2023-2024学年河南师大附中九年级（上）期末数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2023-2024学年河南师大附中九年级（上）期末数学试卷一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.下列各数中，负数的是(

)A.|−2023| B.+(−2024) C.2024 D.−(−2024)2.如图放置的正六棱柱，其左视图是(

)A.B.

C.D.3.下列说法：①三点确定一个圆，②平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，③相等的圆心角所对的弦相等，④三角形的外心到三个顶点的距离相等，⑤长度相等的两条弧是等弧，⑥圆既是轴对称图形，又是中心对称图形.其中正确的有(

)A.1个 B.2个 C.3个 D.4个4.华夏飞天续锦章，摘星揽月入天阊.2023年10月26日神舟十七号载人飞船在酒泉卫星发射中心圆满发射成功.此次神舟十七号载人飞船航天员空间站还将进行一系列科学实验，包括“空间蛋白质分子组装与应用研究”.其中某一蛋白质分子的直径仅0.000000028米，这个数用科学记数法表示为(

)A.0.28×10−7 B.2.8×10−9 C.5.如图，点P是等边△ABC的边BC上的一点，连接AP.将△ABP绕点A逆时针旋转60°得到△ACQ，连接PQ.若∠APC=104°，则∠PQC=(

)A.14°

B.16°

C.24°

D.26°6.若1x−1=A−3x−4x−1，则AA.−3 B.2 C.3 D.−27.如图，AB是⊙O的直径，∠D=26°，则∠AOC等于(

)A.128°

B.52°

C.108°

D.116°8.若关于x的方程kx2+4x−1=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是(

)A.k>−4B.k<4 C.k<4且k≠0 D.k>−4

且k≠09.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图，则反比例函数y=ax与一次函数A.B.C.D.10.如图①，一动点P从Rt△ABC中的A点出发，在三角形的内部运动(含边上)，沿直线运动至P1点，再从P1点沿直线运动至P2点，设点P运动的路程为x，PCPB=y，如图②，是点P运动时y随x变化关系图象，若AB=A.23 B.3 C.2二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。11.在一场校内篮球比赛中，小明共投中m个2分球，n个3分球，还通过罚球得到7分.在这场比赛中，他一共得了______分.12.如图，点A在反比例函数y=kx第一象限内的图象上，点B在x轴的正半轴上，OA=AB，△AOB的面积为3，则k的值为______．13.如图所示，在△ABC中，A、B两个顶点在x轴的上方，点C的坐标是(−2,0).以点C为位似中心，在x轴的下方作△ABC的位似图形△A′B′C，并把△ABC的边长放大到原来的3倍，设点B的对应点B′的横坐标是7，则点B的横坐标是______．14.如图，在边长为1的网格中，点A，C，D都为格点，线段AE经过点C.以A为圆心，AE为半径画弧，弧EF经过格点D交AB所在格线于点F，则阴影部分的面积是______．15.在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，BC=1，点D是AB边上一动点，将△ACD沿直线CD翻折，使点A落在点E处，连接CE交AB于点F.当△DEF是直角三角形时，AD=______．三、解答题：本题共8小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。16.(本小题10分)

用合适的方法解下列方程：

(1)x(x−3)=x−3；

(2)2x2−3x−1=017.(本小题9分)

如图，在平面直角坐标系中，已知点A(−1,5)，B(−3,1)和C(4,0)，请按下列要求画图并填空．

(1)平移线段AB，使点A平移到点C，画出平移后所得的线段CD，并写出点D的坐标为______；

(2)将线段AB绕点A逆时针旋转90°，画出旋转后所得的线段AE，连接BE，BC，EC，求∠BCE的正切值；

(3)在y轴上找出点F，使△ABF的周长最小，并直接写出点F的坐标为______．18.(本小题9分)

课间休息，数学李老师提前来到了教室，准备上数学课，看到了上节物理课在黑板上留下的一个电路图(如图所示)，就嘱咐班级的值日生擦黑板时把电路图留下.上课时，李老师问班级的物理课代表：“此电路图下，小灯泡何时发光”，物理课代表回答：“在开关S1闭合的情况下，再闭合S2，S3，S4中的任意一个开关，小灯泡就会发光”，物理课代表的回答得到了全班同学的认可.接下来，李老师提出了如下的数学问题：

