2023-2024学年上海交大附中高二（下）期末数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2023-2024学年上海交大附中高二（下）期末数学试卷一、单选题：本题共2小题，每小题5分，共10分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.设函数y=f(3x+1)是偶函数，则下列直线中，一定是函数y=f(3x)图像的对称轴的是(

)A.x=0 B.x=13 C.x=−12.若存在a∈R且a≠0，使得对任意x∈R，均有f(x+a)<f(x)+f(a)成立，则称函数y=f(x)具有性质β.已知函数y=f(x)的定义域为R，给出下面两个条件：α1：y=f(x)是严格减函数且f(x)>0恒成立；α2：y=f(x)是严格增函数且存在x0<0，使得f(x0)=0.下面关于函数A.只有α1是 B.只有α2是 C.α1和α2都是 D.二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分。3.ℎ→0limln(3+ℎ)−ln3ℎ4.设P是椭圆x24+y2=1第一象限部分上的一点，过P分别向x轴、y轴作垂线，垂足分别为M、5.7个人站成一排，若甲和乙不能相邻排列，则不同的排法有______种.6.设f(x)=(x2−8)ex7.设(1+x)m+(1+x)n=a0+a1x+a8.设集合A是由所有满足下面条件的有序实数组(x1,x2,x3,x4,x5)构成的：每一个元素x1等于0、1、−1中之一，其中三、解答题：本题共2小题，共35分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。9.(本小题14分)

设f(x)=(x2+ax)n，其中n是正整数，a为正实数．

(1)设n=6，若f(x)展开式中含x9项的系数与含x−3的系数相等，求展开式中的常数项；

(2)设n=50，a=2，求10.(本小题21分)

如图所示(省略y轴)，设P是函数y=f(x)图像上的一点，l是曲线y=f(x)在点P处的切线.若存在点P和P′，使得曲线y=f(x)在P、P′处的切线相互垂直，则称曲线y=f(x)上存在以P、P′为端点的直角弯，简称直角．

(1)设f(x)=2sinx，x∈[0,π]，横坐标为π3的点P是曲线y=f(x)上一点，求以点P为端点的直角弯的另一个端点P′的坐标；

(2)设f(x)=x+1x，x>0，试问曲线y=f(x)上是否存在直角弯？若存在，求出端点横坐标的取值范围；若不存在，说明理由；

(3)数学建模社研究车辆转弯时，欲引入“平均弯曲率”来粗略地刻画曲线段的弯曲程度，并满足假设：直观上弯曲程度越大的曲线段的“平均弯曲率”越大.设曲线上直角弯端点P、P′的横坐标分别为xP，xP′，社员想用|xP−xP′|(记作①)或1|xp−xp′|(记作②)其中之一作为该段直角弯的“平均弯曲率“，请根据4!半径不同的圆中直角弯的直观感，帮社员们做出决定

参考答案1.D

2.C

3.134.1

5.3600

6.−4

7.25

8.130

9.解：(1)当n=6时，f(x)=(x2+ax)6，

∵f(x)展开式中含x9项的系数与含x−3的系数相等，

∴aC61=a5C65，又a>0，

∴a=1．

∴f(x)=(x2+1x)6，

∴展开式中的常数项为T5=C64(x2)2(1x)4=15．10.解：(1)因为f(x)=2sinx，x∈[0,π]，所以f′(x)=2cosx，

所以f′(π3)=2cosπ3=1，

设以点P为端点的直角弯的另一个端点P′的坐标为(m,2cosm)，m∈[0,π]，

则f′(m)=2cosm=−1，所以cosm=−12，解得m=2π3，

所以f(2π3)=2sin2π3=3，所以另一个端点P′的坐标为(2π3,3).

(2)假设f(x)=x上存在直角弯，且两端点分别为(x0,x0+1x0)，(x1,x1+1x1)，其中x0>0，x1>0，

则f′(x)=1−1x2，所以f′(x0)=1−1x02，f′(x1)=1−1x12，

所以f′(x0)f′(x1)=(1−1x02)(1−1x12)=−1，

若x0=1或x1=1，则f′(x0)f′(x1)=(1−1x02)(1−1x12)=0，故上式无解，

要想上式成立，1−1x02，1−1