；如果倒入2碗浓

果汁和2杯水，液面到达A处.那么，要想倒满这个空罐需要碗浓果汁或者_

___________杯水.

41.（成都）一项工程甲单做要6小时完成，乙单独做要10小时完成，如果按照甲、乙、甲、

乙…顺序交替工作，每次工作1小时，那么要分钟才能完成.

42.有3只蚂蚁外出觅食，发现一堆粮，要运到蚂蚁洞，若甲、乙、丙三只蚂蚁共同搬运这堆

粮食，根据图中信息，蚂蚁乙搬运粮食粒.

43.一件工作，甲的工作效率是乙丙工作效率之和，乙的工作效率是甲丙之和的」.如果三人

5

合作1天就可以完成，那么乙单独完成需要天.

44.（长沙县）甲，乙二人共同加工一批零件，甲比乙每天多加工8个零件，乙因为有事中途

停工了10天没有加工.30天后，乙所加工的零件个数正好是甲的一半.这时两人各加工了多少

个零件？

45.（长沙）一项工程，甲单独做完要30天，乙单独做完要36天，两人合作，甲每做2天后

休息I天，乙每做4天后休息1天，两人合作完成这项工作共花去多少天？

46.（长沙）一项工程，乙单独做20天完成.如果第一天甲做，第二天乙做，这样交替做也恰

好用整数天完成；如果第一天乙做，第二天甲做，这样交替做结果比上次交替做要多半天才能完

成.这项工程由甲单独做需要几天可以完成？

47.（成都）一部书稿，甲单独打字需60天完成，乙单独打字需50天完成，已知甲每周日休

息，乙每周六、周日休息.如果两人合作，从2014年4月21日（周一）开始打字，那么几月几

日可以完成这部书稿？

难点八、循环小数与分数

48.（长沙）把工化为小数，则小数点后的第100个数字是,小数点后100个数

7

字的和是.

难点九、分数的大小比较

49.（长沙）把下列分数按从小到大的顺序：2回不，"，12.

38231719

50.（张家港市）有一个学生无意间将出中间的两个5划去得他惊讶地发现这两个分数

25323

居然相等.这是偶然的吗？他进行了研究，发现这样的分数还有很多，请你也写出二个类似这样

的分数、.

51.（慈溪市）己知」箜＜里，那么在“口”里填入的自然数是___________.

10□58

52.（武汉）有一个分数，它大于工，小于工，且分子是小于10的质数（分母是整数），这样的

87

分数有几个？

参考答案与试题解析

难点一、利润和利息问题

1.（2015•长沙）商店出售一种商品，进货时120元5件，卖出时180元4件，那么商店要盈利

4200元必须卖出（）件该商品.

A.180B.190C.200D.210

考点：利润和利息问题.

专题：利润与折扣问题.

分析：先求出每件的进价和售价，然后求出每件赚的钱数，再用需要赚的总钱数除以每件赚的

钱数即可.

解答：解：180+4-120+5

=45-24

=21（元），

4200^21=200（件），

答：需要卖出200件.

故选：C.

点评：本题考查了利润和利息问题.根据单价、总价、数量三者的关系求出，找清它们之间的

对应关系，从而解决问题.

2.（济南）某种商品按成本的25%的利润为定价，然后为吸引顾客又打着九折的优惠措施卖出，

结果商家获利700元.这种商品的成本价是5600元.

考点：利润和利息问题.

专题：分数百分数应用题.

分析：把这种商品的成本价看做单位“1”,按成本的25%赢利定价，就是定价相当于成本价的

1+25%=125%；又以“九折”卖出，也就是卖出的价相当于成本价的125%x90%=112.5%；结果仍

获利700元，即700元相当于成本价的：112.5%-1=12.5%,故成本价为700+12.5%.

解答：解：700-1（1+25%）x90%-1],

=7004-[1.25x0,9-1],

=7004-（1.125-1],

=7002125,

=5600（元）；

答：这种商品成本每台5600元.

故答案为：5600.

点评：解答此题的关键是找单位"1”,进一步发现比单位“1”多或少百分之几，由此解决问题.

3.（成都）一种商品，如果降价5%卖出，可得525元的利润.如果按定价的七五折卖，就会

亏175元，那么这种商品的成本价是2800元.

考点：利润和利息问题.

