2024-2025学年内蒙古呼和浩特市高三（上）第一次质检数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年内蒙古呼和浩特市高三（上）第一次质检数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知集合A={x|x2−14A.[0,12] B.(0,12]2.已知命题p：∀x∈R，|x+1|>1；命题q：∃x∈N，x2+1∈NA.p和q都是真命题 B.￢p和q都是真命题

C.p和￢q都是真命题 D.￢p和￢q都是真命题3.已知i为虚数单位，z−为复数z的共轭复数，复数z满足i3z=1+i，则|A.1 B.2 C.2 D.4.已知平面向量a=(1−x,−x−3)，b=(1+x,2)，a⋅b=−4，则a+2A.π3 B.π4 C.2π35.若tan(α+π4)=−1A.255 B.−256.已知双曲线的两个焦点分别为(4,0)，(−4,0)，点(4,−6)在该双曲线上，则该双曲线的离心率为(

)A.3 B.3 C.2 D.7.当x∈[0,2π]时，曲线y=cosx与y=2sin(2x+π3)的交点个数为A.2 B.3 C.4 D.68.已知圆锥PO的顶点为P，其三条母线PA，PB，PC两两垂直，且母线长为3.则圆锥PO的侧面积为(

)A.2π B.26π 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.某物理量的测量结果服从正态分布N(11,σ2)，下列选项中正确的是A.σ越大，该物理量在一次测量中在(10.8,11.2)的概率越小

B.该物理量在一次测量中小于11的概率小于0.5

C.该物理量在一次测量中小于10.98与大于11.02的概率不相等

D.该物理量在一次测量中落在(10.8,11.2)与落在(10.9,11.3)的概率不相等10.设函数f(x)=x3−6xA.f(x)有三个零点 B.x=1是f(x)的极大值点

C.曲线y=f(x)为轴对称图形 D.(2,−2)为曲线y=f(x)的对称中心11.如图，曲线C：x3+y3−3axy=0(a>0)过原点，其渐近线方程为l：x+y+a=0A.曲线C关于直线y=x对称

B.点(a,a)位于曲线C围成的封闭区域(阴影部分)外

C.若(x0,y0)在曲线C上，则−a<三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.用0与1两个数字随机填入如图所示的3个格子里，每个格子填一个数字.若从左到右数，不管数到哪个格子，总是1的个数不少于0的个数，则这样填法的概率为______．13.记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知3bsinC=csin2B，sinA+3cosA=2,△ABC外接圆直径为414.若x=0是f(x)=(ax2−4x+6)ex四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

记Sn是公差不为0的等差数列{an}的前n项和，a1=1，且a2−1，a3−1，a4成等比数列．

(1)求an和Sn16.(本小题15分)

某厂为了考察设备更新后的产品优质率，质检部门根据有放回简单随机抽样得到的样本测试数据，制作了如下列联表：产品优质品非优质品更新前2416更新后4812(1)依据小概率值α=0.050的独立性检验，分析设备更新后能否提高产品优质率？

(2)如果以这次测试中设备更新后的优质品频率作为更新后产品的优质率.质检部门再次从设备更新后的生产线中抽出5件产品进行核查，核查方案为：若这5件产品中至少有3件是优质品，则认为设备更新成功，提高了优质率；否则认为设备更新失败．

①求经核查认定设备更新失败的概率p；

②根据p的大小解释核查方案是否合理．

附：χ2P(0.0500.0100.001x3.8416.63510.82817.(本小题15分)

如图1，在菱形ABCD中，∠ABC=120°,AB=4,AE=λAD,AF=λAB(0<λ<1)，沿EF将△AEF向上折起得到棱锥P−BCDEF.如图2所示，设二面角P−EF−B的平面角为θ．

(1)当λ为何值时，三棱锥P−BCD和四棱锥P−BDEF的体积之比为95；(2)当θ=18.(本小题17分)

已知函数f(x)=ex+x+a，g(x)=ln(x+1)+ln2．

(1)当a=0时，求f(x)在x=0处的切线方程；

(2)证明：当a≥019.(本小题17分)

