湖南省长沙市望城区第一中学2025届高三上学期开学考试数学试题（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页湖南省长沙市望城区第一中学2025届高三上学期开学考试数学试题一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知集合A=−1,0,1，B=0,2，则A∩B=(

)A.0,1,2 B.1 C.0 D.0,12.设i是虚数单位，则复数z=(12−3A.−12+32i B.3.某班统计一次数学测验成绩的平均分与方差，计算完毕才发现有个同学的分数还未录入，只好重算一次.已知原平均分和原方差分别为x，s2，新平均分和新方差分别为x1，s12，若此同学的得分恰好为xA.x=x1，s2=s12 B.x=x1，4.甲、乙、丙、丁四个学生站成一排照相，要求学生甲必须站在学生乙的左边(两人可以不相邻)，则不同的站法有(

)A.24种 B.12种 C.18种 D.9种5.将函数y=sin2x的图象沿x轴向右平移φφ>0个单位长度，得到函数y=sin2x−πA.φ=π6 B.φ=π3 C.6.设函数f(x)的定义域为R，且f(x+1)是奇函数，f(2x+3)是偶函数，则f(5)=(

)A.0 B.−1 C.1 D.27.在数学史上，中国古代数学名著《周髀算经》《九章算术》《孔子经》《张邱建算经》等，对等差级数(数列)a+a+d+a+2d+a+3d+⋅⋅⋅+a+n−1d和等比级数(数列)a+aq+aq2+aq3+⋅⋅⋅+aqn−1，都有列举出计算的例子，说明中国古代对数列的研究曾作出一定的贡献A.

64 B.49 C.36 D.8.已知函数fx=2ln2x−2+2x,&x>1,aA.−16 B.16 C.−4 D.4二、多选题：本题共3小题，共15分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.已知实数a，b，c满足a<b<c，ac<0，则(

)A.ab2<b2c B.110.已知函数f(x)=x4−xA.f(x)的图象关于y轴对称 B.方程f(x)=0的解的个数为2

C.f(x)在(1,+∞)上单调递增 D.f(x)的最小值为−11.已知曲线C(如图所示)过坐标原点O，且C上的点P(x,y)满足到两个定点F1(a,0)，F2(−a,0)(a>0)的距离之积为4，则下列结论正确的是(

)A.a=2 B.−22≤x≤22

C.△PF1三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知(2x−1)10=a0+13.直线x+y−1=0与圆(x−1)2+(y+1)2=4相交于A、B14.已知函数f(x)=ax+a(14+ln4),x≥a四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题12分)设公比不为1的等比数列{an}的前n项和为S(1)求{an(2)若a1=2，求数列{anan+116.(本小题12分)已知△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，a+b∶(1)求cos A(2)若点D为AB的中点，且CD=10，求△ABC17.(本小题12分)已知双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的离心率为2，右焦点到双曲线C的一条渐近线的距离为1(1)证明：直线AB的斜率k为定值;(2)O为坐标原点，若△OAB的面积为23，求直线AB的方程．18.(本小题12分)如图，在四棱台ABCD−A1B1C1D1中，底面ABCD为等腰梯形，AB//CD，(1)证明：平面ABCD⊥平面D1(2)求该四棱台的体积；(3)求平面A1ABB119.(本小题12分)若函数f(x)的定义域为D，集合M⊆D，若存在非零实数t使得任意x∈M都有x+t∈D，且f(x+t)>f(x)，则称f(x)为M上的t−增长函数．(1)已知函数g(x)=x，函数ℎ(x)=x2，判断g(x)和ℎ(x)是否为区间−1,0上的(2)已知函数f(x)=x，且f(x)是区间−4,−2上的n−增长函数，求正整数n(3)如果f(x)是定义域为R的奇函数，当x≥0时，f(x)=x−a2−a2，且f(x)为R上的参考答案1.C

2.A

3.C

4.B

5.A

6.A

7.C

8.B

9.BC

10.ACD

11.ABD

12.21

13.1414.−2ln15.解：(1)设数列{an}的公比为q，

因为S3=3a1，所以a1(1+q+q2)=3a1，

因为a1≠0，所以q2+q−2=0，

又因为q≠1，所以q=−2；

(2)因为a16.解：(1)因为a+b∶b+c∶c+a=5∶7∶6，设a+b=5t联立解得a=2t，b=3t，c=4t，所以cos A=(2)在△ACD中，cos A=78，CD=10由余弦定理得10=9t2+4t2所以b=3t=6，c=4t=8，因为0<A<π，所以sin A=所以S△ABC

17.解：(1)右焦点的坐标为(c,0)，C的一条渐近线方程为y=bax.

即bx−ay=0，所以|bc|b2+(−a)2=bcc=b=1．

又ca=2，a2+b2=c2，解得a=1．

所以双曲线C的方程为x2−y2=1．

设A(x1,y1)，B(x2,y2)，则x12−y12=1x22−y22=1，

两式相减并整理得，(x1−x2)(x1+x2)−(y1−y2)(y1+y2)=0．

18.解：(1)取AB的中点E，连接DE，因为AB=4，

所以BE=2，又CD=2，所以BE=CD=2，

又AB//CD，所以四边形CDEB为平行四边形，所以BC//DE，BC=DE，因为底面ABCD为等腰梯形，

AB//CD，AD=2，所以BC=2，所以DE=2=AE=BE，所以▵ADB为直角三角形，AB为其斜边，故AD⊥DB，

又AD⊥BB1，DB,BB1⊂所以AD⊥平面D1DBB1，

又所以平面ABCD⊥平面D1

(2)过D1作D1H⊥BD，垂足为H，因为平面ABCD⊥平面D1DBB1，

平面ABCD∩平面D1DB所以D1H⊥平面ABCD，

故D1由(1)AD⊥DB，又AD=2，AB=4，所以DB=23，

又AB=2A所以BB所以D1取AE的中点F，连接DF，由(1)AD=DE=AE=2，

所以DF⊥AE，DF=又AB=4，

所以梯形ABCD的面积为2+4×由棱台的性质可得梯形ABCD与梯形A1B1所以梯形A1B1所以棱台ABCD−A1B1C1D1的体积

V=因为D1H⊥平面ABCD，

所以Dz⊥平面ABCD，如图以D为原点，DA,DB,Dz为所以A(2,0,0)，B0,23,0，

所以AB=−2,23,0，设平面A1ABB1的法向量为m=(x,y,z)，

取x=3，可得y=3，故m=3,设平面B1BCC1的法向量为n=(a,b,c)，

取a=3，可得b=−3，所以n=3,−设平面A1ABB1与平面则cos θ=|cos 所以平面A1ABB1与平面B

19.解：(1)g(x)定义域R，∀x∈[−1,0],(x+32)∈R,g(x+取x=−1，ℎ(−1+32)=ℎ(函数g(x)=x是区间−1,0上的32−增长函数，函数(2)依题意，∀x∈[−4,−2],f(x+n)>f(x)⇔|x+n|>|x|⇔2nx+n而n>0，关于x的一次函数2nx+n2是增函数，x=−4时所以n2−8n>0得n>8，从而正整数n的最小值为(3)依题意，f(x)=x+2a