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第=page11页,共=sectionpages11页2024-2025学年年浙江省“启航杯”高三(上)联考数学试卷一、单选题:本题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题给出的选项中,只有一项是符合题目要求的。1.已知集合A={x|2|x|≤4,x∈Z},则A的元素数量是A.2 B.3 C.4 D.52.已知z=−1+3i2A.1 B.3 C.2 D.3.椭圆E:x24+y2=1的左右焦点分别为F1,F2,G为A.2π3 B.π2 C.π34.已知边长为6的正方体与一个球相交,球在正方体的每个面上的交线都为一个面积为16π的圆,则该球的表面积为(
)A.96π B.100π C.125π D.204π5.已知(1x+x)n的二项式系数之和为A.1 B.6 C.15 D.206.已知xx−1≥lnx+ax对∀x>0恒成立,则aA.0 B.1e C.e D.7.已知an=an+1+12,A.12 B.14 C.188.克拉丽丝有一枚不对称的硬币.每次掷出后正面向上的概率为p(0<p<1),她掷了k次硬币,最终有10次正面向上.但她没有留意自己一共掷了多少次硬币.设随机变量X表示每掷N次硬币中正面向上的次数,现以使P(X=10)最大的N值估计N的取值并计算E(X).(若有多个N使P(X=10)最大,则取其中的最小N值).下列说法正确的是(
)A.E(X)>10 B.E(X)<10
C.E(X)=10 D.E(X)与10的大小无法确定二、多选题:本题共3小题,共15分。在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求。9.如图所示,在棱长为2的正方体中,M为BB1的中点,G为D1B1靠近B1的四等分点,H为线段MGA.三棱锥H−D1AC的体积为定值
B.∠AMC=∠D1MC
C.HD的最小值为510.设定义域为(0,+∞)的单调递增函数f(x)满足f(x)=f(x−1)+x(x≥2),且f(1)=1,则下列说法正确的是(
)A.当x∈N+时,f(x)=x2+x2
B.f(52)≤358
C.不等式f(x)≤f(x)11.数学有时候也能很可爱,如题图所示是小D同学发现的一种曲线,因形如小恐龙,因此命名为小恐龙曲线.对于小恐龙曲线C1:x2+A.该曲线与x=8最多存在3个交点
B.如果曲线如题图所示(x轴向右为正方向,y轴向上为正方向),则a>0
C.存在一个a,使得这条曲线是偶函数的图像
D.a=3时,该曲线中x≥8的部分可以表示为y关于x的某一函数三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分。12.随着某抽卡游戏在班级内流行,李华统计了6位同学获得某角色的抽取次数,结果如下:10,60,90,80,20,180,则以上数据的下四分位数为______.13.已知正四面体O−ABC棱长为4,棱OA上有一点A1,棱OB上有一点B1,棱OC上有一点C1.若|A14.设函数f(x)=ex−ax−alnx(a>0)的极小值点为x0,若y=f(x)的图象上不存在关于直线x=x四、解答题:本题共5小题,共60分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。15.(本小题12分)
已知△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知c=3,S△ABC=b2sinC.
(1)求a的取值范围;
(2)求16.(本小题12分)
已知双曲线C:x2−y2=8,圆A:(x−2)2+(y−2)2=r2,其中r>0.圆A与双曲线C有且仅有两个交点D,E,线段DE的中点为G.
(1)记直线AG的斜率为k1,直线OG的斜率为17.(本小题12分)
浙里启航团队举办了一场抽奖游戏,玩家一共抽取n次.每次都有12的概率抽中,12的概率没抽中.小明的抽奖得分按照如下方式计算:
(1)将玩家n次抽奖的结果按顺序排列,抽中记作1,未抽中记作0,形成一个长度为n的仅有01的序列.
(2)定义序列的得分为:对于这个序列每一段极长连续的1,设它长度为t,那么得分即为t2.
(3)序列的得分即为每一段连续的1的得分和.
例如:如果玩家A抽了7次,第1,3,4,5,7次中奖,那么序列即为1,0,1,1,1,0,1,得分为12+32+12=11.可能用到的公式:若X,Y为两个随机变量,则E(X)+E(Y)=E(X+Y).
