2024-2025学年广东省深圳市南山第二外国语学校（集团）海德学校九年级（上）开学数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年深圳市海德学校九年级（上）开学数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.在平行四边形、菱形、矩形、正方形、圆中，既是中心对称图形又是轴对称图形的图形个数为(

)A.1 B.2 C.3 D.42.下列方程中一定是一元二次方程的是(

)A.2x2−7=3y+1 B.5x2−6y−2=03.关于x的一元二次方程(a−1)x2+x+a2−1=0的一个根是0A.1 B.−1 C.1或−1 D.124.如图，在矩形ABCD中，点A的坐标是(1,0)，点C的坐标是(−2,4)，则BD的长是(

)A.17B.5C.335.关于x的方程kx2+3x−1=0有实数根，则k的取值范围是A.k≤94 B.k≥−94且k≠0 C.k≥−96.下列说法中，正确的是(

)A.一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形

B.对角线相等的四边形是矩形

C.有一组邻边相等的矩形是正方形

D.对角线互相垂直的四边形是菱形7.如图，五边形ABCDE是正五边形，且l1//l2.若∠1=57°A.108° B.36° C.72° D.129°8.在平面直角坐标系中，正方形A1B1C1D1、D1E1E2B2、A2B2C2D2、D2E3E4B3…按如图所示的方式放置，其中点B1在yA.(12)2016 C.(33二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。9.因式分解2a2−a=10.将一元二次方程(x−2)(2x+1)=x2−411.若关于x的一元二次方程x2−2x+m=0没有实数根，则实数m取值范围是______．12.如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，作DE⊥AB交BA的延长线于点E，连接OE，若AB=6，OE=5，则菱形13.如图，在矩形ABCD中，AB=1，BC=2，E是边BC上一动点，F是对角线BD上一动点，且BE=DF，则DE+CF的最小值为______．三、计算题：本大题共1小题，共5分。14.先化简代数式(1−3a+2)÷a2−2a+1a2−4，再从−2四、解答题：本题共6小题，共56分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题8分)

解方程：

(1)(x+1)2=49；

16.(本小题8分)

先阅读理解下面的例题，再按要求解答下列问题：同学们，我们把学习新的数学知识的时候，经常利用“化归“的数学思想方法解决问题，比如，我们在学习二元一次方程组的解法时，是通过“消元”的方法将二元方程化归成我们所熟悉的一元方程，从而正确求解．下面我们就利用“化归”的数学方法解决新的问题．首先，我们把像这样，只含有一个未知数，并且未知教的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式．通过以前的学习，我们已经认识了一无一次不等式、一元一次不等式组并掌握了它们的解法．同学们，你们能类比一元一次不等式(组)的解法求出一元二次不等式的解集吗？例题：解一元二次不等式x2−9>0分析：为了解决这个问题，我们需要将一元二次不等式“化归”到一元一次不等式(组)，通过平方差公式的逆用，我们可以把x2−9>0写成(x+3)(x−3)的形式，从面将x2−9>0转化为(x+3)(x−3)>0，然后再利用两数相乘的符号性质将一元二次不等式转化成一元一次不等式(组)，从而解决问题．解：∵x2−9=(x+3)(x−3)∴x2−9>0可化为(x+3)(x−3)>0，

由有理数的乘法法则“两数相乘，同号得正”，得①x+3>0x−3>0②x+3<0x−3<0，

解不等式组①，x>3，

解不等式组②，x<−3，

即一元二次不等式x2−9>0的解集为x>3或17.(本小题8分)

如图，矩形ABCD的对角线AC、BD交于点O，且DE//AC，CE//BD．

(1)求证：四边形OCED是菱形；

(2)若∠BAC=30°，AC=4，求菱形OCED的面积．18.(本小题10分)

