2024-2025学年湖南省长沙市岳麓区周南梅溪湖中学九年级（上）开学数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年湖南省长沙市岳麓区周南梅溪湖中学九年级（上）开学数学试卷一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.下列方程中，是一元二次方程的是(

)A.4(x+2)=25 B.2x2+3x−1=0 C.2x+y=222.一元二次方程x2−4x=5的二次项系数、一次项系数和常数项分别是(

)A.1，4，5 B.0，−4，−5 C.1，−4，5 D.1，−4，−53.用配方法解方程x2−6x−1=0时，配方结果正确的是(

)A.(x−3)2=10 B.(x−3)2=84.对于二次函数y=2(x−1)2−8，下列说法正确的是A.图象开口向下 B.当x>1时，y随x的增大而减小

C.当x<1时，y随x的增大而减小 D.图象的对称轴是直线x=−15.如图，在长为54米、宽为38米的矩形草地上修同样宽的路，余下部分种植草坪.要使草坪的面积为1800平方米，设道路的宽为x米，则可列方程为(

)A.(54−x)(38−x)=1800

B.(54−x)(38−x)+x2=1800

C.54×38−54x−38x=18006.某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干，支干、小分支的总数是91.设每个支干长出x个分支，则可列方程为(

)A.x2+x+1=91 B.(x+1)2=91 7.若a是方程x2−x−1=0的一个根，则−a3A.2021 B.−2021 C.2020 D.−20208.在同一直角坐标系中，函数y=mx+m和函数y=mx2+2x+2(m是常数，且m≠0)的图象可能是A.B.C.D.9.若点A(−2,y1)，B(2,y2)，C(3,y3)在抛物线y=2(x−1)A.y1<y2<y3 B.10.为了使居住环境更加美观，某小区建造了一个小型喷泉，水流从地面上的点O喷出，在各个方向上沿形状相同的抛物线落到地面，某方向上抛物线的形状如图所示，落点A到点O的距离为4，水流喷出的高度y(m)与水平距离x(m)之间近似满足函数关系式y=ax2+245xA.245m B.5m C.112二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。11.将一元二次方程3x(x−1)=2化成ax2+bx+c=0(a>0)12.把二次函数y=2x2的图象先向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度，所得图象对应的函数表达式是______．13.当m=______时，关于x的方程(m+2)xm+3+6x−9=014.已知方程x2−2x−4=0的两根分别为x1和x2，则x15.关于x的一元二次方程(k−1)x2−2x+1=0有两个实数根，则k16.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，下列结论：①bc>0；②x>0时，y随x的增大而增大；③a+b+c>0；④不等式ax2+bx+c<0的解集是−1<x<3三、解答题：本题共6小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17.(本小题20分)

解方程：

(1)x2+3x=0；

(2)3x(x−1)=2(1−x)；

(3)x2−6x+12=018.(本小题8分)

已知关于x的一元二次方程x2+2(m+1)x+m2−1=0．

(1)若方程有实数根，求实数m的取值范围；

(2)若方程两实数根分别为x1，x219.(本小题14分)

已知二次函数y=−x2+2x+3．

(1)函数的开口方向是______，对称轴是直线______；

(2)函数的顶点式为______，与x轴的交点坐标是______；

(3)当x______时，函数y随x的增大而增大；当______时，y的值小于0；

(4)该二次函数与一次函数y=x+120.(本小题10分)

2024年是农历甲辰龙年，含有“龙”元素的饰品深受大众喜爱.商场购进一批单价为70元的“吉祥龙”公仔，并以每个80元售出.由于销售火爆，公仔的销售单价经过两次调整后，上涨到每个125元，此时每天可售出75个．

(1)若销售单价每次上涨的百分率相同，求该百分率；

(2)市场调查发现：销售单价每降低1元，其销售量相应增加5个.那么销售单价应降低多少，才能使每天所获销售利润最大？最大利润是多少？21.(本小题10分)

在平面直角坐标系中，已知抛物线经过A(−4,0)，B(0,−4)，C(2,0)三点．

(1)求抛物线的解析式；

(2)若点M为第三象限内抛物线上一动点，点M的横坐标为m，△AMB的面积为S．

求S关于m的函数关系式，并求出S的最大值．

(3)若点P是抛物线上的动点，点Q是直线y=−x上的动点，判断有几个位置能够使得点P、Q、B、O为顶点的四边形为平行四边形，直接写出相应的点Q的坐标．22.(本小题10分)

