2024-2025学年湖南省衡阳市耒阳一中高一（上）入学数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年湖南省衡阳市耒阳一中高一（上）入学数学试卷一、单选题：本题共6小题，每小题3分，共18分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.耒阳一中开设了劳动教育课程.小明从感兴趣的“种植”“烹饪”“陶艺”“木工”4门课程中随机选择一门学习，每门课程被选中的可能性相等.小明恰好选中“烹饪”的概率为(

)A.18 B.16 C.142.每年的4月23日是“世界读书日”，某中学为了了解高一年级学生的读书情况，随机调查了60名学生的册数，统计数据如表所示，则这50名学生读书册数的众数、中位数是(

)册数01234人数31316171A.3，3 B.3，2 C.2，3 D.2，23.如果一个多边形的内角和是它外角和的4倍，那么这个多边形的边数为(

)A.6 B.8 C.9 D.104.已知点P(a−3,2−a)在第二象限，则a的取值范围在数轴上表示正确的是(

)A. B.

C. D.5.如图，平行四边形ABCD中，点E、F分别是AD、AB的中点，EF交AC于点G，那么AG：GC的值为(

)A.1：2 B.1：3 C.1：4 D.2：36.已知关于x的一元二次方程x2−kx+k−3=0的两个实数根分别为x1，x2，且x12A.−3 B.3 C.−1 D.−1或3二、多选题：本题共2小题，共8分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。7.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象为如图，则下面结论中正确的是(

)A.2a+b=0B.4a−2b+c<0

C.b2−4ac>0D.当y<0时，x<−18.已知集合A={x|x2−4=0}，则下列表示正确的是A.2∈A B.−2∉A C.A={−2,2} D.2⊆A三、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。9.计算：8−(π−3)010.若关于x的分式方程xx−2+2m2−x=2m11.已知二元一次方程组x+2y=42x+y=5，则x−y的值为______．12.我们规定：若a=(x1,y1),b=(x2,y2)四、解答题：本题共4小题，共32分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。13.(本小题6分)

分解因式：

(1)xy−1+x−y；

(2)3x2−7xy+414.(本小题6分)

如图，AB是⊙O的直径，过⊙O外一点P作⊙O的两条切线PC，PD，切点分别为C，D，连接OP，CD.求证：OP⊥CD．15.(本小题8分)

如图，在同一坐标系中，直线l1：y=−x+1交x轴于点P，直线l2：y=ax−3过点P．

(1)求a的值；

(2)点M、N分别在直线l1，l2上，且关于原点对称，求点M16.(本小题12分)

抛物线y=ax2+bx+c交x轴于A(−1,0)，B(3,0)两点，交y轴于点C(0,−3)，点Q为线段BC上的动点．

(1)求抛物线的解析式；

(2)求|QO|+|QA|的最小值；

(3)过点Q作PQ//AC交抛物线的第四象限部分于点P，连接PA，PB，记△PAQ与△PBQ面积分别为S1，S2，设S=S1参考答案1.C

2.B

3.D

4.C

5.B

6.D

7.ABC

8.AC

9.310.12或111.1

12.−4或2

13.解：(1)xy−1+x−y=(x−1)(y+1)；

(2)3x214.证明：连接OC，OD，则有OC=OD，

PC，PD是⊙O的两条切线，切点分别为C，D，则有PC=PD，

且PO=PO，易得△POD≅△POC，即∠POD=∠POC，

所以直线OP是线段CD的垂直平分线，有OP⊥CD．

15.解：(1)在y=−x+1中，令y=0，得x=1，即点P(1,0)，

由直线l2：y=ax−3过点P，得a−3=0，所以a=3．

(2)由(1)知，直线l2：y=3x−3，

设直线l1：y=−x+1上的点M(m,−m+1)，则点M关于原点对称点N(−m,m−1)，

由点N在直线l2：y=3x−3上，得m−1=3(−m)−3，解得m=−12，

16.解：(1)因为抛物线y=ax2+bx+c交x轴于A(−1,0)，B(3,0)两点，

设y=a(x+1)(x−3)，将C(0,−3)代入，得−3a=−3，解得a=1，

所以y=(x+1)(x−3)=x2−2x−3，

所以抛物线的解析式为y=x2−2x−3．

(2)

作点O关于直线BC的对称点O′，连接AO′、QO′、CO′、BO′，

因为OB=OC=3，∠BOC=90°，∠BCO=45°，

则BC垂直平分OO′，OO′垂直平分BC，

所以四边形BOCO′是正方形，

所以O′(3,−3)，

在Rt△ABO′中，AB=4，O′B=3，

|AO′|=AB2+O′B2=42+32=5，

因为|QA|+|QO′|≥|AO′|，|QO′|=|QO|，

所以|QO|+|QA|=|QA|+|QO′|≥|AO′|=5，

即点Q位于直线AO′与BC交点时，|QO|+|QA|有最小值5．

(3)

如图2，连接CP，过点P作PH/​/y轴交BC于点H，

设直线BC的解析式为y=kx+d，