专题：分数百分数应用题.

分析：设定价是x元，那么降价后的价格就是（1-5%）x元，这个价格减去525元就是成本

价，七五折后的价格就是75%x元，这个价格加上175元就是成本价，根据两次表示的成本价相

同列出方程求出定价，进而求出成本价.

解答：解：设定价是x元，由题意得：

（1-5%）x-525=75%x+175

0.95x-525=0.75x+175

0.95x-O.75x=525+I75

0.2x=700

x=3500

3500x75%+175

=2625+175

=2800（元）

答：这种商品的成本价是2800元.

故答案为：2800.

点评：本题关键是理解定价、成本价、折扣、利润之间的关系，从中找出等量关系列出方程求

解.

4.（岳麓区）商店购进了一批钢笔，决定以每支9.5元的价格出售.第一个星期卖出了60%,

这时还差84元收回全部成本.又过了一个星期后全部售出，总共获得利润372元.那么商店购

进这批钢笔的价格是每支多少元？

考点：利润和利息问题.

分析：又过了一个星期全部售出后，总共获得利润372元，在这之前是还差84元才可以收回全

部成本，说明又买出的这部分的总额为372+84=456（元）,买出的这部分钢笔的数量是456+9.5=48

（支），而这48支相当于总数的1-60%=40%,求出总支数为48・40%=120（支）；然后求出

每支钢笔盈利为372720=3.1（元），再用每支钢笔的定价减去盈利的部分即为购进价.

解答：解：这批钢笔的总数量：

（372+84）4-9.54-（1-60%）,

=456+9.5+0.4,

=48+0.4,

=120（支）；

每支钢笔的购进价：

9.5-372X20,

=9.5-3.1,

=6.4（元）；

答：商店购进这批钢笔的价格是每支6.4元.

点评：此题条件较复杂，需认真分析，先求出这批钢笔的数量是解决此题的关键.

5.（鹤山市）人人商场到海南岛去收购山竹，收购价为每千克2.7元.从海南岛到商场的距离

是600千米，运费为每吨货物每运1千米收3元.如果在运输及销售过程中的损耗是10%,那

么商场要想实现20%的利润，每千克山竹的零售价应定为多少元？

考点：利润和利息问题.

专题；传统应用题专题.

分析：假设买了1吨即1000千克山竹，则买山竹的钱为2.7x1000=2700元，运费为3x600=1800

元，则总成本为2700+1800=45000元，要达到达到20%的利润，则卖出的总钱数应为4500x

（1+20%）=5400元，由于，在运输及批发过程中，山竹的损耗是10%,即实际卖出的山竹是

1000x（1-10%）=900千克,所以应定价5400+900=6元.

解答：解：假设买了1吨即1000千克山竹，则总成本为：

2.7x1000+3x600,

=2700+1800,

=4500（元），

卖出的总钱数应为：

4500x（1+20%）

=4500x1.2

=5400元，

则零售价为：

5400^[1000x（1-10%）]

=5400+900

=6（元）

答：每千克山竹的零售价应定为6元.

点评：在算出总成本的基础上，根据利润率求出卖出的总钱数是完成本题的关键，完成本题同

时要注意，由于损耗是10%,所以在算定价时，应减去山竹总数的10%.

6.（广州模拟）据了解，鞋城销售皮鞋只要高出进价的20%就可盈利，而商家往往以高出进价

的50%--100%标价，如果你准备买一双标价600元的皮鞋，在保证老板盈利你又不吃亏的情

况下，最少还价多少元？最多还价多少元？

考点：利润和利息问题.

专题：传统应用题专题.

分析：最少还价多少元，是按照高出进价的50%标价计算；把进价看成单位“1”,它的（1+50%）

就是600元；由此用除法求出进价；可以还价（50%-20%）,由此用乘法求出；

同理:最多可还价多少元，是按照高出进价的100%标价计算；把进价看成单位“1”,它的（1+100%）

就是600元；由此用除法求出进价；可以还价（100%-20%）,由此用乘法求出.

解答：解：按高出进价的50%定价，成本为：

600+（1+50%）

=600+1.5

=400（元）

400x（1+20%）

=400x1.2

=480（元）

还价：600-480=120（元）

按高出进价的100%定价，成本为：

600-r（1+100%）

=6004-2

=300（元）

300x（1+20%）

=300x1.2

=360（元）

还价：600-360=240（元）

答：最高还价240元，最低还价120元.