(1)若n=3,清照进行了一次游戏.记随机变量X为清照的最终得分,求E(X).
(2)记随机变量Z表示长度为n的序列中从最后一个数从后往前极长连续的1的长度,求E(Z).
18.(本小题12分)
定义:[x]表示x的整数部分,{x}表示x的小数部分,例如[1.2]=1,{1.75}=0.75.数列an满足an+1=[an]{an}(an∉Z)an(an∈Z)其中a1=m.若存在k∈N+,使得当n>k时,an=an+1恒成立,则称数m为木来数.
(1)分别写出当m=19.(本小题12分)
称代数系统G(x,°)为一个有限群,如果:
a.X为一个有限集合,°为定义在X上的运算(不必交换),∀a,b∈X,a°b∈X
b.(a°b)°c=a°(b°c),∀a,b,c∈X
c.∃e∈X,∀a∈X,a°e=e°a=a,e称为G的单位元
d.∀a∈X,存在唯一元素a−1∈X使a°a−1=a−1°a=e,a−1称为a的逆元有限群H(Y,°),称为G(X,°)的子群.若Y⊆X,定义运算a°H={a°ℎ|ℎ∈H}.
(1)设H为有限群G的子群,a,b为G中的元素.求证:
(i)a°H=b°H当且仅当b−1°a∈H;
(ii)a°H与H元素个数相同.
(2)设p为任一质数X={1,2,…,p−1}.X上的乘法定义为a°b=(abp−[abp])p,其中[x]为不大于x的最小整数.已知参考答案1.D
2.B
3.A
4.B
5.C
6.D
7.C
8.B
9.AC
10.ACD
11.ABC
12.20
13.214.(0,1]
15.解:(1)由“三角形的两边之和大于第三边”,可知a+b>c,b+c>a,c+a>b.
根据S△ABC=12absinC=b2sinC,整理得a=2b,结合c=3,得3b>3,b+3>2b,c+2b>b.
解得1<b<3,所以2<a<6,边a的取值范围是(2,6);
(2)由余弦定理得cosB=a2+c2−b22ac=3b2+c24bc≥23bc16.解:(1)由题意如图所示:
因为|EG|=|DG|,|AD|=|AE|,线段DE的中点为G,
所以AG⊥DE,
又设D(x1,y1),E(x2,y2),
因为x12−y12=x22−y22=8,
所以(x1−x2)(x1+x2)=(y1−y2)(y1+y2),
而圆心A(2,2)不在坐标轴上,从而x1≠x2,x1+x2≠0,
所以y1−y2x1−x2⋅y117.解:(1)若序列为:0,0,0,则最终得分为0,
若序列为:1,0,0,或0,1,0,或0,0,1,则最终得分为1,
若序列为:1,0,1,则最终得分为2,
若序列为:1,1,0,或0,1,1,则最终得分为4,
若序列为:1,1,1,则最终得分为9,
P(X=0)=18,P(X=1)=38,P(X=2)=18,P(X=4)=14,P(X=9)=18,
所以E(X)=0×18+1×38+2×18+4×14+9×18=114;
(2)令gn表示长度为n的序列,E(Z)的答案,换言之En(Z)=gn,
则有递推关系gn+1=12⋅(gn+1+0),表示第n+1位分别为1或0的答案,
显然g1=12⋅(0+1)=12,
设gn+1+λ=12(gn+λ),
则gn+1=gn−12λ,
18.解:(1)当m=2时,a1=2,a2=[a1]{a1}=12−1=2+1,同理a3=22+2,a4=22+2,
当m=53时,a1=53,a2=[a1]{a1}=123=32,同理a3=2,a4=2;
(2)证明:当m=t2+1,t∈N+时,即a1=t2+1,则a1=t2+1a2=tt2+1−t19.证明:(1)(i)如果a°H=b°H,则∀ℎ1∈H,∃ℎ2∈H,a°ℎ1=b°ℎ2,
从而b−1°a=ℎ2°ℎ1−1∈H.
另一方面,如果b−1°a∈H,
则有∀g1∈a°H,∃ℎ1∈H,g1=a°ℎ1,
即a−1°g1=ℎ1,从而b−1°a°a−1°g1=b−1°a°ℎ1
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