湖南省长郡中学、浙江省杭州二中、江苏省南京师大附中三校2024届高三下学期联考数学含答案解析

2024年高三三校联考数学模拟卷命题：长郡中学考生须知：1．本卷满分150分，考试时间120分钟；2．答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、试场号、座位号及准考证号。3．所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效；4．考试结束后，只需上交答题纸。一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.复数满足，则(

)A. B. C. D.2.已知，，则在上的投影向量为(

)A. B. C. D.3.若非空集合,,,满足：,，则(

)A. B. C. D.4.抛物线上的点到焦点的距离为(

)A. B.2 C. D.15.球缺指的是一个球被平面截下的一部分，垂直于截面的直径被截后剩下的线段为球缺的高，设球的半径为，球缺的高为，则球缺的体积.圆锥的高为2，底面半径为1，则以圆锥的高为直径的球在圆锥外的体积为(

)A. B. C. D.6.已知某4个数据的平均值为6，方差为3，现加入数据8和10，则这6个数据的方差为(

)A.2 B. C. D.7.已知函数，若在区间上是单调函数，则实数的取值范围是(

)A. B. C. D.8.设点，若在圆上存在点，使得，则的取值范围是(

)A. B. C. D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。9.设椭圆的左、右焦点分别为、，P是C上的动点，则下列结论正确的是(

)A.椭圆C的离心率B.C.面积的最大值为12D.的最小值为10.四棱锥的底面为正方形，底面，，，，平面平面，平面，则(

)A.直线与平面有一个交点B.C.D.三棱锥的体积为11.已知，，数列和的公共项由小到大排列组成数列，则(

)A.B.为等比数列C.数列的前项和D.不是任一等差数列的三项三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.的二项展开式中的系数为______.13.已知4件产品中有2件次品，现逐个不放回检测，直至能确定所有次品为止，记检测次数为，则_____.14.已知，函数恒成立，则的最大值为______.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15.某手机公司对一小区居民开展个月的调查活动，使用这款人数的满意度统计数据如下：月份x12345不满意的人数y1201051009580(1)求不满意人数与月份之间的回归直线方程，并预测该小区月份对这款不满意人数；(2)工作人员从这个月内的调查表中随机抽查人，调查是否使用这款与性别的关系，得到下表：根据小概率值的独立性检验，能否认为是否使用这款与性别有关？使用不使用女性4812男性2218附：回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，，0.10.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.82816.已知中，角,,所对的边分别为,,，且.(1)求；(2)若，为边上一点，，，求的面积.17.如图，在直三棱柱中，，，点分别在棱上，，，为的中点.(1)求证：平面；(2)当三棱柱的体积最大时，求平面与平面夹角的余弦值.18.已知双曲线的渐近线为，焦距为，直线与的右支及渐近线的交点自上至下依次为、、、.(1)求的方程；(2)证明：；(3)求的取值范围.19.已知函数,a∈R.(1)当时，求在区间内极值点的个数；(2)若恒成立，求的值；(3)求证：，.+2024年高三三校联考数学模拟卷参考答案一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.复数满足，则(

)A. B. C. D.【答案】D2.已知，，则在上的投影向量为(

)A. B. C. D.【答案】D3.若非空集合,,,满足：,，则(

)A. B. C. D.【答案】B4.抛物线上的点到焦点的距离为(

)A. B.2 C. D.1【答案】A5.球缺指的是一个球被平面截下的一部分，垂直于截面的直径被截后剩下的线段为球缺的高，设球的半径为，球缺的高为，则球缺的体积.圆锥的高为2，底面半径为1，则以圆锥的高为直径的球在圆锥外的体积为(

)A. B. C. D.【答案】A【解析】作圆锥的轴截面，轴截面与球内接圆锥底面交于所求体积即为球缺与内接圆锥的体积之差轴截面顶角为，，设圆锥底面半径为，则，即则圆锥的高为，则球缺的高为，则6.已知某4个数据的平均值为6，方差为3，现加入数据8和10，则这6个数据的方差为(

)A.2 B. C. D.【答案】B7.已知函数，若在区间上是单调函数，则实数的取值范围是(

)A. B. C. D.【答案】C【解析】令，则因为，所以又因为在区间上是单调函数，则在区间上是单调函数所以，即，解得8.设点，若在圆上存在点，使得，则的取值范围是(

)A. B. C. D.【答案】A【解析】由圆的性质可知：圆上一点，与所组成的角，当与圆相切时，最大若圆上存在点，使得，则由和可知，过且与圆相切的一条直线为，切点则在直角三角形中，，从而二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。9.设椭圆的左、右焦点分别为、，P是C上的动点，则下列结论正确的是(

