2024-2025学年湖南省长沙市开福区北雅中学九年级（上）入学数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年湖南省长沙市开福区北雅中学九年级（上）入学数学试卷一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.要使二次根式2x−4在实数范围内有意义，则x的取值范围是(

)A.x>2 B.x≥2 C.x<2 D.x=22.今年“五一”假期，湖南省文旅市场持续升温，文旅经济强劲复苏.根据全省十四个市州综合测算情况汇总，2023年“五一”假期全省共接待游客1787.1万人次，同口径比2022年“五一”假期增长了114.61%，其中数据1787.1万用科学记数法表示为(

)A.1.7871×107 B.1.7871×108 C.3.不等式组x+1>0x−1≤0的解集在数轴上表示正确的是(

)A. B.

C. D.4.将直线y=2x向下平移1个单位得到的直线是(

)A.y=−2x+1 B.y=−2x−1 C.y=2x+1 D.y=2x−15.下列运算正确的是(

)A.a3+a2=a5 B.6.如图，在△ABC中，点D、E、F分别是BC、AD、CE的中点，且S△ABC=8cm2，则SA.4cm2

B.3cm2

C.2c7.下列各组数中，以它们为边长的线段不能构成直角三角形的是(

)A.1，2，3 B.3，4，5 C.5，12，13 D.1，2，8.若(a+b)2=49，ab=12，则a2A.20 B.25 C.30 D.359.在▱ABCD中，若∠A+∠C=140°，则∠B的度数是(

)A.70° B.110° C.120° D.140°10.一次函数y=4x+2的图象经过第(    )象限．A.一、二、三 B.一、二、四 C.一、三、四 D.二、三、四11.如果m、n是一元二次方程x2−x=5的两个实数根，那么多项式m2−mn+n+1A.12 B.10 C.7 D.512.如图，抛物线y=ax2+bx+c(a<0)的对称轴为直线x=1，与x轴的一个交点坐标为(−1,0)，如图所示，下列结论：①4ac<b2；②方程ax2+bx+c=0的两个根是x1=−1，x2=3；③b+2a=0；④当y>0时，x的取值范围是−1<x<3；A.1个 B.2个 C.3个 D.4个二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。13.分解因式：x2−9=

．14.已知菱形的两条对角线的长分别是10cm和24cm，那么菱形的每条边长是______．15.如图，直线y=kx+b与抛物线y=−x2+2x+3交于点A，B，且点A在y轴上，点B在x轴上，则不等式−16.如图，矩形纸片ABCD中，已知AD=16，折叠纸片使AB边与对角线AC重合，点B落在点F处，折痕为AE，且EF=6，则AB的长为______．17.关于x的方程2x+ax−1=1的解是正数，则a的取值范围是

．18.设x1，x2是关于x的方程x2−3x+k=0的两个根，且x1=2三、解答题：本题共7小题，共56分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。19.(本小题8分)

解下列方程：

(1)3x2−2x−1=0

20.(本小题8分)

先化简，再求值：(2aa+2−1)÷a21.(本小题8分)

“让我们携起手来，构建网络空间命运共同体，让互联网更好造福世界各国人民，共同创造人类更加美好的未来！”11月8日上午，国家主席习近平向2023年世界互联网大会乌镇峰会开幕式发表视频致辞，科学分析全球互联网发展治理面临的新形势新要求，为携手推动构建网络空间命运共同体提供了重要指引.与会人士纷纷表示，习近平主席的致辞凝聚合作共识、激发奋进力量，为共同推动构建网络空间命运共同体迈向新阶段进一步指明了方向.为了共同推动构建网络空间命运共同体发展，某高校计划在图书馆引进计算网络书籍，为合理搭配各类书籍，学校团委以“我最喜爱的书籍”为主题，对全校学生进行抽样调查，收集整理喜爱的书籍类型(A.网络安全，B.计算软件计算，C.计算数学，D.通信技术)数据后，绘制出两幅不完整的统计图．

(1)本次抽样调查的样本容量是______；

(2)请补全条形统计图；

(3)求出扇形统计图中类型D所对应的扇形的圆心角的度数；

(4)请你估计该校参加调查的1000名学生中喜欢类型C的学生人数．22.(本小题8分)

如图，等腰直角三角形ABC和等腰直角三角形DCE，A、C、D三点共线，∠ACB=∠DCE=90°，延长DE交AB于点F．

(1)求证：△ACE≌△BCD；

(2)若CD=1，AC=2，求AF的长度．23.(本小题8分)

如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD交于点O，AE⊥BC于点E，点F在BC延长线上，且CF=BE．

(1)求证：四边形AEFD是矩形；

(2)连接AF，若AE=2，AD=3，求AF的长．24.(本小题8分)

定义：如果抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴交于点A(x1,0)，B(x2,0)，那么我们把线段AB叫做雅礼弦，AB两点之间的距离l称为抛物线的雅礼弦长．