已知y是关于x的函数，若其图象经过点P(t,2t)，则称点P为函数图象上的“周梅点”.例如：直线y=x−3上存在“周梅点”P(−3,−6)．

(1)在直线y=−x+1上是否存在“周梅点”？若存在，请求出”周梅点”的坐标；若不存在，请说明理由；

(2)若抛物线y=−12x2+(23a+2)x−29a2−a+1上有“周梅点”，且“周梅点”为A(x1,y1)和B(参考答案1.B

2.D

3.A

4.C

5.A

6.A

7.C

8.D

9.C

10.A

11.3x12.y=2(x+3)13.−1

14.−4

15.k≤2且k≠1

16.①④

17.解：(1)x2+3x=0；

x(x+3)=0，

∴x1=0，x2=−3；

(2)3x(x−1)=2(1−x)；

3x(x−1)+2(x−1)=0，

(x−1)(3x+2)=0，

∴x1=1，x2=−23；

(3)x2−6x+12=0；

∵Δ=36−48=−12<0，18.解：(1)由题意有△=[2(m+1)]2−4(m2−1)≥0，

整理得8m+8≥0，

解得m≥−1，

∴实数m的取值范围是m≥−1；

(2)由两根关系，得x1+x2=−2(m+1)，x1⋅x2=m2−1，

(x1−x19.解：二次函数y=−x2+2x+3，

(1)∵a=−1，b=2，c=3，

∴a<0，对称轴x=−b2a=−22×(−1)=1，

二次函数的开口向下，对称轴为直线x=1，

(2)∵y=−x2+2x+3，

∴y=−(x2−2x+1)+4=−(x−1)2+4，

∴顶点式：y=−(x−1)2+4；

当y=0时，−x2+2x+3=0，

即x2−2x−3=0，

∴(x+1)(x−3)=0，

∴x1=−1，x2=3，

∴与x轴的交点坐标为(−1,0)(3,0)，

(3)∵二次函数的开口向下，对称轴为直线x=1，

∴当x≤1时，函数y随x的增大而增大，

∵二次函数的开口向下，与x轴的交点坐标为(−1,0)(3,0)，

∴当x<−1或x>3时，y的值小于0，

(4)y=−x2+2x+3y=x+1，

解得x=−1y=0或x=2y=3，

∴交点坐标为(−1,0)，(2,3)．

20.解：(1)由题意，设每次上涨的百分率为m，

依题意，得：80(1+m)2=125，

解得：m1=0.25=25%，m2=−2.25(不合题意，舍去)21.解：(1)设此抛物线的函数解析式为：

y=ax2+bx+c(a≠0)，

将A(−4,0)，B(0,−4)，C(2,0)三点代入函数解析式得：

16a−4b+c=0c=−44a+2b+c=0

解得a=12b=1c=−4，

所以此函数解析式为：y=12x2+x−4；

(2)∵M点的横坐标为m，且点M在这条抛物线上，

∴M点的坐标为：(m,12m2 +m−4)，

∴S=S△AOM+S△OBM−S△AOB

=12×4×(−12m2−m+4)+12×4×(−m)−12×4×4

=−m2−2m+8−2m−8

=−m2−4m，

=−(m+2)2+4，

∵−4<m<0，

当m=−2时，S有最大值为：S=−4+8=4．

答：m=−2时S有最大值S=4．

(3)设P(x,12x2+x−4)．

当OB为边时，根据平行四边形的性质知PQ//OB，且PQ=OB，

∴Q的横坐标等于P的横坐标，

又∵直线的解析式为y=−x，

则Q(x,−x)．

由PQ=OB，得|−x−(12x2+x−4)|=4，

解得x=0，−422.解：(1)在直线y=−x+1上存在“周梅点”；理由如下：

设点P(t,2t)是直线y=−x+1上的“周梅点”，

∴−t+1=2t，

∴t=13，

∴直线y=x+1上的“周梅点”为(13,23)；

(2)设抛物线“周梅点”的坐标为P(x,2x)，

将点P的坐标代入抛物线y=−12x2+(23a+2)x−29a2−a+1中得：

2x=−12x2+(23a+2)x−29a2−a+1，

−12x2+23ax−29a2−a+1=