根据以下素材，探索完成任务．如何确定拍照打卡板素材一设计师小聪为某商场设计拍照打卡板(如图1)，图2为其平面设计图.该打卡板是轴对称图形，由长方形DEFG和等腰三角形ABC组成，且点B，F，G，C四点共线.其中，点A到BC的距离为1.2米，FG=0.8米，DG=1.5米．素材二因考虑牢固耐用，小聪打算选用甲、乙两种材料分别制作长方形DEFG与等腰三角形ABC(两种图形无缝隙拼接)，且甲材料的单价为85元/平方米，乙材料的单价为100元/平方米．问题解决任务一推理最大高度小聪说：“如果我设计的方案中CB长与C，D两点间的距离相等，那么最高点B到地面的距离就是线段DG长”，他的说法对吗？请判断并说明理由．任务二探究等腰三角形ABC面积假设CG长度为x米，等腰三角形ABC的面积为S.求S关于x的函数表达式．任务三确定拍照打卡板小聪发现他设计的方案中，制作拍照打卡板的总费用不超过180元，请你确定CG长度的最大值．19.(本小题10分)

数学课上，李老师提出问题：如图1，在正方形ABCD中，点E是边BC的中点，∠AEF=90°，且EF交正方形外角的平分线CF于点F.求证：AE=EF.(不需要证明)

经过思考，小聪展示了一种正确的解题思路：如图5，取AB的中点H，连接HE，则BH=BE，则△BHE为等腰直角三角形，这时只需证△AHE与△ECF全等即可，在此基础上，同学们进行了进一步的探究：

(1)小颖提出：如图2，如果把“点E是边BC的中点”改为“点E是边BC上(不含点B，C)的任意一点”，其他条件不变，那么结论“AE=EF”仍然成立，你认为小颖的观点正确吗？如果正确，写出证明过程，如果不正确，请说明理由；

(2)小华提出：如图3，如果点E是边BC延长线上的任意一点，其他条件不变，那么结论“AE=EF”是否成立：______(填“是”或“否”)；

(3)小丽提出：如图4，在平面直角坐标系xOy中，点O与点B重合，正方形的边长为1，当E为BC边上(不含点B，C)的某一点时，∠AEF=90°，点F恰好落在直线y=−2x+3上，请直接写出此时点E的坐标______，以及△AEF的面积______．20.(本小题12分)

如图，在平面直角坐标系中，把矩形OABC沿对角线AC所在直线折叠，点B落在点D处，DC与y轴相交于点E，矩形OABC的边OC，OA的长是关于x的一元二次方程x2−12x+32=0的两个根，且OA>OC．

(1)求线段OA，OC的长；

(2)求证：△ADE≌△COE，并求出线段OE的长；

(3)直接写出点D的坐标；

(4)若F是直线AC上一个动点，在坐标平面内是否存在点P，使以点E，C，P，F为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出P点的坐标；若不存在，请说明理由．

参考答案1.D

2.C

3.B

4.B

5.C

6.C

7.D

8.C

9.a(2a−1)

10.x211.m>1

12.213.614.解：原式=a+2−3a+2÷(a−1)2(a+2)(a−2)