点评：本题关键是找出单位'T',先根据标价求出进价，然后再由进价求出可以还价的钱数.

难点二、浓度问题

7.（长沙）甲、乙两只相同的水杯，甲杯50克糖水中含糖5克；乙杯中先放入2克糖，再放入

20克水，搅匀后，（）中的糖水甜些.

A.甲杯B.乙杯C.一样甜

考点：浓度问题.

分析：根据甲杯50克糖水中含糖5克，求出甲杯糖水的浓度（.岁一屈复一义100%）；根据

糖水的质量

乙杯中先放入2克糖，再放入20克水，可知形成22克的糖水，再求出乙杯糖水的浓度，进一步

得解.

解答：解：甲杯糖水的浓度：Ax100%=io%；

50

乙杯糖水的浓度：-^-xl00%=9.1%；

20+2

10%>9.1%,甲杯中的糖水甜些.

故选：A.

点评：关键是分别求出两杯糖水的浓度，再比较浓度的大小，进一步选出哪杯中的糖水甜些.

8.（恩施州）2011年4月29日，英国威廉王子大婚，到场的各国政要多达1900人，盛况空前.在

婚宴上，调酒师为宾客准备了一些酒精度为45%的鸡尾酒，大受赞赏.唯独有2位酒量不佳的

宾客，一位在酒里加入一定量的汽水稀释成度数为36%才敢畅饮，另一位则更不济，加入2份

同样多的汽水才敢饮用，这位不甚酒力者喝的是度数为（）的鸡尾酒.

A.28%B.25%C.40%D.30%

考点：浓度问题.

专题：传统应用题专题.

分析：假设每杯酒有100克，则原来有纯酒精：100x45%=45克，则加入一定量的汽水后浓度

为36%,则后来每杯酒有：45+36%=125克，加入了：125-100=25克汽水，则另一位加入了：

25x2=50克汽水，所以浓度为：45+（100+25x2）=30%；由此解答即可.

解答：解：假设每杯酒有100克，则原来有纯酒精：100x45%=45（克），

则后来每杯酒有：45+36%=125（克），加入了汽水：125-100=25（克）

浓度为：45+（100+25x2）=30%

答：这位不甚酒力者喝的是度数为30%的鸡尾酒；

故选：D.

点评：此题属于浓度问题，抓住酒中酒精的质量没有改变，运用假设法，求出第一位宾客加入

汽水的质量，是解答此题的关键.

9.（恩施州）把浓度为20%、30%、40%的三种盐水按2：3：5的比例混合在一起，得到的盐

水浓度为（）

A.32%B.33%C.34%D.35%

考点：浓度问题.

专题：浓度与配比问题.

分析：由题意可知混合前后三种溶液盐水质量没有改变，以及混合前后三种溶液所含盐质量之

和也没有改变，再由浓度为20%、30%、40%的三种盐水按2：3：5的比例混合在一起，可以把

20%的盐水看作2,30%的盐水看作3,40%的盐水看作5,再根据混合后盐水浓度=三种溶液所

含盐质量之和+三种溶液盐水总质量x100%,解答出来即可.

解答：解：（20%x2+30%x3+40%x5）+（2+3+5）X100%

=（0.4+0.9+2）4-10x100%

=3.3+10x100%

=33%,

答：得到的盐水浓度为33%,

故选:B.

点评：上述解法抓住了混合前后三种溶液盐水质量没有改变，以及混合前后三种溶液所含盐质

量之和也没有改变这一关键条件，进行列式解答.

10.(长沙)有浓度为20%的盐水700克，现在往盐水里面加入盐，使得盐水的浓度变为30%,

需要加入盐()克.

A.70B.100C.150D.200

考点：浓度问题.

专题：浓度与配比问题.

分析：溶液中增加溶质，使溶液浓度提高叫“加浓”，加浓后溶质增加，溶剂重量不变，700克

盐水中再加入盐，浓度提高到30%,加盐前后水重量未改变，所以先要求出700克盐水中有水

多少克，水的重量占(1-20%)；加入盐后，水的重量占(1-30%),可求出加盐后的溶液重

量，再减去原溶液重量700克即得需加盐重量：700x(I-20%)+(1-30%)-700=100(克).

