2024-2025学年湖南师大附中九年级（上）入学数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年湖南师大附中九年级（上）入学数学试卷一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是(

)A. B. C. D.2.下列说法中，正确的是(

)A.对“神舟十八号”载人飞船零部件的检查适合采用抽样调查

B.调查市场上某品牌节能灯的使用寿命适合采用全面调查

C.甲、乙两人各进行了10次射击测试，他们的平均成绩相同，方差分别是S甲2=3.2，S乙2=1，则乙的射击成绩较稳定

3.去年冬天，一山区县遭受冬雨天气灾害，居民生活受困，某校开展为灾区捐款活动，八年级(1)班第一组8名学生捐款如下(单位：元)：30，50，30，20，30，50，20，20，则这组捐款的众数是(

)A.30元 B.20元 C.25元 D.30元和20元4.成语是中国语言文化的缩影，有着深厚丰富的文化底蕴，学习成语，运用成语，了解成语当中所包含的语言文化现象，是我们学习语言、学习中国传统文化必不可少的一个环节和目的.下列成语所描述的事件中，属于随机事件的是(

)A.竹篮打水 B.守株待兔 C.水涨船高 D.水中捞月5.我区“人才引进”招聘考试分笔试和面试，按笔试占60%、面试占40%计算加权平均数作为总成绩.应试者李老师的笔试成绩为90分，面试成绩为95分，则李老师的总成绩为(

)A.90 B.91 C.92 D.936.从2，3，4，5四个数中，随机抽取三个数，作为三角形的边长，能组成三角形的概率为(

)A.34 B.1316 C.127.已知点A(a,−2)，B(3,b)关于原点对称，则ab的值为(

)A.−6 B.6 C.−9 D.98.如果小球在如图所示的地板上自由地滚动，并随机停留在某块方砖上，那么小球最终停留在黑色区域的概率是(

)A.29B.12

C.139.如图，在正方形网格中，△EFG绕某一点旋转某一角度得到△RPQ.则旋转中心可能是(

)A.点A

B.点B

C.点C

D.点D10.如图，△OAB中，∠AOB=60°，OA=4，点B的坐标为(6,0)，将△OAB绕点A逆时针旋转得到△CAD，当点O的对应点C落在OB上时，点D的坐标为(

)

A.(7,33) B.(7,5) C.((5二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。11.已知一组数据：3、0、−2、5，则这组数据的极差为______．12.为了考查某种海水稻的长势，从所育稻苗中随机抽取5株，测量这5株稻苗高度所得数据为8，8，9，7，8(单位：cm)，该组数据的方差为______．13.已知一组数据x1，x2，x3，x4的平均数是5，则另一组数据5x1−5，514.在相同条件下选取一定数量的小麦种子做发芽试种，结果如表所示：试种数量200500100015002000发芽的频率0.670.730.690.700.71在相同的条件下，估计种植一粒该品牌的小麦发芽的概率为______.(结果精确到0.1)15.一个不透明的袋中装有2个红球和1个白球，这些球除颜色外无其他差别.现随机从袋中摸出一个球，记下它的颜色后放回摇匀，再从袋中摸出一个球，则两次摸出的球都是“红球”的概率是______．16.抛物线y=x2−8x+7关于x17.某校共有40名初中生参加足球兴趣小组，他们的年龄统计情况如图所示，则这40名学生年龄的中位数是______．18.二次函数y=ax2−2x−1，若对于任意x都有y<0成立，求实数a三、解答题：本题共4小题，共46分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。19.(本小题10分)

根据“五项管理”文件精神，某学校优化学校作业管理，探索减负增效新举措，学校就学生做作业时间进行问卷调查，将收集信息进行统计分成A、B、C、D四个层级，其中A：90分钟以上；B：60～90分钟；C：30～60分钟；D：30分钟以下.并将结果绘制成两幅不完整的统计图，请你根据统计信息解答下列问题：