=a−1a+2⋅(a+2)(a−2)15.解：(1)(x+1)2=49

x+1=7或x+1=−7，

解得x=6或x=−8，

∴原方程的解为：x1=6，x2=−8；

(2)3x2=6x−2

3x2−6x+2=0，

a=3，b=−6，c=2，

Δ=b2−4ac=36−24=12，16.解：(1)(x+4)(x−4)>0，

原不等式可转化为①x+4>0x−4>0或②x+4<0x−4<0，

解不等式组①，x>4，

解不等式组②，x<−4，

即一元二次不等式x2−16>0的解集为x>4或x<−4；

(2)原不等式可转化为①x−1>0x−3<0或②x−1<0x−3>0，

解不等式组①，1<x<3，

解不等式组②无解

即分式不等式x−1x−3<0的解集为1<x<3；

(3)x(2x−3)<0，

原不等式可转化为①x>02x−3<0或②x<02x−3>0，

17.(1)证明：∵CE//OD，DE//OC，

∴四边形OCED是平行四边形，

∵矩形ABCD，

∴AC=BD，OC=12AC，OD=12BD，

∴OC=OD，

∴平行四边形OCED是菱形；

(2)解：在矩形ABCD中，∠ABC=90°，∠BAC=30°，AC=4，

∴BC=2，

∴AB=DC=23，

连接OE，交CD于点F，

∵四边形OCED为菱形，

∴F为CD中点，

∵O为BD中点，

∴OF=118.解：任务1：他的说法对，理由如下：

如图：过点B作BH⊥DC于点H，

∴∠BHC=90°．

∵四边形EFGD是长方形，

∴∠DGC=90°．

∴∠BHC=∠DGC，

在△BCH与△DCG中，

∠BHC=∠DGC∠BCH=∠DCGBC=DC，

∴△BCH≌△DCG(AAS)，

∴BH=DG．

∴最高点B到地面的距离就是线段DG长．

任务2：∵该指示牌是轴对称图形，四边形EFHD是长方形，

∴设BF=CG=x，则BC=2x+0.8．

又△ABC的高为1.2米，

∴三角形ABC的面积S=12×(2x+0.8)×1.2=1.2x+0.48．

任务3：由题意，当长方形用甲种材料制作，三角形用乙种材料制作时，

又长方形的面积为：DH⋅DE=0.8×1.5=1.2(平方米)，

∴1.2×85+(1.2x+0.48)×100≤180．

解得x≤0.25，

故CG19.(1)证明：如图2，在AB上截取BH=BE，连接HE，

∵四边形ABCD是正方形，

∴AB=BC，∠ABC=90°=∠BCD，

∵CF平分∠DCG，

∴∠DCF=45°，

∴∠ECF=135°，

∵BH=BE，AB=BC，

∴∠BHE=∠BEH=45°，AH=CE，

∴∠AHE=∠ECF=135°，

∵AE⊥EF，

∴∠AEB+∠FEC=90°，

∵∠AEB+∠BAE=90°，

∴∠FEC=∠BAE，

∴△AHE≌△ECF(ASA)，

∴AE=EF；

(2)解：如图3，在BA的延长线上取一点N，使AN=CE，连接NE，

∵AB=BC，AN=CE，

∴BN=BE，

∴∠N=∠FCE=45°，

∵四边形ABCD是正方形，

∴AD//BE，

∴∠DAE=∠BEA，

∴∠NAE=∠CEF，

在△ANE和△ECF中，

∠N=∠FCEAN=CE∠ANE=∠CEF，

∴△ANE≌△ECF(ASA)，

∴AE=EF，

故答案为：是；

(3)解：如图4，在BA上截取BH=BE，连接HE，过点F作FM⊥x轴于点M，

设点E(a,0)，

∴BE=a=BH，

∴HE=2a，

由(1)可得△ANE≌△ECF，

∴CF=HE=2a，

∵CF平分∠DCM，

∴∠DCF=∠FCM=45°，

∵FM⊥CM，

∴∠CFM=∠FCM=45°，

∴CM=FM=2a2=a，

∴BM=1+a，

∴点F(1+a,a)，

∵点F恰好落在直线y=−2x+3上，

∴a=−2(1+a)+3，

∴a=13，

∴点E(13,0)，点F(43,13)，

在Rt△ABE中，

AE=AB2+BE2=12+(13)2=103，

在Rt△EMF中，根据勾股定得：EF=EM2+MF2=(43)2+(13)2=173，

∴S△AEF=12⋅AE⋅EF=12×103×173=17018．

20.解：(1)解方程x2−12x+32=0得，x1=8，x2=4，∵OA>OC，

∴OA=8，OC=4；

(2)∵四边形ABCO是矩形，

∴AB=OC，∠ABC=∠AOC=90°，

∵把矩形OABC沿对角线AC所在直线折叠，点B落在点D处，

∴AD=AB，∠ADE=∠ABC=