2024-2025学年黑龙江省哈尔滨三中高三（上）月考数学试卷（8月份）（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年黑龙江省哈尔滨三中高三（上）月考数学试卷（8月份）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.集合A={y|y=x2,x∈R},B={x|y=1−xA.⌀ B.R C.[0,1] D.[−∞,1]2.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若B=30°,a=1,c=3，则b=(

)A.1 B.3 C.2 D.3.设x，y∈R，且x<y<0，则(

)A.yx+xy>2 B.y24.天文学中天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.两颗星的星等与亮度满足m1−m2=2.5(lgE2−lgE1).其中星等为mi的星的亮度为Ei(i=1,2).已知“河鼓二”的星等约为0.75，“天津四”的星等约为1.25，“河鼓二”的亮度是“天津四”的A.1.56 B.1.57 C.1.58 D.1.595.已知sinα−cosα=15，0<α<π，则cos2α=(

)A.−725 B.725 C.246.如图为函数y=fx在−6,6上的图像，则fx的解析式只可能是(

)．A.fx=B.fx=lnD.f7.已知23sinα=1+2cosα,α∈(2π3A.7+3516 B.−78 8.已知函数f(x)的定义域为R，且满足f(x)+f(3−x)=4，f(x)的导函数为g(x)，函数y=g(1+3x)−1为奇函数，则f(32)+g(2024)=A.−3 B.3 C.−1 D.1二、多选题：本题共3小题，共15分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.下列运算中正确的是(

)A.2log510+log50.25=2 B.sin420°=10.已知函数f(x)=ax+(1a)A.f(x)是偶函数

B.f(x)在(−∞,0)上单调递减

C.f(2x)=[f(x)]2+2

D.不等式11.把一个三阶魔方看成是棱长为1的正方体，若中间层旋转角x(x为锐角)，记表面积增加量为S=f(x)，则下列说法正确的是(

)A.f(π6)=4−233 B.f(x)的图象关于直线x=π4对称

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.函数f(x)=ln(x13.已知函数f(x)=2sinx⋅sin(x+π6)，则当x∈[0,14.已知函数f(x)=4sinπx,0≤x≤112f(x−1),x>1，若函数y=f2(x)+2af(x)+4−a在[0,+∞)四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题12分)

已知函数f(x)=a−3x+13x+b是定义在R上的奇函数(a>0,b>0)．

(Ⅰ)求f(x)的解析式；

(Ⅱ)16.(本小题12分)

如图是函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π2)图象的一部分．

(Ⅰ)求函数f(x)的解析式及单调递增区间；

(Ⅱ)求方程2f(x)−3=0在x∈[0,17.(本小题12分)

哈三中文学社团举行知识竞赛答题活动，比赛分两轮，具体规则如下：第一轮，参赛选手从A类6道题中任选3道进行答题，都答完后错题个数不超过1道(否则终止比赛)才能进行第二轮答题；第二轮答题从B类10道题中任选3道进行答题.A类题每答对一道得10分，B类题每答对一道得30分，答错不扣分，以两轮总分和决定优胜.总分80分或90分为三等奖，110分为二等奖，120分为一等奖.某班参加活动的同学A类题中只有4道能答对，B类题中，每题答对的概率均为23，且各题答对与否互不影响．

(Ⅰ)求该同学被终止比赛的概率；

(Ⅱ)现该同学进入第二轮，求他在第二轮答题中得分X的分布列及期望；

(Ⅲ)求该同学获得三等奖的概率．18.(本小题12分)

已知a，b，c分别是△ABC三内角A，B，C所对的三边，且acosC+3asinC=b+c．

(1)求A的大小；

(2)若c=5，△ABC的面积为103，求a，b；

19.(本小题12分)

已知函数f(x)=x(ex−1)+aex−(a+1)lnx，(a∈R)．

(Ⅰ)当a=0时，求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程；

(Ⅱ)当a>0时，证明：f(x)>2a+1；

(Ⅲ)参考答案1.C

2.A

3.A

4.B

5.A

6.A

7.C

8.B

9.ABD

10.ABD

11.BC

12.(−∞,−7)

13.1+14.(−∞,−5)∪(−2015.解：(Ⅰ)∵f(x)是R上的奇函数，

∴f(−x)=−f(x)，即a−3⋅3−x3−x+b=−a−3⋅3x3x+b，

∴a⋅3x−3b⋅3x+1=3⋅3x−a3x+b，

∴a=3，b=1，

∴f(x)=3−3⋅3x16.解：(Ⅰ)由图知：A=3，

且π24ω+φ=π2+2kππ6ω+φ=π+2kπk∈Z|φ|<π2，解得ω=4，φ=π3，

所以f(x)=3sin(4x+π3)，

函数的单调递增区间满足：−π2+2kπ≤4x+π3≤π2+2kπ，k∈Z，

解得−5π24+kπ2≤x≤π24+kπ2，k∈Z，

即函数的单调递增区间为[−5π24+kπ2,π24+kπ17.解：(Ⅰ)从A类6道题中任选3道，其中1道会做，2道不会做，则被终止比赛，

所以该同学被终止比赛的概率为22C41CC63=420=15；

(Ⅱ)由题意可知，X的所有可能取值为90，60，30，0，

X9060300P8421所以E(X)=90×827+60×49+30×29+0×127=60；

(Ⅲ)该同学获得三等奖，共有两种情况，

第一轮得20分(答对2道)，则第二轮得60分(对2道)，

概率为12C42CC63⋅C32×(23)2×18.解：(1)因为acosC+3asinC=b+c，

由正弦定理：sinAcosC+3sinAsinC−sinB−sinC=0，

因为sinB=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC，

所以sinAcosC+3sinAsinC−sinAcosC−cosAsinC−sinC=0，

即3sinAsinC−cosAsinC−sinC=0，

因为C∈(0,π)，所以sinC≠0，

所以3sinA−cosA=1，

所以sin(A−π6)=12，

因为A∈(0,π)，所以A−π6∈(−π6,5π6)，

故A−π6=π6，

解得A=π3；

(2)因为S△ABC=12bcsinA，

所以12bcsinA=103，

即12×b×5×32=103，

所以b=8，

又因为a2=b2+c2−2bccosA=25+64−2×5×8×12=49，

所以a=7；

(3)因为acosC+319.解：(Ⅰ)当a=0时，f(x)=x(ex−1)−lnx，f(1)=e−1，

所以f′(x)=(x+1)ex−1−1x，所以f′(1)=2e−2，

故曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y=(2e−2)x−e+1；

(Ⅱ)证明：要证f(x)>2a+1，即证xex−(x+lnx+1)+a(ex−lnx−2)>0，

即证ex+lnx−(x+lnx+1)+a(ex−lnx−2)>0，

分别令g(x)=ex−x−1，ℎ(x)=ex−lnx−2，

则g′(x)=ex−1，显然x>0时g′(x)>0，x<0时g′(x)<0，

所以g(x)在(−∞,0)上单调递减，在(0,+∞)上单调递增，

所以g(x)≥g(0)=0，所以ex≥x+1恒成立，当且仅当x=0时取得等号，

即ex+lnx−(x+lnx+1)≥0，当且仅当x+lnx=0时取等号，

由ex≥x+1可得elnx=x≥lnx+1，当且仅当x=1时取得等号，

即有ex≥x+1≥lnx+2，但等号不能同时取得，

所以ex−lnx−2>0，所以ex+lnx