(1)求抛物线y=x2−2x−3的雅礼弦长；

(2)求抛物线y=x2+(n+1)x−1(1≤n<3)的雅礼弦长的取值范围；

(3)设m，n为正整数，且m≠1，抛物线y=x2+(4−mt)x−4mt的雅礼弦长为l1，抛物线25.(本小题8分)

已知抛物线y=ax2+bx−4(a,b为常数，a≠0)交x轴于A(−1,0)，B(4,0)，交y轴于点C．

(1)求该抛物线解析式；

(2)点P为第四象限内抛物线上一点，连接PB，过C作CQ/​/BP交x轴于点Q，连接PQ，求△PBQ面积的最大值及此时点P的坐标；

(3)在(2)的条件下，将抛物线y=ax2+bx−4向右平移经过点(12,0)，得到新抛物线y=a1x2+b1x+c1，点参考答案1.B

2.A

3.C

4.D

5.B

6.C

7.A

8.B

9.B

10.A

11.A

12.D

13.(x+3)(x−3)

14.13cm

15.x<0或x>3

16.12

17.a<−1且a≠−2

18.2

19.解：(1)∵3x2−2x−1=0，

∴(x−1)(3x+1)=0，

∴x=1或x=−13；

(2)∵(x−1)2−16=0，

∴(x−1)20.解：原式=(2aa+2−a+2a+2)⋅a+2(a−2)2

=21.(1)400；

(2)喜欢D类型的人数：400×10%=40(人)，

喜欢B类型的人数：400−100−140−40=120(人)，补全的条形统计图如下：

(3)扇形统计图中类型D所对应的扇形的圆心角的度数=10%×360°=36°，

答：扇形统计图中类型D所对应的扇形的圆心角的度数为36°．

(4)400名学生中喜欢类型C的学生人数占比为：140400=35%，

∴该校参加调查的1000名学生中喜欢类型C的学生人数为：1000×35%=350(人)，

答：估计该校参加调查的1000名学生中喜欢类型C的学生人数有350人．22.(1)证明：在等腰直角三角形ABC和等腰直角三角形DCE中，AC=BC，∠ACB=90°，CD=CE，∠DCE=90°，

在△ACE和△BCD中，

AC=BC∠ACB=∠DCE=90°CE=CD，

∴△ACE≌△BCD(SAS)；

(2)解：在等腰直角三角形ABC和等腰直角三角形DCE中，∠EDC=45°，∠BAC=45°，

∴DF=AF，∠DFA=90°，

∴AF2+DF2=2AF2=AD2，

23.(1)证明：∵在平行四边形ABCD中，

∴AB//DC且AB=DC，

∴∠ABE=∠DCF，

在△ABE和△DCF中，

AB=DC∠ABE=∠DCFBE=CF，

∴△ABE≌△DCF(SAS)，

∴AE=DF，∠AEB=∠DFC=90°，

∴AE//DF，

∴四边形ADFE是矩形；

(2)解：由(1)知：四边形ADFE是矩形，

∴EF=AD=3，

在Rt△AEF中，AE=2，

AF=24.解：(1)x2−2x−3=0，

(x−3)(x+1)=0，

∴x1=3，x2=−1，

∴雅礼弦长AB=4；

(2)x2+(n+1)x−1=0，A(x1,0)B(x1,0)，

∴AB=|x1−x2|=(x1+x2)2−4x1x2，

∵Δ=(n+1)2+4>0，x1+x2=−(n+1)x1x2=−1，

∴AB=(n+1)2+4，

∵1≤n<3，

∴当n=1时，AB最小值为22，

当n=3时，AB最大值小于25，

∴22≤AB<25；

25.解：(1)将A(−1,0)，B(4,0)代入抛物线y=ax2+bx−4，

∴a−b−4=016a+4b−4=0，解得a=1b=−3．

∴抛物线的解析式为：y=x2−3x−4．

(2)如图，连接BC，则△BCP的面积=△BQP面积，过点P作PT/​/y轴交BC于点T，

令x=0，则y=−4，

∴C(0,−4)；

∴OB=OC=4，直线BC的解析式为：y=x−4，

设点P的横坐标为m，则P(m,m2−3m−4)，T(m,m−4)，

∴TP=m−4−(m2−3m−4)=−m2+4m，

∴S△BCP=12⋅TP⋅(xB−xC)=12⋅(−m2+4m)⋅4=−2(m−2)2+8，

∵−2<0，

∴当m=2时，S△BCP的最大值为8；此时P(2,−6)．

综上，△PBQ面积的最大值为8，此时P(2,−6)．

(3)∵将抛物线y=x2−3x−4=(x−32)2−254向右平移经过点(12,0)，

∴点A(−1,0)向右平移32个单位，

∴平移后的抛物线为：y=(x−3)2−254．

∵点E在平移后抛物线的对称轴上，

∴设点E(3,t)，该对称轴与x轴交于点G，

①当点P为直角顶点时，过点P作x轴的平行线，交GH于点H，过点A作y轴的平行线交PH于点H，

∴∠APE=∠PHE=∠M=90°，AM=6