山东省青岛市2025届高三上学期期初调研检测数学试题含答案

第=page11页，共=sectionpages11页山东省青岛市2025届高三上学期期初调研检测数学试题一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知集合A={x|y=ln(4−x)}，B={1,2,3,4,5}，则A.{5} B.{1,2,3} C.{1,2,3,4} D.{1,2,3,4,5}2.已知复数z满足(1+2i)z=4+3i，则z的虚部为A.1 B.−1 C.i D.−i3.已知命题p：∀α∈R，sinπ4−α=cosA.∀α∈R，sinπ4−α≠cosπ4+α

B.∃α∈R，sinπ44.等差数列{an}的首项为−1，公差不为0，若a2，a3，a6成等比数列，则A.−1 B.3 C.−24 D.245.在平面直角坐标系xOy中，角α与角β均以x轴的非负半轴为始边，它们的终边关于x轴对称．若cosα=−13A.19 B.−79 C.16.两个粒子A，B从同一发射源发射出来，在某一时刻，它们的位移分别为sA=(1,2)，sB=(4,3).粒子B相对粒子A的位移为s，则s在A.55,255 B.7.设f(x)=(x+a)2,x≤0,x+1x+a,x>0,若A.[−1,0] B.[−1,2] C.[−2,−1] D.[−2,0]8.已知双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，以F1F2为直径的圆和C的渐近线在第一象限交于A.2 B.3 C.2 二、多选题：本题共3小题，共15分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.一组数据x1，x2，…，x10是公差为−2的等差数列，去掉首末两项x1，A.两组数据的极差相同 B.两组数据的中位数相同

C.两组数据的平均数相同 D.两组数据的标准差相同10.平面α过正方体ABCD−A1B1C1D1的顶点A，平面α//平面CB1DA.B1D1//m B.A1B//平面α

C.n⊥平面ADC111.设数列{an}和{bn}的项数均为m，称i=1m|ai−bi|为数列{an}和{A.数列1，3，5，7和数列2，4，6，8的距离为4

B.若m=4p(p∈N∗)，则A1A2…Am=B1B2…Bm

C.若m=4p(p∈N三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.若曲线y=axcosx在点(0,0)处的切线斜率为−1，则a=_________．13.若x1=π3，x2=π是函数f(x)=sin14.正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为3，P是侧面ADD1A1(包括边界)上一动点，E是棱CD四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题12分)甲、乙两人在每次猜谜活动中各猜一个谜语，若一方猜对且另一方猜错，则猜对的一方获胜，否则本次平局．已知每次活动中，甲、乙猜对的概率分别为23和1(1)求在一次猜谜活动中，有一方获胜的概率；(2)若有一方获胜则猜谜活动结束，否则猜谜继续，猜谜最多进行3次，求猜谜次数X的分布列和期望．16.(本小题12分)已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，2(1)求A；(2)若AB边上的高等于13c，求sin17.(本小题12分)如图，在四棱锥P−ABCD中，底面四边形ABCD是正方形，PD=DC，PD⊥底面ABCD，E是线段PC的中点，F在线段PB上，EF⊥PB．(1)证明：PB⊥平面DEF；(2)G在线段PB上，EG与PA所成的角为45°，求平面DEF与平面DEG夹角的余弦值．18.(本小题12分)已知双曲线C：4x2−y2=m，点P1(1,1)在C上．按如下方式构造点Pn(n≥2)：过点Pn−1作斜率为1的直线与C的左支交于点Qn−1(1)求点P2，P(2)记an=2x(3)O为坐标原点，G，H分别为线段PnPn+2，Pn+1Pn+3的中点，记△OPn+1Pn+219.(本小题12分)已知函数f(x)定义域为I，D⊆I，若∀x∈D，∃t∈D，当x<t时，都有f(x)<f(t).则称t为f(x)在D上的“Ω点”．(1)设函数f(x)=(2+ax)ln(ⅰ)当a=0时，求f(x)在(−1,+∞)上的最大“Ω点”；(ⅱ)若f(x)在[0,1]上不存在“Ω点”，求a的取值范围；(2)设D={1,2,…,m}(m∈N∗)，且f(1)=0证明：f(x)在D上的“Ω点”个数不小于f(m).