(1)在开关S3闭合的情况下，随机闭合S1，S2，S4中的一个开关，能够让小灯泡发光的概率为______．

(2)当随机闭合S19.(本小题9分)

如图，在⊙O中，△ABC内接⊙O，连接OB，作∠BAD=∠C交OB延长线于点D．

(1)求证：AD为⊙O的切线；

(2)若tanC=35，OB=2，求BD的长．20.(本小题9分)

从2024年起，郑州市中招体育考试总分将提高至100分，为了适应新的中考要求，学校准备从网上订购一批足球和跳绳，网络搜索后发现足球每个定价150元，跳绳每条定价30元，现有A、B两家网店均提供包邮服务，并提出了各自的优惠方案．

A网店：买一个足球送一条跳绳；

B网店：足球和跳绳都打九折．

已知要购买足球60个，跳绳x条(x>60)．

(1)分别求出在A，B两家网店购买所需的费用yA和yB；

(2)若yA=yB，求出21.(本小题9分)

如图，在△OAB中，AB=AO，顶点A(3,4)在反比例函数y=kx(x>0)的图象上．

(1)求反比例函数的解析式；

(2)请用尺规作图画出线段OA的垂直平分线(要求：不写作法，保留作图痕迹，使用2B铅笔作图)；

(3)线段OB与(2)中所作的垂直平分线相交于点D，连接AD，求BD22.(本小题10分)

已知抛物线G：y=a(x+1)(x−3)与x轴交于点A，B(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C，点P(0,t)(−1≤t≤2)为y轴上一动点，过点P作y轴的垂线交抛物线G于点M、N(M与N不重合)．

(1)当a<0时，若BC=154，求抛物线G的纵坐标在4a≤x≤4a+5时的取值范围；

(2)对于a(a>0)的每一个确定的值，MN有最小值m，若m≤2，求a的取值范围．23.(本小题10分)

综合与实践课上，老师让同学们以“正方形的折叠”为主题开展数学活动．

操作一：对折正方形纸片ABCD，使AD与BC重合，得到折痕EF，把纸片展平；

操作二：在AD上选一点P，沿BP折叠，使点A落在正方形内部点M处，把纸片展平，连接PM，BM，并延长PM交CD于点Q，连接BQ．

(1)初步感知

如图1，当点M在EF上时，连接AM，则△ABM的形状为______；线段CQ与MQ的数量关系为______，∠PBQ=______度.

(2)迁移探究

改变点P在AD上的位置(点P不与点A，D重合)，如图2，请判断线段CQ与MQ的数量关系及∠PBQ的度数，并说明理由；

(3)拓展应用

已知正方形纸片ABCD的边长为8，在以上探究中，当FQ=2时，直接写出AP的长．

参考答案1.B

2.B

3.C

4.C

5.B

6.C

7.A

8.D

9.A

10.D

11.(2m+3n+7)

12.3

13.−5

14.5π415.1或3−16.解：(1)x(x−3)=x−3，

移项得：x(x−3)−(x−3)=0，

(x−3)(x−1)=0，

∴x−3=0或x−1=0，

∴x1=3，x2=1；

(2)2x2−3x−1=0，

∴b2−4ac=(−3)217.(1)(2,−4)；

(2)如图2所示，BE2=40，EC2=10，BC2=50，

∴BE2+EC2=BC2，

∴△BEC的形状为直角三角形，

∴∠BCE的正切值=BECE=2；

(3)如图318.(1)13．

SSSSS(((S(((S(((S(((共有12种等可能的结果，其中能使小灯泡发光的结果有：(S1,S2)，(S1,S3)，(S1,19.(1)证明：连接OA，如图，