解答：解：700x(1-20%)-(I-30%)-700

=700x80%+70%-700

=560+70%-700

=100(克)，

故选：B.

点评：本题考查了浓度问题.明确这一过程中，水的重量没有变化是完成本题的关键.

11.(长沙)甲瓶盐水浓度为8%,乙瓶盐水浓度为5%,混合后浓度为6.2%,若从甲瓶取工盐

4

水，从乙瓶取工盐水，则混合后的浓度为6.5%.

6

考点：浓度问题.

专题：浓度与配比问题.

分析：我们分别设甲瓶盐水质量为a,乙瓶盐水的质量是b.根据它们混合后浓度为6.2%为等

量关系求出a与b之间的数量关系，然后再进一步求出工的甲瓶盐水与工的乙瓶盐水混合后的浓

46

度.

解答：解：设甲瓶盐水质量为a,乙瓶盐水的质量是b.

(8%a+5%b)-?(a+b)=6.2%,

解得：a=­b>

3

(Iax8%+lx5%)+(la+lb)

4646

=(_La+^^b)+(Ay—b+—b)

50120436

=(—x—b+—^b)

5031203

Jlbx卫

600b

=6.5%,

答：混合后的浓度为6.5%,

故答案为：6.5%.

点评：此题的关键是求出甲乙两种盐水的质量比是多少，然后进一步解决问题.

12.(长沙)在20千克含盐15%的盐水中加40千克水,可得到含盐为5%的盐水.

考点：浓度问题.

专题：浓度与配比问题.

分析：含盐率为15%的盐水20千克中含盐20x15%千克，由含盐20x15%千克可得含盐为5%

的盐水为20xl5%+5%千克，所以需要加水20xl5%+5%-20千克.

解答：解：20xl5%+5%-20

=3+5%-20

=60-20

=40(千克)，

答：现在要加40千克水才能得到含盐为5%的盐水，

故答案为：40.

点评：本题考查了浓度问题.完成本题要注意这一过程中，盐的重量没有发生变化.

13.(济南)桶种有些40%的某种盐水，当加入5千克水后，浓度降低到30%,再加入8千

克盐，可使盐水的浓度提高到50%.

考点：浓度问题.

专题：分数百分数应用题.

分析：设原来盐水为x千克，则原溶液中盐的质量xx40%,加入水后盐的质量不变但溶液质量

增加，所以可求出原来盐水的质量；同样加入盐后盐的质量=xx40%+y,溶液质量=x+5+Y,从而

依据浓度公式列式求解.

解答：解：设原来有盐水x克，

40%x+(x+5)=30%,

0.4x=0.3x(x+5),

0.4x=0.3x+1.5>

0.1x=1.5,

x=15；

设再加入y克盐，

(15x40%+y)-(15+5+y)=50%,

6+y=0.5x(20+y),

6+y-0.5y=10+0.5y-0.5y,

6+0.5y-6=10-6,

0.5y+0.5=4+0.5,

y=8,

答：再加入8千克盐，可使盐水的浓度提高到5。％.

故答案为：8.

点评：此题主要考查百分数的实际应用，关键先求原来盐水的重量.

14.(东莞)用浓度为2.5%的盐水800克制成浓度为4%的盐水，需要蒸发掉300克水.

考点：浓度问题.

专题：分数百分数应用专题.

分析：含盐率是指盐占盐水的百分比，先把原来盐水的总重量看单位力”，盐的重量占2%,由

此用乘法求出盐的重量；再把后来盐水的重量看成单位“1”,它的2.5%的数量是盐的重量，由此

用除法求出后来盐水的重量；用原来盐水的重量减去后来盐水的重量就是需要蒸发掉的水的重

量.

解答：解：800x2.5%-4%

=20+4%

=500（克）

800-500=300（克）

答：将它蒸发300克水后，得到含盐4%的盐水.

故答案为:300.

点评：解决本题关键是抓住不变的盐的重量，然后找出不同的单位"1”,根据基本的数量求解.

15.（长沙县）用含盐5%的盐水和含盐8%的盐水混合成含盐6%的盐水600克，问这两种盐水

应各取多少克？

考点：浓度问题.

专题：分数百分数应用题.

