2024-2025学年湖南省株洲二中高二（上）开学数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年湖南省株洲二中高二（上）开学数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知集合M={(a,b)|ab=16，a，b∈N∗}，则M中元素的个数为A.3 B.4 C.5 D.62.已知直线l1：ax+4y−2=0与直线l2：2x−5y+b=0互相垂直，垂足为(1,c)，则a+b+c的值为(

)A.−4 B.20 C.0 D.243.已知△ABC内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，a=bcosC，则△ABC形状一定是(

)A.等腰直角三角形 B.等边三角形 C.等腰三角形 D.直角三角形4.设m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，下列说法中正确的序号为(

)

①若m⊂α，n//α，则m，n为异面直线②若α//γ，β//γ，则α//β

③若m⊥β，m⊥γ，α⊥β，则α⊥γ④若m⊥α，n⊥β，m//n，则α⊥β

⑤若l⊥α，n//β，α//β，则l⊥nA.②③⑤ B.①②⑤ C.④⑤ D.①③5.已知点P(0,−1)关于直线x−y+1=0对称的点Q在圆C：x2+y2+mx+4=0A.4 B.92 C.−4 D.6.在发生某公共卫生事件期间，有专业机构认为该事件在一段时间没有发生规模性感染的标志为“连续10天，每天新增疑似病例不超过7人”.根据过去10天，甲、乙、丙、丁四地新增疑似病例数据，一定符合该标志的城市是(

)A.甲：中位数为2，众数为3 B.乙：总体均值为3，中位数为4

C.丙：总体均值为2，总体方差为3 D.丁：总体均值为1，总体方差大于07.如图，在棱长为2的正方体ABCD−A1B1C1D1中，PA.直线A1P与BD所成的角不可能是π6

B.当B1P=2PC时，点D1到平面A1BP的距离为23

C.当B18.在数学史上，为了三角计算的简便并且更加追求计算的精确性，曾经出现过下列两种三角函数：定义1−cosθ为角θ的正矢，记作versinθ；定义1−sinθ为角θ的余矢，记作coversθ，则下列命题正确的是(

)A.函数f(x)=versinx−coversx+1的对称中心为(kπ−π4,1)k∈Z

B.若g(x)=versinx⋅coversx−1，则g(x)的最大值为2+1

C.若ℎ(x)=versin2x−coversx+1，ℎ(α)=1且0<α<π2，则圆心角为α，半径为二、多选题：本题共3小题，共15分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.下列四个命题中，是真命题的是(

)A.∀x∈R且x≠0，x+1x≥2

B.∃x∈R，使得x2+1≤2x

C.若x>0，y>0，x2+10.设复数z的共轭复数为z−，i为虚数单位，则下列命题错误的是(

)A.z2=|z|2

B.若z=cos2+isin2，则z−在复平面内对应的点位于第二象限

C.z=2−i1+2i是纯虚数

11.设a为正实数，定义在R上的函数f(x)满足f(0)+f(a)=1，且对任意的x，y∈R，都有f(x+y)=f(x)f(a−y)+f(y)f(a−x)则成立，则(

)A.f(a)=12或f(a)=1 B.f(x)关于直线x=a对称

C.f(x)为奇函数 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.在校园乒乓球比赛中，甲、乙进入决赛，赛制为“三局两胜”.若在每局比赛中甲获胜的概率为14，乙获胜的概率为34，则乙获得冠军的概率为______．13.已知圆锥的母线长为2，其外接球表面积为16π3，则圆锥的高为______．14.规定：Max{a,b}=a,a≥b,b,a<b.设函数f(x)=Max{sinωx,cosωx}(ω>0)，若函数f(x)在(π3,四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题12分)

已知点A(12,32)为圆C上的一点，圆心C坐标为(1,0)，且过点A的直线l被圆C截得的弦长为3．

(1)求圆C16.(本小题12分)

2024年8月12日，巴黎奥运会在法国巴黎成功举行闭幕式.组委会抽取100名观众进行了奥运会知识竞赛并记录得分(满分：100，所有人的成绩都在[40.100]内)，根据得分将他们的成绩分成[40,50)，[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]六组，制成如图所示的频率分布直方图．

(1)求图中a的值；

(2)估计这100人竞赛成绩的平均数(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表)、众数及中位数．17.(本小题12分)

如图，在直四棱柱ABCD−A1B1C1D1中，底面四边形ABCD为梯形，AD//BC，AB=AD=2，BD=22,BC=4．

(1)证明：A1B1⊥AD1；

18.(本小题12分)

