2024-2025学年北京市海淀区中关村中学高二（上）开学数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年北京市海淀区中关村中学高二（上）开学数学试卷一、单选题：本题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.复数2i1−i(i是虚数单位)的虚部是(

)A.1 B.−i C.2 D.−2i2.已知向量a=(−5,5)，b=(0,−3)，则a与b的夹角为(

)A.π4 B.π3 C.2π33.已知函数f(x)=Acos(ωx+φ)(A>0,ω>0,−π2<φ<πA.ω=23，φ=−π6

B.ω=23，φ=π6

C.ω=4.已知cosα=45，α∈(3π2,2π)，则A.−1010 B.1010 5.若函数f(x)=2sin(ωx+π3)(ω>0)在区间[−π4,A.(0,103] B.(0,23]6.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知∠B=30°，△ABC的面积为32，且sinA+sinC=2sinB，则b的值为(

)A.4+23 B.4−23 C.7.若x，y∈R，则“lgx+lg(y−1)=0”是“x(y−1)=1”的(

)A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件8.为了解某地高三学生的期末语文考试成绩，研究人员随机抽取了100名学生对其进行调查，根据所得数据制成如图所示的频率分布直方图，已知不低于90分为及格，则这100名学生期末语文成绩的及格率为(

)A.40% B.50% C.60% D.65%9.“α+β=π2+2kπ，k∈Z”是“sinα=cosβ”的A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件

C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件10.在△ABC中，cosB=−12，AB=BC=2，已知点P满足AP=λAB+(1−λ)AC，且A.14 B.13 C.12二、填空题：本题共6小题，每小题6分，共36分。11.已知复数z满足|z|=1，|z−i|=1，则z的虚部为______．12.在△ABC中，若sinA：sinB：sinC=5：7：8，则∠B的大小是______．13.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若b=6，sinA=2sinC，B=π3，则△ABC的面积为______．14.如图，在某个海域，一艘渔船以60海里/时的速度，沿方位角为150°的方向航行，行至A处发现一个小岛C在其东偏南15°方向，半小时后到达B处，发现小岛C在其东北方向，则B处离小岛C的距离为______海里．

15.边长为2的等边△ABC中，|BD|=1，CE=EA，则16.如果存在函数g(x)=ax+b(a,b为常数)，使得对函数f(x)定义域内任意x都有f(x)≤g(x)成立，那么称g(x)为函数f(x)的一个“线性覆盖函数”.给出如下四个结论：

①函数f(x)=2x存在“线性覆盖函数”；

②对于给定的函数f(x)，其“线性覆盖函数”可能不存在，也可能有无数个；

③g(x)=12x+12为函数f(x)=x的一个“线性覆盖函数”；

④若三、解答题：本题共4小题，共64分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17.(本小题16分)

已知函数f(x)=asinxcosx+cos(2x+π6)，且f(π4)=32．

(1)求a的值和18.(本小题16分)

已知A，B，C分别为△ABC三边a，b，c所对的角，向量m=(sinA,sinB)，n=(cosB,cosA)，且m⋅n=sin2C．

(1)求角C的大小；

(2)若sinA+sinB=2sinC，且CA19.(本小题16分)

在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知b=2,sinA+sinBsinB+sinC=ca−2．

(1)求角A．

(2)从以下三个条件中任选一个，求△ABC的面积．

①边BC上的中线AD=1；②sinB=13；③角A的平分线AD=1，点20.(本小题16分)

对于函数f(x)，g(x)，若存在实数m，n，使得函数ℎ(x)=mf(x)+ng(x)，则称ℎ(x)为f(x)，g(x)的“合成函数”．

(1)已知f(x)=x−3，g(x)=3−2x，试判断ℎ(x)=x−6是否为f(x)，g(x)的“合成函数”？若是，求实数m，n的值；若不是，说明理由；

(2)已知f(x)=sin(x−π4)，g(x)=cosx，ℎ(x)为f(x)，g(x)的“合成函数”，且m=1，n=2，若关于x的方程f(x+π4)⋅g(x)+kℎ(x)=0在x∈[0,π2]上有解，求实数k的取值范围；

(3)已知f(x)=x，g(x)=3x，ℎ(x)为f(x)，g(x)的“合成函数”(其中m>0，n>0)，ℎ(x)的定义域为(0,+∞)，当且仅当x=3时，ℎ(x)参考答案1.A

2.D

3.A

4.B

5.B

6.D

7.A

8.C

9.A

10.D

11.1212.π313.614.1015.−16.②③

17.解：(1)因为f(π4)=32，所以f(π4)=asinπ4cosπ4+cos(π2+π6)=32，

即12a−12=32，解得a=4，

所以f(x)=4sinxcosx+cos18.解：(1)由m=(sinA,sinB)，n=(cosB,cosA)，

得m⋅n=sinAcosB+cosAsinB=sin(A+B)=sinC，

又m⋅n=sin2C，∴sin2C=2sinCcosC=sinC，

∵0<C<π，则sinC≠0，可得cosC=12，即C=π3；

(2)∵sinA+sinB=2sinC，∴2c=a+b，

又CA⋅(AB−AC19.解：(1)由题意sinA+sinBsinB+sinC=ca−2，

由正弦定理可得a+bb+c=ca−2，即a+22+c=ca−2，

则a2−c2=2c+4，

由余弦定理得a2=4+c2−4ccosA，所以a2−c2=4−4ccosA，

所以2c+4=4−4ccosA，所以cosA=−12，

又因为0<A<π，所以A=2π3；

(2)若选①：由边BC边上的中线AD=1，如图，

所以AD=12(AB+AC)，即12=14(c2+4−2c)，

即c2−2c=0，又因为c>0，所以c=2，

由(1)知cosA=−12，所以sinA=32，

所以S△ABC=12bcsinA=12×2×2×32=3；

若选②：当sinB=13，由cosA=−120.解：(1)假设ℎ(x)=x−6为f(x)，g(x)的“合成函数”，

则ℎ(x)=x−6=m(x−3)+n(3−2x)=(m−2n)x+3(n−m)，

所以m−2n=13(n−m)=−6，解得m=3，n=1，

所以ℎ(x)=x−6为f(x)，g(x)的“合成函数”，且m=3，n=1；

(2)因为f(x)=sin(x−π4)，且m=1，n=2，

所以ℎ(x)=sin(x−π4)+2cosx=22(sinx+cosx)，

由f(x+π4)⋅g(x)+kℎ(x)=0，

得sinxcosx+22k(sinx+cosx)=0(∗)，

令t=si