则∠AOB=2∠C，

∵OA=OB，

∴∠OAB=12(180°−∠AOB)=90°−∠C，

∴∠OAD=∠OAB+∠BAD=90°，

∴OA⊥AD，

又∵OA为半径，

∴AD为⊙O切线；

(2)解：延长BO交⊙O于E，连接AE，如图，

∵∠C与∠E为同弧所对圆周角，

∴∠C=∠E=∠BAD，

又∵∠D=∠D，

∴△BAD∽△AED，

∴BDAD=ABAE，

设BD=x，则xAD=ABAE，

∵tanC=35，

∴tanE=35，

∵AB为⊙O的直径，

∴∠EAB=90°，

∴tanE=ABAE=35，则AD=53x，

20.解：(1)由题意得：yA=150×60+30(x−60)=30x+7200；

yB=150×60×0.9+30x×0.9=27x+8100．

∴yA=30x+7200；yB=27x+8100；

(2)令yA=yB，30x+7200=27x+8100，

解得x=300；

(3)画出yA， ​B关于x的函数图象，

由图象可知，当x<300时，到A店买更合算；

21.解：(1)∵点A(3,4)在反比例函数y=kx(x>0)的图象上，

∴k=3×4=12，

∴反比例函数的解析式为y=12x(x>0)；

(2)如图所示：以点O，点A为圆心，大于12AO的线段为半径画弧，两弧相交于点E，点F，连接EF，则EF是OA的垂直平分线；

(3)如图，设EF与OA交于点M，过点A作AN⊥OB于点N．

则ON=3，AN=4，

∴OA=ON2+AN2=5，

∵AB=OA=5，AN⊥OB，

∴OB=2AN=6，

∵EF是OA的垂直平分线，

∴OM=AM=52，∠DMO=90°，DA=DO，

∴∠ANO=∠DMO=90°，

∵∠AON=∠DOM22.解：(1)由点C是抛物线与y轴的交点，

把x=0时，得y=−3a，

∴点C的纵坐标为−3a；

把y=0代入y=a(x+1)(x−3)，

解得：x1=−1，x2=3，

∴点A的坐标为(−1,0)，点B的坐标为(3,0)，

∵BC=154，点C的坐标为(0,−3a)，

∴(3−0)2+(0+3a)2=154，

解得a=±34，

∵a<0，

∴a=−34，

∴抛物线的解析式为y=−34x2+32x+94，且对称轴为直线x=1，

当4a≤x≤4a+5，即−3≤x≤2时，

得当x=1时，函数取最大值，即y=3

当x=−3时，函数取最小值，即y=−9

得抛物线G的纵坐标在−3≤x≤2时的取值范围−9≤y≤3；

(2)由抛物线可知顶点坐标为(1,−4a)，设点M的坐标为(xM,−1)，点N的坐标为(xN,−1)，

若a>0，由图可得当t=−1时，MN取得最小值m，

把y=−1代入y=a(x+1)(x−3)，整理得ax2−2ax+1−3a=0，

得xM+xN=−ba=2，xMxN=ca=1−3a23.(1)初步感知：当点M在EF上时，连接AM，则△ABM的形状为等边三角形；线段CQ与MQ的数量关系为CO=MQ；∠PBQ=45°；

理由如下：

∵四边形ABCD是正方形，

∴AB=BC，∠A=∠ABC=∠C=90°，

由翻折可知：AB=MB，

∴BM=BC，

∵BQ=BQ，

∴Rt△BQM≌Rt△BQC(HL)，

∴CQ=MQ；

由翻折可知：∠ABP=∠MBP，∠QBC=∠QBM，

∴∠PBQ=∠MBP+∠QBM=12(∠MBA+∠CBM)=12∠ABC=45°，

故作案为：等边三角形；CQ=MQ，45；

(2)迁移探究：线段CQ与MQ的数量关系为CQ=MQ；∠PBQ=45°；理由如下：

∵四边形ABCD是正方形，

∴AB=BC，∠A=∠ABC=∠C=90°，

由翻折可知：AB=MB，

∴BM=BC，

∵BQ=BQ，

∴Rt△BQM≌Rt△BQC(HL)，

∴CQ=MQ；

由翻折可知：∠ABP=∠MBP，∠