分析：本题含有两个未知数，可用方程解答，设需要浓度为5%的盐水x克，则需要浓度为8%

的盐水（600-x）克，由此用乘法分别表示出其中所含的食盐多少克，这两部分食盐相加就等于

浓度为6%的盐水600克所含的食盐量，据此关系列方程解答即可.

解答：解：设需要浓度为5%的盐水x克，则需要浓度为8%的盐水（600-x）克，

5%x+8%x（600-x）=600x6%

5%x+48-8%x=36

3%x=12

x=400

600-400=200（:克），

答：需要浓度为5%的盐水400克，需要浓度为8%的盐水200克.

点评：此题属于含有两个未知数的应用题，这类题用方程解答比较容易，关键是找准数量间的

相等关系，设一个未知数为x,另一个未知数用含x的式子来表示，进而列并解方程即可.

16.（长沙）A,B,C三个试管中各盛有10克、20克、30克水.把某种浓度的盐水10克倒入

A中，混合后取出10克倒入B中，混合后又从B中取出10克倒入C中.现在C中盐水浓度是

0.5%.问最早倒入A中的盐水浓度是多少？

考点：浓度问题.

分析：混合后，三个试管中的盐水分别是20克、30克、40克，又知C管中的浓度为0.5%,可

算出C管中的盐是：40x0.5%=0.2（克）.由于原来C管中只有水，说明这0.2克的盐来自从B

管中倒入的10克盐水里.

B管倒入C管的盐水和留下的盐水浓度是一样的，10克盐水中有0.2克盐，那么原来B管30

克盐水就应该含盐：0.2x3=0.6（克）.而且这0.6克盐来自从A管倒入的10克盐水中.

A管倒入B管的盐水和留下的盐水的浓度是一样的，10克盐水中有0.6克盐，说明原A管中20

克盐水含盐：0.6x2=12(克)，而且这1.2克的盐全部来自某种浓度的盐水.即说明倒入A管

中的10克盐水含盐1.2克.所以，某种浓度的盐水的浓度是1.2+10xl00%=12%.

解答：解：B中盐水的浓度是：

(30+10)xO.5%4-10x100%,

=40x0.005-?10x100%,

=2%.

现在A中盐水的浓度是：

(20+10)x2%^-10x100%,

=30x0.002-?10x100%,

=6%.

最早倒入A中的盐水浓度为：

(10+10)x6%+10,

=20x6%-?10,

=12%.

答：最早倒入A中的盐水浓度为12%.

点评：不管是哪类的浓度问题，最关键的思维是要抓住题中没有变化的量，不管哪个试管中的

盐，都是来自最初的某种浓度的盐水中，运用倒推的思维来解答.

难点三、分数和百分数应用题(多重条件)

17.(岳麓区)将2000减去它的工，再减去余下的工，又减去余下的工，…最后减去余下的」

234100

结果是()

A.1B.20C.200D.2000

考点：分数和百分数应用题(多重条件).

专题：分数百分数应用题.

分析：先列出算式为2000x(1-1)x(1-1)x(1-1)x...x(1-」一)然后求出各个括号

234100

内的得数，这时可以通过约分，即可得出答案.

解答：解：根据题意列式得，

第一次剩下：2000x(1-1)

2

第二次剩下：2000x(1-1)x(1-1)

23

第三次剩下：2000x(1-1)x(1-1)x(1-1)

234

最后一次剩下：2000X(1-A)X(1-A)X(1-.1)X(1-_L_)

234100

=2000X_1X_2X.?X...X99

23499100

=2000x^^

100

=20.

故选：B.

点评：对于此类问题，应仔细审题，发现规律后再进行计算.

18.（泰州）甲、乙两人进行骑车比赛，同时出发，当甲骑到全程的工乙骑到全程的王时，这

86

时两人相距70米，如果继续按各人的速度骑下去，当甲到达终点时，两人最大距离是（）

A.1600米B.70米C.80米D.无法确定

考点：分数和百分数应用题（多重条件）.

专题：分数百分数应用题.

分析:,当中骑到全程的工乙骑到全程的至时,这时两人相距70米，则70占全程的」-至,

8686

则全程是70+（工-至）=1680米，又相同时间内，甲骑到全程的工乙骑到全程的2则两人的

8686

速度比是工巨21：20,所以，当甲到达终点时，两人最大距离是1680X（1-义）米.

