河北省衡水中学2025届高三上学期第一次综合素养测评数学试题（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页河北省衡水中学2025届高三上学期第一次综合素养测评数学试题一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知不等式x2−2x−3<0的解集为A，不等式x+3x−2<0的解集为B，则A∩BA.−3,3 B.−3,3 C.−1,2 D.−1,22.已知a=63,b=1,a⋅A.2π3 B.5π6 C.π33.如图所示，为测量山高MN，选择A和另一座山的山顶C为测量观测点，从A点测得M点的仰角∠MAN=30∘，C点的仰角∠CAB=45∘以及∠MAC=75∘，从C点测得∠MCA=60∘，已知山高A.120m B.150m C.503m4.已知等差数列an和bn的前n项和分别为Sn、Tn，若SnA.11113 B.3713 C.111265.已知双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2，PA.53 B.54 C.2 6.点P(−2,−1)到直线l:(1+3λ)x+(1+λ)y−2−4λ=0(λ∈R)的距离最大时，其最大值以及此时的直线方程分别为(

)A.13；3x+2y−5=0 B.11；3x+2y−5=0

C.13；2x−3y+1=0 D.7.已知函数f(x)的定义域为(−3,3)，且f(x)=lg3−x3+x+2x−3,−3<x<0,lgA.(−3,2) B.(−3,0)∪(0,1)∪(1,2)

C.(−1,3) D.(−1,0)∪(0,2)∪(2,3)8.已知xx−1≥lnx+ax对∀x>0A.0 B.

1e C.e D.二、多选题：本题共3小题，共15分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.若数列an为递增数列，则an的通项公式可以为(

)A.an=nn+1 B.an=2n−110.函数fx=2sinωx+φω>0,φ<π2的部分图象如图中实线所示，C为函数fx与x轴的交点，圆C与fx的图象交于A.ω=2

B.圆的半径为273

C.函数fx的图象关于点4π3,0成中心对称

11.已知F1，F2是椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的两个焦点，点PA.若点P是椭圆的短轴顶点，则椭圆C的标准方程为x28+y24=1

B.若P是动点，则b的值恒为2

C.若P是动点，则椭圆的离心率的取值范围是[1三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知α是第四象限角，且sin2α=−23，则cosα−sin13.已知f(x)=x2+cosx，若a=f(e−34)，b=f(ln4514.定义：对于函数fx和数列xn，若xn+1−xnf′xn+fxn=0，则称数列xn具有“fx函数性质”.已知二次函数fx图象的最低点为0,−4，且fx+1=fx+2x+1，若数列xn四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题12分)已知数列{an}为递增的等比数列，Sn为数列{a(1)求数列{a(2)记bm为数列{an}在区间(2m,216.(本小题12分)已知函数f(x)=log2x(1)求函数f(x)的最大值；(2)设不等式f(x)⩽0的解集为A，若对任意x1∈A，存在x2∈[0,1]，使得x17.(本小题12分)如图，抛物线Γ:y2=2px(p>0),M(2,1)是抛物线内一点，过点M作两条斜率存在且互相垂直的动直线l1,l2，设l1与抛物线Γ相交于点A,B,l2与抛物线Γ相交于点(1)求抛物线Γ的方程；(2)求AC⋅DB18.(本小题12分)已知函数fx(1)若直线y=e−1x与函数fx(2)若函数gx=xfx有两个极值点x1和x2，且x19.(本小题12分)法国数学家费马在给意大利数学家托里拆利的一封信中提到“费马点”，即平面内到三角形三个顶点距离之和最小的点，托里拆利确定费马点的方法如下：①当▵ABC的三个内角均小于120∘时，满足∠AOB=∠BOC=∠COA=120②当▵ABC有一个内角大于或等于120请用以上知识解决下面的问题：已知▵ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c，点M为▵ABC的费马点，且cos2A+(1)求C；(2)若c=4，求MA⋅(3)若MA+MB=tMC，求实数参考答案1.D

2.B

3.C

4.C

5.A

6.A

7.D

8.D

9.ABD

10.AC

11.ABD

12.1513.b<c<a

14.−51115.解：(1)设公比为q，由题意得，a1解得a1=2,q=2或a1所以an=2n(2)由题意得，b1对应的区间为：(21,2b2对应的区间为：(22,2b3对应的区间为：(23,26]，其中包含a4，bm对应的区间为：(2m,22m]，其中包含am+1，am+2因此bm所以bm故Tm

16.解：(1)f(x)=lo=(lo∵1⩽x⩽4，∴0⩽log∴当log2x=0，即x=1时，f(1)=2，

当log2∴当x=1时，f(x)的最大值为2；(2)由f(x)⩽0，得1⩽log即2⩽x⩽4，∴A=[2,4]，设t=2x+2−x，则当x∈[0,1]g(x)=4x+4设ℎ(t)=t由题意，A=[2,4]是当t∈[2,52]①当a2⩽2，即a⩽4时，函数ℎ(t)在则ℎ(2)=3−2a⩽2ℎ(52②当a2⩾52，即a⩾5时，函数则ℎ(2)=3−2a⩾4ℎ(③当2<a2<52，即4<a<5时，函数ℎ(t)则函数ℎ(t)的最大值是ℎ(2)与ℎ(5令ℎ(2)=3−2a⩾4，得a⩽−1令ℎ(52)=综上所述，实数a的值为12

17.解：(1)设直线AB:x−2=m(y−1)，A(x1,y1)，B(x2,y2)，

联立

x=my−m+2y2=2px

，得

y2−2pmy+2pm−4p=0，

所以y1+y2=2pm，y1y2=2pm−4p==−MC⋅因为|MA|⋅|MB|=1+m2|y1−1|⋅1+m2|y2−1|18.解：(1)fx=ln设切点Px0,∴k=1x0解得x0=1e，a=2，

故实数(2)∵g(x)=x(lnx−x+a)，定义域为∴g′(x)=ln因为g(x)有两个极值点x1和x2，

所以令ℎ(x)=lnx−2x+a+1，ℎ′(x)=1当x∈0,12时，ℎ′(x)>0，ℎ(x)当x∈12,+∞时，ℎ′(x)<0，ℎ(x)当x=12时，ℎ(x)取最大值，最大值为当x→0，ℎ(x)→−∞；

当x→+∞，ℎ(x)→−∞．则ℎ(x)至多两个零点，要使ℎ(x)有两个零点，必有a−ln2>0，

联立方程lnx1−2令x1x2=t，

由则x1=tx∴x2=故所证不等式转化为(t+1)lnt2(t−1)只需证(3−t)lnt2(t−1)令F(t)=lnt−2(t−1)F′∵0<t<1，

∴F′(t)>0，

∴F(t)在0,1上单调递增，∴F(t)<F(1)，其中F(1)=0，故F(t)<0，lnt−2(t−1)3−t<0，

19.解：(1)因为cos2A+所以1−2sin2A+1−2si由正弦定理得a2所以C=90(2)

由(1)知C=90∘，所以▵ABC的三个角都小于因为点M为▵ABC的费马点，所以∠AMB=∠BMC=∠CMA=120由S▵ABC12整理得MA⋅MB又因为c2=a2+所以MA⋅所以MA⋅MB+(3)由(