2024-2025学年年浙江省“启航杯”高三（上）联考数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年年浙江省“启航杯”高三（上）联考数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知集合A={x|2|x|≤4,x∈Z}，则A的元素数量是A.2 B.3 C.4 D.52.已知z=−1+3i2A.1 B.3 C.2 D.3.椭圆E：x24+y2=1的左右焦点分别为F1，F2，G为A.2π3 B.π2 C.π34.已知边长为6的正方体与一个球相交，球在正方体的每个面上的交线都为一个面积为16π的圆，则该球的表面积为(

)A.96π B.100π C.125π D.204π5.已知(1x+x)n的二项式系数之和为A.1 B.6 C.15 D.206.已知xx−1≥lnx+ax对∀x>0恒成立，则aA.0 B.1e C.e D.7.已知an=an+1+12,A.12 B.14 C.188.克拉丽丝有一枚不对称的硬币.每次掷出后正面向上的概率为p(0<p<1)，她掷了k次硬币，最终有10次正面向上.但她没有留意自己一共掷了多少次硬币.设随机变量X表示每掷N次硬币中正面向上的次数，现以使P(X=10)最大的N值估计N的取值并计算E(X).(若有多个N使P(X=10)最大，则取其中的最小N值).下列说法正确的是(

)A.E(X)>10 B.E(X)<10

C.E(X)=10 D.E(X)与10的大小无法确定二、多选题：本题共3小题，共15分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.如图所示，在棱长为2的正方体中，M为BB1的中点，G为D1B1靠近B1的四等分点，H为线段MGA.三棱锥H−D1AC的体积为定值

B.∠AMC=∠D1MC

C.HD的最小值为510.设定义域为(0,+∞)的单调递增函数f(x)满足f(x)=f(x−1)+x(x≥2)，且f(1)=1，则下列说法正确的是(

)A.当x∈N+时，f(x)=x2+x2

B.f(52)≤358

C.不等式f(x)≤f(x)11.数学有时候也能很可爱，如题图所示是小D同学发现的一种曲线，因形如小恐龙，因此命名为小恐龙曲线.对于小恐龙曲线C1：x2+A.该曲线与x=8最多存在3个交点

B.如果曲线如题图所示(x轴向右为正方向，y轴向上为正方向)，则a>0

C.存在一个a，使得这条曲线是偶函数的图像

D.a=3时，该曲线中x≥8的部分可以表示为y关于x的某一函数三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.随着某抽卡游戏在班级内流行，李华统计了6位同学获得某角色的抽取次数，结果如下：10，60，90，80，20，180，则以上数据的下四分位数为______．13.已知正四面体O−ABC棱长为4，棱OA上有一点A1，棱OB上有一点B1，棱OC上有一点C1.若|A14.设函数f(x)=ex−ax−alnx(a>0)的极小值点为x0，若y=f(x)的图象上不存在关于直线x=x四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题12分)

已知△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知c=3,S△ABC=b2sinC．

(1)求a的取值范围；

(2)求16.(本小题12分)

已知双曲线C：x2−y2=8，圆A：(x−2)2+(y−2)2=r2，其中r>0.圆A与双曲线C有且仅有两个交点D，E，线段DE的中点为G．

(1)记直线AG的斜率为k1，直线OG的斜率为17.(本小题12分)

浙里启航团队举办了一场抽奖游戏，玩家一共抽取n次.每次都有12的概率抽中，12的概率没抽中.小明的抽奖得分按照如下方式计算：

(1)将玩家n次抽奖的结果按顺序排列，抽中记作1，未抽中记作0，形成一个长度为n的仅有01的序列．

(2)定义序列的得分为：对于这个序列每一段极长连续的1，设它长度为t，那么得分即为t2．

(3)序列的得分即为每一段连续的1的得分和．

例如：如果玩家A抽了7次，第1，3，4，5，7次中奖，那么序列即为1，0，1，1，1，0，1，得分为12+32+12=11.可能用到的公式：若X，Y为两个随机变量，则E(X)+E(Y)=E(X+Y)．