8621

解答：解：1,.§=21：20

86

=70+（-Z-5）x（1-义!）

8621

=70工」x_L

,2421

=80（米）

答：两人最大距离是80米.

故选：C.

点评：此题的关键是把两地的距离看作“1”,再根据路程、时间、速度三者之间的比例关系解决

问题.

19.（济南）瓶内装满一瓶水，倒出全部水的工，然后再灌入同样多的酒精，又倒出全部溶液的

2

工，又用酒精灌满，然后再倒出全部溶液的工，再用酒精灌满，那么这时的酒精占全部溶液的

34―

75%.

考点：分数和百分数应用题（多重条件）.

分析：由题意知：把一瓶溶液看作单位“1”，倒出全部水的工，然后再灌入同样多的酒精，此时

2

瓶内水占溶液的工；

2

又倒出全部溶液的工，又用酒精灌满，此时瓶内水占溶液的1X（1-1）=1;

3233

然后再倒出全部溶液的工，再用酒精灌满，此时瓶内水占溶液的L（1-1）=1；

4344

这时的酒精占全部溶液的1-工旦

44

解答：解：1-工」；

22

lx(1-1)=1；

233

lx(1-1)=1；

344

1-1=3.

44

卫xl00%=75%.

4

答：这时的酒精占全部溶液的75%.

点评：解答此题主要是先找水占溶液的几分这几，因为水的变化规律好找，再求解酒精占溶液

的几分之几.

20.(长沙)甲、乙、丙三人合修一堵围墙，甲、乙合修6天完成了工，乙、丙合修2天完成了

3

余下工程的工，剩下的再由甲、乙、丙三人合修5天完成，现在领工资共18000元，依工作量分

4

配，甲、乙、丙应各得多少元？

考点：分数和百分数应用题(多重条件).

专题：分数百分数应用题.

分析：要求每人分得的钱数，因为按各人所完成的工作量的多少来合理分配工资，所以必须知

道每人完成的工作量.要求每人完成的工作量，就要知道每人的工作效率；由题意得甲、乙、丙

工作效率之和为：[1(1-1)xl]-5=X乙、丙合修2天修好余下的工，乙、丙工作效

334104

率之和为：(I-1)xl-2=A,甲的工作效率为：同理可求出乙、丙的工作效

3412101260

率.然后求出各自的工作量.

解答：解：甲分得的钱为：18000x{[l-工-(1-1)xl]^5-(1-1)xl-?2)x(6+5),

33434

=18000x{[l-

366

=18000x{J_-A}xll,

1012

=3300(元)；

丙分得的钱为：18000x{[l-1-(1-1)xl]4-5+6}x(2+5),

3343

=18000x{[l-1-1]^5-J-}x(2+5),

3618

=18000x{J_-J_}x（2+5）,

1018

=18OOOX_2_X7,

45

=5600（元）；

乙分得的钱为：18000-3300-5600=9100（元）.

答：甲、乙、丙分别应得3300元、9100元、5600元.

点评：此题属于工程问题，解答此类题的关键是要知道工作量、工作时间、工作效率之间的关

系.工作效率=工作量+工作时间.

21.（东莞）一个容器内注满水，有大、中、小三个球，一次将小球沉入水中，二次取出小球，

把中球沉入水中，三次把中球取出，再把大、小球一起沉不中，现在知道每次从容器中溢出的水

量，一次是二次的工，三次是一次的2.5倍，求三个小球体积的比？

3

考点：分数和百分数应用题（多重条件）.

分析：根据题意可知每次放入球后溢出的谁的体积就是球的体积把第一次溢出水的体积=小球

的体积=1份，第二次放入中球体积应加上第一次小球体积=3+1=4份；第三次溢出的是大球和小

球的还得加上第二次一出的中球体积，再去掉小球体积进一步求出三种球的体积比

解答：解：小球第一次溢出的水量为1个单位，

第一次溢出水的体积=小球的体积=1,

第二次溢出水的体积=中球的体积-小球的体积，

第二次把中球沉入水中是第一次的3倍，说明中球的体积是1+3=4个单位.