已知函数f(x)=sin2xcosφ−cos2xcos(π2+φ)(0<|φ|<π2)，对∀x∈R，有f(x)≤|f(π3)|

(1)求φ的值及f(x)的单调递增区间：

(2)在△ABC中，已知a=4，f(B)=1，其面积为53，求b；

(3)将函数y=f(x)图象上的所有点，向右平移19.(本小题12分)

已知集合A={1,2,3,…,n}(n∈N，n≥3)，W⊆A且W中元素的个数为m(m≥2).若存在u，v∈W(u≠v得u+v为2的正整数指数幂，则称W为A的弱P(m)子集；若对任意的s，t∈W(s≠t)，s+t均为2的正整数指则称W为A的强P(m)子集．

(Ⅰ)请判断集合W1={1,2,3}和W2={2,3,4}是否为A的弱P(3)子集，并说明理由；

(Ⅱ)是否存在A的强P(3)子集？若存在，请写出一个例子；若不存在，请说明理由；

(Ⅲ)若n=11，且A的任意一个元素个数为m的子集都是A的弱P(m)子集，求m参考答案1.C

2.A

3.D

4.A

5.B

6.C

7.D

8.D

9.BCD

10.AB

11.AD

12.2732

13.314.[315.解：(1)设圆C的半径为r，

则|AC|=r=(12−1)2+(32−0)2=1，

则圆C的方程为(x−1)2+y2=1；

(2)因为圆C的半径为1，

所以当直线l与圆相交所得的弦长为3时，圆心C到直线l的距离为1−34=12，

当直线l的斜率不存在时，直线l：x=12，此时圆心C到直线l的距离为12，满足题意．

当直线16.解：(1)由题意知(0.005+a+0.020+0.030+0.025+0.005)×10=1，

即0.085+a=0.1，得a=0.015．

(2)由频率分布直方图可知这100人竞赛成绩的平均数约为45×0.05+55×0.15+65×0.20+75×0.30+85×0.25+95×0.05=72分，

众数约为70+802=75分，

前3组的频率为0.05+0.15+0.2=0.4，

前4组的频率为0.05+0.15+0.2+0.3=0.7，

所以中位数为70+17.(1)证明：因为AB=AD=2，BD=22，

所以AB2+AD2=8=BD2，所以AB⊥AD，

因为ABCD−A1B1C1D1为直四棱柱，所以A1A⊥AB，

因为A1A∩AD=A，A1A，AD⊂平面ADD1A1，

所以AB⊥平面ADD1A1，

因为A1B1/​/AB，所以A1B1⊥平面ADD1A1，

因为AD1⊂平面ADD1A1，所以A1B1⊥AD1；

(2)解：由(1)及题意知，AB，AD，A1A两两垂直，

建立如图所示的空间直角坐标系，

则AB=AD=2，BD=22,BC=4，设A1A=ℎ(ℎ>0)，

所以A(0,0,0)，B(2,0,0)，B1(2,0,ℎ)，C(2,4,0)，D1(0,2,ℎ)，D(0,2,0)，

所以AB=(2,0,0),CB1=(0,−4,ℎ),CD1=(−2,−2,ℎ),BC=(0,4,0),BD=(−2,2,0)，

设平面B1CD1的一个法向量为n=(x,y,z)18.解：(1)f(x)=sin2xcosφ−cos2xcos(π2+φ)=sin2xcosφ+cos2xsinφ=sin(2x+φ)，

对∀x∈R，有f(x)≤|f(π3)|，故f(π3)=sin(2π3+φ)=±1，

所以2π3+φ=π2+kπ,k∈Z，解得φ=−π6+kπ,k∈Z，

因为0<|φ|<π2，故只有当k=0时，满足要求，故φ=−π6，

f(x)=sin(2x−π6)，令−π2+2kπ≤2x−π6≤π2+2kπ,k∈Z，

解得−π6+kπ≤x≤π3+kπ,k∈Z，

所以f(x)的单调递增区间为[−π6+kπ,π3+kπ],k∈Z；

(2)f(B)=sin(2B−π6)=1，

因为B∈(0,π)，所以2B−π6∈(−π6,11π6)，即2B−π6=π2，解得B=π3，

a=4,S△ABC=19.解：(Ⅰ)W1是A的弱P(3)子集，W2不是A的弱P(3)子集．

理由如下：1+3=22，W1中存在两个元素的和是2的正整数指数幂，所以W1是A的弱P(3)子集．

2+3=5，3=4=7，2+4=6，W2中任意两个元素的和都不是2的正整数指数幂，所以W2不是A的弱P(3)子集．

(Ⅱ)不存在A的强P(3)子集．

理由如下：假设存在A的强P(3)子集W={a,b,c}，不妨设a<b<c，a，b，c为正整数，