参考答案1.B

2.A

3.B

4.D

5.B

6.C

7.A

8.C

9.BC

10.ABC

11.ABD

12.−1

13.3214.915.解：(1)设事件A表示在一次猜谜活动中有一方获胜，

事件A包含两种情况：甲猜对乙猜错或甲猜错乙猜对，

则P(A)=23×(1−12)+(1−23)×12=12，

所以在一次活动中，有一方获胜的概率为12；

(2)由题意知，猜谜次数X可能取值为1，2，X123P111

期望为E(X)=1×1216.解：(1)因为2cosA(ccosB+bcosC)=2a，

由正弦定理得2cosA(sinCcosB+sinBcosC)=2sinA，

即2cosAsin(B+C)=2sinA，

即cosA=22，则A=π417.(1)证明：因为

PD⊥

底面

ABCD

，且

BC⊂

底面

ABCD

，所以

PD⊥BC

，又因为

ABCD

为正方形，可得

DC⊥BC

，因为

PD∩DC=C

，且

PD,DC⊂

平面

PDC

，所以

BC⊥

平面

PDC

，又因为

DE⊂

平面

PDC

，所以

BC⊥DE

，因为

PD=DC

，且

E

为

PC

的中点，所以

DE⊥PC

，又因为

PC∩BC=C

，且

PC,BC⊂

平面

PBC

，所以

DE⊥

平面

PBC

，因为

PB⊂

平面

PBC

，所以

DE⊥PB

，又因为

EF⊥PB

，且

DE∩EF=E

，

DE,EF⊂

平面

DEF

，所以

PB⊥

平面

DEF

．(2)解：以点

D

为原点，以

DA,DC,DP

所在的直线分别为

x

轴、

y

轴和

z

轴，

建立空间直角坐标系，如图所示，设正方形

ABCD

的边长为

2

，可得

DP=2

，可得

D(0,0,0),A(2,0,0),B(2,2,0),C(0,2,0),P(0,0,2),E(0,1,1)

，则

PA=(2,0,−2)

，

PB=(2,2,−2)

，因为

G

在线段

PB

上，设

PG=λPB=(2λ,2λ,−2λ)

，其中

则

EG=PG因为

EG

与

PA

所成的角为

45∘

，

可得

cos解得

λ2=14

，所以

λ=12

，所以

G(1,1,1)设平面

DEG

的法向量为

n=(x,y,z)

，则

n⋅令

y=1

，可得

x=0,z=−1

，所以

n=(0,1,−1)

因为

PB⊥

平面

DEF

，所以平面

DEF

的一个法向量为

PB=(2,2,−2)

设平面

DEF

与平面

DEG

所成的二面角为

θ

，其中

0∘<θ<9可得

cosθ=|n⋅PB||n||PB|=42×2

18.(1)由题知m=4−1=3，所以双曲线C:4x2−y2=3，又过点P1(1,1)，斜率为1的直线方程为y=x，由双曲线与直线的对称性可知Q1(−1,−1)，所以P2(1,−1)，又过P2(1,−1)，且斜率为1的直线方程为y+1=x−1，即y=x−2，由y=x−24x2−y2=3，解得x=1或x=−73，当x=−73时，y=−73−2=−133，所以Q2(−73,−133)，所以P3(73,−133);

(2)设Pn−1(xn−1,yn−1)(n≥2,n∈N∗)，则过Pn−1(xn−1,yn−1)(n≥2,n∈N∗)，且斜率为1的直线方程为y−yn−1=x−xn−1，联立y−19.(1)(i)当a=0时，f(x)=2ln(1+x)−2x，则f′(x)=21+x−2=2−2(1+x)1+x=−2x1+x，

则当x∈(−1,0)时，f′(x)>0，当x∈(0,+∞)时，f′(x)<0，

即f(x)在(−1,0)上单调递增，在(0,+∞)上单调递减，

即对∀x∈(−1,0]，∃t∈(−1,0]，当x<t时，都有f(x)<f(t)，

即f(x)在(−1,+∞)上的最大“Ω点”为0；

(ii)由题意可得f(x)≤f(0)在x∈[0,1]时恒成立，f′(x)=aln(1+x)+2+axx+1−2，

令g(x)=aln(1+x)+2+axx+1−2，x∈[0,1]，则g′(x)=a1+x+a(x+1)−(2+ax)(x+1)2=ax+2a−2(x+1)2

当a≤0时，g′(x)<0恒成立，故g(x)在[0,1]上单调递减，

则f′(x)=g(x)≤g(0)=aln1+2+00+1−2=0，

故f(x)在[0,1]上单调递减，此时f(x)≤f(0)，符合要求;

当a>0时，令ax+2a−2=0，则x=2−2aa=2ln2−2，

则当2a−2≤0，即a≥1时，g′(x)≥0，即g(x)在[0,1]上单调递增，

则f′(x)=g(x)≥g(0)=0，即f(x)在[0,1]上单调递增，有f(x)≥f(0)，不符合要求，故舍去;

当2a−2≥1，即0<a≤23时，g′(x)<0恒成立，

故g(x)在[0,1]上单调递减，则f′(x)=g(x)≤g(0)=0，

故f(x)在[0,1]上单调递减，此时f(x)≤f(0)，符合要求;

当2a−2∈(0,1)，即23<a<1时，

若x∈(0,2a−2)，g′(x)<0，若x∈(2a−2,1)，g′(x)>0，即g(x)在(0,2a−2)上单调递减，在(2a−2,1)上单调