2024-2025学年天津一中高三（上）开学数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年天津一中高三（上）开学数学试卷一、单选题：本题共9小题，每小题5分，共45分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.集合A={x|−1<x<3}，B={−2,−1,0,2,4}，则(∁RA)∩B=A.{−2,−1,4} B.{−1,2} C.{−2,4} D.⌀2.设x∈R，则“log2x<1”是“x2+x−6<0A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件3.函数y=(2x−sinx)⋅2−|x|的图象可能是(

)A. B.

C. D.4.某校1000名学生参加环保知识竞赛，随机抽取了20名学生的考试成绩(单位：分)，成绩的频率分布直方图如图所示，则下列说法正确的是(

)A.频率分布直方图中a的值为0.004

B.估计这20名学生考试成绩的第60百分位数为75

C.估计这20名学生数学考试成绩的众数为80

D.估计总体中成绩落在[60,70)内的学生人数为1505.已知m，n为两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，则下列命题中正确的是(

)A.m⊂α，n⊂α，m//β，n//β⇒α//β

B.n//m，n⊥α⇒m⊥α

C.m⊥α，m⊥n⇒n//α

D.α//β，m⊂α，n⊂β⇒m//n6.已知ea=lg2，b=lg(ln2)，c=ln12，则a，A.c<b<a B.b<a<c C.a<c<b D.b<c<a7.将函数f(x)=sin2x图象上所有点的横坐标缩短为原来的12，纵坐标不变，再将所得的图象向右平移π12个单位长度，得到函数g(x)的图象，则(

)A.|g(x)|的最小正周期为π2 B.g(x)的图象关于直线x=7π12对称

C.g(x)在(−π24,π8.抛物线x2=2py(p>0)的焦点为F，其准线与双曲线y24−x22=1的渐近线相交于A、BA.2 B.22 C.8 9.如图，过圆O外一点P′作圆的切线P′A，P′B，切点分别为A，B，现将△P′AB沿AB折起到△PAB，使点P在圆O所在平面上的射影为圆心O，若三棱锥P−AOB的体积是圆锥PO体积的34π.则OAA.12 B.33 C.12或3二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分。10.已知i是虚数单位，化简11+3i1−2i的结果为

．11.二项式(x2−3x)5的展开式中含x12.已知实数a>0，b>0，a+b=1，则2a+2b的最小值为

13.袋子中装有n个白球，3个黑球，2个红球，已知若从袋中每次取出1球，取出后不放回，在第一次取到黑球的条件下，第二次也取到黑球的概率为13，则n的值为

，若从中任取3个球，用X表示取出3球中黑球的个数，则随机变量X的数学期望E(X)=

．14.如图，在边长1为正方形ABCD中，M，N分别是BC，CD的中点，则AM⋅AC=

，若AC=λAM+μBN15.已知函数f(x)=|x+1|−1,x≤0sin(πx),x>0，则f(f(32))=

；若f(x)在x∈(a,3三、解答题：本题共4小题，共48分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。16.(本小题12分)

△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且3(a2+c2−b2)=2bcsinA．

(Ⅰ)求角B17.(本小题12分)

如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD为矩形，PD⊥平面ABCD，AB=4，PD=AD=2，点E在线段AB上，且AE=34AB．

(Ⅰ)求证：CE⊥平面PBD；

(Ⅱ)求直线PA与平面PCE所成角的正弦值；

(Ⅲ)求平面BCE与平面PCE18.(本小题12分)

已知函数f(x)=ex+ax(a∈R)，g(x)=ln(x+1)．

(1)当a=1时，求函数f(x)在点(0,1)处的切线；

(2)若f(x)≥1−g(x)对任意的19.(本小题12分)

已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为63，右焦点为F(2,0)．

(1)求椭圆方程；

(2)过点F的直线l与椭圆交于A，B两点，线段AB参考答案1.A

2.A

3.C

4.D

5.B

6.C

7.C

8.A

9.D

10.1+5i

11.−270

12.213.2

9714.32

；；15.−1

；；[−3,−1]

16.解：(Ⅰ)由余弦定理b2=a2+c2−2accosB，则a2+c2−b2=2accosB，

又3(a2+c2−b2)=2bcsinA，所以23accosB=2bcsinA，即3acosB=bsinA，

由正弦定理可得17.(I)证明：∵PD⊥平面ABCD，CE⊂平面ABCD，∴PD⊥CE，∵AB=4，AE=34AB，

∴AE=3，BE=1，∴ABAD=BCBE=2，∴Rt△CBE∽Rt△BAD，

∴BD⊥CE，PD⊥CE，PD∩BD=D，∴CE⊥平面PBD，

(Ⅱ)解：∵PD⊥平面ABCD，AD⊂平面ABCD，CD⊂平面ABCD，

∴PD⊥AD，PD⊥CD，∵ABCD为矩形，AD⊥CD，

∴AD，CD，PD两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系D−xyz，

则C(0,4,0)，P(0,0,2)，E(2,3,0)，A(2,0,0)，

∴PC=(0,4,−2)，CE=(2,−1,0)，

设平面PCE的一个法向量为n=(x,y,z)，

则n⋅CE=2x−y=0n⋅PC=4y−2z=0，令x=1，则y=2，z=4，

∴平面PCE的一个法向量为n=(1,2,4)，

又PA=(2,0,−2)，

设直线PA与平面PCE所成角为θ，

sinθ=|cos<PA，n>|=|PA18.解：(1)当a=1时，f(x)=ex+x，f′(x)=ex+1，

所以f′(0)=e0+1=2，故f(x)在点(0,1)处的切线为y−1=2x，即2x−y+1=0．

(2)f(x)≥1−g(x)，即ex+ax+ln(x+1)−1≥0在x∈[0,+∞)上恒成立，

设ℎ(x)=ex+ax+ln(x+1)−1，注意到ℎ(0)=0，

ℎ′(x)=ex+a+1x+1，令φ(x)=ℎ′(x)=ex+a+1x+1，

则φ′(x)=ex−1(x+1)2在x∈[0,+∞)为增函数，且φ′(0)=0，

所以φ′(x)≥0恒成立，即φ(x)=ℎ′(x)=ex+a+1x+1单调递增，

其中φ(0)=ℎ′(0)=a+2，

若a≥−2，则φ(x)=ℎ′(x)≥0恒成立，此时ℎ(x)单调递增，又ℎ(0)=0，所以ℎ(x)≥0恒成立，

即ex+ax+ln(x+1)−1≥0在x∈[0,+∞)19.解：(1)由题意可得e=ca=63，c=2，解得a=6，

由b2=a2−c2，∴b2=2，则椭圆C的方程为x26+y22=1．

(2)当直线AB为x轴时，易得线段AB的垂直平分线与直线x=