2024-2025学年云南省大理州民族中学高三（上）开学数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年云南省大理州民族中学高三（上）开学数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.2−i1+iA.52+12i B.522.已知不等式x2−3x+2≤0的解集为A，不等式x−2x−1<0的解集为B，则A是BA.充要条件 B.充分不必要条件

C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件3.已知向量m，n，且|m|=|n|=1,|3m−2A.0 B.π3 C.π2 4.将x1，x2，…，xn每个数均加上9，得到x1+9，x2+9，A.平均数 B.方差 C.极差 D.众数的个数5.已知l，m是两条不重合的直线，α，β是两个不重合的平面，下列结论正确的是(

)A.若l⊂α，m⊂β，l⊥m，则α⊥β

B.若l⊂α，m⊂β，α⊥β，则l⊥m

C.若α∩β=l，α⊥β，m⊂α，m⊥l，则m⊥β

D.若l⊂α，m⊂β，α//β，则l//m6.已知函数f(x)=lnx+ax2−3x在(12,3)A.[49,+∞) B.(0,49]7.已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点F到其准线的距离为4,M是抛物线C上一点，若A2,3，则MFA.8 B.6 C.5 D.48.十八世纪早期，英国数学家泰勒发现了公式sinx=x−x33!+x55!−x77!+…+(−1)n−1x2n−1A.sin30° B.sin33° C.sin36° D.sin39°二、多选题：本题共3小题，共15分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.对于函数f(x)=sinx+cosx，下列说法正确的有(

)A.2π是f(x)的最小正周期 B.关于(π2,0)对称

C.在[0,π2]的值域为10.已知抛物线Γ：x2=2py(p>0)，过其准线上的点T(t,−1)作Γ的两条切线，切点分别为A、B，下列说法正确的是(

)A.p=4 B.当t=1时，TA⊥TB

C.当t=1时，直线AB的斜率为2 D.直线AB过定点(0,1)11.观察图象，下列结论错误的有(

)

A.若图中为f(x)图象，则f(x)在x=−2处取极小值

B.若图中为f′(x)图象，则f(x)有两个极值点

C.若图中为y=(x−2)f′(x)图象，则f(x)在(0,2)上单调递增

D.若图中为y=(x+2)f(x)图象，则f(x)≤0的解集为{x|−2≤x≤2}三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.等差数列{an}的前n项和为Sn，若S3=6，S13.现有3名男生，3名女生和2名老师站成一排照相，2名老师分别站两端，且3名女生互不相邻，则不同的站法为

．14.已知(1−2x)2024=a0+四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题12分)

已知△ABC内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且3bsinC=3ccosB．

(1)求角B的值；

(2)若b=4，ac=16，求△ABC16.(本小题12分)若数列1an是等差数列，则称数列an为调和数列.若实数a、b、c依次成调和数列，则称b是a(1)求13和1(2)已知调和数列an，a1=6，a417.(本小题12分)如图，在三棱锥A−BCD中，AB=4，AC=AD=BC=BD=5，CD=6．(1)求证：AB⊥CD；(2)求二面角B−AC−D平面角的余弦值．18.(本小题12分)每年的4月23日是联合国教科文组织确定的“世界读书日”，又称“世界图书和版权日”，为了解某地区高一学生阅读时间的分配情况，从该地区随机抽取了1000名高一学生进行在线调查，得到了这1000名学生的日平均阅读时间(单位：小时)，并将样本数据分成0,2，2,4,4,6，6,8,8,10，(1)求a的值;(2)为进一步了解这1000名学生数字媒体阅读时间和纸质图书阅读时间的分配情况，从日平均阅读时间在8,10,10,12两组内的学生中，采用分层抽样的方法抽取了10人，现从这10人中随机抽取3人，记日平均阅读时间在10,12内的学生人数为X，求X19.(本小题12分)

设椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左焦点为F，上顶点为B，离心率为33，O是坐标原点，且|OB|⋅|FB|=6．

(1)求椭圆C的方程；

(2)若直线l：y=kx与椭圆C在第一象限内的交点为P参考答案1.D

2.C

3.C

4.A

5.C

6.C

7.D

8.B

9.AC

10.BD

11.ABD

12.15

13.288

14.4048

15.解：(1)因为3bsinC=3ccosB，所以3sinBsinC=3sinCcosB，

又C为△ABC内角，sinC≠0，所以3sinB=3cosB，

显然B=π2不满足3sinB=3cosB，即有tanB=3，

而B∈(0,π)，所以B=π3；

(2)由余弦定理得b216.解：(1)设

13

和

1

的调和中项为

b

，依题意得：

3

、

1b

、

1

成等差数列，

所以

1b=3+12=2

，解得：

b=12

，

故

13

和

1

的调和中项为

12

；

(2)依题意，

1an

是等差数列，设其公差为

d

，

则

3d=1217.解：(1)取CD的中点E，连接AE，BE，由AC=AD，所以AE⊥CD，由BC=BD，所以BE⊥CD，又BE∩AE=E，BE、AE⊂平面ABE，所以CD⊥平面ABE，

又AB⊂平面ABE，所以AB⊥CD；(2)由(1)知CD⊥平面ABE，又CD⊂平面BCD，所以平面BCD⊥平面ABE，由AC=BC=5，CE=3，所以AE=BE=4，又AB=4，所以▵ABE为正三角形，取BE，BC的中点O,  F，则AO⊥BE，

又平面BCD⊥平面ABE，平面BCD∩平面ABE=BE，AO⊂平面ABE，所以AO⊥平面BCD，

又OF,OE⊂平面BCD，

所以AO⊥OF,AO⊥OE，

因为OF//CD，CD⊥OE，

所以OF⊥OE，

则OA,OF,OE两两垂直，以O为原点，OF,OE,OA所在的直线分别为x,y,z轴，建立如图所示的空间坐标系：

则A0,0,23，B0,−2,0，所以BA=0,2,23，设n1=x所以n1⋅BA令z1=3，所以x1设n2=x所以n2⋅CD令z2=3，则x2设二面角B−AC−D的平面角为θ，θ为锐角，

所以cosθ=二面角B−AC−D平面角的余弦值为21

18.解：(1)由频率分布直方图得：2(0.02+0.03+0.05+0.05+0.15+a+0.05+0.04+0.01)=1，

解得a=0.10；

(2)由频率分布直方图得：这1000名学生中日平均阅读时间在8,10,10,12两组内的学生人数之比为0.15:0.1=3:2，

若采用分层抽样的方法抽取了10人，则从日平均阅读时间在8,10内的学生中抽取35×10=6(人)，

在日平均阅读时间在10,12内的学生中抽取4人，

现从这10人中随机抽取3人，则X可能取值为0，1，2，3，

P(X=0)=C63C103=20X0123P1131E(X)=