第三次把小球和大球一起沉入水中是一次的2.5倍，

小球与大球的体积和是4+25=6.5个单位，

大球的体积是6.5-1=5.5个单位

三个球的体积比是1：4：5.5=2：8：11

答：三个小球体积的比：2：8：11

点评：解此题关键是明白容器是满的，放入不同球后溢出的水的体积既是球的体积，再要注意

每次取出后不加满水，第二次，第三次，放入的球得不容器填满再溢出，别忘了加前面球的体积

份数，从而求出三个小球体积比

22.（成都）体育商店买100个足球和50个排球，共有5600元，如果将每个足球加价」和每

10

个排球减价」，全部售出后共收入6040元，问买进时一个足球和排球是多少元？

10

考点：分数和百分数应用题（多重条件）.

专题：分数百分数应用题.

分析：设原来每个足球a元，每个排球b元，根据题干可得100a+50b=5600；100x（l+2_）a+50x

10

（1-J-）b=6040；利用等式的基本性质可将这两个等式分别变形得：2a+b=112①；

10

22a+9b=1208②再解a、b即可.

解答：解：设原来每个足球a元，每个排球b元，

'100a+50b=5600

（100X（1+*）a+50X（1-吉）b=6040

化简得［2&+印12①

l22a+9b=1208②

①x9,得18a+9b=1008③

②-③，得4a=200

a=50,

把a=50代入①得b=12,

答：买进时一个足球50元，排球12元.

点评：此题设出两个未知数，利用等式的基本性质和等量代换的思想进行解答是解决此类题目

的关键.

23.（济南）某装订车间的三个工人要将一批书打包后送往邮局（要求每个包内所装书的册数同

样多）.第一次，他们领来这批书的」L结果打了14个包还多35本.第2次他们把剩下的书

12

全部领来了，连同第一次多的零头一起，刚好又打11包.这批书共有多少本？

考点：分数和百分数应用题（多重条件）.

分析：把这批数的总本书看作单位"1”;根据“打了14个包还多35本”和“连同第一次多的零头

一起，刚好又打了11包.”可以求得整批书共打了：14+11=25（包），那么14包书就占整批书

的：M；所以第一次取来的书相当于整批书的“还多35本，又因为“他们领来这批书的十二分

2525

之七，”进而可以看出35本对应的分率是：（工-M）；然后用35除以对应的分率即可求出

1225

这批数的总本书.

解答：解：根据题意可知，

整批书共打了：14+11=25（包），

第一次取来的书相当于整批书的：U还多35本，而它又是整批书的工，

2512

所以这批书有：35-（_L-JJ）,

1225

=1500（本）；

答：这批书共有1500本.

故答案为：1500.

点评：本题的解答关键是依题意求出第一次取来的书相当于整批书的“还多35本；本题还用

25

到的知识点是：已知单位“1”的几分之几是多少，求单位“1”的量用除法计算，即用对应的数量除

以对应的分率=单位'T’的量.

24.（重庆）综合题.

某书店老板去图书批发市场购买某种图书，第一次用1200元购书若干本，按该书定价7元出售,

很快售完.第二次购书时，每本的批发价比第一次提高了20%,他用1500元所购该书数量比第

一次多10本，当按定价售出200本时出现滞销，便以定价的4折售完剩余图书.

（1）第二次购书时，每本书的批发价是多少元？（列方程解应用题）

（2）不考虑其他因素，书店老板这两次售书总体上是赔钱，还是赚钱？若赔，赔多少？若赚，

赚多少？

考点：分数和百分数应用题（多重条件）.

专题：压轴题；列方程解应用题.

分析：（1）先考虑购书的情况，设第一次购书的单价为x元，则第二次购书的单价为1.2x元,

第一次购书款1200元，第二次购书款1500元，第一次购书数目四段，第二次购书数目1^00,

x1.2x

第二次购书数目多10本.关系式是：第一次购书数目+10=第二次购书数目.

（2）再计算两次购书数目，赚钱情况：卖书数目x（实际售价-当次进价），两次合计，就可

以回答问题了.

解答：解：（1）设第一次每本书的批发价是x元.

XX（1+20%）X（1200+1O）=1500,

X

1.2XX（1200+lo）=1500,

X

1440+12x=1500,

12x=60,

x=5,

第二次每本书的批发价：

5x（1+20%）,

=5x1.2,

=6（元）；

答：第二次购书时，每本书的批发价是6元.

（2）1200+5=240（本），

240x（7-5）=480（元），

240+10=250（本），

200x（7-6）=200（元