)A.椭圆C的离心率B.C.面积的最大值为12D.的最小值为【答案】AC10.四棱锥的底面为正方形，底面，，，，平面平面，平面，则(

)A.直线与平面有一个交点B.C.D.三棱锥的体积为【答案】BD【解析】A.取棱中点，连接，因为是棱的中点，则因为，则，即，，，四点共面，则为直线因为平面，平面，则平面，即平面，A错误B.因为底面，平面，则因为底面是正方形，，，则平面，则因为，则为等腰直角三角形，因为，且，平面，则平面，则，B正确C.设，因为四点共面，则，，即，C错误D.，D正确11.已知，，数列和的公共项由小到大排列组成数列，则(

)A.B.为等比数列C.数列的前项和D.不是任一等差数列的三项【答案】BCD【解析】A.，，A错误B.设，即，不是中的项，即不是的项，是中的项，即是的项，则，即为等比数列，B正确C.错位相减法计算得，且，单调递增，所以D.设是等差数列的第项，的首项为，公差为是有理数，是无理数原假设不成立，即不是任一等差数列的三项三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.的二项展开式中的系数为______.【答案】13.已知4件产品中有2件次品，现逐个不放回检测，直至能确定所有次品为止，记检测次数为，则_____.【答案】【解析】，检测的两件产品均为正品或均为次品，则，只需前两件产品中正品和次品各一件，第三件无论是正品还是次品，都能确定所有次品，则14.已知，函数恒成立，则的最大值为______.【答案】7【解析】先考虑的情况，则令，则，则在单调递增，单调递减，则因此，即当，时，显然不成立当时，，，即恒成立，则四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15.某手机公司对一小区居民开展个月的调查活动，使用这款人数的满意度统计数据如下：月份x12345不满意的人数y1201051009580(1)求不满意人数与月份之间的回归直线方程，并预测该小区月份对这款不满意人数；(2)工作人员从这个月内的调查表中随机抽查人，调查是否使用这款与性别的关系，得到下表：根据小概率值的独立性检验，能否认为是否使用这款与性别有关？使用不使用女性4812男性2218附：回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，，0.10.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828【解析】(1)由表中的数据可知：，，所求得回归直线方程为······················································5分当时，该小区月份的对这款不满意人数预估为37人········································9分(2)零假设为：是否使用这款与性别无关·············································10分由表中的数据可得························12分根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，即认为是否使用这款与性别有关，此推断的错误概率不大于0.01···································································13分16.已知中，角,,所对的边分别为,,，且.(1)求；(2)若，为边上一点，，，求的面积.【解析】(1)因为，由正弦定理得因为，可得，又因为，可得所以，即又因为，可得，所以，所以，可得·····················6分(2)由知则，即化简得①································································8分在中，由余弦定理得在中，由余弦定理得而，所以，则，即②····10分由①②得由于，得，代入②得·····················································13分所以的面积为········································15分17.如图，在直三棱柱中，，，点分别在棱上，，，为的中点.(1)求证：平面；(2)当三棱柱的体积最大时，求平面与平面夹角的余弦值.【解析】(1)连接交于点，连接、、、因为，，所以因为，所以四边形为平行四边形，所以因为，所以因为平面，平面，所以平面·································6分(2)因为又因为所以当时取最大值即当时直三棱柱的体积最大············································9分又平面，平面，所以，如图建立空间直角坐标系，则，，所以，设平面的法向量为则，取·················································12分又平面的一个法向量为····················································13分设平面与平面夹角为，则所以平面与平面夹角的余弦值为···········································15分18.已知双曲线的渐近线为，焦距为，直线与的右支及渐近线的交点自上至下依次为、、、.(1)求的方程；(2)证明：；(3)求的取值范围.【解析】(1)由题意知：，则，则·································4分(2)易知的斜率为0时不成立设，，，···························6分，，·····································8分线段AB、CD的中点重合··········································································10分(3)································12分O到直线AC的距离······14分令则··························17分19.已知函数,a∈R.(1)当时，求在区间内极值点的个数；(2)若恒成立，求的值；(3)求证：，.【解析】(1)时，在单调递增，在内单调递增当时，单调递减，，，，在单调递增，单调递减····················2分当时，单调递增，，，，在单调递减，单调递增，，，在单调递减，单调递增··················4分综上，在单调递增，单调递减，单调递增，共2个极值点··········5分(2)，是的极大值点，即····························································7分下证：当时，恒成立，①当时，，，则在单调递减，在单调递增，······················