(1)求扇形统计图中“D”等级的扇形的圆心角的度数，并补全条形统计图；

(2)全校约有学生1500人，估计“A”层级的学生约有多少人？

(3)学校从“A”层级的3名女生和2名男生中随机抽取2人参加现场深入调研，则恰好抽到1名男生和1名女生的概率是多少？20.(本小题10分)

如图，四边形ABCD是正方形，△DCF经逆时针旋转90°后与△BCE重合．

(1)若∠DCF=80°，∠CDF=30°，求∠BEC的度数；

(2)若CF=2，求△ECF的面积．21.(本小题12分)

已知关于x的一元二次方程(m−1)x2+(m−4)x−3=0(m为实数且m≠1)．

(1)求证：此方程总有两个实数根；

(2)如果此方程的两个实数根都是整数，求正整数m22.(本小题14分)

抛物线y=ax2−2ax−3a与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，顶点为D．

(1)求A、B两点的坐标；

(2)若△ABD为等边三角形，求a的值；

(3)若a=−1，

①点F是对称轴与AC的交点，点P是抛物线上一点，且横坐标为m，PE⊥x轴交AC于点E，点P，E，F构成的三角形是直角三角形，求m的值；

②当k≤x≤k+2时，y=ax2−2ax−3a始终位于直线y=−x的下方，求实数参考答案1.C

2.C

3.D

4.B

5.C

6.A

7.D

8.C

9.C

10.A

11.7

12.0.4

13.20

14.0.7

15.4916.y=−x17.14岁

18.−1<a<0

19.解：(1)接受问卷调查的学生共有：16÷40%=40(人)，

扇形统计图中“D”等级的扇形的圆心角的度数为：360°×840=72°，

“B”层级的人数为：40−6−16−8=10(人)，

补全条形统计图如下：

(2)估计“A”层级的学生约有：1500×640=225(人)；

(3)画树状图得：

共有20种等可能的结果，恰好抽到1个男生和1个女生的有12种情况，

∴恰好抽到1个男生和120.解：(1)∵∠DCF=80°，∠CDF=30°，

∴∠DFC=180°−∠DCF−∠CDF=70°．

∵△DCF经逆时针旋转90°后与△BCE重合，

∴∠BEC=∠DFC=70°．

(2)∵△DCF经逆时针旋转90°后与△BCE重合，CF=2，

∴CE=CF=2，∠ECF=90°，

∴S△ECF=121.(1)证明：依题意，得Δ=(m−4)2−4(m−1)×(−3)

=m2−8m+16+12m−12

=m2+4m+4

=(m+2)2．

∵(m+2)2≥0，

∴方程总有两个实数根；

(2)解：a=m−1，b=m−4，c=−3，

x=−(m−4)±(m+2)22(m−1)，

22.解：(1)抛物线y=ax2−2ax−3a与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，顶点为D.令y=0，即ax2−2ax−3a=0，

∵a≠0，

∴x2−2x−3=0，

解得：x1=−1，x2=3，

∴A(3,0)，B(−1,0)；

(2)由y=ax2−2ax−3a=a(x−1)2−4a，

∴D(1,−4a)，

由(1)得：A(3,0)，B(−1,0)，

∴AB=|3−(−1)|=4，AD=(3−1)2+[0−(−4a)]2=4+16a2，BD=(−1−1)2+[0−(−4a)]2=4+16a2，

∵△ABC是等边三角形，

∴AB=AD=BD=4，

∴4+16a2=4，

解得：a=±32，

根据图象可知：a<0，

∴a=−32；

(3)①点F是对称轴与AC的交点，点P是抛物线上一点，且横坐标为m，PE⊥x轴交AC于点E，点P，E，F构成的三角形是直角三角形，

当a=−1时，y=−x2+2x+3，

令x=0，则y=3，

∴C(0,3)，

∴OA=OC，

∴∠ACO=∠CAO=45°，

设直线AC解析式为y=k1x+b1，

∴3k1+b1=0b1=3，

解得：k1=−1b1=3，

∴AC解析式为y=−x+3，

∴当x=1时，y=−1+3=2，

∴F(1,2)，

如图3，当∠FPE=90°时，

∵PE⊥x，即PE/​/y轴，

∴∠PEF=