(1)若n=3，清照进行了一次游戏.记随机变量X为清照的最终得分，求E(X)．

(2)记随机变量Z表示长度为n的序列中从最后一个数从后往前极长连续的1的长度，求E(Z)．

18.(本小题12分)

定义：[x]表示x的整数部分，{x}表示x的小数部分，例如[1.2]=1，{1.75}=0.75.数列an满足an+1=[an]{an}(an∉Z)an(an∈Z)其中a1=m.若存在k∈N+，使得当n>k时，an=an+1恒成立，则称数m为木来数．

(1)分别写出当m=19.(本小题12分)

称代数系统G(x,°)为一个有限群，如果：

a.X为一个有限集合，°为定义在X上的运算(不必交换)，∀a，b∈X，a°b∈X

b.(a°b)°c=a°(b°c)，∀a，b，c∈X

c.∃e∈X，∀a∈X，a°e=e°a=a，e称为G的单位元

d.∀a∈X，存在唯一元素a−1∈X使a°a−1=a−1°a=e，a−1称为a的逆元有限群H(Y,°)，称为G(X,°)的子群.若Y⊆X，定义运算a°H={a°ℎ|ℎ∈H}．

(1)设H为有限群G的子群，a，b为G中的元素.求证：

(i)a°H=b°H当且仅当b−1°a∈H；

(ii)a°H与H元素个数相同．

(2)设p为任一质数X={1,2,…,p−1}.X上的乘法定义为a°b=(abp−[abp])p，其中[x]为不大于x的最小整数.已知参考答案1.D

2.B

3.A

4.B

5.C

6.D

7.C

8.B

9.AC

10.ACD

11.ABC

12.20

13.214.(0,1]

15.解：(1)由“三角形的两边之和大于第三边”，可知a+b>c，b+c>a，c+a>b．

根据S△ABC=12absinC=b2sinC，整理得a=2b，结合c=3，得3b>3，b+3>2b，c+2b>b．

解得1<b<3，所以2<a<6，边a的取值范围是(2,6)；

(2)由余弦定理得cosB=a2+c2−b22ac=3b2+c24bc≥23bc16.解：(1)由题意如图所示：

因为|EG|=|DG|，|AD|=|AE|，线段DE的中点为G，

所以AG⊥DE，

又设D(x1,y1)，E(x2,y2)，

因为x12−y12=x22−y22=8，

所以(x1−x2)(x1+x2)=(y1−y2)(y1+y2)，

而圆心A(2,2)不在坐标轴上，从而x1≠x2，x1+x2≠0，

所以y1−y2x1−x2⋅y117.解：(1)若序列为：0，0，0，则最终得分为0，

若序列为：1，0，0，或0，1，0，或0，0，1，则最终得分为1，

若序列为：1，0，1，则最终得分为2，

若序列为：1，1，0，或0，1，1，则最终得分为4，

若序列为：1，1，1，则最终得分为9，

P(X=0)=18,P(X=1)=38，P(X=2)=18,P(X=4)=14，P(X=9)=18，

所以E(X)=0×18+1×38+2×18+4×14+9×18=114；

(2)令gn表示长度为n的序列，E(Z)的答案，换言之En(Z)=gn，

则有递推关系gn+1=12⋅(gn+1+0)，表示第n+1位分别为1或0的答案，

显然g1=12⋅(0+1)=12，

设gn+1+λ=12(gn+λ)，

则gn+1=gn−12λ，

18.解：(1)当m=2时，a1=2,a2=[a1]{a1}=12−1=2+1，同理a3=22+2,a4=22+2，

当m=53时，a1=53,a2=[a1]{a1}=123=32，同理a3=2，a4=2；

(2)证明：当m=t2+1,t∈N+时，即a1=t2+1，则a1=t2+1a2=tt2+1−t19.证明：(1)(i)如果a°H=b°H，则∀ℎ1∈H，∃ℎ2∈H，a°ℎ1=b°ℎ2，

从而b−1°a=ℎ2°ℎ1−1∈H．

另一方面，如果b−1°a∈H，

则有∀g1∈a°H，∃ℎ1∈H，g1=a°ℎ1，

即a−1°g1=ℎ1，从而b−1°a°a−1°g1=b−1°a°ℎ1