设点P从格点A(1,1)出发，沿格径以最短的路线运动到点B(m,n)(m、n∈N∗)，即每次运动到另一格点时，横坐标或纵坐标增加1.设点P经过的所有格点中两坐标乘积之和为S．

(1)当m=4，n=3时，点A沿格径以最短的路线运动到点B的方案有多少种？

(2)当m=4，n=2时，求S的最大值；

(3)当点P从格点A(1,1)出发，沿格径以最短的路线运动到点B(m,n)(m、n∈N∗)且m≥n，求S的最大值参考答案1.B

2.B

3.B

4.B

5.A

6.C

7.C

8.D

9.AD

10.BD

11.ACD

12.3813.214.[1,+∞)

15.解：(1)设已知数列的公差为d，则an=1+(n−1)d，

由(a3−1)2=a4(a2−1)，得(2d)2=d(1+3d)，即d2−d=0，

所以d=1或d=0，显然d不为0，所以d=1，

所以an=n，Sn=n(16.解：(1)零假设为H0：设备更新与产品的优质率独立，即设备更新前与更新后的产品优质率没有差异，

由列联表可计算χ2=100×(24×12−48×16)240×60×72×28≈4.762>3.841，

依据小概率值α=0.05的独立性检验，

我们可以推断H0不成立，因此可以认为设备更新后能够提高产品优质率；

(2)根据题意，设备更新后的优质率为0.8，可以认为从生产线中抽出的5件产品是否优质是相互独立的．

①设X表示这5件产品中优质品的件数，则X～B(5,0.8)，

可得p=P(X≤2)=C50×17.解：(1)由图知，VP−BCDVP−BDEF=S△BCDS四边形BDEF=S△ABDS四边形BDEF=95，

从而，S△ABDS△AEF=94

因AE=λAD,AF=λAB，

故EF//BD，则△AEF～△ADB，

于是，λ=AEAD=49=23；

(2)因为菱形ABCD的对角线互相垂直，

设AC与EF的交点为O，由λ=12可知O点为线段EF的中点，

在翻折的过程中，始终有PO⊥EF，OC⊥EF，

所以二面角P−EF−B的平面角为∠POC=θ=π2，

以O为坐标原点，OF，OC，OP分别为x轴、y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，

则P(0,0,3),F(1,0,0),B(2,3,0)18.(1)解：当a=0时，f(x)=ex+x，f(0)=1，

且f′(x)=ex+1，f′(0)=2，

所以切线方程为y−1=2(x−0)，即2x−y+1=0．

(2)证明：由题意知，x>−1，设ℎ(x)=f(x)−(2x+1)=ex−x−1+a，则ℎ′(x)=ex−1，

令ℎ′(x)>0，解得x>0，令ℎ′(x)<0，解得−1<x<0，

所以ℎ(x)在(−1,0)单调递减，在(0,+∞)单调递增，ℎ(x)≥ℎ(0)=a≥0，

所以f(x)≥2x+1，当且仅当x=0=a时，等号成立．

设φ(x)=(2x+1)−g(x)=2x−ln(x+1)+1−ln2，则φ′(x)=2−1x+1=2x+1x+1，

令φ′(x)>0，解得x>−12，令φ′(x)<0，解得−1<x<−12，

所以φ(x)在19.解：(1)因从点A(1,1)到点B(4,3)的路线，至少经过三个横格与两个纵格，

只需确定了横格或纵格，方案即确定，故方案种数为C52=10；

(2)方案一：

A(1,1)→P2(2,1)→P3(3,1)→P4(4,1)→P5(4,2)，

S=1×1+2×1+3×1+4×1+4×2=18；

方案二：A(1,1)→P2(2,1)→P3(2,2)→P4(3,2)→P5(4,2)，

S=1×1+2×1+2×2+3×2+4×2=21；

方案三：A(1,1)→P2(2,1)→P3(3,1)→P4(3,2)→P5(4,2)，

S=1×1+2×1+2×2+3×1+4×2=18；

方案四：A(1,1)→P2(1,